Slide 1

KALKULUS 3Dosen PengampuEllysa Kusuma Laksanawati, ST, MT Sistem Tertentu dan Tidak TertentuSistem Persamaan Linier Sistem-sistem Tertentu Dan Tidak TertentuSistem tertentu adalah sistem yang memberikan tepat satu solusi. Sistem tertentu terjadi jika unsur yang tak diketahui sama banyak dengan persamaannya, dan persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan. Jika persamaan lebih banyak dari unsur yang tak diketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan. Jika unsur yang tak diketahui lebih banyak dari persamaannya, maka sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi. Sistem yang kurang tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa memberikan solusi bisa juga tidak memberikan solusi. Sistem Persamaan Linier Contoh Sistem Persamaan Yang Memberikan Banyak Solusi

Matriks gandeng:

Eliminasi Gauss:

Contoh:Sistem Persamaan Linier Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan :

Dari persamaan ke-2 kita mendapatkan

yang kemudian memberikan Karena xC tetap sembarang maka kita mendapatkan banyak solusi. Kita hanya akan memperoleh nilai xA dan xB jika kita menentukan nilai xC lebih dulu Contoh Sistem Yang Tidak Memberikan Solusi Sistem Persamaan Linier

Matriks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan

Contoh:Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalahSistem Persamaan Linier

Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya menghasilkan suatu kontradiksi yang dapat kita lihat pada baris terakhir. Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan yang sedang kita tinjau tidak memberikan solusi. Bentuk Eselon Sistem Persamaan Linier Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, disebut bentuk eselon.

dan Secara umum bentuk eselon matriks gandengan adalah

Dari contoh di atas, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya adalahdan sistem yang telah tereduksi pada langkah akhir eliminasi Gauss akan berbentuk

dengan

, dan r n Sistem Persamaan Linier a). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan tepat satu solusi.

b). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan banyak solusi.

c). Jika ataupun dan tidak sama dengan nol atau mempunyai nilai, maka sistem persamaan ini tidak memberikan solusi.

Perhatikan bentuk ini:Sistem Persamaan Linier Jadi suatu sistem persamaan akan memberikan solusi jika sama dengan nol atau tidak ada.

Pada suatu sistem persamaan yang memberikan solusi, ketunggalan solusi terjadi jika .

Nilai r yang dimiliki oleh matriks gandengan ditentukan oleh banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam matriks gandeng. Pengertian tentang kebebasan linier vektor-vektor kita bahas berikut ini.

Jika persamaan akan memberikan banyak solusi. Bebas Linier Dan Tak-bebas Linier Vektor-Vektor Bebas Linier Dan Tak-bebas Linier Vektor-vektor Sistem Persamaan Linier Misalkan

adalah vektor-vektor baris dari suatu matriks A =[abk]. Kita tinjau suatu persamaan vektor

Apabila persamaan vektor ini terpenuhi hanya jika semua koefisien (c1 cm) bernilai nol, maka vektor-vektor baris tersebut adalah bebas linier. Jika persamaan vektor tersebut dapat dipenuhi dengan koefisien yang tidak semuanya bernilai nol (artinya setidak-tidaknya ada satu koefisien yang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu tidak bebas linier. Jika satu himpunan vektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier, maka tak satupun dari vektor-vektor itu dapat dinyatakan dalam kombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini dapat dimengerti karena dalam persamaan tersebut di atas semua koefisien bernilai nol untuk dapat dipenuhi. Sistem Persamaan Linier Vektor a1 misalnya, dapat dinyatakan sebagai

karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nolJika vektor-vektor tidak bebas linier maka nilai koefisien pada persamaan tersebut di atas (atau setidak-tidaknya sebagian tidak bernilai nol) maka satu vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor yang lain. Sistem Persamaan Linier Contoh:Dua vektor baris

dan Vektor a1 dan a2 adalah bebas linier karena

hanya akan terjadi jika

Ambil vektor ketiga

Vektor a3 dan a1 tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai

Vektor a1, a2 dan a3 juga tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai

Akan tetapi jika kita hanya melihat a3 dan a2 saja, mereka adalah bebas linier. Rank Matriks Sistem Persamaan Linier Rank Matriks Dengan pengertian tentang vektor yang bebas linier, didefinisikan rank matriks. Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks A = [abk] disebut rank matriks A disingkat rank A. Jika matrik B = 0 maka rank B adalah nol. Operasi baris pada suatu matriks menghasilkan matriks yang setara baris dengan matriks asalnya. Hal ini berarti pula bahwa rank matriks baru sama dengan rank matriks asalnya. Dengan perkataan lain operasi baris tidak mengubah rank matriks. Jadi rank suatu matriks dapat diperoleh melalui operasi baris, yaitu sama dengan rank matriks yang dihasilkan pada langkah terakhir eliminasi Gauss. Bentuk eselon matriks yang diperoleh pada langkah terakhir eliminasi Gauss, mengandung vektor-vektor baris yang bebas linier karena vektor yang tak bebas linier telah tereliminasi. Bagaimana menentukan rank suatu matriks?Sistem Persamaan Linier Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan solusi tunggal dalam contoh, adalah

dan Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rank matriks sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui yaitu 4 Contoh:Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan banyak solusi, adalahSistem Persamaan Linier Contoh:

dan Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 2. Akan tetapi rank matriks ini lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui.Sistem Persamaan Linier Contoh:Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang tidak memberikan solusi, adalah

dan Dalam kasus ini rank matriks koefisien tidak sama dengan rank matriks gandengan. Rank matriks koefisien adalah 2 sedangkan rank matriks gandengannya adalah 3. Ketidak samaan rank dari kedua matriks ini menunjukkan tidak adanya solusi.Apa yang kita amati dalam contoh-contoh di atas ternyata berlaku umum. Sistem Persamaan Linier c). jika rank matriks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui maka akan diperoleh banyak solusi. a). agar suatu sistem persamaan memberikan solusi maka rank matriks koefisien harus sama dengan rank matriks gandengannya; b). agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rank matriks koefisien harus sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui;