integral rangkap 2

INTEGRAL RANGKAP 2 1

INTEGRAL RANGKAP 2

Integral rangkap dua adalah integral yang mengalami pengintegralan sebanyak 2 kali , ada

tiga cara untuk menyelesaikan integral ini yaitu:

A. Menggunakan koordinat cartesian

B. Menggunakan teorima fubini

C. Menggunakan koordinat kutub

A. MENGGUNAKAN KOORDINAT CARTESIAN

Misal diketahui fungsi dua variable .fungsi ini akan kita cari hasil

integrasinya terhadap variable x dan y, yaitu:

Cara penyelesaianya:

1. Integralkan terlebih dahulu terhadap X kemudian diintegralkan lagi terhadap Y.

2. Saat menintegralkan terhadap variable X, maka kita menganggap variable lain

sebagai konstanta. Begitu juga sebaliknya, bila kita integralkan terlebih dahulu

terhadap variable Y maka variable yang lain dianggap sebagai konstanta.

Untuk soal diatas kita akan mencoba untuk mengintegralkannya tehadap X dan Y

a. Tehadap X b. Terhadap Y

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=


Integrasi dari fungsi dengan dua peubah

Contoh penerapan

Untuk menghitung integral rangkap dua dari z = f(x,y) atas daerah berbentuk persegi

panjang D diatas dapat dilakukan sebagai berikut:

1. Luas penampang benda yang tegak lurus terhadap sumbu Y dengan c y d , misal

A( ) adalah:

2. Volume bangun ruang merupakan jumlah volume :

Untuk

integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas daerah D dapat diselesaikan dengan cara berikut :

Dengan menggunakan pendekatan yang sama seperti di atas, integral rangkap dua dari z = f (

x,y ) atas daerah D dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut:

Metode penyelesaian integral rangkap dua di atas dinamakan Iterasi Integrasi.

Contoh:

Hitung integral


CONTOH

Terhadap X

( )

=

Terhadap Y

( (

( )

=


B. MENGGUNAKAN TEOREMA FUBINI

Gaudio Fubini ( 1879 – 1943) menunjukkan bahwa integral ganda dari suatu fungsi kontinu dapat

ditentukan dengan integral berulang. Selanjutnya teknik ini dikenal dengan Teorema Fubini.

1. Teorema Fubini pada daerah segiempat:

Jika R = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

Maka

2. Teorema Fubini untuk daerah sembarang

Ada dua tipe , seperti pada dua gambar berikut:


Contoh:


Hitung

Dimana R={(x,y)|-1 ≤ x ≤ 1, 2 ≤ y ≤ 1+ }

Penyelesaian:

[


Hitung

Penyelesaian:

I. Daerah R adalah sebagai berikut:


III..Daerah R sebagai berikut:

Maka diperoleh:

Catatan`:

Aturan integrasi:

Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua

tergantung dari bentuk D (daerah integrasi).

Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu

merubah urutan pengintegralan. Hal ini dapat

disebabkan dengan perubahan urutan pengintegralan

akan memudahkan dalam proses integrasinya.

Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat

menggambarkan daerah integrasi, selanjutnya kita

dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada

sketsa daerah integrasi yang sama.


Contoh: Hitung :

R daerah yang dibatasi oleh x = , y =1, sumbu y


C. MENGGUNAKAN KOORDINAT KUTUB

Kadang-kadang perhitungan integral rangkap dua dalam koordinat cartesius ( x dan y )

membutuhkan perhitungan yang rumit. Untuk lebih menyederhanakan perhitungan kita

kenalkan koordinat kutub ( polar ). Misal ( x,y ) merupakan titik pada koordinat cartesius.

Maka dalam koordinat kutub didapatkan hubungan : x = r cos dan y = r sin . Integral

rangkap dua dari f ( x,y ) atas daerah R dapat dituliskan :

dalam koordinat kutub : dA = | J(r,) | dr datau dA = | J(r,) | ddr dengan

sehingga bentuk integral dalam koordinat kutub dituliskan berikut :


Contoh

Gunakan koordinat kutub untuk menyelesaikan

integral rangkap 2

Documents