Kekontinuan Fungsi

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika

(i) f(a) ada

ada)(lim xfax

(ii)

(iii) )()(lim afxfax

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakan

2

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakantidak kontinu di x=a

a

(i)

ºf(a) tidak ada

f tidak kontinu di x=a

a

(ii)

1L2L

Karena limit kiri(L1) tidaksama dengan limit kanan(L2)maka f(x) tidak mempunyai limitdi x=a

Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a

(iii) ●f(a)f(a) ada

3

(iii)

a

●

º

f(a)f(a) ada

)(lim xfax

L ada

Tapi nilai fungsi tidak sama denganlimit fungsi

Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a

(iv)

a

f(a)

f(a) ada

)(lim xfax

ada

)()(lim afxfax

f(x) kontinu di x=a

4

Ketakkontinuan terhapus

Ketakkontinuan kasus (i) bisa dihapusdengan cara mendefinisikan nilai fungsidititik tersebut = limit fungsia

º

contoh

Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkanalasannya

2

4)(

2

x

xxf

2,3

2,2

4)(

2

x

xx

xxfa. b.

2,1

2,1)( 2 xx

xxxfc.

Jawab :

a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinu

5

a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinudi x=2

b. - f(2) = 3

42lim)2(

)2)(2(lim

2

4lim

22

2

2

x

x

xx

x

xxxx

)2()(lim2

fxfx

-

-

Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidakkontinu di x=2

c. 312)2( 2 f-

- 31lim)(lim22

xxf

xx

31lim)(lim 2

22

xxf

xx

3)(lim2

xfx

)2()(lim2

fxfx

-

6

)2()(lim2

fxfx

-

Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2

Kontinu kiri dan kontinu kanan

Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika

)()(lim afxfax

Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika

)()(lim afxfax

7

ax

Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a

Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi

2,1

2,)( 2 xax

xaxxf

Kontinu di x=2

Jawab :Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah

f kontinu kiri di x=2

)2()(lim2

fxfx

aaxxfxx

2lim)(lim22

1412)2( 2 aaf

8

2 + a = 4a – 1-3a = -3

a = 1

f kontinu kanan di x=2

)2()(lim2

fxfx

1412)2( 2 aaf

141lim)(lim 2

22

aaxxf

xx

Selalu dipenuhi

1. Diketahui

1,22

1,1)(

2

xx

xxxf

selidiki kekontinuan fungsi f(x) di x = -1

Soal Latihan

2. Agar fungsi

21,

1,1

)( xbax

xx

xf

9

2,3 xx

kontinu pada R, maka berapakah a + 2b ?

3. Tentukan a dan b agar fungsi

2,42

2,2

4)(

2

xx

xx

bxaxxf

kontinu di x = 2

Kekontinuan pada interval

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.

Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila :

10

1. f(x) kontinu pada ( a,b )

2. f(x) kontinu kanan di x = a

3. f(x) kontinu kiri di x = b

Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x R maka dikatakan f(x) kontinu ( dimana-mana ).

Teorema 3.2 Fungsi Polinom kontinu dimana-mana Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya Misalkan , maka

f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap.

Contoh : tentukan selang kekontinuan

n xxf )(

11

Contoh : tentukan selang kekontinuan

Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-4>0 atau

x>4.

f(x) kontinu kanan di

x=4

Sehingga f(x) kontinu pada [4, )

4)( xxf

)4(04lim)(lim44

fxxfxx

f xx x

x( )

2 3

3

f xx

x( )

2

34

8

f xx

x( )

| |

2

2

A. Carilah titik diskontinu dari fungsi

Soal Latihan

1.

2.

3.

12

94

1)(

2

x

xxf

24)( xxxf

B. Tentukan dimana f(x) kontinu

1.

2.