integral
DESCRIPTION
INTEGRAL. Kalkulus Teknik Informatika. PENDAHULUAN. INTEGRAL. DIFERENSIAL. Contoh Integral. Temukan anti turunan dari Dari teori derivarif kita tahu. Teorema A : Aturan Pangkat. Jika r adalah se m barang bilangan rasional kecuali (-1), maka : Jika r = 0 ? - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/1.jpg)
INTEGRAL
Kalkulus Teknik Informatika
![Page 2: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/2.jpg)
PENDAHULUAN
INTEGRAL DIFERENSIAL
![Page 3: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/3.jpg)
Contoh Integral
Temukan anti turunan dari Dari teori derivarif kita tahu
34)( xxf 4)( xxF
![Page 4: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/4.jpg)
Teorema A : Aturan Pangkat Jika r adalah sembarang bilangan rasional kecuali
(-1), maka :
Jika r = 0 ? Perhatikan bahwa untuk anti derivatif suatu pangkat
dari x kita tambah pangkatnya dengan 1 dan membaginya dengan pangkat yg baru.
Anti turunan sering disebut dengan Integral Tak Tentu Dalam notasi disebut tanda integral,
sedangkan f(x) disebut integran
Cxdxx rr
r
11
1
,)( dxxf
![Page 5: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/5.jpg)
Teorema B : Kelinearan integral tak tentu
Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan k adalah konstanta, maka
1. k f(x) dx = k f(x) dx2. [ f(x) + g(x) ] dx = f(x) dx + g(x) dx3. [ f(x) - g(x) ] dx = f(x) dx - g(x) dx
![Page 6: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/6.jpg)
Teorema C Aturan pangkat yang diperumum
Cxgdxxgxg rr
r
11
1 )]([)(')]([
Andaikan g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bil rasional bukan (-1), maka :
1,11
1 rCuduu r
rr
![Page 7: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/7.jpg)
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
RUMUS DASAR INTEGRAL
![Page 8: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/8.jpg)
RUMUS DASAR INTEGRAL
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
![Page 9: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/9.jpg)
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
RUMUS DASAR INTEGRAL
![Page 10: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/10.jpg)
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
RUMUS DASAR INTEGRAL
![Page 11: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/11.jpg)
CONTOH SOAL INTEGRAL BIASA
Tentukan :1. Berapa nilai dari 2. Berapa nilai dari3. Berapa nilai dari
4. Berapa nilai dari
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
dxx10x 49 1005
dx7)(x x60 1932
dxx
50x5
4
10
dxe40x 7x61
![Page 12: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/12.jpg)
Berapa nilai integral dari :
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
CONTOH SOAL INTEGRAL TRIGONOMETRI
dx x Cosx Sin 36 17
dx4x Sin 10
dx2x Tan 12
dx x Cos3x Sin 8
![Page 13: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/13.jpg)
Integral Tentu
Teorema Kalkulus yg pentingJika fungsi f(x) kontinu pada intervala ≤ x ≤ b, maka
dimana F(x) adalah integral dari fungsi f(x) pada a ≤ x ≤ b.
b
a
aFbFdxxf )()()(
![Page 14: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/14.jpg)
CONTOH SOAL
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
dxxx 1
2
3 3
Berapa nilai dari integral berikut ?
dxxx 2
1
2 123
dxx 3
1
2 1
![Page 15: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/15.jpg)
Contoh
Solusi=
=
=
dxxx 1
2
3 3
1
2
24
23
4
xx
6423
41
418
![Page 16: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/16.jpg)
Contoh
Solusi=
= 14-13 = 11
dxxx 2
1
2 123
2123 xxx
![Page 17: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/17.jpg)
Contoh:Carilah area dibawah kurva dari fungsi berikut ini
Solusi
3
1
2 1 dxxA
dxx 3
1
2 1
3
1
3
3
xx
1
3139
3412 67.10
![Page 18: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/18.jpg)
Grafik
1)( 2 xxf
![Page 19: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/19.jpg)
Area diantara dua kurva
Area diantara 2 kurva f(x) dan g(x)
b
a
dxxgxfA )()(
![Page 20: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/20.jpg)
Contoh Carilah area R yang berada diantara kurva dan
kurva
Solusi Carilah titik pertemuan antara 2 kurva
=> => x=1 or x=0
=> = = =
3xy 2xy
23 xx 012 xx
1
0
23 dxxxA1
0
34
34
xxA
31
41
121
121
![Page 21: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/21.jpg)
Contoh Carilah area yang dibatasi oleh garis dan kurva
SolusiCarilah titik pertemuan:
23 3xxy xy 4
xxx 43 23
0432 xxx 014 xxx
1,4,0 xxx
1
0
230
4
23 4343 dxxxxdxxxxA
1
0
2340
4
234
24
24
xxxxxxA
21
41)4(2)4(4
410 234A
4332 A
4332A
![Page 22: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/22.jpg)
Sifat-sifat Integral Tentu
INTEGRAL
![Page 23: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/23.jpg)
Sifat-sifat Integral Tentu
INTEGRAL
![Page 24: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/24.jpg)
Volume Benda Putar
![Page 25: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/25.jpg)
Metode Cakram
![Page 26: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/26.jpg)
Metode Cakram
![Page 27: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/27.jpg)
Metode Cakram
![Page 28: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/28.jpg)
Metode Cakram
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
![Page 29: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/29.jpg)
Contoh 1 (296/7)
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
![Page 30: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/30.jpg)
Contoh 2
![Page 31: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/31.jpg)
Metode Kulit Tabung
![Page 32: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/32.jpg)
Metode Kulit Tabung
![Page 33: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/33.jpg)
Metode Kulit Tabung
![Page 34: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/34.jpg)
Metode Kulit Tabung
![Page 35: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/35.jpg)
Contoh
![Page 36: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/36.jpg)
Latihan
![Page 37: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/37.jpg)
Integral Parsial 37
Integral Partial
Berdasarkan pada pengitegralan rumus turunan hasil dua kali fungsi :
Jika u dan v adalah fungsi x yang dapat dideferensiasi :
d(uv) = udv + vduudv = d(uv) – vdu
vduuvudv
![Page 38: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/38.jpg)
Integral Parsial 38
Aturan yg hrs diperhatikan
1. Bagian fungsi yang dipilih sebagai dv harus dapat segera diintegrasikan
2. tidak boleh lebih sulit daripada vdu udv
Contoh 1 :
xdxx cos
a. Misal : u = x dv = cos x dx du = dx v = sin x
![Page 39: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/39.jpg)
Integral Parsial 39
Rumus integralnya :
xdxxxdxxx sinsincos
= x sin x + cos x + cb. Misal diambil :
u = cos x dv = x dxdu = -sin x dx v = x2/2
Rumus Integral Parsialnya :
)sin(22
)(coscos22
dxxxxxdxxx
Integralnya lebih susah
u dv u v - v du
Penting Sekali pemilihan u dan v
![Page 40: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/40.jpg)
Integral Parsial 40
Pengintegralan Parsial Berulang
Seringkali ditemui pengintegralan parsial berulang beberapa kali
xdxx sin2
Misal : u = x2 dv = sin x dxdu = 2x dx v = -cos x
Maka :
xdxxxxxdxx cos2cossin 22
- Tampak bahwa pangkat pada x berkurang- Perlu pengintegralan parsial lagi
![Page 41: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/41.jpg)
Integral Parsial 41
Dari contoh 1 :
xdxx sin2
)cossin(2cossin 22 cxxxxxxdxx
= -x2cos x + 2x sinx + 2 cos x + K
![Page 42: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/42.jpg)
Integral Parsial 42
Contoh 3 :
xdxex sin
xdxexexdxe xxx coscoscos
Misal : u = ex dan dv = sinx dxdu = exdx dan v = - cosx
Maka :
Perlu penerapan integral parsial dalam integral kedua
xdxex cos u = ex dv = cos x dxdu = exdx v = sin x
![Page 43: INTEGRAL](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081416/568165c1550346895dd8c748/html5/thumbnails/43.jpg)
Integral Parsial 43
Sehingga :
xdxexexdxe xxx sinsincosBila hasil ini disubstitusikan pada hasil pertama
xdxexexexdxe xxxx sinsincossin
Cxexexdxe xxx sincossin2
Kxxexdxe xx )sin(cos21sin