INVERSE MATRIX DAN DETERMINAN MATRIX Disusun Oleh : Ir. W. Inggar Fipiana, MM.

Contoh Soal Penerapan Persoalan Industri pada penyelesaian persamaan linier : 1. Seorang pembuat boneka ingin membuat dua macam boneka yaitu boneka A dan

boneka B. Kedua boneka tersebut dibuat dengan menggunakan dua macam bahan yaitu potongan kain dan kancing. Boneka A membutuhkan 10 potongan kain dan 6 kancing, sedangkan boneka B membutuhkan 8 potongan kain dan 8 kancing. Permasalahannya adalah berapa buah boneka A dan boneka B yang dapat dibuat dari 82 potongan kain dan 62 kancing ?

Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan : x = jumlah boneka A y = jumlah boneka B Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa: Potongan kain 10 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 82 Kancing 6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 62 Atau dapat dituliskan dengan : 10 x + 8 y = 82 6 x + 8 y = 62 Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan di atas. Penyelesaian dengan metoda eliminasi :

(1) 10x + 8y = 82 (2) 6x + 8y = 62 -

4x + 0 = 20 x = 5 masukkan nilai x ke persamaan (1) : 10 x 5 + 8y = 82 50 + 8y = 82 8y = 32 y = 4

Penyelesaian dengan matriks :

Kedua persamaan di atas bisa dituliskan sebagai berikut :

10 8

x

82

baris 1

6 8

y = 62

baris 2

langkah ke 1 1 0.8

x

8.2

baris 1 dibagi 10 =baris3

langkah ke 2 0 3.2

y = 13

baris 2 - baris 3*6 =baris4

langkah ke 4 1 0

x

5

baris 3-baris6*0.8 =baris 5

langkah ke 3 0 1

y = 4

baris 4 / 3.2 =baris 6

2) Seorang Ir. Industri mengawasi produksi dengan 4 buah jenis komputer (jenis a,b,c dan d) ,untuk produksinya menggunakan 4 jenis sumber daya yaitu : jam kerja, logam, plastic dan komponen listrik Jumlah sumber daya yang diperlukan untuk menghasilkan setiap jenis computer diberikan dalam tabel berikut :

Jenis Komputer

jam kerja

logam plastik komponen

listrik

a 3 20 lb 10 lb 10

b 4 25 lb 15 lb 8

c 7 40 lb 20 lb 10

d 20 50 lb 22 lb 15

Jika tersedia setiap hari masing-masing 504 jam kerja, 1970 lb logam , 970 lb plastik dan 601 komponen listrik, berapa banyak komputer dapat diproduksi tiap hari ? Penyelesaian : buat persamaan-persamaan sebagai berikut :

Jam kerja 3a + 4b + 7c + 20d = 504 logam 20a + 25b + 40c + 50d = 1970 plastik 10a + 15b + 20c + 22d = 970 komponen listrik 10a + 8b + 10c +15d = 601

Selanjutnya susun persamaan di atas dalam bentuk matriks dan selesaikan persamaan tersebut ! Persamaan matriksnya adalah sebagai berikut :

A B C 3 4 7 20 a 504 20 25 40 50 x b = 1970 10 15 20 22 c 970 10 8 10 15 d 601

Penyelesaian matriks tersebut adalah : B = A-1 x C

Selanjutnya :

Mencari Invers :

1) A =

155

320

111

Carilah invers A

Jawab : 3IA =

100

010

001

155

320

111

A I3

155

320

111

100

010

001

155

320

111

100

010

001

5 x baris I kurangkan kepada baris III

400

320

111

105

010

001

Baris II dibagi 2

400

2/310

111

105

02/10

001

Baris I kurangi baris II

400

2/310

2/101

105

02/10

02/11

Baris III bagi dengan –4

100

2/310

2/101

4/104/5

02/10

02/11

Tambahkan –3/2 x baris III kepada baris II

100

010

2/101

4/104/5

8/32/18/15

02/11

Tambahkan ½ x baris III kepada baris I

100

010

001

4/104/5

8/32/18/15

8/12/18/13

Diperoleh A-1 =

4/104/5

8/32/18/15

8/12/18/13

2) A =

155

320

111

Carilah invers A

Jawab :

A11 = +15

32 = 2 – 15 = -13

A12 = - 15

30 = -(0 – 15) = 15

A13 = +55

20 = 0.5 – 10 = -10

A21 = -15

11 = -(1-5) = 4

A22 = +15

11= 1-5 = -4

A23 = - 55

11= -(5-5) = 0

A31 = +32

11= 3 – 2 = 1

A32 = - 30

11= -(3-0) = -3

A33 = + 20

11= 2 – 0 = 2

Adjoin A = (kofaktor A)T

Kofaktor A =

231

044

101513

(Kofaktor A)T =

2010

3415

1413

Catatan : untuk mencari AT yaitu merubah baris menjadi kolom .

Atau dengan rumus Adj A =

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

...

.

.

.

.

.

.

...

...

21

22212

12111

Invers A = A-1 = A

Aadj

.det

.;

setelah dicari det A = -8 , sebagai berikut : 1 1 1 1 1

0 2 3 0 2

5 5 1 5 5

det A = 1x2x1 + 1x3x5 +1x0x5 - 5x2x1 -5x3x1 -1x0x1 = -8

maka

A-1 = -1/8

2010

3415

1413

=

4/104/5

8/32/18/15

8/12/18/13

Mencari Invers dengan sekatan (partisi)

Suatu matrik bisa dijadikan partisi-partisi, misalnya :

A =

720

131

312

dan B =

300

321

142

kita sekat-sekat menjadi

A =

720

131

312

dan B =

300

321

142

A dan B bisa dijumlahkan dan dikalikan bila memenuhi syarat-ordo penjumlahan dan perkalian.

AB =

720

131

312

300

321

142

=

373

120007

21

4220

31

3

3

1

31

1200

1

3

21

42

31

12

=

1260042

3

9

10

5

00

00

105

105

=

2742

13

14

105

105

=

2742

13105

14105

Hasil kali ini sama dengan hasil kali mengunakan perkalian biasa.

A =

ihg

fed

cba

kita sekat menjadi

SR

QP

B =

srq

pon

mlk

kita sekat menjadi

WV

UT

Det. (A) = det (P) det (S) – det (Q) det (R)

Syaratnya : P, Q, R, S bujur sangkar

Untuk mencari invers, lakukan prosedur berikut :

Misal : A-1 = B

A =

)()(

)()(

2221

1211

qxq

A

qxp

A

pxq

A

pxp

A

B =

)()(

)()(

2221

1211

qxq

B

qxp

B

pxq

B

pxp

B

p + q = n

Karena AB = BA = In, maka diperoleh :

1) A11 B11 + A12 B21 = Ip

2) A11 B12 + A12 B22 = 0

3) B21 A11 + B22 A21 = 0

4) B21 A12 + B22 A22 = Iq

Misalkan B22 = L-1, maka diperoleh :

a) dari 2) B12 = -(A11-1 A12) L

-1

b) dari 3) B21 = - L-1 (A21 A11) -1

c) dari 1) B11 = A11-1 - A11

-1 A12 B21

= A11-1 +( A11

-1 A12) L-1 (A21 A11

-1)

d) bila didistribusikan ke dalam 4), maka

- L-1 (A21 A11 –1)A12 + L-1 A22 = Iq

L = A22 - (A21 A11 –1)A12

= A22 – A21 (A11-1 A12)

A11 harus nonsingular

Contoh Soal

Carilah invers A =

431

341

331

dengan partisi

Penyelesaian :

Misalkan kita partisikan A menjadi

431

341

331

Berarti :

A11 =

41

31 A21 = 31

A12 =

3

3 A22 = 4

A11-1 =

34

1

11

34 =

11

34

A11-1 A12 =

11

34

3

3 =

0

3

A21 A11-1 = 31

11

34 = 01

L = A22 – A21 (A11-1 A12) = 4 - 31

0

3 = 1

L-1 = (1) karena (1) (1) = I

B11 = A11-1 + (A11

-1 A12) L-1 (A21 A11

-1)

=

11

34 +

0

3 1 01

=

11

34 +

00

03

=

11

37

B12 = -(A11-1 A12) L

-1 = -

0

3 1 =

0

3

B21 = - L-1 (A21 A11-1)

= - 1 01

= 01

B22 = L-1 = 1

Jadi A-1 =

2221

1211

BB

BB =

101

011

337

Determinan :

dan Mjk adalah determinan orde n-1, yaitu penentu submatriks dari A yang diperoleh dari A dengan menghilangkan baris dan kolom dari entry ajk , yaitu baris ke-j dan kolom ke-k. Dengan cara ini, D didefinisikan dalam hal penentu n rangka n-1, yang masing-masing, pada gilirannya, didefinisikan dalam istilah n-1 determinan orde n-2, dan seterusnya, kami akhirnya tiba di urutan kedua penentu, di mana submatriks terdiri dari entri tunggal yang determinan didefinisikan sebagai entri sendiri. Dari definisi tersebut maka kita dapat memperluas D oleh setiap baris atau kolom, sama ketika memperluas itu cjk dalam (3) dan seterusnya. Dari definisi tersebut maka kita dapat memperluas D oleh setiap baris atau kolom, sama ketika memperluas itu cjk dalam (3) dan seterusnya. Definisi ini adalah un ambigous, yaitu, menghasilkan nilai yang sama untuk D tidak peduli yang kolom atau baris yang kita pilih dalam memperluas. Sebuah bukti untuk diberikan dalam App.4

perilaku merupakan penentu n-order di bawah operasi baris elementer. (a) Pertukaran dua baris mengalikan nilai determinan by-1 (b) Penambahan kelipatan dari baris tidak mengubah nilai determinan (c) perkalian baris dengan konstanta c nol mengalikan nilai determinan dengan c (ini berlaku juga ketika c = 0, tapi tidak memberikan lagi suatu operasi baris elementer Contoh : Hitung determinan dari matriks ordo 4x4 berikut :

1 0 0 -1

D 3 4 2 -1

2 -1 4 -3

-2 3 1 2

Penyelesaian :

Atau cara lain :

RUANG VEKTOR RUANG VEKTOR EUCLIDIS Ruang Vektor yang paling elementer adalah ruang vektor Euclidis yaitu dalam Rn, n=1,2,3, … Untuk lebih jelasnya kita tinjau Ruang Vektor Euclidis R2, vektor-vektor dalam R2 bisa digambarkan secara geometris oleh segmen2 garis berarah . Gambaran geometris ini akan membantu kita membayangkan bagaimana operasi-operasi perkalian dan penjumlahan

skalar bekerja dalam R2 . Jika diberikan satu vector x = (𝑥1

𝑥2) , maka kita dapat

mengasosiasikannya dengan segmen garis dalam bidang dari (0,0) ke (x1, x2) (lihat gambar 1) . Jika kita menyamakan segmen2 garis yang memiliki