TEOREMA DASAR KALKULUS

Luthfi Ardiansyah

(3115111176)

PendahuluanKalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil" untuk menghitung)

adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan

deret tak terhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana

geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai

pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki

aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat

memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar

elementer.

Kalkulus pertama kali dikembangkan oleh Issac Newton pada abad 17 di

Inggris dan pada waktu yang bersamaan juga dikembangkan oleh Leibniz

(1646 – 1716) di Jerman. Penelitian mereka yang dilakukan secara terpisah

tersebut menghasilkan kesimpulan yang sama yaitu Hal-hal yang dipelajari

berhubungan dengan laju perubahan dan luas daerah. Perhitungan ini

kemudian dikembangkan lebih lanjut dan memunculkan teorema-teorema dasar

yang mendasari kalkulus.

Teorema dasar kalkulus menjelaskan relasi antara dua operasi pusat

kalkulus, yaitu pendiferensialan (differentiation) dan pengintegralan (integration)

yang identik dengan pembahasan limit. Dalam kehidupan sehari-hari kita pernah

mendengar kalimat-kalimat, misalnya: kendaraan itu hampir menabrak orang

yang sedang berjalan. Kata-kata “hampir”, “mendekati” dan sebagainya dapat

dijelaskan dengan pengertian limit dalam matematika. Pengertian limit fungsi

merupakan konsep dasar yang banyak digunakan dalam kalkulus, khususnya

dalam hitung diferensial. Kita telah mengenal konsep limit yang sudah kita

pelajari yaitu

Definisi Pengertian limit berarti bahwa jika x mendekati c, maka f

( x ) mendekati L dan f (c) tidak perlu ada serta x tidak perlu sama dengan c. atau dapat dikatakan Jika untuk setiap bilangan positif ɛ (epsilon), bagaimanapun kecilnya akan didapat bilangan positif δ (delta) sehingga f (x) − L < ɛ dipenuhi oleh 0 < x − c < δ

Sedangkan konsep turunan diperkenalkan oleh Isaac Newton (1642 –

1727) ketika ia menentukan perbandingan perubahan benda yang bergerak

dalam ilmu mekanika. Suatu benda yang bergerak selalu menggunakan waktu,

dikatakan bahwa benda yang bergerak itu merupakan fungsi dari pada waktu.

Proses tersebut dikenal dengan differensiasi, dan hasilnya disebut turunan.

Definisi secara umum turunan: Misalkan f fungsi dengan daerah definisi D yang mengandung suatu interval terbuka yang memuat titik x , maka f ′( x )

ditentukan oleh :

Sedangkan konsep integral lebih dikenal invers dari diferensial atau anti

turunan yaitu menentukan suatu fungsi jika diketahui turunannya. Integral

merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas

wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu

fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi

dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang

digunakan untuk menyatakan integral adalah , seperti huruf S yang memanjang

(S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan). Integral adalah satu dari dua

operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul

dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus

berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi

diferensiasi

PEMBAHASAN

Teorema Dasar Kalkulus Pertama

Bagian pertama dari teorema dasar kalkulus menunjukkan bahwa sebuah

integral taktentu dapat dibalikkan menggunakan pendiferensialan. Teorema dasar

kalkulus pertama ini dipublikasikan Isaac Barrow membuktikan versi umum

bagian pertama teorema ini, sedangkan anak didik Barrow, Isaac Newton (1643-

1727) menyelesaikan perkembangan dari teori matematika di sekitarnya. Gottfried

Leibniz (1646–1716) mensistematisasi ilmu ini menjadi kalkulus untuk kuantitas

infinitesimal.

Teorema Dasar Kalkulus Pertama: Anggaplah f kontinu pada selang tertutup[a,b] dan anggaplah x sebagai sebuah titik (peubah) pada (a,b), Maka

Pembuktian Teorema :

Andaikan Misalkan terdapat dua bilangan x1 dan x1 + Δx pada

[a, b]. Sehingga didapatkan dan

Pengurangan kedua persamaan di atas menghasilkan

Bisa ditunjukan bahwa

(Jumlah dari luas wilayah yang bersampingan sama dengan jumlah kedua wilayah

yang digabungkan.)

Dengan memanipulasi persamaan ini, kita dapatkan

Substitusikan persamaan di atas ke (1), sehingga

Menurut teorema nilai antara untuk pengintegralan, terdapat sebuah c pada [x1, x1

+ Δx] sehingga

Substitusikan persamaan di atas ke (2), kita dapatkan

Bagi kedua sisi dengan Δx, menghasilkan

Perhatikan pula ekspresi pada sisi kiri persamaannya adalah hasil bagi beda

Newton untuk F pada x1.

Dengan mengambil limit Δx→0 pada kedua sisi persamaan:

Ekspresi pada sisi kiri persamaan adalah definisi turunan dari F pada x1.

Untuk mencari limit lainnya, kita gunakan teorema apit. c ada pada interval

[x1, x1 + Δx], sehingga x1 ≤ c ≤ x1 + Δx.

Juga, dan

Sehingga menurut teori apit,

Substitusikan ke (3), kita dapatkan

Fungsi f kontinu pada c, sehingga limit dapat diambil di dalam fungsi. Oleh

karena itu, kita dapatkan dapat ditulis yang

menyelesaikan pembuktian.

Teorema Dasar Kalkulus Kedua

Bagian kedua disebut sebagai teorema dasar kalkulus kedua, mengijinkan

seseorang menghitung integral tertentu sebuah fungsi menggunakan salah satu

dari banyak antiturunan. Bagian teorema ini memiliki aplikasi yang sangat

penting, karena ia dengan signifikan mempermudah perhitungan integral

tertentu.

Teorema Dasar Kalkulus Kedua: Anggaplah f kontinu (dan terintegrasikan) pada selang tertutup[a,b] dan anggaplah F sebarang anti turunan f pada [a,b], Maka

Pembuktian Teorema :

Misalkan terdapat sebuah himpunan berhingga E di dan fungsi

memenuhi:

(a)

(b) ,

(c)

Maka diperoleh

(1)

Bukti. Kita akan membuktikan teorema ini, dimana E . Secara umum

dapat diperoleh dengan mengubah interval ke dalam gabungan dari suatu interval

bilangan terbatas.

Diberikan , karena diasumsikan ada sedemikian

sehingga jika adalah suatu tag partisi dengan , maka

(2) .

Dimana titik di atas menunjukkan bahwa tag telah dipilih untuk setiap sub

interval.

dan , merupakan

jumlah Riemann dari fungsi

Jika subinterval dalam adalah , maka dengan menggunakan Teorema

Nilai Rata-Rata 6.2.4 untuk pada menyatakan bahwa ada

sedemikian sehingga

untuk i = 1, … , n.

Teorema Nilai Rata-Rata 6.2.4

Jika kita menambahkan bentuk ini, dilihat dari jumlah dan bukti yang ada bahwa

, maka kita peroleh

Sekarang, misalkan , jadi jumlah pada persamaan kanan

. Jika kita substitusi pada persamaan (2), dapat

disimpulkan bahwa

Namun, karena berubah-ubah, maka kita dapat mengambil kesimpulan

bahwa persamaan (1) berlaku.

KESIMPULAN

1. Kalkulus adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan,

integral, dan deret tak terhingga.

2. Teorema dasar kalkulus menjelaskan relasi antara dua operasi pusat

kalkulus, yaitu pendiferensialan (differentiation) dan pengintegralan

(integration)

3. Teorema dasar kalkulus pertama menunjukkan bahwa sebuah integral

taktentu dapat dibalikkan menggunakan pendiferensialan

4. Teorma dasar kalkulus kedua mengijinkan seseorang menghitung integral

suatu fungsi tertentu menggunakan salah satu dari banyak antiturunannya

DAFTAR PUSTAKA

Purcell, Edwin J, Varberg, Dale dan Rigdon, Steven E. 2003. Kalkulus Edisi 8. Jakarta: Erlangga

Bartle, Robert Gardner. 1927. Introduction to Real Analysis. John Wiley & Sons, Inc. USA.

http://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_dasar_kalkulus