Integral danPersamaan Diferensial

Sudaryatno Sudirham

Bahan Kuliah Terbuka

dalam format pdf tersedia di

www.buku-e.lipi.go.id

dalam format pps beranimasi tersedia di

www.ee-cafe.org

Bahasan akan mencakup

1. Integral Tak Tentu2. Integral Tentu3. Persamaan Diferensial

1. Integral Tak Tentu

Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x

tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan

)(xfdx

dy =

Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti inidisebut persamaan diferensial.

036

652

222

2

2

=++

++=

yxdx

dyxy

dx

yd

xxdx

dy

Contoh persamaan diferensial

Pengertian-Pengertian

)(xFy =Suatu fungsi dikatakan merupakan solusi dari persamaan diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat

memenuhi

)()(

xfdx

xdF =

)(xfdx

dy =Tinjau persamaan diferensial

[ ]0

)()()( +=+=+dx

xdF

dx

dK

dx

xdF

dx

KxFdKarena maka

KxFy += )(fungsi juga merupakan solusi

Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum

KxFdxxf +=∫ )()(

dxxfxdF )()( =

Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral tak

tentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari

)()(

xfdx

xdF =

dapat dituliskan

45xdx

dy =

dxxdy 45=

dxxxd 45 5)( =

Kxxddxxy +=== ∫∫ 554 )(5

Cari solusi persamaan diferensial

ubah ke dalam bentuk diferensial

Kita tahu bahwa

Contoh:

oleh karena itu

Carilah solusi persamaan

yxdx

dy 2=

Contoh:

dxyxdy 2= kelompokkan peubah sehinggaruas kiri dan kanan mengandung

peubah berbedadxxdyy 22/1 =−

( ) dyyyd 2/12/12 −= dxxxd 23

3

1 =

( )

= 32/1

3

12 xdyd

Jika kedua ruas diintegrasi

23

12/1

3

12 KxKy +=+

KxKKxy +=−+= 312

32/1

3

1

3

12

Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini

dapat memperingan upaya pendugaan tersebut.

Kydy +=∫

1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K.

∫∫ = dyaady

2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan

1 jika ,1

1−≠+

+=

+

∫ nKn

ydyy

nn

3. Jika bilangan n ≠ −1, maka integral dari yndy diperoleh dengan menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan (n + 1).

Penggunaan Integral Tak Tentu

Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang.

Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang

dimiliki oleh K.

kurva 210xy =adalah kurva bernilai tunggal

50

100

-5 -3 -1 1 3 5x

y = 10x2

y

50

100

-5 -3 -1 1 3 5

K1

K2

K3

yi = 10x2 +Ki

y

x

Kxdxx +=∫ 2

310

3

10kurva

adalah kurva bernilai banyak

Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal.

Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai

30 =sPosisi benda pada waktu t = 0 adalah ; tentukanlah posisi benda pada t = 4.

Contoh:

tatv 3==kecepatan percepatan waktu

dt

dsv =Kecepatan adalah laju perubahan jarak,

dt

dva =Percepatan adalah laju perubahan kecepatan,

.

vdtds =

∫ +=+== KtKt

atdts 22

5,12

3

274 =ssehingga pada t = 4 posisi benda adalah

K+= 03 3=KKondisi awal: pada t = 0, s0 = 3 35,1 2 += ts

Luas Sebagai Suatu Integral

Luas Sebagai Suatu Integral

)(xfy =Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurvasumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q.

Contoh:y = f(x) =2

y

x0

2

p x x+∆x q

Apx ∆Apx

)(2 xfx

Apx ==∆

∆atau

2)(lim0

===∆

∆→∆

xfdx

dA

x

A pxpx

xKxdxdAA pxpx +=== ∫∫ 22

Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p

Kp += 20 pK 2−=atau

xApx ∆=∆ 2

pxApx 22 −= )(222 pqpqApq −=−=

Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang qxp ≤≤

p x x+∆x q

y

x

y = f(x)

0

f(x)f(x+∆x )

Apx ∆Apx

∆Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan

∆Apx = f(x)∆x atau ∆Apx = f(x+∆x)∆x

xxxfxxfxxfApx ∆∆+≤∆≤∆=∆ )()()( 0

x0 adalah suatu nilai x yang terletak antara x dan x+∆x

Jika ∆x → 0: )(lim0

xfdx

dA

x

A pxpx

x==

∆

∆

→∆KxFdxxfdAA pxpx +=== ∫∫ )()(

] qppq xFpFqFA )()()( =−=

2. Integral Tentu

Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas.

Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai

suatu limit.

p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0

Bidang dibagi dalam segmen-segmen

Luas bidang dihitung sebagai jumlah luas

segmen

p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0 p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0

Luas tiap segmen dihitung

sebagai f(xk)×∆xk

Luas tiap segmen dihitung

sebagai f(xk+∆x)×∆xk

Ada dua pendekatan dalam menghitung luas segmen

kkkkkk xxxfxxfxxf ∆∆+≤∆≤∆ )()()( 0

k

n

kk

n

kkk

n

kkk xxxfxxfxxf ∆∆+≤∆≤∆ ∑∑∑

=== 110

1

)()()(

Jika ∆xk → 0 ketiga jumlah ini mendekatisuatu nilai limit yang sama

p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0 p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0

Luas tiap segmen dihitungsebagai f(xk)×∆xk

Luas tiap segmen dihitungsebagai f(xk+∆x)×∆xk

Jika x0k adalah nilai x di antara xk dan xk+1 maka

Nilai limit itu merupakan integral tentu

∫=q

ppq dxxfA )(

] )()()()( pFqFxFdxxfA qp

q

ppq −=== ∫

p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0

Luas bidang menjadi

Luas Bidang

Apx adalah luas bidang yang dibatasi oleh y=f(x) dan sumbu-x dari p sampaix, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas sumbu-x dikurangi

dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x.

Definisi

xxy 123 −=Luas antara dan sumbu-x dari x = −3 sampai x = +3.

Contoh:

xxy 123 −=

-20

-10

0

10

20

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

75,33)5425,20(0

64

)12(

0

3

240

3

3

=−−−=

−=−=

−−∫ x

xdxxxAa

75,33)0(5425,20

64

)12(

3

0

243

0

3

−=−−=

−=−= ∫ x

xdxxxAb

5,67)755,33(75,33 =−−=−= bapq AAA

Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisimengenai Apx, formulasi

( )))()( pFqFdxxfAq

p−== ∫

tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di bawah sumbu-x

p

q

y

xA4

A1

A2

A3

y = f(x)

( )))()( pFqFdxxfAq

ppq −== ∫

4321 AAAAApq +−+−=

Luas Bidang Di Antara Dua Kurva

)(11 xfy = )(22 xfy =berada di atas

p q

y

x0

y1

y2

x x+∆x

∆Apx

{ } xxfxfAA pxsegmen ∆−=∆= )()( 21

Rentang qxp ≤≤dibagi dalam n segmen

{ }∑∑∆−=

=∆−=

xqx

px

n

segmen xxfxfA )()( 211

jumlah semua segmen:

{ }∫∑ −==∞→ q

p

n

segmenpq dxxfxfAA )()(lim 211

Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga ∆x menuju nol kita sampai pada suatu limit

{ } ] 30)12(186)2(4( 32

3

2=−−==−−= +

−+

−∫ xdxApq

41 =y 22 −=yJika dan

berapakah luas bidang antara y1 dan y2

dari x1 = p = −2 sampai x2 = q = +3.

Contoh:

21 xy = 42 =yJika dan

berapakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.

Contoh:

Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada perpotongan antara y1 dan y2.

2 ,24 212

21 ==−==⇒=→= qxpxxyy

3

32

3

16

3

16

3

88

3

88

34)4(

2

2-

32

2

2

=−−=

−−−−

−

−=−= ∫−

xxdxxApq

0

2

4

-2 -1 0 1 2

y2

y1y2

di atas y1

y

x

221 +−= xy xy −=2Jika dan

berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.

Contoh:

Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva

22

811 ;1

2

811

02atau 2

2

2

2

1

2221

=−

+−−==−=−

++−==

=++−−=+−→=

qxpx

xxxxyy

5,4 22

1

3

142

3

8

223

)2(

2

1

232

1

2

=

−+−−−

++−=

++−=++−=

−−∫ x

xxdxxxApq

-4

-2

0

2

4

-2 -1 0 1 2

y1 di atas y2

y1

y2

y

x

Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan 200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam ?

Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan energi diberi simbol w, maka

yang memberikan dt

dwp = ∫= pdtw

[kWh]hour Watt kilo 8,0

[Wh]r Watt.hou800100 10080

8

0

8

0

=

==== ∫∫ tdtpdtw

Penerapan Integral

Contoh:

Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam adalah

dt

dqi = ∫= idtq

coulomb 625,02

25,1

2

05,005,0

5

0

5

0

25

0===== ∫∫ ttdtidtq

Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ?

sehingga

Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah

Contoh:

Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.

Volume Sebagai Suatu Integral

Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untuk menghitung volume.

Balok

∆x

Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+∆x) adalah luas irisan di sebelah kanan

maka volume irisan ∆V adalah

xxxAVxxA ∆∆+≤∆≤∆ )()(

Volume balok V adalah ∑ ∆=q

p

xxAV )(

luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+∆x).

Apabila ∆x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti maka kita memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu: ∑ ∆≈

q

p

xxAV )(

Jika ∆x menuju nol dan A(x) kontinyu antara p dan q maka : ∫∑ =∆=

→∆

q

p

q

pox

dxxAxxAV )()(lim

Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x

y

x

∆x

O Q

P

A(x) adalah luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaan garis OP.

[ ] ∫∫∫ π=π==hhh

dxxmdxxrdxxAV0

22

0

2

0)()(

m : kemiringan garis OP h : jarak O-Q.

3

3

PQ/OQ)(

32

3232

kerucuth

rhhm

V π=π=π=

Jika garis OP memotong sumbu-y makadiperoleh kerucut terpotong

Rotasi Bidang Sembarang

y

x

∆x

0 a b

f(x)

( ) ( )22 )()()( xfxrxA π=π=

( )∫ π=b

adxxfV 2)(

Rotasi Gabungan Fungsi Linier

Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada gambar di samping initerdapat tiga rentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volume total sebagai jumlah volume dari tiga bagian.

y

x

∆x

0 a b

f2(x)f1(x)

f3(x)

3. PersamaanDiferensial Orde-1

Pengertian

Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:

1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau fungsi dengan satu peubah bebas.

2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan.

3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

xex

y

dx

yd

dx

yd =+

+

+

12

5

2

22

3

3

Contoh:

adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat satu atau lebih turunan fungsi.

Solusi

Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

0=+− −− xx keke

xkey −= 0=+ ydt

dyadalah solusi dari persamaan

xkey −=xke

dt

dy −−=karena turunan adalah

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan akan kita peroleh

Contoh:

Persamaan terpenuhi.

Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang mengandung n tetapan sembarang.

Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang

Dapat Dipisahkan

Pemisahan Peubah

Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaandiferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk

0)()( =+ dxxgdyyf

Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

∫∫ =+ Kdxxgdyyf ))()(

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda

yxedx

dy −=

0=− dxedye xy

y

x

e

e

dx

dy =Persamaan ini dapat kita tuliskan

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagaipersamaan dengan peubah terpisah

Kee xy =− Kee xy +=sehingga atau

Contoh:

Kdxedye xy =− ∫∫Integrasi kedua ruas memberikan:

Contoh:xydx

dy 1=

0=−x

dxydy

Kx

dxydy =− ∫∫

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk

Kxy =− ln2

2

Kxy ′+= 2ln

atau

x

dxydy = atau

Integrasi kedua ruas:

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu

Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan dalam bentuk

=x

yF

dx

dy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah bebas baru

x

yv =

vxy =

dx

dvxv

dx

dy +=)(vFdx

dvxv =+

0)(

=−

+vFv

dv

x

dx

Pemisahan peubah:

yang akan memberikan

dan

vvFdx

dvx −= )(

x

dx

vvF

dv =−)(

atau:

Contoh: 02)( 22 =++ xydydxyx

02)1(2

22 =++ xydydx

x

yxUsahakan menjadi homogen

dyx

ydx

x

y2)1(

2

2−=+

)/()/(2

)/(1 2xyF

xy

xy

dx

dy =+−=

Peubah baru v = y/x

vxy =

dx

dvxv

dx

dy += v

v

dx

dvxv

2

1 2+−=+

v

v

v

vv

dx

dvx

2

31

2

1 22 +−=+−−=

x

dx

v

vdv −=+ 231

2 031

22

=+

+v

vdv

x

dxPeubah terpisah atau

)(2

1 2vF

v

v

dx

dy =+−=

Kita harus mencari solusi persamaan ini untuk mendapatkanv sebagai fungsi x.

031

22

=+

+v

vdv

x

dx

dx

xd

x

)(ln1 =

)6(31

1

)31(

)31(

)31ln()31ln(2

2

2

22v

vdv

vd

vd

vd

dv

vd

+=+

++=+Kita coba hitung

KKvx ′==++ ln3

1)31ln(

3

1ln 2

0)31ln(

3

1 2=++ dv

dv

vd

x

dx

KKvx ′==++ ln)31ln(ln3 2

Kvx ′=+ )31( 23

( ) Kxyx ′=+ 23 )/(31 ( ) Kyxx ′=+ 22 3

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x dan kita tahu bahwa

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubahbentuk persamaan menjadi

Integrasi ke-dua ruas:

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu

Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan

Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan

pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.

Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum sebagai

)(tfbydt

dya =+

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi. Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga, yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia

merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.

QPydx

dy =+Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.

Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara pendugaan

Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah

fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan

homogen

0=+ bydt

dya

Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai

a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian.

Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi

penggerak.

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaanyang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,

maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,sebab

( )

0

)(

11

22

11

2121

++=+++=

+++=+

bfdt

dfabf

dt

dfabf

dt

dfa

ffbdt

ffdaby

dt

dya

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah

dari solusi khusus dan solusi homogen.

Solusi Homogen

Persamaan homogen 0=+ bydt

dya

Jika ya adalah solusinya maka

0=+ dta

b

y

dy

a

a

Integrasi kedua ruas memberikan

Kta

bya =+ln

sehingga

Kta

bya +−=ln

taba

Kta

b

a eKey )/(−+−==

Inilah solusi homogen

)(tfbydt

dya p

p =+

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.

tKtKytAtftAtf

KeyAetf

KyAtf

ytf

scp

tp

t

p

p

ω+ω=→ω=ω=

==→==

==→==

=→=

αα

sincos cos)(atau , sin)( Jika

aleksponensi al,eksponensi)( Jika

konstan konstan,)( Jika

00)( Jika

Jika solusi khusus adalah yp , maka

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) inidapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk sepertiitulah persamaan diferensial dapat dipenuhi

Jika dugaan solusi total adalahtab

aptotal eKyy )/(−+=

Masih harus ditentukan melalui kondisi awal.

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan

01000 =+ vdt

dv

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.

Contoh:

Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi khusus bernilai nol.

01000 =+ dtv

dv

Ktv +−= 1000ln

ta

Kt eKev 10001000 −+− ==

Penerapan kondisi awal: aK=12

Solusi total: V 12 1000tev −=

Contoh: Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan

1210 3 =+− vdt

dv

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah tanggapan lengkap.

Solusi homogen: 010 3 =+−a

a vdt

dv0103 =+ dt

v

dv

a

a

taa eKv 1000−=

Solusi khusus: 12=pv karena f(t) = 12

Solusi total (dugaan):t

atotal eKv 100012 −+=

Penerapan kondisi awal: aK+= 120 12−=aK

Solusi total: V 1212 1000ttotal ev −−=

Contoh:

tvdt

dv10cos1005 =+

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien

menghasilkan persamaan

Carilah solusi total.

Solusi homogen: 05 =+ aa v

dt

dv05 =+ dt

v

dv

a

a

Ktva =+ 5ln taa eKv 5−=

Solusi khusus: tAtAv scp 10sin10cos +=

ttAtAtAtA scsc 10cos10010sin510cos510cos1010sin10 =+++−

ttAtA cs 10cos10010cos510cos10 =+ 100510 =+ cs AA

010sin510sin10 =+− tAtA sc 0510 =+− sc AA

8=sA 4=cA

Solusi total (dugaan): taeKttv 510sin810cos4 −++=

Penerapan kondisi awal: aK+= 40 4−=aK

Solusi total : tettv 5410sin810cos4 −−+=

Bahan Kuliah Terbuka

Integral danPersamaan Diferensial

Sudaryatno Sudirham