kalkulus

KALKULUS 1KELOMPOK 3

120401108 JAMES SINAMBELA

120401111 ZYKRIE YUDHI

120401109 ISRA HUTAHURUK

120401110 IMMANUELSIMANULLANG

120401112 JULHARI RITONGA

PENGGUNAAN INTEGRAL TENTU

Luas Daerah Yang Dibatasi Sebuah KurvaMisalkan y = f(x) sebuah

persamaan kurva yang membatasi daerah pada bidang rata xy dan kontiinu serta f(x) x [a, b]. Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x), x = a, x = b dan garis y = 0, dapat ditentukandengan integral tentu yaitu

Contoh :

Tentukan luas daerah R yang dibatasi kurva y = 2x2 – 8, garis x = -1, x = 2, x = 3 dan sumbu-x. Seperti pada gambar berikut :

Penyelesaian :

Catatan :Jika y = f(x) kontinu dan negatif pada [a,b], maka luas daerah yang dibatasi kurva y = f (x) adalah . Seperti padaa contoh diatas y = f(x) = 2x2 – 8, garis x = -1, dan x = 2, fungsi f berarti bernilai negatif.

Defenisi

Misalkan fungsi f kontinu pada [a,b]. Luas yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dan sumbu-x, garis x = a, dan garis x = b adalah :

Contoh :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva , sumbu x, garis x = 0, dan garis x = 4.Penyelesaia

n :

Contoh :

Carilah luas daerah yang dibatasi oleh f(x) = x3 – 4x2 – x + 3, sumbu x, garis x = -1dan x = 3.

Penyelesaian :

Kurva f(x) = x3 – 4x2 – x + 3 memotong sumbu x di x= -1, x = 1 dan x =3.f(x) ≥ 0 pada [-1,1] dan f(x) ≤ 0 pada [1,3].Karena kita dapat membagi daerah yang dicari atas dua bagian, misalkan L 1 merupakan luas daerah pada interval [-1,1] dan L2 merupakan luas daerah pada interval [1,3]. Maka kita peroleh,

DAN

Jadi, L = L1 + L2 maka,

Luas Daerah Antara Dua KurvaJika f dan g dua fungsi yang kontinu dan jika f(x) ≥ g(x),∀x ∈ [a,b], maka luas daerah yang terbatas diatas oleh y = f(x), dan terbatas dibawah y = g(x) serta dibatasi kiri oleh garis x = a dan dibatasi kanan geris x = b ditentukan dengan

CATATAN !

Perlu untuk diperhatikan bahwa rumus hanya tergantung pdaa kekontinuan f dan g, serta asumsi bahwa g(x) ≤ f(x), ∀x ∈ [a,b].Grafik f dan g dapat ditempatkan sebarang dengan berpatokan pada sumbu x.

Contoh :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = , y = -x + 6 dan garis y = 1 dan sketsa grafiknya.Penyelesaia

n :

Titik perpotongan antara kurva y = dengan garis y = -x + 6 adalah dititik (4,2). Perpotongan kurva = , dan y = -x + 6 dengan garis y = 1 adalah titik (1,1) dan titik (5,1). Batas atas daerah yang dimaksud dua bagian

yaitu y = bila saat 1≤x≤4 dan y = -x +6 dan bila saat 4≤x≤5. Sehingga daerah perlu dibagi menjadi dua

bagian R1 dan R2.

Dengan demikian luas daerah yang dimaksud adalah,

Contoh :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva y = x2 dan y = 4x – x2.

Penyelesaian :

y1 = y2

2x2 – 4x = 02x ( x – 2 ) = 0x = 0 dan x = 2

jadi titikpotong kedua kuva adalah (0,0) dan (2,4). Berikutnya perhatikan bahwa (4x – x2) ≥ x2 , ∀x ∈ [0,2], naka kita peroleh,

Volume benda putar

Ada 3 metode menghitung volume benda putar dengan menggunakan integral, yaitu:

1. Metode cakramberdasarkan rumus Volume = Luas Alas ×

tinggiLuas Alas selalu berupa lingkaran sehingga

Luas Alas = πr2 (r adalah jari-jari putaran)digunakan jika batang potongan yang dipilih tegak lurus dengan sumbu putar

Volume benda putar

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi

kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi

sumbu x sejauh 360º.

Contoh. 1

Langkah penyelesaian:

1. Gambarlah daerahnya

2. Buat sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

y

2x

12 x

x

12 xy

1

y

h=x

x

x

12 xr

x

Jawab

y

h=x

x

x

12 xr

dxxV 2

0

22 )1(

dxxxV 2

0

24 )12(

20

3325

51 xxxV

1511

316

532 13)02( V

dxrV 2

0

2

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi

kurva y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh

360º.

Contoh. 2



2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk

partisi

2

yy

2xy

x

y

y

x

y

h=y

y

yr

Jawab

dyyV 2

0

2

02

21yV

)04(21 V

x

y

h=y

y

yr

2

dyyV 2

0

2V

dxrV 2

0

2

Menghitung volume benda

putar dengan menggunakan

metode cincin dilakukan

dengan memanfaatkan

rumus volume cincin seperti

gambar di samping, yaitu V=

(R2 – r2)h

hr

R

Gb. 5

2. Metode cincin

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang

dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi

sumbu x sejauh 360º.

Contoh . 3



2. Buat sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4

y

y = 2x

2

2xy

x

x

x

x2

2x

y

x

Jawab

y

x

4

y

y = 2x

2

2xy

x

x

x

r=x2

R=2x

V = (R2 – r2) h

dxxxV 2

0

42 )4(

20

5513

34 xxV

)( 532

332 V

)( 1596160V

1564V

3. Metode Kulit Tabung

rr

h

h

2rΔr

V = 2rhΔr

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang

dibatasi kurva y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar

mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Contoh. 4



2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk

partisi.

.

0

x

1 2x

x

2xy

x2

y

1

2

3

4

Jawab

0

x

1 2x

x

2xy

x2

y

1

2

3

4

r = xx

h = x2

0

x

1 21 2

y

1

2

3

4

dxxV 2

0

32

2

0

4412 xV

8V

V 2rhx

V 2(x)(x2)x

Jika daerah pada contoh ke-4 tersebut dipartisi secara

horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y,

maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda

putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai

berikut.

0

x

1 2-2

-1

y

1

2

3

4

dxyV 4

04

4

0

2214 yyV

)816( V

8V

0

x

1 2x

2xy y

1

2

3

4

y r=x

R = 2

kalkulus

Education