kalk_i (3)

Bab I Bilangan, Variabel, Fungsi

BAB IBILANGAN, VARIABEL, FUNGSI

1.1 BILANGAN RASIONAL

Bilangan adalah salah satu konsep dasar dari ilmu matematika. Seluruh bilangan seperti 1, 2, 3,…….disebut bilangan bulat positif ; adalah bilangan yang paling sering digunakan dalam menghitung. Lawannya bilangan negatif -1, -2, -3 .......... disebut bilangan bulat negatif; ini bisa digunakan misalnya dalam menunjukkan temperatur dibawah nol (dalam drajat). Dilain pihak, bilangan 0 (nol) bukan positif dan bukan negatif.

Bilangan bulat tidak menampung semua kemungkinan bilangan. Pecahan terletak antara dua bilangan bulat. Semua bilangan dan pecahan, positif ataupun negatif, termasuk bilangan 0 disebut bilangan rasional. Pecahan (fraction) dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan p/q dimana p dan q adalah bilangan bulat atau desimal. Sebagai misal, (p/q) 5/7, atau (desimal)1,25 = 5/4. Kita memiliki bilangan-bilangan pecahan positif 2/3, 5/4, 7/3,........... dan bilangan-bilangan pecahan negatif -2/3, -1/2, dan sebagainya. Secara khusus bilangan bulat bisa digolongkan pechan bila pembaginya adalah angka 1, misalnya, 6 = 6/1, 0 = 0/1.

Kesimpulan, seluruh bilangan bulat dan kumpulan seluruh bilangan pecahan bersama-sama membentuk kumpunan seluruh bilangan rasional. Bilangan irasional ialah semua bilangan yang tidak dapat ditunjukkan sebagai perbandingan dua bilangan bulat. Sebagai contoh adalah bilangan desimal yang tidak berulang dan tidak berakhir. Lainnya adalah konstanta istimewa yang juga merupakan desimal tidak berulang dan tidak berakhir, sebagai ciri seluruh bilangan irrasional.

Kumpulan bilangan-bilangan rasional dan irasional membentuk pasangan bilangan nyata Untuk bilangan nyata x dan y mempunyai satu, dan hanya satu hubungan sebagai berikut :x <y, x = y, x>y.

Bilangan nyata bisa dilukiskan sebagai titik-titik dalam satu skala bilangan seperi pada Gambar 1.1 berikut :

Gambar 1.1.

Satu skala bilangan adalah satu garis lurus dengan panjang tak terbatas dimana dipilih satu titik O tertentu yang diberi nama pusat, satu arah positif yang diberi tanda panah, dan satu satuan panjang yang sesuai. Biasanya skala bilangan dibuat horisontal dan arah positif diambil dari kiri kekananBila bilangan adalah positif ia digambarkan sebagai titik pada suatu jarak

kearah kanan dari pusat O; apabila bilangan adalah negatif, ia digambarkan

1


sebagai titik kearah kiri dari O sejarak . Titik O mewakili bilangan 0. Jelas terlihat bahwa tiap bilangan nyata diwakili oleh satu titik tetap pada skala bilangan.Pernyataan berikut adalah juga benar; tiap titik pada skala bilangan mewakili hanya satu bilangan nyata (rational atau irational).Singkatnya, semua bilangan nyata dan semua titik pada skala bilangan mempunyai relasi satu ke satu; tiap bilangan hanya sesuai untuk satu titik, dan sebaliknya., tiap titik hanya ada satu bilangan. Ini sering memungkinkan kita menganggap dalam fikiran ”bilangan x” dan ”titik x” adalah pernyataan yang sama. Kita akan memperluas dasar ini didalam pelajaran kita. Kita akan menyatakan tanpa pembuktian sifat-sifat penting dari pemasangan bilangan nyata : keduanya bilangan rasional dan irasional mungkin ditemui antara sebarang dua bilangan nyata. Dalam bentuk geomeris, membaca persoalan ini jadi : keduanya titik rasional dan irasional bisa ditemui antara dua titik sebarang pada skala bilangan.Sebagai kesimpulan kita berikan teori berikut : ”Suatu bilangan irasional dapat dinyakan dalam satu tingkat ketelitian tertentu dengan bantuan bilangan rasional”.

Ambllah suatu bilangan irasional dan kemudian kita evaluasi dengan ketelitian

(sebagai misal, dan sebagainya).

Berapapun harga itu, ia terletak antara dua bilangan bulat N dan N + 1. Kita membagi potongan garis antara N dan N + 1 kedalam n bagian; maka akan berada pada bagian

antara bilangan rasional dan . Karena perbedan yang sama dengan ,

masing-masing menyatakan pada tingkat ketelitian yang diberikan, yang pertama terkecil dan yang terakhir terbesar.Misalnya bilang irasional bisa dinyatakan dalam bilangan rasional :

1,4 dan 1,5 untuk satu desimal1,41 dan 1,42 untuk dua desimal1,414 dan 1,415 untuk tiga desimal

1.2 HARGA MUTLAK SUATU BILANGAN NYATA

Mari kita perkenalkan satu konsep yang akan kita perlukan nanti pada harga mutlak satu bilangan nyata.Difinisi. Harga mutlak satu bilangan nyata x (ditulis ) adalah satu bilangan nyata bukan negatif yang sesuai keadaan-keadaan berikut :

| x | = x bila x 0 | x | = -x bila x 0

Contoh : | 2 | = 2 | -5 | = 5 | 0 | = 0Dari difinisi tersebut hubungan berlaku untuk semua harga Mari kita melihat beberapa sifat-sifat harga mutlak.

1. Harga mutlak satu jumlah aljabar beberapa bilangan nyata tidak lebih dari jumlah aljabar harga mutlak masing-masing bilangan nyata tersebut.

Bukti :Untuk maka (karena dan )Untuk maka Dengan ini

2


terbukti 2. Harga mutlak selisih tidak kurang nilai mutlak selisih minuend dan subtrahend

(4 – 3, 4 disebut minuend dan 3 disebut subtrahend) :

Bukti : Misalkan maka . Dari sini dapat dibuktikan

atau 3. Harga mutlak suatu perkalian sama dengan perkalian harga-harga mutlak dari

masing-masing faktor : 4. Harga mutlak suatu pembagian sama dengan pembagian nilai-nilai absolut

pembagi dan pembilang : =

1.3 VARIABEL DAN KONSTANTA

Nilai numerik seperti besaran fisika seperti waktu, panjang, luas, volume, massa, kecepatan, temperatur, tekanan dan sebagainya ditetapkan dengan ukuran. Bila suatu benda bergerak dengan kecepatan tetap V maka hubungan antara jarak tempuh S, kecepatan V dan waktu t secara matematis dapat ditulis : S = V.t. Dalam hal ini nilaiS dan t berubah-ubah dan disebut variabel sedang nilai V tetap dan disebut konstanta.

Variable adalah quantitas yang bisa memilki berbagai-bagai nilai angka. Biasanya ditunjukkan dengan huruf x, y, z, u, ........dan lain-lain.

Konstant adalah quantitas dimana angka yang dimilikinya sudah tertentu. Biasanya ditunjukkan dengan huruf a, b, c, ..........dan lain-lain. = 3,14159 disebut konstanta mutlak, artinya nilai =3,14159 digunakan pada berbagai keadaan.

1.4 KOORDINAT BIDANG

1.4.1 Sistem Koordinat Sertesian

Koordinat bidang menyatakan lokasi titik-titik pada suatu bidang dikaitkan dengan sepasang angka dilambangkang R2 (a,b) dimana R menyatakan semua bilangan real.Dalam pasangan salib sumbu x dan sumbu y :

R2 = [(x,y)|x,y R]

dibaca pasangan bilangan x,y merupakan koordinat titk (x,y), dimana x,y merupakan anggota semua bilangan real R.

3


Gambar 1.2.

Gambar 1.2 diatas memperlihatkan sistem koordinat sertesian, pasangan x,y menggambarkan posisi masing-masing titik dalam bidang. Salib sumbu X dan Y membagi bidang atas 4 kwadran.

Kuadran I : {(x,y) | x>0, y>0}Kuadran II : {(x,y) | x<0, y>0}Kuadran III : {(x,y) | x<0, y<0}Kuadran IV : {(x,y) | x>0, y<0}

Titik-titik P, Q, U, V berturut turut berada pada kwadran I, II, III, IV.

Jarak

Dalil Phytagoras :Dalam segitiga siku-siku Gambar 1.7 berikut berlaku kwadrat sisi miring sama dengan jumlah kwadrat sisi siku-sikunya .

Gambar 1.7.Bukti :

4


Dengan dalil Phytagoras dapat dihitung d(P1,P2), jarak antara 2 titik dan dan koordinat titik tengah pada Gambar 1.8 berikut

dapat dihitung dengan rumus : =

Selanjutnya dan koordinat titik tengah dapat dihitung dengan rumus :

Gambar 1.8.

Contoh 1 .Hitunglah jarak antara titik P1 (3,-1) dan P2 (4,2)d(P1,P2) =

Contoh 2Hitung titk tengah soal diatas

Contoh 3Buktikan segitga A(3,-2), B(4,3), C(-6,5) adalah segitiga siku-siku.d(A,B) =

d(B,C) =

d(C,D) = terlihat d(C,D)2 = d(B,C)2 + d(A,B)2, berarti segitiga ABC siku-siku di titik B

1.4.2 Sistem Koordinat Polar

Posisi titik didalam bidang juga bisa ditentukan dengan menggunakan sistem polar koordinat seperti pada Gambar 1.3 berikut :

5


Gambar 1.3.Posisi titk T ditentukan oleh jaraknya dari titik 0,0 dan sudut (tanda panah menyatakan arah positif, 0 ). Hubungan sertesian dengan polar adalah :

, , ,

Contoh 1. Diminta menggambarkan kurva Jawab : , dapat dibuat kurvanya seperti terlihat pada Gambar 1.4.

Gambar 1.4.Contoh 2.Diminta menggambarkan kurva dengan persamaan .Jawab :Kurva

0 0 1,571429 2,357143 3,142857 4,714286 6,2857143 9,428571 12,57143

dapat digambarkan seperti terlihat pada Gambar 1.5 berikut.

Gambar 1.5.Contoh 3.

6


Diminta menggambarkan kurva dengan persamaan Jawab :Untuk ,

=

Subsitusi menghasilkan : = atau

atau , yang merupakan persamaan lingkaran dengan jari-jari dan pusat lingkaran P yang kurvanya terlihat pada Gambar 1.6 berikut.

Gambar 1.6.

1.5 FUNGSI

Dalam studi phenomena alam dan penyelesaian berkenaan dengan teknologi dan matematis, didapati perlunya memikirkan berbagai kuantitas bergantung pada kantitas yang lainnya. Sebagai contoh dalam penelitian tentang gerak, lintasan jelajah dianggap sebagai satu variabel yang berubah bersama waktu. Dalam hal ini lintasan yang dijelelajah adalah fungsi dari waktu.

Mari kita perhatikan satu contoh. Kita tahu bahwa luas lingkaran, dalam hubungan dengan jari-jari, adalah . Untuk berbagai harga R diperoleh berbagai luas L. Jadi perubahan satu variabel akan membawa pengaruh pada varibel lainnya. Dalam hal ini luas L adalah fungsi dari jari-jari R. Mari kita rumuskan suatu difinisi dari konsep ”fungsi”.Bila tiap harga variable x (dalam satu range yang jelas) ada satu variabel y bersesuaian yang jelas, maka dikatakan y adalah fungsi dari x, dalam notasi fungsi, y = f(x), y = (x) dan sebagainya.Variabel x disebut variabel independent atau argument. Hubungan antara variabel-variabel x dan y dinamakan hubungan berkenaan dengan fungsi. Huruf f didalam hubungan berkenaan dengan fungsi y = f(x) menunjukkan bahwa beberapa jenis operasi harus dilakukan terhadap nilai x dalam tujuan mendapatkan nilai y. Dalam penempatan notasi y = f(x), , dan sebagainya, kadang ditemui y = y(x), u = u(x), dan

7


sebagainya, huruf y, u, keduanya menandakan variabel dependent dan simbol operasi menyeluruh yang harus dilakukan terhadap x.Notasi y = C, dimana C adalah satu konstanta, menyatakan satu fungsi yang nilainya untuk setiap harga x yaitu sama dengan C.

1.5.1. Fungsi Aljabar

Fungsi polinomial Secara umum fungsi polinomial dapat ditulis dalam bentuk

dimanaadalah satu bilangan bulat positif, disebut sebagai drajat polinomial. ( ) adalah bilangan konstan yang disebut koefisient.

Contoh Fungsi linear y = ax + bFungsi kuadrat

Fungsi pecahan rasional Fungsi pecahan rasional adalah perbandingan dua fungsi polynomial rasional yang secara umum ditulis dalam bentuk berikut :

Contoh

Fungsi irasional

Contoh ; .

1.5.2. Cara menyatakan fungsi

a. Pernyataan dalam bentuk tabular :

Contoh : tabel logaritma, tabel fungsi trigoneometri.

b. Pernyataan dalam bentuk grafis :Satu set titik-titik yang mengikuti satu persamaan dapat dinyatakan secara grafis seperti pada Gambar 1.9. Titik-titik menyatakan nilai-nilai argument, nilai-nilai ordinat yang sesuai menyatakan nilai-nilai dari fungsi.

8


Gambar 1.9.c. Pernyataan secara analitis Yang perlu dinyatakan secara analitis dalam melihat satu grafis fungsi adalah istilah-istilah : persamaan, domain, range, closed, opened, grafik, dependent dan independent variable. Grafik pada Gambar 1.10 berikut, yang dibuat dalam koordinat salib sumbu X,Y :

f(x) = 2x + 3 disebut persaman, yaitu aturan yang menyatakan jika : elemen domain range :---------------------------------------

x=3 f(x) = 9x=2 f(x) = 7 dan sebagainya.

Nilai x disebut independent variabel dan nilai y disebut dependent variabel.

Gambar 1.10.

Titik-titik pada grafik, diujung grafik bisa digambarkan sebagai titik hitam atau putih. Titik putih menyatakan bahwa titik tersebut tidak termasuk dalam domain (opend). Titik hitam menyatakan bahwa titik tersebut termasuk dalam domain (closed). Secara simbolik keadaan titik dikedua ujung grafik f(x) = 2x + 3 dapat dituliskan :

o Jika ujung kedua titik domain opened interval (putih), disimbol (1,4) artinya titik x = 1 dan x= 4 tidak termasuk dalam domain

o Jika ujung kedua titik domain closed ineterval (hitam),ujung hitam, disimbol [1,4] artinya titik x = 1 dan x = 4 termasuk dalam domain.

o Salah satu ujung putih dan lainnya hitam (= half open) misalnya [1,4) artinya x =1 termasuk dan x = 4 tidak termasuk dalam domain dan sebaliknya.

9


Dalam grafik ini setiap nilai domain x terdapat nilai y yang sesuai. Disini x disebut variable independent dan y disebut variable dependent.

Contoh 1.Gambarkan grafik , domain interval ditetapkan -4<x<3Domain adalah opened interval (-4,3), artinya kedua titik ujung tidak termasuk. Nilai f(x) tergantung pada berapa harga x antara -4 sampai 3 yang dapat dihitung dan digambarkan grafiknya sebagai berikut :

x | -4 -3 -2 -1 0 1 2 3f(x) = 2x2 + 4x + 3 | 19 9 3 1 3 9 19 33

Gambar 1.11.

Grafik pada Gambar 1.11 diatas terlihat mempunyai domain fungsi yang merupakan open interval (-4,3) dan range fungsi merupakan half open interval [1,33).Fungsi yang dicontohkan diatas disebut fungsi polynomial yang secara umum dapat ditulis dalam bentuk

dimanaadalah satu bilangan bulat positif. ( ) adalah sebuah bilangan.

Contoh 2.

adalah fungsi polynomial drajat 4 dengan domain [-1,5].Contoh 3.

100

adalah fungsi polinomial drajat 3 dengan domain [100,250].

Contoh 4.

10


Diminta menggambarkan grafik fungsi polinomial dengan domain .

Penyelesaian :x | -1 0 1 2 3 4 5

| -14 2 6 4 2 6 22

Gambar 1.12.

1.6 FUNGSI-FUNGSI DASAR

1.6.1. Fungsi pangkat 1. bilangan bulat positif. Fungsi ini ditetapkan dalam bentang . Dalam hal ini grafik fungsi untuk harga tertentu mempunyai bentuk seperti terlihat untuk Gambar 1.13 dan Gambar 1.14.

Gambar 1.13. Gambar 1.14.

2. bilangan bulat negatif. Dalam hal ini fungsi ditetapkan untuk semua harga x kecuali x = 0. Dengan suatu harga tertentu grafik mempunyai bentuk seperti Gambar 1.15 untuk dan Gambar 1.16 untuk .

11



3. bilangan pecahan. Gambar 1.17 dan Gambar 1.18 memperlihatkan grafik fungsi

pangkat dengan nilai dan dari pecahan rasional.

y=x

x 0 1 2 3 4 5 6y 0 1 1,257013 1,436978 1,580083 1,700827 1,8063

y=x

x 0 1 2 3 4 5 6y 0 1 1,591073 2,087715 2,531513 2,939747 3,321707

Gambar 1.17 Gambar 1.18.

1.6.2. Fungsi exponensial dan ,

x 0 0,5 1 1,5 2 -0,5 -3y 1 0,707107 0,5 0,353553 0,25 1,4142136 8

x 0 0,5 1 1,5 2 -0,5 -2

12


y 1 0,57735 0,333333 0,19245 0,111111 1,7320508 9

x 0 0,5 1 1,5 2 -0,5 -1y 1 0,316228 0,1 0,031623 0,01 3,1622777 10

Gambar 1.19. Gambar 1.201.6.3. Fungsi logaritma dan Fungsi ini terdifinisikan untuk x > 0. Grafik fungsi ini dapat di lihat pada Gambar 1.20..

1.6.4. Fungsi trigoneometri

Perhatikan posisi segitiga ROP dan SOQ pada sistem salib sumbu XY pada

Gambar 4.1 berikut :

Gambar 4.1

Fungsi-fungsi goneometri sudut adalah :

13


Dalam hal ini . Arah sudut bertentangan dengan arah jarum

jam seperti pada gambar adalah +, sebaliknya -.

Contoh : Carilah keenam fungsi goneometri dari sudut yang terminalnya terletak pada

titik P ( - 3, 4).

Penyelesaian : Dengan menggunakan Gambar 4.2 berikut dapat diketahui bahwa posisi

Gambar 4.2

Titik P( - 3, 4) terletak pada Qwadrant II, sehingga :

diperoleh :

Latihan 1 : Hitunglah keenam fungsi goneometri dari sudut jika terminal P (0, - 2)

Latihan 2 : Jika sin = ¾ dan terletak pada quadrant II, carilah kelima fungsi goneomet-

ri lainnya.

Grafik dari fungsi trigoneometri ditunjukkan pada Gambar 1.21 sampai 1.24 berikut :

y = cos x


y = tan x y = cot x

Gambar1. 23. Gambar 1.24.1.6.5. Rumus jumlah dan selisih dua sudut

14


Gambar 1.25.

---------------------------------------------

----------------------------------------------

---------------------------------------------

----------------------------------------------

Dari rumus-rumus diatas dengan mudah dapat diturunkan rumus-rumus berikut :

karena

----------------------------------------------- + ----------------------------------------------- -

P

O X

Y

Q

I

II

IV

III

15


misalkan

--------------- + ------------- -

Jadi :

---------------------------------------------- + ---------------------------------------------- -

Soal-soalSelesaiakan.1. 3x + 2 < 11 2. 4x + 1 < -5 3. 2x -3 < -7 4. 3x – 1 < 95. 4 – 3x < 6 6. 4 < x + 1 < 7 7. – 1 < 2-x < 3 8. -2 < 2 – 2x < 39. 0 < 3 – x < 1 10. 11. 12. 13. 14. 20. 21. 22. |2x + 1| < 1 23. |3 – x| < 4 24. |3 + x| > 1 25. |2x + 1| > 2

26. |3x – 1| < 4 27. 28. 29 > 0

30. 31. 32.

Tentukan jarak antara pasangan titik-titik berikut.1. (2,1),(4,1 2. (2,1),(-1,4) 3. (-1,-2),(3,-2) 4. (1,2),(3,6)5. (0,2),(-2,6) 6. (4,1),(2,1)

Selesaikan.1. Diketahui fungsi . Buktikan f(1) = 3, f(3) = 232. . Hitung f(4), , f(a+1), f(a)+1,

3. . Tuliskan pernyataan

4. . Tuliskan pernyataan

16


5. . Buktikan

6. . Buktikan

7. . Tuliskan pernyataan 8. Tentukan domain dari fungsi-fungsi

Gambarkan grafik fungsi-fungsi :

9.

10.

11. . Rangenya berapa.

12.

13.

14.

15.

BAB IIKONSEP LIMIT, KONTINUITAS

2.1 Limit dari suatu variabel

Dalam Bab ini kita akan memperhatikan susunan variabel yang bervariasi dalam satu cara khusus ditetapkan sebagai berikut : ”variabel mencapai satu limit”. Seluruh pelajaran

17


yang tersisa, konsep limit suatu variabel memainkan pran mendasar, yang sangat erat hubungannya dengan konsep dasar dari analisa matematik seperti turunan, integrasi dan sebagainya.Satu bilangan konstan dikatakan menjadi limit dari satu bilangan , apabila untuk tiap awal penetapan sekehendak bilangan kecil adalah mungkin menunjukkan satu nilai variabel sehingga semua nilai variabel yang kemudian akan memenuhi ketidak samaan

.Apabila bilangan adalah limit dari variabel , dikatakan bahwa mencapai limittersebut, dalam simbol kita memakai atau Dalam bentuk geometris, limit bisa ditetapkan sebagai berikut.Bilangan konstan adalah limit dari variabel apabila untuk setiap penetapan awal sekehendak lingkungan kecil titik dan dengan jari jari ada suatu nilai sedemikian rupa sehingga semua titik-titik bersesuaian terhadap nilai-nilai variabel kemudian berada didalam lingkungan ini (Gambar). Mari kita perhatikan beberapa kasus dari pencapaian limit-limit variabel.Contoh 1. Variabel memperoleh urutan nilai :

Kita akan membuktikan bahwa variabel ini mencapai 1 sebagai limitnya. Kita dapat

Untuk setiap semua nilai-nilai variabel kemudian mulai dengan , dimana atau

akan sesuai ketidak samaan dan bukti itu lengkap.

Perlu dicatat disini bahwa kuantitas variabel berkurang dengan dicapainya harga limit.

Contoh 2. Variabel x mempunyai nilai-nilai :

...............; .............

Variabel ini mempunyai harga limit satu. Sesungguhnya

Untuk tiap harga , mulai dengan n, yang sesuai dengan hubungan

Semua nilai x berikutnya akan mengikuti hubungan Kita akan catat disini bahwa nilai-nilai variabel lebih besar atau kurang pada limit tersebut, dan variabel mencapai limitnya dan berkisar disekitar itu.

2.2 Limit dari suatu fungsi

Ambil fungsi : dan

18


tidak ada tidak ada tidak ada.

Sebuah limit ada jika dan hanya jika limit kedua sisi ada dan sama.

untuk sebarang harga L, jika dan hanya jika

Rumus-rumus :

Apabila terdapat berdua fungsi, dan maka berlaku

19


1. = .

2. = .

3. =

4. = bila

Contoh-contoh :Contoh 1.Berapa nilai Limit f(x) = untuk x mendekati harga 3 ?. Untuk itu perhatikan tabulasi dan Gambar 2.1a dan 2.1b erikut :

x | 1 1,5 2 2,5 2,8 2,9 2,95 2,99 2,999 3 f(x) = x2 | 1 2,25 4 6,25 7,84 8,41 8,7025 8,9401 8,994001 9

Gambar 2.1a.

Gambar 2.1b.Dari gambaran diatas terrlihat bahwa bila x mendekati harga 3 (dari bawah atau atas), f(x) mendekati harga 9. Secara matematis ditulis :

20


Contoh 2.

Hitung

Pada grafik f(x) = x berikut, Gambar 2.3, terlihat bahwa , dan secara umum

dapat dirumuskan bahwa :

Gambar 2.3.

Contoh 3.

Hitung

Dari grafik f(x) = 4, Gambar 2.4, terlihat bahwa , dan grafik f(x) = k secara

umum dapat dirumuskan bahwa

Gambar 2.4.

Contoh 4.Diketahui :

Hitung

Jawab : Buat grafik f(x) dulu (Gambar 2.5).

21


Gambar 2.5.

Bila x 4 didekati dari bawah fungsi yang relevant adalah f(x)=x+1, terlihat f(x) mendekati harga 5. Tetapi apabila x 4 didekati dari atas fungsi yang relevant adalah f(x) = x + 5 dan f(x) mendekati harga 9 dari atas sehingga terdapat dua pilihan 5 dan 9.

Dalam hal ini dikatakan tidak ada.

Contoh 5.

Contoh 6.

Hitung

Contoh 7.

=

Contoh 8.

Contoh 9.Ambil

Gambar 2.6

22


Disini domain f adalah {x | > - 4} untuk

Untuk x < -4 tidak ada harga f(x). Akibatnya , f(x) tidak mencapai satu harga

nyata untuk . Dikatakan tidak ada.

Dari contoh-contoh diatas terlihat untuk diperoleh :

(1) Nilai f(x) mendekati L untuk x mendekati c.(2) f(x) mendekati L sementara x mendekati c dari kiri atau dari kanan.(3) Fungsi tidak selamanya bisa didifinisikan pada x = c

Dalam contoh 1,

Dalam contoh 2,

Teknik ini kelihatannya dapat dipakai untuk soal seperti ini. Sayangnya kasus yang dihadapi tidak selamanya seperti itu. Sebagai contoh :

Contoh 10.

Contoh 11.

Contoh 12.

atau =

Contoh 13.

Buktikan =1

Bukti :Perhatikan Gambar 2.7 berikut :

Gambar 2.7

23


Luas < luas sektor MOA < luas Luas = ½ OA. MB = ½ sin xLuas sektor MOA = ½ OA.bsrAM = ½ .1.x = ½ xluas = ½ OA.AC = ½ tan x

sin x < x < tan x. Bagi dengan sin x

1 < < atau 1 > > cos x

Variabel terletak antara dua harga dengan nilai limit 1 maka :

= 1

Contoh 13. :

Hitung

. Jadi

= =

2.3. Bilangan e

Definisi : ”Bilangan e adalah limit dari variabel untuk n ”.

n 1 2 3 100 10.000 10.000.000 100.000.000 1+1/n)^n 2 2,25 2,37037 2,704814 2,718146 2,7182817 2,71828179 2,718281828...=e

Theori 1. Fungsi mendekati batas e untuk ,

Bukti :Untuk Setiap nilainya terletak antara dua bilangan bulat,

24


Jadi , atau

Untuk Misalkan Untuk maka

Grafik fungsi dapat dilihat pada Gambar 2.8. berikut :

Gambar 2.8.

2.4. Natural logaritma

Fungsi logaritma ditulis :a disebut bilangan dasar logaritma. Untuk bilangan

dasar a =10 disebut hanya ditulis : dan disebut common logarithm . Untuk bilangan dasar a = e = 2,71828.. ditulis : dan disebut natural logarithm.

Bagaimana hubungan kedua logaritma ? atau x =

= atau .

dimana atau sehingga

Secara umum dapat ditulis :

2.5. Kontinuitas

25


Perhatikan ketiga grafik f(x), g(x), dan k(x) dalam Gambar 2.9a, 2.9b, dan 2.9c berikut :

Gambar 2.9a. Gambar 2.9b. Gambar 2.9c.Kita lihat :

f(x) continue pada x = c

g(x) discontinue pada x = a , tidak ada

k(x) discontinue pada x = b , tidak ada.

Definisi : Suatu fungsi dikatakan continues di titik x = c bila dan hanya bila :

. Atau suatu fungsi dikatakan continue pada nilai (pada titik

) apabila terdifinisikan pada titik-titik sekitar dan apabila atau

Contoh 1 : Coba buktikan bahwa fungsi (Gambar 2.10) adalah continue disembarang titik Jawab.

Gambar 2.10.Contoh 2 : Coba buktikan y = sin x adalah continue pada sebarang titik .

y = sin x adalah continue pada sebarang titik

26


2.6. Menggambar grafik fungsi pecahan1. Tentukan perpotongan dengan sumbu x ( set y = 0) dan sumbu y (set x = 0) 2. Sumbu simetris

a. Tukarkan x dengan –x, bila persamaan tidak berubah maka sumbu y merupakan sumbu simetris

b. Tukarkan y dengan –y, bila persamaan tidak berubah maka sumbu x merupakan sumbu simetris

c. Bila dilakukan a dan b sekaligus persamaan tidak berubah maka grafik simetris terhadap titik 0,0 3. Assimptots Misal fungsi adalah y = f(x). Bila untuk sebarang nilai x = a menyebabkan penyebut = 0, tetapi pembilang 0, maka garis x = a merupakan assimptot tegak. Dan bila x , y mencapai harga b, maka garis y = b merupakan assimptot datar

Contoh 1. Gambarkan grafik fungsi

Untuk x = 0 Untuk y = 0 x = 0,

artinya grafik memotong sumbu x dan sumbu y dititik (0, 0).Jika x ditukar dengan –x persamaan tidak merubah harga y, y adalah sumbuSimetris. Jika x = 2 atau – 2, penyebut = 0 tetapi pembilang tidak, jadi garis x = 2dan x = -2 merupakan assimptot tegak.

Untuk x , jadi y = 1 merupakan assimptot datar.

Sket dari grafik adalah :

Gambar 2.11.Contoh 2. Gambarkan grafik fungsi : Untuk x = 0, tidak ada perpotongan dengan sumbu y. y memiliki harga hanya untuk y tidak pernah memiliki harga 0, karena itu juga tidak ada perpotongan dengan sumbu x. Tidak ada sumbu simetris, tidak ada

asimptot tegak dan datar. Selanjutnya , y’= 0 untuk x = 2. Dengan

informasi ini grafik fungsi dapat digambarkan sebagai berikut :

27


Gambar 2.12.

Soal-soal

1. . Jawab 4. 2. . Jawab 2

3. . Jawab 04. . Jawab 2 5. .

6. . Jawab 1 7. . Jawab

Pertolongan : Jumlah n suku pertama deret hitung S = , dimana a = suku pertama

dan l = suku terakhir. 8. . Jawab

Pertolongan : untuk :k = 0 k = 1 k = 2 . .k = n------------------------------------------------------------- +

28


= =

9. . Jawab 10. Jawab 0 11.

12. Jawab 4 13. Jawab 3 14. Jawab

15. Jawab 1 16. Jawab

17. Jawab 0 18. Jawab

19. Jawab 1

20. Jawab n

= (bilangan bulat +)

21. Jawab 22. Jawab

29


23. Jawab 24. Jawab

25. Jawab

26. Jawab 27. Jawab 1

28. Jawab 29. Jawab 0

30. Jawab 31. Jawab 1 32. Jawab 4

33. Jawab

38. Jawab 41. . Jawab

misal ,

42. .Jawab 43. . Jawab

misal

44. . Jawab e 45. Jawab 1

46. Jawab 47. Jawab

48. . Jawab e misal , ,

, =

misal ,

30


49. . Jawab

50. . Jawab 1 51. Jawab 1.

Gambarkan grafik fungsi berikut dan tentukan continuetas masing-masing untuk nilai c yang diberikan.

1. . 2. c = -4

3. c = 1 4. c =

5. c = 1 6. c = 2

7. c = 2 8. c = 2

9. c = -3 10. c = 2

11. c = -1 12.

Hitung titik discountinue fungsi berikut

1. . Jawab x = -2; x = -1; x = 0

2. . Jawab x = 0; ; …….; ; …….

3. dan gambarkan grafiknya

BAB IIITURUNAN (THE DERIVATIVE)

3.1. Definisi :Ambil sebuah fungsi (Gambar 3.1) :

y = f(x)ditetapkan dalam satu interval tertentu. Fungsi y = f(x) mempunyai nilai tertentu untuk tiap nilai dari argumen x dari interval ini.

Misalkan argumen x memperoleh satu tambahan tertentu , maka memperoleh satu tambahan tertentu :

31


Kita dapat memperoleh lim dari persamaan untuk . Dan bila limit ada, itulah

yang disebut turunan dari f(x), dan disimbol dengan f’(x), atau

3.2. Arti turunan secara geometri

Perhatikan grafik fungsi : didalam koordinat sertesian berikut berlaku :

=

dengan kata lain : Turunan dari suatu f(x) dititik T0(x,y) adalah tangen sudut yang dibentuk (koefisien arah) garis singgung kurva dititik T0(x,y) dengan sumbu x positif.

Gambar 3.1.ContohDiketahui (Gambar 3.2).Diminta menghitung (a) f’(x), (b) (koefisien arah) garis singgung kurva di titik T(1/2,1/4), dan (c) persamaan garis singgung kurva dititikT tersebut.Jawab :

(a) = = = 2x

(b) T(1/2,1/4), tan .(c) Persamaan garis singgung : y = ax + b, dimana a = koefisien arah = tan , jadi

y = x + b T(1/2,1/4) ¼ = ½ + b b = -1/4

Jadi persamaan garis singgung kurva dititk T(1/2,1/4) adalah :

32


Gambar 3.2.

3.3. Cara menghitung turunan y’

Lakukan langkah-langkah berikut :1. Masukkan koordinat kedalam fungsi sehingga berlaku

2.

3.

4.

3.3.1. Fungsi pangakat

1. 2. . Dengan formula Newton dapat ditulis :

3.

4.

Diminta menghitung y’ atau dy/dx untuk fingsi-fungsi

3.3.2. Fungsi y = sin x, y = cos x

33


y = sin x 1. 2.

3.

4. =

=

1.

2.

3.

4. = =

3.3.3. Fungsi konstanta, perkalian dengan konstanta, jumlah, perkalian dan bagiy = C C = konstanta--------------------------

1. 2.

3.

4. , y’ = 0

y = Cu(x) y’ = Cu’(x)--------------------------------

Contoh untuk C = 3 dan u(x) =

u(x) = = u’(x) =

y = u(x) + v(x) + w(x)= u’(x) + v’(x) +w’(x)

34


Contoh

y = u.v--------

1. 2. =

3.

4. =

y = uvw-----------

Contoh

y =

--------

1.

2. =

3.

4. =

Contoh

35


=

3.3.4. Turunan fungsi-fungsi logaritma

1.

2. =

3. = =

4. misalkan , untuk suatu harga x,

, untuk , sehingga untuk atau

3.3.5. Fungsi majemuk

-----------------------------

Contoh. Diketahui suatu fungsi . Hitung

Jawab. Fungsi tersebut merupakan fungsi dari fungsi sebagai berikut :

-----------------------------------------------

Contoh. Diketahui fungsi . Hitung

Jawab. Fungsi tersebut dapat ditulis sebagai berikut :

36


3.3.6. Fungsi y = tan x, y = cot x, y = ln |x|

---------------------

=

---------------------

=

-------------

Jadi

3.3.7. Fungsi implisit F(x,y) = 0

3.3.8. Turunan fungsi pangat, fungsi exponensial, dan fungsi exponensial majemuk

Teori 1. Turunan fungsi , dimana n adalah bilangan real adalah .

Bukti : Logaritmakan kiri kanan didapat ,

Teori 2. Turunan fungsi dimana adalah

Bukti : Logaritmakan kiri kanan didapat

untuk fungsi exponensial dengan bilangan dasar a = e maka sehingga

37


Contoh. Diketahui fungsi . Hitung

Jawab. Fungsi ini merupakan implisit dimana

Fungsi exponensial majemuk yaitu fungsi dimana base dan exponennya merupakan fungsi dari x. Contoh : dan secara umum ditulis

Teori 3. maka

Bukti : Logaritmakan kiri kanan :

Contoh :

3.3.8. Fungsi inversGrafik pada Gambar 3.3 berikut adalah grafik fungsi yang menanjak yaitu dalam interval (a,b) dalam hal ini, maka dan dalam keadaan sebaliknya sebalikya grafik fungsi dikatakan menurun.

Gambar 3.3.Dengan memperhatikan hal ini dengan y = f(x) untuk fungsi yang menanjak dapat diperoleh x = (y) yang merupakan fungsi inverse dari y = f(x). Dengan cara yang sama fungsi yang menurun juga mempunyai fungsi inverse.

Contoh : Diberikan seperti pada Gambar 3.4 berikut :

38


Gambar 3.4.

Dalam domain grafik fungsi ini merupakan fungsi yang menaik sehingga fungsi inversnya adalah .

Contoh : Diberikan (Gambar 3.5). Dalam domain fungsi adalah menaik sehingga fungsi inversnya . Dalam domain fungsi adalah menurun dan fungsi inversnya

Gambar 3.5.Contoh : Fungsi (Gambar 3.6). Fungsi adalah fungsi menaik dalam intervel

. Fungsi inversnya adalah .

39


Gambar 3.6.

Suatu fungsi y = f(x) mempunyai satu fungsi invers , buktikan

Bukti :

3.3.9. Inverse fungsi goneometri dan differensiasinya mempunyai fungsi invers

Buktikan :

Bukti :

Contoh 1 :

Contoh 2 :

mempunyai fungsi invers

Buktikan :

Bukti :

Contoh :


Buktikan :

40


Bukti :


Buktikan :

Bukti :

Tabel rumus-rumus dasar differensialFungsi Differensiasi-----------------------------------------------------------------------y = c y’ = 0

41


Kalau dimana dan adalah fungsi yang resiprocal maka

3.4. Fungsi dalam bentuk parametrik dan turunannya

dimana t terletak dalam interval [T1,T2]. Tiap harga t terdapat nilai

x dan yang sesuai. Dalam hal ini :

3.4.1. Persamaan kurva dalam bentuk parametrikLingkaran dengan jari-jari r (Gambar 3.7)

Gambar 3.7.

Ellips dengan jari-jari panjang a dan jari-jari pendek b (Gambar 3.8)

42


Gambar 3.8.

Cycloid jari-jari a (Gambar 3.9)

Gambar 3.9.

3.4.2. Turunan fungsi dengan persamaan parametrik

Contoh 1 : hitung untuk sebarang titik t dan untuk

untuk ,

43


Contoh 2 : Persamaan parametrik cycloid Hitung pada sebarang titik

3.5. Fungsi – fungsi Hiperbolicus

Dalam banyak aplikasi analisa matematik kita bertemu kombinasi fungsi-fungsi

exponensial dalam bentuk dan . Kombinasi fungsi-fungsi ini

dianggap sebagai fungsi-fungsi baru dan ditulis sebagai berikut :

Selanjutnya dapat ditulis :

Fungsi-fungsi sinh x, cosh x, dan tanh x ada untuk semua harga x. Tetapi fungsi coth x ada untuk setiap harga keculi ditik x = 0. Juga berlaku :

Bukti :

Turunan fungsi hyperbolicus

44


3.6. Differential

Pendekatan linearPerhatikan gambar berikut :

Kemiringan garis singgung kurva di titik adalah

Atau merupakan persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) ditik . Jika ordinat dekat ke sehingga diperoleh

Aturan L’Hospital untuk menghitung limit

merupakan hasil yang tidak dapat dihitung.

Tulislah limit ini dalam bentuk Kalau kedua fungsi continue dititik c

maka dengan pendekatan linear pada titik dapat ditulis :

dan

Karena dan 0)(lim)(

xgcgcx maka :

45


Incremental dan Differensial

disebut increment dan bagian disebut differential dari f(x) yaitu

Contoh 1 : Hitunglah differential dy dan increment dari 1. Untuk sebarang harga x dan 2. Untuk x = 20 dan

Jawab : 1. Increment ,differential 2. Gambar 3.10 memperlihatkan gambaran yang jelas qtqs persoalan tersebut diatas.

Gambar 3.10.Difinisi :Bila y = f(x) dapat didifferesialkan terhadap x, sehingga dapat dikatakan :

1. Differensial dx dari variabel independent x ditetapkan sebagai dimana suatu bilangan real

2. Differensial dy dari variabel dependent y ditetapkan sebagai

3.

4.

Contoh 2 : Diketahui : f(x) = sin x, hitung Jawab :

f’(x) = cos x, f(x + x) – f(x) f’(x) x

sin (x + x) - sin x cos x x

sin (x + x) sin x + cos x x

sin 46 =

kalau x = 45 dan x= 1 = /180 = 0.017

sin (45+ 1) = sin 45 + cos 45(0.017)

sin 46 = 0.7071 + 0.7071(0.017)

= 0.7194

sin (x + x) sin x + cos x x

46


untuk x = 0, dan x = , maka :

sin = sin 0 + cos 0 ()

f(x) = tan x f’(x) = 1cos2x

tan (x + x) tan x + 1cos2x x

untuk x = 0, dan

tan

f(x) = x f’(x) = 12x

(x+x) x + 12x x

x = 1 dan x = (1+) x + 12x x

1 + ½

3.6.1. Arti diferencial secara geometri

Ambil fungsi y = f(x) yang ditunjukkan pada Gambar 3.11. Dengan memperhatikan garis

singgung dititik M(x,y) dan titik T(x + x),(y + y), kita lihat bahwa atau

.

Gambar 3.11.

3.6.2. Turunan (Drivative) untuk berbagai orde

y = f(x)

y’ disebut turunan pertama y’’ disebut turunan kedua y’’’ disebut turunan ketiga dari y = f(x) dan seterusnya

Contoh 1: y = x5 y’ = 5x4 y’’ = 20x3 y’’’ = 60x2 yIV = 120x yV = 120

yVI = yVII ……. = 0

Contoh 2 : y = ekx y’ = kekx y’’ = k2 ekx y’’’ = k3 ekx yn = kn ekx

47


y = sin x y’ = cos x = sin (x + 2) y’’ = -sin x

= sin (x + 2 2) y’’’= - cos x = sin (x + 3 2) yIV = sin x

= sin (x + 4 2) yn = sin (x + n 2)

Cari yn untuk fungsi y = eax x2

3.6.3. Differential dari berbagai tingkat

..............

......

Fungsi implisit

dengan mensubsitusi harga diperoleh :

48


=

Fungsi parmetrik

Subsitusi :

Dengan cara yang sama bisa dihitung dan seterusnya.

Signifikansi ilmu mekanika dari turunan kedua

,

s = jarak tempuht = waktuv = kecepatana = percepatan gerak.

Contoh : Diminta menghitung kecepatan v dan percepatan a sebuah benda jatuh bebas bila hubungan jaraks dengan waktu tempuh t dintakan dalam persamaan :

dimana percepatan grafitasi yaitu harga s untuk

t=0.Penyelesaian :

dalam hal ini dengan mendifferensialakan lagi didapat :

49


Sebaliknya dapat dicatat bila percepatan gerak g tetap maka dan pada dapat dihitung dari persamaan tersebut diatas.

3.7. Persamaan garis singgung (tangent) dan normal. Panjang subtangent dan subnormal.

Ambil titk M( pada kurva y = f(x) (Gambar 3.12). Persamaan tangent MQ adalah dimana .

Persamaan normal MR adalah dimana =

Segment QM disebut panjang tangent T. Proyeksi QM pada sumbu x, QP disebut panjang subtangent S . Segment MR disebut panjang normal N, sedangkan proyeksi MR pada sumbu x, PR disebut subnomal S .

Gambar 3.12Contoh 1. Tuliskan prsamaan tangent dan normal kurva dititik M(1,1). Kemudian hitunglah .Penyelesaian :f’(x) = 3x. Untuk x = 1, f’(x) = 3. Persamaan tangent y – 1 = 3 (x – 1), atau y = 3x – 2

Persamaan normal y – 1 = - atau y = .

Gambar 3.12

50


= 1.f’(x) = 1 . 3 = 3 T =

N = .

Soal-soal

Hitunglah increments dan differensial fungsi berikut :1. , , jawab 2. ,

jawab 3. y = sin x, , jawab

dy = 4. Diketahui ; , hitung secara

mendekati dan , jawab dan 5. Hitung secara mendekati , jawab

1,002626. , hitung , jawab 7. , hitung y’”, jawab

8. , hitung y , jawab 9. , hitung

, jawab 10. , hitung , jawab 11.

hitung , jawab

Diminta menghitung turunan fungsi-fungsi berikut :

1. 2. 3. 4. 5. Jawab :

6. Jawab: 4x – 1

Hitung koefisien arah (sudut tangen kemiringan) dan gambarkan dari kurca-kurva :

7. pada x =1 dan x = -1, Jawab 3. 8. pada x = ½ Jawab -4, pada

x = -1 Jawab -1 9. pada x = 2 Jawab

51


Diminta menghitung turunan fungsi-fungsi berikut :

10. 11. 12. 13.

14. 15. 16.

Jawab 17. Jawab

18. 19. 20.

21. 22.

23. 24. 25. Jawab

26. 27. Jawab

28. Jawab 29. Jawab

30. Jawab

31. Jawab

32. Jawab 33.

Jawab 34. Jawab

35. Jawab 36. Jawab

37. Jawab 38. Jawab

39. Jawab 40. Jawab

41. Jawab

42. Jawab 43. Jawab

44. Jawab 45. Jawab

46. Jawab 47.

Jawab

52


Differensiasi fungsi-fungsi implisit

Hitung bila : 1. Jawab 2. Jawab

3. Jawab 4. Jawab

5. Jawab 6. Jawab

Diminta menghitung fungsi parametrik berikut :

1. Jawab 2. .

Jawab 3. . Jawab

Diminta menghitung kemiringan garis singgung kurva :

1. di titik . Gambarkan !

Penyelesaian : ,

.

di titk dan , adalah

2. untuk Gambarkan !

Penyelesaian :

Untuk

3. Tentukan persamaan tangent dan normal, panjang tangent dan subtangent, panjang normal dan subnormal untuk ellips x = a cos t, y = b sin t dititik M( ) dimana

t = .

4. Sebuah benda dilempar dengan sudut dengan horizontal diruang hampa

53


menggambarkan kurva dibawah gaya grafitasi, dengan persamaan

. Diketahui , tentukan arah

pergerakan apabila : 1. 2. Gambarkan !

5. Sebuah kapal tangker mengalami kecelakaan dan minyak tumpah dengan dengan rate 150 gallon permenit. Misalkan oil tersebut menyebar kepermukaan air dengan ketebalan 1/10 ” (gambar) . Diketahui 1 ft3 = 7,5 gallon, hitunglah rate radius penyebaran ketika radius mencapai 500 ft. Penyelesaian

r’(t) = 0,76394 ft/menit.

6. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 50 mph kearah selatan 0,5 mil dari persimpangan jalan. Mobil polisi bergerak kearah barat dengan kecepatan 40 mph 0,25 mil dari sebelah timur persimpangan. Radar polisi mengukur rate dari perubahan jarak antara kedua mobil. Berapa register yang dibaca pada radar.

7. Seorang dengan tinggi 6 ft berada pada jarak 12 ft dari tiang lampu. Jika orang tersebut bergerak menjauhi lampu dengan rate 2 ft/s hitung rate perobahan panjang bayangannya.

54

V = r = r(t) tebal minyak 1/10 “ = 1/120 feets

V(t) =

.x(t) = ¼ y(t) = ½ x’(t) = - 40 y’(t) = -50

=

Radar register 62,6 mph


BAB IVHARGA EKTREEM SUATU FUNGSI

Dalam berbagai persoalan kita tertarik untuk menghitung harga maksimum dan minimum suatu fungsi. Secara geomtris, tentu saja harga-harga tersebut sesuai dengan tinggi dan rendahnya titik-titik tersebut dalam grafik fungsi yang bersangkutan.

Definisi 1. Misalkan suatu fungsi f. Suatu titik c dimana f’(c) = 0 merupakan bilangan kritis dalam domain f, dan titik (c,f(c)) disebut satu titik kritis dari grafik fungsi f.

Dari definisi ini, kemiringan garis singgung pada grafik y = f(x) pada titik kritis (c,f(c)) adalah 0 yang berarti garis singgung tersebut sejajar dengan sumbu x. Fungsi pada gambar berikut mempunyai tiga titik kritis : (x1,f(x1)), (x2,f(x2)), dan (x3,f(x3)).

Gambar 4.1.

Untuk menghitung bilangan kritis dari suatu fungsi f, kita perlu memecahkan persamaan f’(x) = 0

Contoh 1 : Hitunglah bilangan kritis dari :a.

b.

55


Penyelesaian :a.

Titik-titik kritisnya adalah :

b. fungsi g tidak memiliki bilangan kritis karena

tidak pernah memiliki nilai 0.

Definisi 2 : Suatu fungsi mempunyai nilai relatif maximum pada c bila terdapat interval terbuka I dalam domain f yang mengandung c sedemikian sehingga :

untuk semua demikian juga fungsi mempunyai nilai relatif minimum pada c bila terdapat interval terbuka I dalam domain f yang mengandung c sedemikian sehingga :

untuk semua

Pada gambar diatas fungsi f mempunyai relatif maximum pada x1 dan x3, dan relatif minimum pada x2.

Definisi 3 : Suatu fungsi f dikatakan mempunyai absolut maximum di a bila pada semua x dalam domain dari fungsi.

Demikian juga, f mempunyai satu absolut minimum di b bila pada semua x dalam domain dari fungsi.

Contoh 2 : Hitunglah nilai-nilai ekstreem dari fungsi-fungsi berikut :a. b. (c.

Contoh 3 : Hitunglah bilangan kritis dan nilai-nilai ekstreem dari fungsi

Penyelesaian : kita lihat bahwa hanya x = 0 yang merupakan bilangan kritis. Karena dan . Seperti terlihat pada gambar fungsi ini adalah fungsi yang menaik. Fungsi tidak memiliki nilai-nilai ekstreem.

56


Gambar 4.2.Contoh 4 : Hitung nilai-nilai ekstreem dari fungsi

Contoh 5 : Hitung absolut ekstreem dari fungsi :

x 0 1 2 3 4 5 6f(x) -7 -3 -5 -7 -3 13 47

Gambar 4.3.

Nilai absolut maximum ada pada x = 5 yaitu f(5) = 13 dan nilai absolut minimum ada pada x = 0 dan x = 3 yaitu f(0) = f(3) = - 7.

Test dengan turunan kedua

57


Hitunglah maksimum relatif dan minimum relatif fungsi :

Maka f(1) adalah satu realtif maksimum, begitu juga

Maka f(3) adalah satu relatif minimum.

Hitunglah maksimum dan minimum relatif dari fungsi :

x = 3 merupaka minimum relatif

x = -3 merupakan maximum relatif

Aplikasi Maksima dan Minima

Soal 1. Dengan menggunakan pagar sepanjang 1200 m seorang petani ini mengandangkan seekor sapi didalam sebuah tanah peternakan berukuran segi empat sepanjang tepi sebuah sungai. Berapa dimensi kandang untuk menyediakan sapi tersebut tanah peternaka yang maximal. Anggaplah bahwa tidak diperlukan pagar disepanjang tepi sungai.

Soal 2.Hitunglah dua bilangan positif yang mempunyai hasil kali maximum yang memiliki jumlah 30.

Soal 3. Sebuah perusahan pembuat soup ingin mengepack 25 cu in soup jamur dalam sebuah sebuah kaleng logam berbentuk lingkaran. Hitunglah dimensi dar kaleng tersebut agar luas permukaan kaleng minimum.

Soal no 4.Sebuah package berbentuk selinder volume 18 cu in, dibungkus dengan lembaran kertas segiempat. Berapa dimensi dari selinder tersebut untuk meminimalakan penggunaan luas permukaan kertas pembungkus tersebut.

58

kalk_i (3)

Documents