1BAB IBARISAN DAN DERET

1.1 Barisan

Barisan adalah himpunan besaran ...,,, 321 UUUyang disusun dalam urutan tertentu dan masing-masingdibentuk menurut suatu pola yang tertentu pula, yaitu

)(rfUr Contoh 1 :

1,3,5,7, . . . 2,6,18,54, . . . x[1], x[2], x[3], atau x[k] k = 1,2,3, .

. .

, x[-3], x[-2], x[-1], x[0], x[1], x[2],x[3],

atau x[k] k = , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .

Pola yang terbentuk mempunyai rumus : 1

12n

Pembentukan Rumus :Contoh 2 : Sebuah barisan : 1, 10, 25, 46, 73, 106, ,dst

1 10 25 46 73 106 1

9 15 21 27 33 2

6 6 6 6 konstanGambar 1.1 Pola Barisan

2ada 2 step sehingga terdapat komponen berpangkat 2,

sehingga, Rumusnya : 1

2 ckn , nilai k didapat dari

faktorisasi prima (fp) sesuai step dari nilai konstan dannilai c mengikuti urutan awal deret. FP 6 adalah 3 dan 2

sehingga rumusnya menjadi 1

2 23n .

Barisan berhingga (finite sequence) adalah barisan yangbanyak sukunya berhingga.Barisan tak berhingga (infinite sequence) adalah barisanyang tak ada akhirnya.Latihan :carilah rumus barisan dari :a. 3, 15, 35, 63, 99, , dst.b. 2, 30, 106, 254, 498, 862, , dst.c. 3, 38, 133, 318, 623, 1078, , dst.d. 1, 46, 241, 766, 1873, 3886, , dst.

1.2 DeretDeret dibentuk oleh jumlah suku-suku barisan.Contoh 2 : barisan 1,3,5,7deret S=1 + 3 + 5 + 7

n

kn nxLxxkxS

121

Deret ada dua jenis yaitu :1. Deret hitung (arithmetic series)2. Deret ukur (geometric series)Deret berhingga (finite series) adalah barisan yangbanyak sukunya berhingga.

3Deret tak berhingga (infinite series) adalah barisan yangtak ada akhirnya

1.2.1 Deret hitung (arithmetic series)Deret Hitung (aritmatika), setiap suku dapat

ditulis dan proses, suku dengan menambah ataumengurangi besaran konstan yg disebut beda biasa.Contoh 3,sebuah deret aritmatika sbb : 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + .

Suku pertama = 2Jarak antar suku = ( 6-2 ) = 4

Bentuk umum deret arimatika ( Un ) :

])1([....)2()(...)()()(

dnadadaadddaddadaa

Sehingga : (1.1)

Dari contoh 3 di atas maka :144)14(24 U

Jumlah suku ke-n deret aritmatika ( Sn ) :Dari contoh 3 di atas bila penjumlahan 5 suku

pertama:S5 = 2 + 6 + 10 + 14 + 18 = 50 atau terbalik S5 = 18 + 14 + 10 + 6 + 2 = 50 +

2S5 = 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 1002S5 = 100 ; S5 = 50

dnaUn )1( a = suku pertama ; d = beda

4Artinya:

])1(2[2

])1(2[...])1(2[])1(2[2

....])2([])1([:

])1([....)3()(

dnanS

dnadnadnaSbersamabariskeduapenambahan

adnadnaSsebaliknyatingkatsuku

dnadadaaS

n

n

n

n

Jadi : (1.2)

32]4)14(2.2[24

4 SContoh 4 :

Jika suku ke-7 suatu Deret Hitung adalah 22 dansuku ke-12 adalah 37, tentukan nilai deret ke 10, danJumlah 10 suku pertamanya (S10) ?

37 = a + 11 d (1.3)22 = a + 6 d (1.4)

15 = 5 d d = 3Dengan memasukan nilai d pada persamaan (1.3 atau1.4) didapat nilai a = 4, makaDari persamaan 1 dan 2 didapat :

155)3(942

1031)3(94

10

10

S

U

])1(2[2

dnanSn

51.2.2 Deret Ukur (geometric series )Deret Ukur (geometri), suku ditentukan dari suatu

proses perkalian atau pembagian dengan faktor konstandisebut ratio.Contoh 5 ,

Sebuah deret ukur sbb : 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + .Maka,

Suku pertama : 1

Jarak antar suku :12

= 2 (r = ratio)

Bentuk umum deret geometri adalah :132

...

nararararaa = suku pertama; r = ratio =

a

ar; n = jumlah suku

(1.5)

dari contoh 5 di atas maka dengan menggunakanpersamaan (1.5) maka 82.1 144 UJumlah suku ke-n deret geometri (Sn) :

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

ararSSararararrS

ararararaSndikurangkakeduanyabilamaka

ararararrSmenjadirratiodenganKalikan

ararararaS

...

...

:

...

:

...

32

132

32

132

1 nn arU

6151

1521

)21(1:5

)0,()6.1(;

1)1(

:

4

4

S

makacontohdarirdgnpertamasukunjumlah

r

raS

makan

n

Contoh 6 :Jika suku ke-5 suatu deret ukur adalah 162 dan

suku ke-8 nya adalah 4374, berapa nilai deret ke-4 (U4 )dan jumlah 4 suku pertamanya (S4) ?

281

162,,327

1624374

53

45

78

anilai

UpersamaandarimakarrarUarU

8031

)31(2162324

4

44

xS

xU

Kalau dideretkan sbb : 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 +1458 + 4374 +

1.2.3 Deret Binomial :Deret binomial didasarkan pada aturan segitiga

pascal sebagai berikut :

:

7Gambar 1.2 Diagram Pascal

(a+b)2 = 22 2 baba (a+b)3 = 3223 33 babbaa (a+b)4 = 432234 464 babbabaa . Dst

Teorema binomial (n = bilangan positif)

nn

nnnn

bbannn

bannbanaba

...

!3)2)(1(

!2)1()(

33

221

Misalkan a =1, b = x , maka

1< x

8nS 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + n dst = n r1

Karena merupakan Deret Hitung (aritmatik) dengan a= 1 dan d = 1, maka n buah suku pertama ( Sn ) sbb :

)7.1(2

)1()1(22

)1(22

...543211

nn

nndnan

nrSn

n

2. Jumlah kuadrat n bilangan natural pertama :

)8.1(6

)12)(1(

...54321 21

222222

nnn

nrSn

n

Penjelasan tsb dengan menggunakan diagrampascal atau identitas :

1)1(3)1(3124......1)2(3)2(3235.....1)3(3)3(334

........1)3(3)3(3)3()2(..1)2(3)2(3)2()1(

.......1)1(3)1(3)1(:1

133)1(133)1(

233

233

233

233

233

233

233

233

ndanndan

angkadengandigantinbiladstnnnn

lagisekalinnnnlagisekalinnnn

makandgndigantinBilannnn

nnnn

9,)1(331)1(1 1

233 dijabarkannrrn

makabawahkeatasdarindijumlahkan n

)9.1(6

)12)(1(

326

336462

22

)1(3323

3323

331)133(

1

2

23

1

2

2

1

223

1

223

11

223

11

223

nnnr

nnnr

nnrnnn

dikalikanruassemua

nnrnnn

rrnnn

nrrnnn

n

n

n

n

nn

nn

3. Jumlah bilangan asli berpangkat tiga dapat dicaridengan jalan yang sama, hanya kali ini menggunakanidentitas :

(a+1)4 = 1464 234 annnMaka :

)10.1(2

)1(

...54321

2

3

1

333333

nn

nrSn

n

10

Contoh 7 : Tentukan jumlah deret

5

1)23(

n

nn

155110456

116522653

6)12)(1(2

2)1(3

23

23

23)23(

5

1

25

1

5

1

25

1

5

1

25

1

5

15

xxxx

nnnnn

nn

nn

nnnnS

dengan cara langsung dapat dihitung sebagai berikut :

1.2.5 Deret Tak Berhingga :

Untuk deret hitung (Aritmatika) ])1(2[2

dnanSn ,dengan nilai tertentu a dan d , sebagai penambahan n,

15565135,544114,42793,31472,2

551,1

)23(5

15

xn

xn

xn

xn

xn

nnS

11

demikian juga dengan nilai Sn. dimana jika n , makanS , pada bagian positif maupun negatif tergantung

nilai n .

Untuk deret ukur (geometri)r

raSn

n

1)1(

,

tersedia jika 1r , sehingga n , rn 0 dan

r

aSn 1 (1.11)

1.2.6 Deret Kovergen dan DivergenDeret yang jumlah n sukunya (Sn) menuju

kesebuah harga tertentu jika n disebut deretKonvergen. Jika (Sn) tidak menuju suatu harga tertentuketika n disebut deret divergen.

Tinjau sebuah deret sbb : ...811

271

91

311 apakah

divergen atau konvergen ?

dimana a =1,31r

r

raSn

n

1)1(

= )311(

23

32311

1)1(1

3131

n

nn

Untuk n ,n3

1 0 maka

23

nnSLt (konvergen) ( Lt = Limit )

12

Tinjau sebuah deret sbb : ...8127931 apakahdivergen atau konvergen ?

dimana a =1, 3r , maka

231

31)31(1

nn

nS

Untuk n ,

2231

nS maka

nn

SLt (divergen)Dapat disimpulkan

konvergenmakadefenitnilaiSLt nn

Deret aritmatik selalu divergen

Deret geometri konvergen jika 1r ;divergen jika 1r

1.2.6.1 Uji Kekonvergenan Suatu Deret :Kaidah 1 :

0 nn

uLt , mungkin konvergen dan perlu pengujian,

,0 nn

uLt deretnya divergen

Contoh 8 :

n

1...

81

71

61

51

41

31

211

konvergen ? atau divergen ?

13

Jawab :

DivergeninideretS

makaSkarena

dan

bn

an

n

n

n

......

...

21

21

21

21

211

21

81

81

81

81

81

71

61

51

21

41

41

41

31

)........1...81

81

81

81

41

41

211

).......1...81

71

61

51

41

31

211

1...

81

71

61

51

41

31

211

Kaidah 2 : Uji Perbandingan (the comparison test)Suatu deret dengan suku-suku positif akan

konvergen jika suku-sukunya lebih kecil daripada suku-suku seletak deret positif lain. Serupa dengan itu, derettersebut akan divergen jika suku-sukunya lebih besardaripada suku-suku seletak deret lain yang telah diketahuidivergen.Deret pembanding :

)12.1(1...1...51

41

31

21

11

1

n

ppPPPPP nn

Jika p > 1, maka deretnya konvergenJika p 1, maka deretnya divergen

14

Contoh 9: Menguji kekonvergenan deret

...

6.51

5.41

4.31

3.21

2.11

...

6.51

5.41

4.31

3.21

2.11 jika dengan deret

1

1...

1...

41

31

21

11

nppPPPP nn

dengan p = 2

konvergendiketahuiinideret

pkarena 2...61

51

41

31

21

11

222222

dst.....31

4.31

;21

3.21

;11

2.11

222 Karena setiap suku tersebut lebih kecil dibandingkandengan deret yg diketahui konvergen, maka deret inikonvergen.

Kaidah 3 : Uji Pembagian (The Ratio Test) (DAlembert)untuk suku positif.

Misalkan : ......4321 nuuuuu adalahderet dengan suku positif. Jika :

15

.,1

,1

,1

1

1

1

kesimpulanditarikdapattidakU

ULt

divergenderetU

ULt

konvergenderetU

ULt

n

n

n

n

n

n

n

n

n

Contoh 10 :

Ujilah deret ...169

87

45

23

11 konvergen

atau divergen :Dari deret tersebut didapat rumus pengganti :

1212

nn

nU

Dengan menggantikan n = n+1 maka,

nnn

nnU2

122

1)1(21)1(1

, sehingga

1212

21

122

212 11

n

n

n

n

UU n

n

n

n, jadi

21

0202

21

/12/12

21

1212

211

n

nLt

n

nLtU

ULt

n

nn

n

n

Karena 11

n

n

n UULt , maka deret ini konvergen.

16

Contoh 11 : uji deret ...65

54

43

32

21

21

111

;1 1

n

n

n

nUn

nU nn

101

001/21

/1/212

122

12121

2

2

21

2

21

n

nnLt

nn

nnLtU

ULt

nn

nn

n

n

n

n

UU

n

nn

n

n

n

n

11

n

n

n UULt tak ada kesimpulan, maka deret diuji lagi.

;101

1/11

11

nnnLtULt

nn

nderet ini divergen.

1.2.6.2 Kekonvergenan Mutlak (Absolutely Covergent)Suatu deret yang sukunya bergantian positif dan

negatif (Alternating Series)

Deret : ....41

31

211 deretnya konvergen

Deret : ....41

31

211 deretnya divergen

Jika : ...97531nUMaka : ....97531 nU

17

Jika : nU konvergen, maka dikatakan konvergenmutlak (absolutely convergent). Sebaliknya jika nU divergen, tetapi nU konvergen, maka nU konvergen bersyarat (conditionallyconvergent).

Contoh 12 : Tentukan daerah harga x dimana deret berikutkonvergen mutak.

...

5.65.55.45.35.2 55

2

4

3

3

2

2

xxxxx

Penyelesaian :

5

)/21(5)/11(

)2(5)1(

5)1(5)2(

5)2(;5)1(

1

1

11

1

1

1

x

UULt

n

nx

n

nx

x

n

n

x

UU

n

xUn

xU

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

nn

n

n

Supaya konvergen mutlak, maka 11

n

n

n UULt ; deret ini

disebut konvergen mutlak jika ,15x yaitu jika 5x

18

1.2.7 Deret Pangkat (Power Series)

)13.1(...)()()( 2020100

0

xxaxxaaxxa n

n

m

dimana, a0, a1, a2, konstanta deret

0x suatu konstanta yang disebut pusat deret dan xkonstanta variabel, jika 0x = 0 diperoleh suatu deretpangkat dari pangkat-pangkat dari x.

...

33

2210

0

xaxaxaaxa

n

n

m

1.2.7.1 Interval Konvergensi :

Gambar 1.3 Konvergensi

Secara umum deret pangkat konvergen untukRx dan divergen untuk Rx , dimana R disebut jari-

jari. Untuk Rx deret konvergen, mungkin tidakkonvergen. Interval Rx atau RxR disebutinterval konvergensi deret. Untuk mencari intervaldigunakan test pembagian (Ratio Test).

Divergensi Konvergensi Divergensi

X0-R X0 X0+R

19

Jari-jari konvergensi

n

n

n UULt

R1

1

(1.14)

Contoh 13 : Carilah interval konvergensi dari deret =

1

2 3.n nn

n

x

3133

3 222

12

11 xx

n

nLtx

n

n

xLtU

ULtn

n

n

n

n

nn

n

n

Deret konvergen 3x , dan 3x deret jugakonvergen sehingga interval konvergensinya adalah

33 x .

1.2.7.2 Operasi Deret Berpangkat :

Diferensiasi suku demi suku

)15.1(...32

...

2321

0

1'

33

2210

0

xaxaaxnay

xaxaxaaxay

n

n

m

n

n

m

Penjumlahan suku demi suku0n

n

n xa dan 0n

n

n xb

...)()(

)()()(3

332

22

01100

xbaxba

xbabaxban

n

nn

20

Perkalian suku demi suku0n

n

n xa dan 0n

n

n xb

2021120

001100

)(

)()()(

xbababa

xbababaxban

n

n

nn

Untuk mencari nilai suatu deret berpangkat dapatdigunakan diferensiasi suku kiri dan kanan :

Contoh 14 : cari deret sin x

!51

1201

;0cos120;0

...7201200cos'''''0;00sin24;0...360120240sin''''

!31

,10cos6;0

...12060246cos'''0;00sin2;0

...30201262sin"10cos;0

....65432cos'...sin

55

65

44

2654

33

36

2543

22

46

32432

1

56

45

34

2321

66

55

44

33

2210

aaxasumsi

xaayaaxasumsixaxaay

aaxasumsi

xaxaxaaxy

aaxasumsixaxaxaxaaxy

axasumsixaxaxaxaxaaxy

xaxaxaxaxaxaaxy

s

Sehingga deret :

21

...

!510

!3100sin 53

xxxx

...

!51

!31

sin 53 xxxx dst

Hasil deret tersebut :Tabel 1.1 Hasil Deret

Contoh 15 : carilah nilaixe

1sampai 5 tempat desimal .

Jawab : ...!)1()1(...!3!2!11

11

32

n

xxxxe

nnx

36788,0...000198,0001389,0

008333,0041667,0166667,0500000,011

...

!51

!41

!31

!21

!111

3232

xe

22

1.2.8 Polynomial Taylor, Deret Taylor dan DeretMaclaurin

1.2.8.1 Polynomial Taylor :Polynomial taylor tingkat pertama dan kedua pada

x = a

2)()("))((')()(

))((')()(2

2

1

axafaxafafxP

axafafxP

Polynomial taylor tingkat n pada x = a

!)()(...

!3)()('''

!2)()("))((')()(

3

2

n

axafaxaf

axafaxafafxP

nn

n

Gambar 1.4 Polynomial Tingkat satu P1(x) dan dua P2(x)

1.2.8.2 Teorema Taylor :Fungsi f dan turunan f dan f,, f n ada dan

kontinyu pada interval tertutup a x b dan f (n+1) adadalam interval terbuka a < x < b.

23

)()()( xRxPxf R(x) = Remainder tingkat n atau error.

Remainder tingkat n =!)1(

))(()(1)1(

n

axcfxR

nn

n

Untuk nila c diantara a dan x.

1.2.8.3 Polynomial Taylor dua variabel bebasPolynomial Taylor dua variabel tingkat pertama

dan kedua f sebagai fungsi variabel bebas, dan nilai f ,x

f

danyf diketahui pada titik x =a, y = b, kemudian

diketahui ),( baf sebagai ),( bax

f ),( ba

yf

),()(

),())((2)(!2

1

),()(),()(),()(

),()(),()(),()(

2

22

2

2

22

2

1

bay

fby

bayxfbyax

x

fax

bayfbyba

x

faxbafxP

bayfbyba

x

faxbafxP

24

a h

P

K

X

F(a)F(h+a)

y=F(x+a)

0

Y

1.2.8.4 Deret Taylor :

)16.1(!

)()(...!3

)()('''

!2)()("

!1))((')()(

3

2

n

axafaxaf

axafaxafafxf

nn

Untuk x = a+h pada titik P (lihat gambar !)

)(!

...)('''!3

)("!2

)('!1

)()(3

2

afn

hafh

afhafhafhaf

nn

Gambar 1.5 Grafik Pendekatan Deret Taylor

Contoh 16 : Cari nilai sin o62 sampai dengan lima tempatdesimalDeret taylor dalam pangkat (x-a).

25

h

PK

X

F(0)F(x)

Y

0

y=F(x)

...cos!3

)(

sin!2

)(cos)(sinsin

3

2

aax

aax

aaxax

Pilih a = 600 yang dekat dengan 620.Maka,x-a = 620 - 600 = 20 = /90 = 0,0348889maka :

892939,00000035,0000527,00174445,0866025,0

...

21

6)0348889,0(3

21

2)0348889,0(

)0348889,0(213

2162sin

32

0

1.2.8.5 Deret Maclaurin

Gambar 1.6 Grafik Pendekatan Deret Maclaurin

26

Contoh 17 : Carilah deret cos 2x dengan deret maclaurinJawab :

)17.1()0(!

...)0('''!3

)0("!2!1

)0('.)0()(32

nn

fn

x

fxfxfxfxf

xxf 2cos)( 10cos)0( fxxf 2sin2)(' 00sin2)0(' fxxf 2cos4)('' 40cos4)0('' f

xxf 2sin8)(''' 00sin8)0(''' fxxf iv 2cos16)( 160cos16)0( ivf ..dst

....

!664

!416

!2412cos

642

xxxx dst

Contoh 18 : selesaikan deret berikut ini (3 suku saja)xe

)xln()x(f 21

Jawab :Menggunakan deret maclaurin pers. (1.17)

x

xe.)xln(

e

)xln()x(f 22 11

Dipisahkan :)xln()x(f 1

01010 ln)ln()(f

27

111

1 )x(x)x('f 10110 )('f

1)1()01(1)0(''..)1(

1)1(1)('' 222 f

xxxf

33

)1(2)1(2)('''x

xxf

.. 201

20 3 )()('''f

44

)1(6)1(6)(x

xxf iv 6)01(

6)0( 4 ivf

Dst

Didapat deretnya (lihat tabel di atas)

....

xxxxx)xln(

54321

5432

Untuk deret xe)x(f 2xe)x(f 2 10 02 .e)(f

xe)x('f 22 . 220 02 .e)('fxe)x(''f 24 440 02 .e)(''f

xe)x('''f 28 880 02 .e)('''fDst .

..xxxe

..x!

x!

xe

x

x

322

322

34221

38

2421

28

Sehingga,

...

34

23

....)3

2()2

2(

34221

5432

.)1ln()1ln(

32

333

22

325432

22

xxx

xxx

xxx

xxxxxxx

x

exe

x xx

1.3 Tugas

1. Hitung

8

1

2 )23(n

nnn

2. Tentukan deret berikut ini konvergen atau divergen

i. 1 2 1nn

; ii. 23 13 2nn3. Dengan deret Maclaurin, tunjukkan bahwa

a. ...403

6sin

531 xxxx

b. Cari deret xe x 12 sin. (cukup 4 deret )

29

BAB IIDIFERENSIAL PARTIAL

2.1 Fungsi Variabel :

Volume V suatu silinder berjari-jari r denganketinggian h dinyatakan oleh hrV 2 .

Gambar 2.1 Tabung

V tergantung dari dua besaran yaitu r dan h,V=V(r,h) Jika r dijaga tetap dan ketinggian h ditambah,maka volume V akan bertambah. Hal ini dapat dicarikoefisien diferensial V terhadap h dengan syarat r dijagakonstan.

Yaitutankonsrdh

dV

dan dituliskan sebagaihV

hV disebut koefisien Turunan Partial V terhadap h.

2r

hV (r =konstan) ; hr

r

V 2 (h = konstan)

h

r

V

30

yaitutankonsrdh

dV

dan dituliskan sebagaihV

hV disebut koefisien Turunan Partial V terhadap h.

2r

hV (r =konstan) ; hr

r

V 2 (h = konstan)

2.2 Turunan Parsial2.2.1 Turunan Parsial dari Fungsi z = f(x,y)

Jika z = f(x,y) merupakan fungsi dari x dan y,maka :a) Turunan Parsial (pertama) dari z = f(x,y) terhadap x di

setiap titik (x,y) pada permukaan, adalah turunan(pertama) dari z = f(x,y) terhadap x denganmenganggap y sebagai konstanta dan ditulis :

)y,x(fx,z,x

f,

x

)y,x(fatau

x

zx

atau fxatau

0lim),(

x

yxfxx

z )1.2(),(),(x

yxfyxxf

b) Turunan parsial (pertama) dari z = f(x,y) terhadap y disetiap titik (x,y) pada permukaan adalah turunan(pertama) dari z = f(x,y) terhadap y denganmenganggap x sebagai konstanta dan ditulis :

)y,x(fy,z,yf

,

y)y,x(f

atauyz

y

atau fyatau

31

)2.2(),(),(lim),(0 y

yxfyyxfyxfyyz

y

Contoh 19:

1) Tentukanx

z

dan

yz

dari fungsi berikut :

a) 22 32 yxyxz yx

x

z 34 dan yx

yz 23

b) 22 yxz

2221

22

yxx)x2()yx(

21

x

z

2221

22

yxy)y2()yx(

21

yz

2.2.2 Turunan Parsial dengan fungsi yang memiliki lebihdari dua variabel bebas.Misal w = F(x, y, z, u, v), turunan parsial (pertama)

dari w terhadap x di setiap titik (x, y, z, u, v) adalahturunan (pertama) dari w terhadap x dengan menganggapsemua variabel x, yang ditulis :

)3.2(),,,,(),,,,(lim0 x

vuzyxFvuzyxxFx

w

x

Demikian juga untuk variabel lain, misalnyaTurunan parsial terhadap v, dapat ditulis :

32

)4.2(),,,,(),,,,(lim0 v

vuzyxFvvuzyxFv

w

v

Contoh 20 :Tentukan turunan parsial (pertama) terhadap

variabel-variabel bebas dari fungsi berikut :

1. u = zxy)( , maka ln u = z ln (xy)

x

zyxy

zx

u

u

.

1.

1 (diturunkan terhadap x)

1)()(. zz xyyzxy

x

zu

x

z

x

u

yz

xxy

zyu

u

.

1.

1 (diturunkan terhadap y)

1)()(. zz xyxzxy

yz

uyz

yu

)ln(1 xyz

u

u

(diturunkan terhadap z)

)ln()()ln(. xyxyxyuz

u z

2) Turunan parsial pertama dari fungsi berikutzxyzxy)z,y,x(f 32

zyx

f 3 (y dan z = konstan)

zxyf 2 (x dan z = konstan)

xyz

f 32 (x dan y = konstan)

33

2.2.3 Diferensial total suatu fungsiUntuk memahami diferensial suatu fungsi total

maka dapat dilihat dari contoh pertambahan kecil suatuvolume selinder :

Dari gambar 2.1 Volume V suatu silinder berjari-jari r dengan ketinggian h dinyatakan oleh hrV 2 .

2r

hV

(r =konstan) ; hr

r

V 2 (h = konstan)

Jika r adalah pertambahan kecil dari r , h adalahpertambahan kecil dari h dan V adalah pertambahankecil dari V.

r , h , V = pertambahan sangat kecilJika r diubah menjadi rr , dan h menjadi hh , makaV akan berubah menjadi VV . Volume yang baru akanmenjadi

hhV

rr

VV

hrrrhVhrrrhV

ditiadakantinggiberpangkatperubahannpertambahaVhrkarena

hrhrrhrrhrrhVhrhrrhrrhrrhhr

hhrrrrhhrrVV

2

2

222

2222

22

2

2)2(

maka,kecilsangatnpertambaha=,,)22(

)22())(2(

)()(

34

Sehingga dapat disimpulkan jika fungsi )y,x(fz makadiferensial totalnya adalah y

yz

xx

zz

, (2.5)

Dimanayzdan

x

z

adalah koefisien diferensial parsial z.

Hal ini berlaku umum dan untuk fungsi dengan tigavariabel bebas )w,y,x(fz maka

)6.2(ww

zyyz

xx

zz

Contoh 21 :

Tentukan diferensial total dari fungsi : xyyxz 333 yx

x

z 33 2

xyyz 33 2

Jadi

yyz

xx

zz

yxyxyx )(3)(3 23 Contoh 22:

Suatu permukaan mempunyai panjang (x) = 35 cmdan lebar (y) = 25 cm. Tentukan harga pendekatanluasnya, jika x bertambah 0,02 cm dan y berkurang 0,03cm.Penyelesaian :

x 0,02 cm , y -0,03 cm, x = 35 cm, y = 25 cm

35

Rumus : L = pl = xy = 35 x 25 = 875 cm2

xyLy

x

L

;

Maka :255,0)03,0(35)02.0(25 cmy

yL

xx

LL

Luas Pendekatannya = 875-0,55 = 874,45cm2

Contoh 23 :Jika I=V/R dengan V=220 volt dan R = 50 ohm.

Tentukan Nilai I, jika V bertambah 1 volt dan R berkurang0,5 ohm.Penyelesaian :

V 1 volt , R -0,5 ohm , V= 220 volt , R = 50 ohmMaka ),( RVfI

4,450220

RVI ; 02,0

5011

RV

I ;

088,050220

RV

RI

22

064,0)5,0(088,0)1(02,0

RRIV

VII

I sebenarnya = II = 4,4 +0,064 = 4,464 ampere2.2.4 Aturan Rantai / Fungsi Komposit

Bila sebuah fungsi ),( yxfz , sedangkan)(),( tyytxx , dimana z juga merupakan fungsi dari t

maka ))(),(( tytxfz ,

36

Jika ),( yxfz maka diketahui yyz

xx

zz

,

Sekarang dibagi kedua ruas dengan t didapat :

t

yyz

t

x

x

z

t

z

Jika 0t maka persamaan itu menjadi :)7.2(

dtdy

yz

dtdx

x

z

dtdz

merupakan total derivatif z terhadap t.

Demikian juga untuk bentuk ),,( zyxfw sedangkan x,y,z, .. merupakan fungsi dari t , maka wadalah :

)8.2(....

dtdz

z

w

dtdy

yw

dtdx

x

w

dtdw

Contoh 23 :

Carilahdtdz ? Jika tytxyxyxz cos,sin;53 22

Penyelesaian :

Dimana : yxyzyx

x

z 103;32

tdtdy

tdtdx

sin;cos

dtdy

yz

dtdx

x

z

dtdz

= tytyx sin)103(cos)32(

37

2.2.5 Pergantian VariabelJika ),( yxfz , sedangkan x = g(r,s), dan y =

h(r,s) maka z fungsi yang dapat diturunkan terhadapvariabel bebas r dan s.

Jika ),( yxfz maka yyz

xx

zz

, maka dapat

dihitung differensial totals

zdanr

z

.

Cara memperolehnya sebagai berikut :Bagikan kedua ruas dengan r didapat diferensial totalnyaadalah :

r

yyz

r

x

x

z

r

z

, bila 0r ,

makadrdx

menjadir

x

dan

drdy

menjadir

y

Sehingga dapat ditulis :

)9.2(drdy

yz

drdx

x

z

drdz

Begitu halnya dengan membagi kedua ruas dengan s ,dengan cara yang sama didapat :

)10.2(dsdy

yz

dsdx

x

z

dsdz

Contoh 24 :

Jika 22 yxz , dengan cosrx dan 2sinry ,carilah

drdz dan

ddz

38

drdy

yz

drdx

x

z

drdz

; d

dyyz

ddx

x

z

ddz

xx

z 2

; yyz 2

cosdrdx

; 2sindrdy

;

sinrddx ;

cos2rddy

Sehingga :

2sin2cos2 yxdrdz

cos4sin2 yrxrddz

2.2.6 Fungsi ImplisitDiferensial Parsial dapat juga digunakan untuk

mencari koefisien diferensial dari suatu fungsi implisit.Untuk mendapatkan

dxdy

maka 0),,( yxf , fungsi fdideferensialkan terhadap x dan menerapkan aturan rantai.

Contoh 25 :

Mencaridxdy dari persamaan 02 32 yxyx ,

diasumsikan z = 0, sehingga pesamaannya menjadi32 2 yxyxz , sekali lagi dapat dilihat hubungan dasar

),( yxfz maka yyz

xx

zz

. Dengan demikian

39

bila kedua ruas dibagi dengan x maka menjadipersamaan :

x

yyz

x

x

x

z

x

z

Jika 0x , maka : )11.2(dxdy

yz

x

z

dxdz

Karena z = 0, maka 0dxdz

, sehingga persamaan di atas

menjadi :

dxdy

yz

x

z

0 sehingga )12.2(y

zx

z

dxdy

Maka : bila 02 32 yxyxyx

x

z 22

,232 yx

yz

Sehingga,

23222yxyx

dxdy

Contoh 26 :Cari persamaan garis singgung dan garis normal

pada titik p (1,2) dari persamaan 02 32 yxyx622

yxx

z, 1432 2

yxyz

Dari persamaan (2.12) maka

73

146

dxdy

40

Persamaan garis singgung :

)1(73

2)1(1 xyxxmyy33147 xy 1737 xy

Persamaa garis normal :

371

1 mm

)1(37

2)1(1 xyxxmyy7763 xy 173 xy

2.2.7 Turunan Parsial Derajat Tinggi),( yxfz

Turunan parsial kedua diberikan simbol sebagaiberikut :

fxxzx

z

xx

zxx

2

2

fyxzyz

xyxz

yx

2

fxyzx

z

yxyz

xy

2

Turunan parsial ketiga diberikan simbol sebagaiberikut :

fxxxzx

z

xx

zxxx

2

2

3

3

41

fyxxzyxz

xyxz

yxx

22

3

)13.2(22

2

3

fyyxzyz

yxyz

yyx

Contoh 27:

1) Hitunglah turunan parsial kedua :

xyz

yxz

x

z

22

2

2

,,

2

2

yz

dari 22 52 yxyxz

Penyelesaian :

yxzyzyxz

x

zyx 25;54

422

fxxzx

z

xx

zxx

52

fyxzyz

xyxz

yx

52

fxyzx

z

yxyz

xy

222

fyyzyz

yyz

yy

42

2.3 JACOBIAN :Bila f(x,y,u,v) dan g(x,y,u,v)

Matrik Jacobian )14.2(,

,

v

gu

gv

fu

f

vu

gfj

Determinan Jacobian )15.2(,

,

v

gu

gv

fu

f

vu

gfj

Bentuk Matrix Jacobian :

)16.2(

x

fJ

Contoh 28 :cosrx , sinry ; Tentukan determinan

jacobiannya :Jawab :

cosr

x

,

sinrx

sinr

y

, cosrr

y

43

Matrix Jacobian :

cosrsin

sinrcosy

r

y

x

r

x

,r

y,xj

Determinan Jacobian :

cosrsin

sinrcosy

r

y

x

r

x

,r

y,xj

= )sinr.(sin)cosr.(cos = 122 )sin(cosr

2.4 Garis Singgung dan Bidang Singgung

Kurva bidang didefinisikan dengan persamaan :)t(hz),t(gy),t(fx

Pada titik )z,y,x(P 0000 untuk 0tt

Gambar 2.2 Bidang Normal dan Garis singgung

44

Persamaan Garis Singgung :

)17.2(000

dtdz

zz

dtdy

yy

dtdx

xx

Persamaan Bidang Normal :

)18.2(0)()()( 000 zzdtdzyy

dtdy

xxdtdx

Contoh 29 :Carilah persamaan garis singgung dan bidang

normal pada kurva32

,, tztytx dititik 1tPenyelesaian :Pada titik t=1 atau (1,1,1),

maka 1dtdx

, 22 tdtdy

; 33 2 tdtdx

, maka

Persamaan garis singgung :

dtdz

zz

dtdy

yy

dtdx

xx 000 =3

12

11

1 zzyx

Persamaan bidang normal :

0000 )zz(dtdz)yy(

dtdy)xx(

dtdx

06)1(3)1(2)1( zyx

45

2.5 Bidang Singgung dan Garis Normal :Persamaan bidang singgung pada permukaan

0),,( zyxF pada titik ),,( 0000 zyxP ,

0)()()( 000

zzz

FyyyF

xxx

F

Persamaan Garis Normal :

z

Fzz

yFyy

x

Fxx

000

Gambar 2.3 Garis Normal dan Bidang singgung

Contoh 30:Carilah persamaan bidang singgung dan garis

normal :1123 22 yxz pada titik (2,1,3)

01123),,( 22 zyxzyxFPenyelesaian :

126

xx

F; 44

yyF

; 1

z

F

Persamaan bidang singgung :

46

0)()()( 000

zzz

FyyyF

xxx

F

0)3(1)1(4)2(12 zyx25412 zyx

Persamaan Garis Normal :

z

Fzz

yFyy

x

Fxx

000

13

41

122

zyx

2.6 Turunan Arah dan Harga EkstrimTurunan Berarah ),( yxf di titik P atau P dengan

arah diberikan oleh :

)19.2(sincos yz

x

z

dsdz

Turunan berarah untuk fungsi ),( yxf dititik ),,( zyxPdengan arah ),,( diberikan oleh :

)20.2(coscoscos z

FyF

x

FdsdF

Gambar 2.4 Kurva Directional Derivatives

47

Contoh : Carilah turunan 22 6yxZ pada titik P (7,2)dengan arah 450

Penyelesaian :

sincosyz

x

z

dsdz

= sin12cos2 yx Pada titik P (7,2) dengan arah 045

25)221).(2.(12)2

21).(7.(2

dsdz

2.7 Gradien dari Fungsi :Turunan Berarah fungsi ),( yxf dalam arah s yang

membentuk sudut diberikan oleh :

sincosyz

x

z

dsdz

dsdz

adalah fungsi dari . Arah yang memberikans

z

maksimum dinamakan gradien dari ),( yxf . Untukmendapatkan gradien dari ),( yxf dicari turunan terhadap dan menyamakan dengan nol.

0cossin

y

z

x

z

dsdz

xz

yz

tan )21.2(tan

xz

yz

arc

Arah adalah gradien dari ),( yxf

48

2.8 Titik maksimum atau minimumMencari titik maksimum atau minimum relatif dari

fungsi ),( yxf :

0

x

f dan 0

yf

)22.2(22

2

2

2

2

yxf

yf

x

f

Dimana,

< 0 Titik Pelana (saddle point)= 0 Tidak dapat disimpulkan

> 0 dan 022

x

f Titik minimum

> 0 dan 022

x

f Titik maksimum

Contoh 31:Carilah titik maksimum atau minimum dari

persamaan berikut :

2564),( 22 yxyxyxfPenyelesaian :

042

xx

f 2x

062 y

yf 3y

222

x

f, 22

2

yf

, 02

yxf

49

40)2)(2(22

2

2

2

2

yxf

yf

x

f

> 0, 022

x

f

Jadi titik (2,3) merupakan titik minimumpada titik (-1,-2)

220)1)(2(22

2

2

2

2

xx

yxf

yf

x

f,

< 0

Jadi titik (-1,-2) merupakan titik pelana (sadle point).Fungsi : yyxxyxf 2

23),(

23

Mempunyai titik minimun di (1,-2)Dan titik pelana (sadle point) di (-1,-2)

Gambar 2.5 Kurva Sadle Point

50

Contoh 32:Carilah titik stasioner (maksimum atau minimum)

dari fungsi sebagai berikut :

yyxxyxf 223

),(23

Penyelesaian :

012

xx

f 02 yyf

x= 1, y = -2, dan x=-1, y = -2

,222

xx

f 12

2

yf

, 02

yxf

Pada titik (1,-2)

220)1)(2(22

2

2

2

2

xx

yxf

yf

x

f

> 0, 02222

xx

f

Jadi titik (1,-2) merupakan titik minimum.

2.9 Metode Lagrange

Untuk menentukan harga ekstrim dari fungsi :- f(x,y)- dengan syarat g(x,y,z) = 0

),,(),,(),,( zyxgzyxfzyxF

51

,0

x

gx

f ,0

yg

yf

)23.2(,0

z

gz

f

= pengali lagrange

Contoh 33:222),,( zyxzyxf

Tentukan minimum ),( yxf dengan syarat01622 zyx

Penyelesaian :)1622(),,( 222 zyxzyxzyxF

0

x

F, 022 x , x

0

x

F, 02 y ,

21y

0

x

F, 022 z , z

Subsitusi :

016)(221)(2 ,

932 ;

932x ;

916y ;

932z

),,( zyxf minimum81

23049

329

169

32 222

52

2.10 Tugas

1. ,)( 222 zyxzyx

u tunjukkan 0

x

uz

yuy

x

ux

2. 222 )( yxxyV dan sin,cos ryrx tunjukkan

bahwa 011 22

22

2

V

rr

Vrr

V

53

BAB IIIINTEGRAL RANGKAP

3.1 Konsep :Misalkan sebuah persegi panjang yang dibatasi

oleh empat garis lurus x=r, x=s; y=k, y=m, seperti gambardi bawah ini :

Gambar 3.1 Luas Daerah Segi Empat Kecil

Jika semua elemen a dijumlahkan sepanjang y=m, y=k(vertikal) maka akan menghasilkan :

)1.3(.

my

kyxyA

Maka menjadi gambar sbb :

Gambar 3.2 Luas Daerah a Sepanjang Sumbu y

Y

X

y

x

m

k

r s

a

a =y.x

X

m

k

Y

r s

54

Kemudian dijumlahkan sepanjang x=r sampai x=s makamenjadi luas total A sehingga diperoleh :

)2.3(.

sx

rx

my

kyxyA

Maka menjadi gambar sbb :

Gambar 3.3 Luas Daerah Total

Jika y 0, dan x0 maka persamaan di atas menjadi :

)3.3( sx rx my ky dydxABila dihitung maka :

sx rx my ky dydxAdxyA

sx

rx

m

k = dxkmsx rx )(s

rxkmA )( = )).(( rskm Dari gambar di atas maka luas segiempat (mkrs) =(m-k).(s-r). Maka rumus integral rangkap dirumuskan sbb:

dxdyyxfyy

x

x

2

1

2

1

, atau )4.3(),(S

dxdyyxf

X

m

k

Y

r s

55

Atau

dydxyxfxx

y

y 21

2

1

, atau S

dydxyxf ),(

dydxyxfxxxx

yy

yy

2

1

2

1

,

Gambar 3.4 Penyelesaian Integral Ganda

Contoh 32:

2

2

02

2

0

2

0

2

0

2

0

12

0

31

0

22

0

3244

32

)31

31(2

31

)231(0)2

31(

)231()2(

satuan

yydyydy

dyydyy

dyyxxdydxyxo

Contoh 33:

drdrdr

2

2

cos30

22cos3

0

222

2

sin31

sin

12

56

2

2

2

42

2

2

2

2

5323

4,2

sincos151

sincos151

sin1529

)cos(cos9sincos9

satuan

dd

Note : rumus reduksi :

xdxnnn xxxdx n 214

4 cos1sincos

cos

3.2 Aplikasi Integral Rangkap :

3.2.1 Luas Daerah : S

dydxA = S

dxdyyxf ),(

Contoh 34 :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh5

4xy ,sumbu x, dan ordinat pada x=5.

54xy

Gambar 3.5 Luas Daerah y=4x/5 dan x=5

0 5 X

Y

y

x

Luas Elemen :yx .

Luas Pita :

1

0.

yy

y

xy

57

Jumlah semua pita semacam itu sepanjang gambarmemberikan :

5

0

1

0

5

0

1

0

.

.

x

x

yy

y

x

x

yy

y

xy

xyA

Jika y 0, dan x0 maka persamaan di atas menjadi :

2

5

0

2

5

0

5

0

1

0

5

0

5

0

1

0

10)25(52

52

541

satuanx

dxxdxydxy

dxdyAy

y

Contoh 35 :Tentukan luas daerah yang dilingkupi oleh kurva

yang dilingkupi kurva

xy 921 dan 92

2xy )0,0( 21 yy

Pertama-tama kita harus mencari dahulu titik potongnya.Untuk itu 21 yy Sehingga :

819

4xx 02794 xx 0)729( 3 xx

9,0 xx

58Tabel 3.1 Hasil Perhitungan

Gambar 3.6 Grafik Hasil perhitungan

59

Luas daerah :

9

02

9

0

3

9

0

2

9

0 21

9

0

9

0

27275427

2

93

)(

23

21

1

2

1

2

satuanx

x

dxxx

dxyy

dxydxdyAy

y

yy

Cara 2 :Bila diamati dari sumbu y maka persamaan

9

2

2xy menjadi yx 92 , dan xy 921 menjadi 9

2

1y

x dan luas daerah menjadi :

9

02

9

0

3

9

0

2

9

0 12

9

0 1

9

0

27275427

2

93

)(

23

21

2 2

1

satuanyy

dyyy

dyxx

dyxdydxAx

x

x

x

Contoh 36 :Hitunglah luas bidang datar yang dibatasi oleh garis

xy 2 dan lingkaran 422 yx

60

Jawab:

Gambar 3.7 Luas Daerah dibatasi Garis dan Lingkaran

Luas : s

dydxA

Batas ( daerah S)2

21 42 yxyx

dyx

dydxA

yy

y

y

2

0

4)2(

2

0

4

)2(

2

2

|

20

2 24 dyyy

20

221

2124

22sin2

yyyyy

22)0(24

satuan

422 yx

xy 2

x

y

0

20 21 yy

61

3.2.2 Pusat Massa (Titik Pusat)

Gambar 3.8 Pusat Masa

Massa Rk pada titik ),( kYkX adalah:)(),( RkAkYkXm dengan ),( yx adalah

kerapatan (massa per satuan luas) dan k = 1, 2, ...,n.

Total Massa (Rtotal): )(),(1

RkAkYkXmn

k

Jika 0P , maka

s

dRyxm ),(

Bila momen dari tiap massakAkYkXkXRk ),( , maka total momen terhadap

sumbu y adalah kkYkXkXMyn

k

),(

1 dan total

momen terhadap sumbu x adalah

kkYkXkYMxn

k

),(

1 . Sehingga titik berat ),( yx

adalah:

s

),( kkk yxR

kx

ky

y

x

62

s

s

dAyx

dAyxx

m

Myx

),(

),(

; )5.3(

),(

),(

s

s

dAyx

dAyxy

m

Mxy

Contoh 37:Suatu daerah S memiliki kerapatan xyyx ),(

yang dibatasi oleh sumbu x, garis x=8 dan grafik 32xy tentukan pusat massa dan titik berat.

Jawab :

s

x

dxdyxydAxym8

0 0

32

dxxdxxyx

8

0

37

0

8

0

2

21

2

32

6,1535

768103

21

8

0

310

x

dxdyyxdAyxxMys

x 80 0

232

),(

23,94513288,12

21 8

0

310

dxxdxdyyxdAyxyMx

s

x 80 0

232

),(

63

33,3413

102431 8

0

3 dxx

15,66,15333,945

m

Myx 22,2

6,15333,341

m

Mxy

3.2.3 Volume Benda PutarVolume benda putar V yang dibatasi oleh

permukaan ),( yxfz dan alas S [di mana S adalahproyeksi permukaan ),( yxfz terhadap bidang yx atau perpotongan ),( yxfz dengan yx ] adalah:

)6.3(),(s

dydxyxfv

Contoh 38:

1) Hitunglah volume benda yang dibatasi oleh tabungsilinder 222 ayx , z = 0 dan z y = 0.

Jawab:

Gambar 3.9 Volume Benda Putar

64

2221 0 xayy

axax 21

a

a

xa

dxdyyV22

0

dxyV xaa

a

22

02 |

21

33

3222

32

|31

21)(

21

satuana

xxadxxa aaa

a

3.2.4 Momen Inersia :Momen inersia yang dipelajari dari energi kinetik

KE, dari suatu partikel m dan kecepatan v, bergerak padasatu garis lurus adalah 221 mvKE , jika rv Dimana = rad/det maka bila disubsitusikan , menjadi

2221 )( mrKE . Suku mr 2 disebut momen inersia

partikel yang ditandai dengan I. Jadi partikel yangberputar itu,

)7.3(221 IKE Untuk sistem n partikel pada suatu bidang bermasa

nmmm ,....,, 21 dan berjarak nrrr ,....,, 21 dari garis L, makamomen inersia sistem itu terhadap L didefenisikan sebagai

)8.3(... 22222211 kknn rmrmrmrmI

65

Jika suatu lamina dengan kerapatan ),( yx mencakupsuatu bidang S dari bidang xy ( gambar) maka momeninersia dari tiap keping RK, ditambahkan dan ambil limitke rumus berikut. Momen inersia (momen kedua) laminaterhadap sumbu-sumbu x,y dan z diberikan oleh :

)9.3(),()(

),(),(

22

22

Syxz

SSyx

IIdAyxyxI

dAyxxIdAyxyI

Contoh 39:

Tentukan momen inersia terhadap sumbu x,y, dan zuntuk lamina pada suatu daerah S memiliki kerapatan

xyyx ),( yang dibatasi oleh sumbu x, garis x=8 dangrafik 32xy Jawab :

7,70217

49152

614421

71,8777

614441

8

0

8

03/13

033

8

0

8

03/11

033

3/2

3/2

yxz

S

x

y

S

x

x

III

dxxdxdyyxydAxI

dxxdxdyxydAxyI

66

Contoh 40 :Tentukan Ix ,Iy , dan I0 dari daerah yang dibatasi

oleh 0,22 xyx dan 0y .Jawab :

Titik potong garis 22 yx atau xy 22dengan sumbu X adalah x=1

)1(=),(

1

03

38

)1(2

0

1

03

31

1

0

)1(2

0222

dxxdxy

dxdyydAydAyxyI

x

x

SSx

32

)331(10

44132

23

38

1

032

38

xxxx

dxxxx

1

0

10

4413

3132

1

02

)1(2

0

1

02

1

0

)1(2

0222

612)(2

)1(2

),(

xxdxxx

dxxxyx

dydxxdAxdAyxxI

x

x

SSy

65

61

32

0 yx III

3.3 INTEGRAL LIPAT TIGAMisalkan f fungsi dari 3 variabel yang

terdefinisikan melalui suatu kotak B, dimana masing-masing sisinya sejajar dengan sumbu kordinat kartesian.

67

Kotak B tersebut dibagi menjadi kotak yang lebihkecil yang dinyatakan dengan Bk, dimana k = 1, 2,3, . . ., n merupakan suatu partisi-partisi (P)

Jika diambil suatu titik kzkykx ,, danmenjumlahkan seluruh kotak-kotak yang kecil itumaka :

)10.3(),,(),,(10

lim dvzyxfVkkzkykxfB

n

kP

dimana zkykxkVk .. adalah volume dari B

Gambar 3.10 Volume Integral Lipat Tiga

B

dvzyxf ),,( , dinyatakan sebagai integral rangkap tiga(tripel integral)Integral rangkap tiga dapat ditulis :

)11.3(),,( dzdydxzyxfB

Mempunyai pengertian sebagai berikut :

68

i. Pengintegralan pertama dilakukan terhadap xdengan menganggap y dan z konstanta

ii. Pengintegralan kedua, adalah hasil dari (i)diintegralkan terhadap y dengan menganggap zkonstanta

iii. Hasil dari (ii) diintegralkan terhadap z.

Bila volume B disajikan dalam batas-batasintegral, maka bentuk diatas dapat ditulis sebagai berikut :

dzdydxzyxfzyx

zyx

zy

zy

z

z

),,(),(2

),(1

)(2

)(1

2

1

dzdydxyxfxxxx

yy

yy

zz

zz

2

1

2

1

2

1

,

Gambar 3.11 Penyelesaian Integral Lipat Tiga

Dimana batas x1 dan x2 merupakan fungsi dari ydan z, batas y1 dan y2 merupakan fungsi dari z dan batas z1dan z2 adalah suatu konstanta.Catatan : Bila batas x1, x2, y1, y2, dan z1 serta z2 diatas

merupakan konstanta, maka volume Bmerupakan suatu kotak (balok) yang setiapsisinya sejajar dengan salah satu bidangkordinat.

12

3

69

Contoh 41:

1). dzdydxzyx )2(2

0

1

1

3

1

:

3

31

2

3

1

3

1

3

1

11

21

1

3

1

2

0

1

1

223

1

8

)24()1812(24

)44()222()22(

222)242(

22

satuan

zz

dzzdzzz

dzyzyydzdyzy

dzdyxxyx

2). dxdydzzyxxyx

0

23

0

1

0:

3

1

011

1

0

10

0

1

0

55

0

451

0

00

2231

0

1101

)(110

1101

101

21

)21(

satuan

xdxx

dxyxdydxyx

dxdyzyx

xx

xyx

70

3.4 Aplikasi Integral Rangkap Tiga3.4.1 Pusat Massa (titik berat)

Gambar 3.12 Pusat Masa Intergral Lipat Tiga

Massa VzyxB kkkk ,, dengan ),,( zyxadalah kerapatan (massa per satuan volume) padatitik kkk zyx ,, dan k = 1, 2, 3, ... , n.

Total massa B : Vzyxm nk

kkk 1

,,

Jika v

dVzyxmP ,,0

Momen kB pada bidang kkkkk Vzyxzxy ,,

x

y

z

kz

kB),,( kkk zyx

s

xyS

71

xyM adalah momen volume benda terhadap

bidang xy )12.3(),,(

),,(

s

sxy

dVzyx

dVzyxz

m

Mz

yzM adalah momen volume benda terhadap bidang

yz )13.3(),,(

),,(

s

syz

dVzyx

dVzyxx

m

Mx

xzM adalah momen volume benda terhadap bidang

xz )14.3(),,(

),,(

s

sxz

dVzyx

dVzyxy

m

My

3.4.2 Volume Benda

Integral rangkap 3, fungsi ),,( zyxf yaitu: )15.3(,, dzdydxzyxf

v

Bila 1),,( zyxf , untuk semua titik di dalam V,

maka daerah integral rangkap tiga tersebut adalahvolume daerah V, sehingga diperoleh:

dzdydxVv

Contoh 42:

Tentukan letak titik berat zyx ,, dari bendayang dibatasi oleh dua silinder 222 azx dan

72222 azy dalam okt pertama, bila 1,, zyx .

Jawab :

Gambar 3.12 Letak Titik Berat

2221 0 zaxx

2221 0 zayy

azz 21 0

a za za dzdydxm0 0 0

22 22

a za dzdyza0 0

2222

222 azx

222 azy

y

z

x

73

30320

22

32

31

azzadzza aa

a za zaxy dzdydxzM0 0 0

22 22

a za

dzdyzaz0 0

2222

40420

22

41

41

2azz

adzzaz aa

a za zaxz dzdydxyM0 0 0

22 22

a za dzdyzay0 0

2222

dzzay zaa

22

00

222

21

a

a

a

zaza

za

zazdzza

01

422

2

23

22

0

32

22

]sin2

32

3

[81

21

323

223

81 24 aa

a za zayz dzdydxxM0 0 0

22 22

74

a za dzdyza0 0

2222

21

32

321

21

20

22

00

22 2322

a

dzzadzyzaaa

za

2

83

;649

;649

am

Mz

am

Myam

Mx

xyxzyz

2) Hitunglah volume benda yang dibatasi oleh silinder222 ayx bidang z = x dan z = 0

Jawab:

Gambar 3.14 Volume Benda

Batas batas Integral :yzz 21 0

2221 0 xayy

x

y

zyz

0

a

a

75

axx 21 0

a xay

dxdydzV0 0 0

22

2

dxydzdyy xaaa xa

2222

00

2

0 0

22

30320

22

32

31

axxaadxxaa aa

3.5 Tugas

1. Hitung Integral 42 21 40 )2( dzdydxzxy2. Buktikan Integral 0 cos40 16(0

2Z ydzdydxy adalah

)43(964

76

DAFTAR PUSTAKA

Edwin J. Purcell, D. Varberg, 1995, Kalkulus danGeometri Analysis, Erlangga.

Anton. H. , 1995, Calculus, John WilleyK.A. Stroud, 1997, Matematika Untuk Teknik,

Terjemahan Erwin sucipto, Erlangga.Frank Ayres, JR PhD. 1981. Defferential and Integral

Calculus, McGraw-Hill.