F suatu anti turunan f pada selang I jika DxF(x) = f(x) pada I,

yakni jika F’(x) = f(x) untuk semua x dalam I

Aturan Pangkat

Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali –1, maka Cr

xdxx

r

r

1

1

BAB V

INTEGRAL

5.1. Anti Turunan (Integral Tak Tentu)

Contoh 1. Carilah suatu anti turunan fungsi f(x) = 3x2 pada (– , ) !

Jawab: F(x) = x3 + konstanta, jadi F(x) = x

3 + C

Contoh 2. Carilah anti turunan dari :

f(x) = 2x +5

g(x) = x4

h(x) = 2x + sin x

Jawab :

F(x) = x2 + 5x + C

G(X) = 5

1x + C

H(x) = 2ln

2x

+ cos x + C

integrand

Notasi Leibniz dx

Meng-integralkan = anti penurunan

6

–5

1/3

Sifat kelinieran. Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan k

suatu konstanta. Maka :

1) dxxfkdxxkf )()(

2) dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

3) dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

Contoh :

1. dxxx )3( 2 =

2. dxxxx )74( 23 =

3. dxxx 22 )3( =

RUMUS DASAR

Ckxkdx

1,1

1

nCn

xdxx

n

n

Cxdxx

ln1

Ca

adxa

x

x ln

Cedxe xx

Cxxdx sincos

Cxxdx cossin

Ctgxxdx 2sec

Cgxxdxec cotcos 2

Cecxgxdxecx coscotcos

Cxxtgxdx secsec

Cx

Cxdx

x arccos

arcsin

1

12

Cx

Cxdx

x arctan

arctan

1

12

Cecx

Cxarcdx

xx arccos

sec

1

12

Teorema (Aturan Pangkat yang Dirampatkan)

Andaikan g suatu fungsi yang dapat dideferensialkan dan r suatu bilangan rasional serta

r ≠ – 1, maka

Cr

xgdxxgxg

r

r

1

)()(')(

1

Contoh :

xdxx 72 )4( =

u = x2+4

du = 2x dx

xdxx 72 )4( =

=

Latihan Soal p.307 No. 1 – 18, 19 – 24, 27 – 31

5.2. Pengantar Persamaan Diferensial

dxxf )( = F(x) + C

)(xdF = F(x) + C

Persamaan diferensial adalah sebarang persamaan yang tidak diketahui berupa

suatu fungsi yang melibatkan turunan / diferensial dari fungsi yang tidak diketahui

tersebut.

xdx

dy2 persamaan diferensial

Contoh 1. 2

23

y

xx

dx

dy

y2 dy = (x + 3x

2) dx y

2 dy = (x + 3x

2) dx = …………………

= …………………

Bagaimana jika diketahui y = 6 untuk x = 0

Latihan Soal p. 317, No. 5 – 14

5.3. Notasi Jumlah dan Sigma

Sifat-sifat

1)

n

ii

n

ii

acca11

2)

n

ii

n

ii

n

iii

baba111

3)

n

ii

n

ii

n

iii

baba111

Bukti :

1)

n

ii

ca1

n

cacaca 21

=

=

Buktikan 2) dan 3) !

Rumus Jumlah Khusus

n

i

i1

= 1 + 2 + + n = 2

)1( nn

n

i

i1

2 = 12 + 2

2 + + n

2 =

6

)12)(1( nnn

n

i

i1

3 = 13 + 2

3 + + n

3 =

2

2

)1(

nn

n

i

i1

4 = 14 + 2

4 + + n

4 =

30

)196)(1( 23 nnnnn

Contoh 1.

1.

7

1i

i =

2.

7

1

2

i

i =

3.

7

1

4

i

i =

4.

7

1

)5(2i

ii =

Carilah rumus untuk

n

i

ii1

)34)(1( =

Latihan Soal p. 326 No. 3, 5, 4, 6, 17, 18, 19, 27, 28, 30

5.4. Pendahuluan Luas

Masalah garis singgung turunan

Masalah luas integral tentu

Polygon = gambar tertutup di bidang yang dibatasi oleh ruas – ruas garis lurus.

Polygon dalam

p1 p2 pn

luas lingkaran adalah limit untuk n dari luas – luas Pn

L(F) = luas suatu daerah F

L(lingkaran) = n

lim L(Pn)

Polygon luar

Luas menurut polygon dalam

y y = f(x) = x2

Rn

0 x

x = 0 dan x = 2 partisi selang [0,2] menjadi n bagian

f(xi) xi = i x dengan x = 2/n

L(Rn) = f(x0) x + f(x1) x + + f(xn-1) x

f(xi) x =

L(Rn) =

Jadi L = n

lim

Luas menurut polygon luar

Y y = x2

Sn

0 x

L(Sn) = f(xi) x + f(x1) x + + f(xn) x

L(Sn) =

Jadi L = n

lim

Latihan Soal p.336 No. 1,3,5,6

5.5. INTEGRAL TENTU

a. Jumlah Riemann

Jumlah Riemann ( Rp ) didefinisikan dengan :

i

n

iip

xxfR

.1

Dengan : f adalah sebarang fungsi (tidak harus kontinu)

ix = xi – xi-1

ix merupakan sebarang titik sampel pada selang ix

Contoh :

Hitung jumlah Riemann Rp dari

f(x)=(x + 1)(x – 2)(x – 4) = x3 – 5x

2 + 2x + 8

pada selang [0,5] dengan menggunakan partisi P dengan titik-titik partisi

0 < 1,1 < 2 < 3,2 < 4 < 5 dan titik-titik sampel 5,01 x , 5,12 x ; 5,23 x ; 6,34 x ;

55 x

Jawaban:

Titik-titik partisi : 0 < 1,1 < 2 < 3,2 < 4 < 5, sehingga

1,101,11

x

9,01,122

x

2,122.33

x

8,02,343

x

1455

x

Gambar 5.5.

f(x) = x3 – 5x

2 + 2x + 8

0,5 1,1 1,5

2

2,5 3,2 3,6

4 5

i

iip

xxfR

.5

1

5544332211

..... xxfxxfxxfxxfxxf

158,06,32,15,29,05,11,15,0 fffff

Rp = 23,9698

b. Definisi Integral Tentu

b

a

dxxf disebut integral tentu f dari a ke b didefinisikan sebagai berikut:

b

a

n

iii

P

xxfdxxf10

.lim

Pada penghitungan integral tentu, dapat digunakan suatu partisi teratur pada selang

[a,b] yaitu n

abx

dan dengan mengambil titik sampel ix dalam cara yang mudah.

c. Fungsi-fungsi Yang Dapat Diintegralkan

Teorema A (Teorema Keintegralan)

Jika f terbatas pada [a,b] dan ia kontinu di sana kecuali pada sejumlah terhingga titik,

maka f terintegralkan pada [a,b]. Khususnya, jika f kontinu pada seluruh selang [a,b],

maka ia terintegralkan pada [a,b].

Fungsi-fungsi yang terintegralkan pada selang [a,b] antara lain :

1. Fungsi polinom

2. Fungsi sinus dan cosinus

3. Fungsi rasional, dengan syarat [a,b] tidak memuat titik-titik yang membuat

penyebut “0“

d. Penghitungan Integral Tentu

Penghitungan integral tentu dilakukan dengan menggunakan partisi yang sama panjang

dan mengambil titik sampel xi yang mudah.

Contoh :

Hitung

3

2

3 dxx

Jawab :

Selang [-2 , 3] sehingga x0 = -2 dan xn=3, dan selang [-2,3] dapat dipartisikan menjadi n

bagian yang sama panjang, yaitu dengan panjang

nnx

523

x0=-2

x1=x0 + x = -2 + x = -2+n

5

x2=x1 + x = (-2 + x) + x =-2 + 2.x= -2+2(n

5)

..................................................................................

..................................................................................

..................................................................................

xi=xi-1 + x = -2 + i.x = -2+i(n

5)

..................................................................................

.................................................................................

..................................................................................

xn=xn-1 + x = -2 + n.x = -2+n(n

5) = 3

f(x) = x + 3

f(xi) = xi + 3 = [ -2 + i(n

5)] + 3 = 1 + i(

n

5)

n

iii

xxf1

. =

n

ii

xxf1

.

= nn

in

i

5.

51

1

=

n

i ni

n12

255 =

2

11

255

ni

n

n

i

n

i

=

=

n

i

n

i

inn 1

21

251

5 =

2

125.

52

nn

nn

n =

2

1

2

255

n

nn

b

a

n

ii

P

xxfdxxf10

.lim , nberartiP 0 sehingga

b

a

dxxf = i

n

ii

n

xxf

.1

lim

=

n

n

n

1

2

255lim =

2

35

Latihan Soal 5.5 p 346 – 347 No. 12, 14, 16 18, 20, 21, dan 23

5.6. TEOREMA DASAR KALKULUS

Teorema A (Teorema Dasar kalkulus)

Jika f kontinu pada [a,b] dan F sebarang anti turunan dari f, maka

b

a

aFbFdxxf

Contoh :

Buktikan 1

11

r

abdxx

rrb

a

r , untukk 1r

Jawab :

1.1

1

rr x

rxFxxf

1

1

1

ra

raF

1

1

1

rb

rbF

b

a

aFbFdxxf

b

a

dxxf 1

1

1

rbr

- 1

1

1

rar

b

a

rr

r

abdxxf

1

11

Teorema B (Kelinearan Integral Tentu)

Andaikan f dan g terintegralkan pada [a,b] dan k merupakan suatu konstanta maka kf

dan f + g akan terintegralkan juga dan :

(1) b

a

b

a

xfkdxxfk.

(2) b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf

Sebagai akibat dari (1) dan (2) diperoleh

(3) b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf

Contoh :

Hitung dxxx

2

1

264

Jawab :

dxxx

2

1

264

2

1

2

2

1

64 dxxdxx

2

1

32

1

2

36

24

xx

3

1

3

86

2

1

2

44 = – 12

Latihan Soal p 355 – 356 No. 2, 4, 16, 18, 22, 24, 26, 32, 34, dan 44

5.7. SIFAT-SIFAT INTEGRAL TENTU LEBIH LANJUT

R

a c

f(x)

x

y

a c

f(x)

x

y

b

R1 R2

Luas daerah R merupakan gabungan luas daerah R1 dan luas daerah R2 .

2121

RARARRARA

Yang menyatakan bahwa b

a

c

b

c

a

dxxfdxxfdxxf

Teorema A (Sifat Penambahan Selang)

Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a,b dan c maka

b

a

c

b

c

a

dxxfdxxfdxxf

dengan urutan a,b dan c bebas.

Contoh :

Hitunglah dxx2

0

2

Jawaban :

(4) dxx2

0

2 =

2

0

3

3

x=

3

8

(5) dxx2

0

2 = 1

0

2

1

22 dxxdxx

=

1

0

3

3

x+

2

1

3

3

x

=

3

1

3

8

3

1 =

3

8

dxx2

0

2 = 3

0

2

3

22 dxxdxx

3

0

3

3

x+

2

3

3

3

x

=

3

27

3

8

3

27=

3

8

Teorema B (Sifat Pembandingan)

Jika f dan g terintegralkan pada [a,b] dan jika xgxf untuk semua x dalam [a,b]

maka

b

a

b

a

dxxgdxxf

Teorema C (Sifat Keterbatasan)

Jika f terintegralkan pada [a,b] dan jika Mxfm untuk semua x dalam [a,b] maka

b

a

abMdxxfabm

Teorema D (Pendiferensialan Suatu Integral Tentu)

Andaikan f kontinu pada [a,b] dan x adalah titik variabel dalam (a,b) maka

xfdttfDx

a

x

Contoh :

1.

x

xdttD

1

2

Jawab :

(1) 3

1

33

3

11

3

2

xtdtt

xx

x

xdttD

1

2

3

1

3

3xD

x

x

xdttD

1

2 2x

(2) Dengan Teorema D

x

xdttD

1

2 2x

2.

x

xdttD

2

1

2

Jawab :

(1)

3

1

3

8

3

1

3

2

3

332

1

2

1

3

2

xxtdtt

xx

x

xdttD

1

2

3

1

3

8 3xD

x

x

xdttD

1

2 28x

(2) Dengan Teorema D

uDtDtDxux

.

Misal 22 uDmakaxux

uDtDtDxux

.

x

xdttD

2

1

2 = uDdttDx

u

u.

1

2

= 2.2u

= 2.22

x

x

xdttD

2

1

2 = 28x

Teorema E (Teorema Nilai Rata-rata Untuk Integral)

Jika f kontinu pada [a,b] maka terdapat suatu bilangan c antara a dan b

sedemikian sehingga

b

a

abcfdttf .

Sehingga

ab

dttf

cf

b

a

Untuk selanjutnya f(c) disebut nilai tengah atau nilai rata-rata.

Latihan Soal p365 – 366 No. 2, 4, 8, 12, 16 18, dan 30

5.8. BANTUAN DALAM PENGHITUNGAN TENTU

Metode Substitusi

dxxf = cxF

duuf = cuF

xgdxgf = cxgF

dxxgxgf '. = cxgF

Contoh :

dxxx )4sin( 2

Jawab :

Misal u = x2 + 4

du =2x dx atau dxxdu 2

1 sehingga ;

dxxx )4sin( 2 = duu2

1.sin = duusin.

2

1 = cu cos

2

1

= cx 4cos2

1 2

Teorema B (Substitusi dalam Integral Tentu)

Andaikan g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan andaikan f kontinu

pada daerah nilai dari g, maka

b

a

bg

ag

duufdxxgxgf '.

Teorema C (Teorema Simetri)

Jika f fungsi genap maka

a

a

a

dxxfdxxf0

2

Jika f fungsi ganjil maka

a

a

dxxf 0

Teorema D

Jika f periodik dengan periode p, maka

pb

pa

b

a

dxxfdxxf

Latihan Soal p 375 – 376 No. 4, 10, 12, 14, 16, 18, 42, 48, dan 50