UNIVERSITAS NEGERI JAKARTAPRODI Pendidikan Teknik Mesin S-1

Tahun Akademik 2013/2014, semester 099

KALKULUS – IOLEH:

Prof. Dr. G. Margono, M.Ed.H. Wardoyo, MT.

Sistem Bilangan Real Pada bagian ini, perlu diingatkan kembali pada konsep himpunan

Himpunan merupakan sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota (elemen) S.

Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong, ditulis dengan notasi atau { }.

Jika a merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan dan dibaca “a elemen S”. Jika a bukan anggota himpunan S, maka dituliskan dan dibaca “a bukan elemen S”

Pada umumnya, sembarang himpunan dapat dinyatakan dengan 2 cara:1. Mendaftar seluruh anggotanya. Sebagai contoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-

unsur 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 dapat dinyatakan sebagai:

2. Menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. Apabila himpunan A di atas dinyatakan dengan cara ini, maka dapat ditulis:

}10darikurangpositifbulatbilangan{ xxA

SaSa

}9,8,7,6,5,4,3,2,1{A

Sistem Bilangan Real (lanjutan)

Himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis , jika setiap anggota A merupakan anggota B. Sehingga untuk sembarang himpunan A.

Himpunan semua bilangan asli adalah . Himpunan ini tertutup terhadap operasi penjumlahan dan operasi pergandaan, artinya dan untuk setiap .

Oleh karena itu, himpunan semua bilangan asli membentuk suatu sistem dan biasa disebut sistem bilangan asli.

Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan bilangan-bilangan bulat negatif membentuk sistem bilangan bulat, ditulis dengan notasi Z,

Bilangan rasional adalah bilangan yang merupakan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli. Himpunan semua bilangan rasional ditulis dengan notasi Q,

...,3,2,1,0,1,2,3..., Z

NZQ bab

adan:

BAA

...,3,2,1NN yx

Nyx. Nyx,

Sistem Bilangan Real (lanjutan)

Dalam kehidupan nyata seringkali dijumpai bilangan-bilangan yang tidak rasional. Bilangan yang tidak rasional disebut bilangan irasional. Contoh-contoh bilangan irasional antara lain adalah dan

Bilangan adalah panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegaknya masing-masing adalah 1 (lihat Gambar 1)

Sedangkan bilangan merupakan hasil bagi keliling sembarang lingkaran terhadap diameternya (Gambar 2).

Himpunan semua bilangan irrasional bersama-sama dengan bilangan rasional Q membentuk himpunan semua bilangan real R

2

2

2

1

1

2

2

1

1

d

l

d

ld1

l1 l2d2

Sifat-sifat Sistem Bilangan RealA. Sistem Bilangan Real• “Bilangan Real terdiri dari bilangan rasional dan

irasional yang dinyatakan dengan cara desimal”

• A.1. Sifat-sifat Bilangan Real• 1. Sifat Komulatif• (i). a + b = b + a• (ii). a.b = b.a

• 2. Sifat Asosiatif• (i). a + (b+c) = (a+b) + c = a + b + c • (ii). a.(b.c) = (a.b).c = a.b.c

3. Sifat Distributif (i) a.(b+c) = (a.b) + (a.c)

4. (i) = a. , b≠0

(ii) + = , b≠0, d≠0

(iii) . = , b≠0, d≠0

5. (i) a.(-b) = (-a).b = -(a.b) (ii) (-a).(-b) = a.b (iii) -(-a) = a

b

a

d

c

db

ca

.

.b

a

d

c db

cbda

.

..

b

1b

a

6. (i) = 0, untuk setiap bilangan a≠0.

(ii) Tak terdefinisikan.

(iii) =1

7. Hukum Kanselasi (i) Jika a.c = b.c dan c≠0 maka a=b

(ii) Jika b=c dan d ≠ 0 maka

8. Sifat pembagi nol (i) Jika a.b=0 maka a=0 atau b=0

a

0

0

a

a

a

d

a

db

ca

.

.

Relasi Urutan• Himpunan semua bilangan real dapat dibagi menjadi 3 himpunan bagian tak

kosong yang saling asing: • (i). Himpunan semua bilangan real positif; • (ii). Himpunan dengan bilangan 0 sebagai satu-satunya anggota; dan • (iii). Himpunan semua bilangan real negatif.• Bilangan a dikatakan lebih besar dari b (ditulis a>b) jika b<a.• Bilangan a positif jika dan hanya jika a>0 .• Bilangan a negatif jika dan hanya jika a<0.• Jika a kurang dari atau sama dengan b, maka ditulis . Jika a lebih dari atau

sama dengan b, maka ditulis .• Berikut ini adalah beberapa sifat yang sangat penting untuk diketahui. Untuk

sembarang bilangan real a, b, dan c:1. Jika maka untuk setiap bilangan real c.2. Jika maka .3. a. Jika dan maka .b. Jika dan maka .

ba ba

ba cbca

cbba dan ca

ba 0c cbca ..

0c cbca .. ba

– . Jika maka .• b. Jika maka .

– Untuk sembarang bilangan real a dan b berlaku tepat satu:

• 6. Jika maka: .

0a 01

a

ba 0 ab

11

bababa atau,,

0, ba bababa 22