integral 1

INTEGRAL

INTEGRAL

1.ANTI TURUNANDefinisi

Contoh :

1. F(x) = cos x anti turunan dari f (x) = (sin x sebab F(x) = (sin x

2. a(x) = 2x2 anti turunan dari f (x) = 4x sebab a (x) = 4x

3. v(x) =

x 3 anti turunan dari g(x) = x2 sebab v (x) = x2

Definisi

Definisi

Bentuk

f (x) dx dinamakan integral tak tentu dari fungsi y = f (x)

Lambang dinamakan integral yaitu merupakan operasi anti differensial

Dalil 1

Dalil 2

Contoh :

1.Hitung

Jawab :

= = + 5x + C

2.Tentukan

Jawab :

=

=

3.Tentukan

Jawab :

=

=

=

4.Tentukan

Jawab :

= =

=

5.Tentukan dx

Jawab :

dx = dx =

=

=

6. Gradien garis singgung pada grafik y = (x) di setiap titik (x , y) dinyatakan oleh bentuk dy/dx = 2x ( 5. Bila grafik y = f (x) melalui titik A (1 , 7), tentukan persamaan fungsi y = f (x) !

Jawab :

= 2x ( 5( dy = (2x - 5) dx

( dy = (2x ( 5) dx ( y = = x2 ( 5x + C

Grafik melalui titik A(1 , 7), jadi 7 = 12 ( 5(1) + C didapat C = 11

Akibatnya persamaan y = f (x) adalah y = f (x) = x2 ( 5x + 11

2. INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSIMisalkan u = u (x) dan y = f (u) masing-masing anti turunan dari u'(x) dan f ' (u), maka :

Bentuk integral di atas, dikenal dengan bentuk integral dengan subtitusi.

Dalil 3

Contoh :

1.

2.

3.

4.

5.

= =

=

3.INTEGRAL PARSIALMisalkan u = u(x) dan v = v(x) fungsi-fungsi yang differensiabel pada daerahnya, maka

dinamakan bentuk integral parsial.

Contoh :

1. Tentukan

Jawab :

Misalkan u = x dan dv = sin x dx, maka didapat du=dx dan v = (cos x

= ( x cos x ( = .. dst.

2. Tentukan dengan rumus integrasi parsial

Jawab :

Misalkan u = x dan dv = maka du = dx dan v = 2

=2x( dst.

4.INTEGRAL TERTENTU

Definisi

Bentuk integral di atas disebut integral tertentu dari y = f(x)

a dan b disebut batas integral dengan a merupakan batas bawah dan b merupakan batas atas.Dalil 4

Contoh :

1. Hitung

Jawab :

= 1/3 x3 x2 ( =

2. Hitung

Jawab : = .sin (2t (() ( = [sin (2( ( () sin (0 ( ()]

= [sin ( sin (( ()] = 0

3. Hitung

Jawab : =

EMBED Equation.3 ( =

=

5.LUAS DAERAH

Misalkan y = f(x) berharga positif pada daerah a ( x ( b dan kontinu pada daerah tersebut, maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = f(x) dengan sumbu x dari x = a ke x = b adalah

Bila y = f(x) berharga negatif pada daerah a ( x ( b maka luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x) dengan semubu x dari x = a ke x = b adalah

Misalkan f(x) ( g (x) pada daerah a ( x ( b maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = f(x) dan y = g(x) adalah

1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = (x2 + 2x dengan sumbu x

Jawab :L =

= (

= ((. 8 + 4) 0 =

2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dengan garis y = x + 8

Jawab :

y = x2... (1)

y = x + 6 (2)

Dari (1) dan (2) didapat

x2 = x + 6

x2 x 6 = 0

x1 = 3 ; x2 = (2

Luas daerah, L =

= (+ 18 9) ( (2 12 + ) = 4 + 51/3 = 21

6.ISI BENDA PUTARMisalkan y = f(x) terdefinisi dan integrabel pada daerah a ( x ( b, bila daerah yang dibatasi oleh y = f(x) dan sumbu x dari x = a ke x = b diputar mengelilingi sumbu x, maka isi benda putar yang terjadi adalah :

Contoh :

1. Tentukan isi benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dari x = 0 ke x =1 diputar mengeliling sumbu x

Jawab :

Isi benda putar yang terjadi

I = (

2.Tentukan isi benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dan garis y = x + 2 diputar mengeliling sumbu x

Jawab :

Batas integral

( x2 = x + 2

x2 x 2 = 0 didapat x1 = (1 dan x2 = 2. Isi benda putar yang terjadi :

I= (

= =

LATIHAN SOAL

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Hitung luas daerah tertutup D yang dibatasi oleh parabola f(x) = 4x ( x2, garis x=1 dan sumbu X.

8. Tunjukkan bahwa

Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I. Fungsi F yang memenuhi F (x) = f (x) pada I dinamakan anti turunan atau fungsi primitif dari fungsi f pada I.

Anti diferensial dari fungsi f pada selang terbuka I adalah bentuk yang paling umum dari anti turunan atau fungsi primitif dari f pada selang tersebut. Jika F'(x) = f(x) pada selang terbuka I, maka anti diferensial dari fungsi f pada I adalah y = F(x) + C, C konstanta.

Misalkan y = F(x) + C adalah anti turunan dari y = f (x) maka : EMBED Equation.2 = F(x) + C

1. EMBED Equation.2 dx = ax + C5. EMBED Equation.2 dx = ln x + C

2. EMBED Equation.2 dx = EMBED Equation.2 + C ; n ( (16. EMBED Equation.2 dx = EMBED Equation.3 + C

3. EMBED Equation.2 dx = ( cos x + C7. EMBED Equation.2 dx = tg x + C

4. EMBED Equation.2 dx = sin x + C8. EMBED Equation.2 dx = ( ctg x + C

1. EMBED Equation.2 dx = EMBED Equation.2 f (x) dx ( EMBED Equation.2 g (x) dx

2. EMBED Equation.2 dx = k. EMBED Equation.2 f (x) dx ; k suatu konstanta.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 5. EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Misalkan y = F(x) anti turunan dari y = f(x) dan masing-masing terdefinisi pada daerah :

a ( x ( b, maka EMBED Equation.3 = F(x) ( EMBED Equation.3 = F(b) F(a)

Bila f(a) terdefinisi, maka EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Word.Picture.8

L = EMBED Equation.3


L = ( EMBED Equation.3


L = EMBED Equation.3




I = ( EMBED Equation.3



1

_997727374.unknown

_997728539.unknown

_997731672.unknown

_997732995.unknown

_997733906.unknown

_997734250.unknown

_997734505.unknown

_997734581.unknown

_997734891.unknown

_997734341.unknown

_997734014.unknown

_997734023.unknown

_997734164.unknown

_997734020.unknown

_997734011.unknown

_997733249.unknown

_997733360.unknown

_997733634.doc

3

-2

0

y = x + 6

y = x2

_997733146.unknown

_997732455.unknown

_997732642.doc

x

y

a

b

f

0

_997732868.unknown

_997732501.unknown

_997732347.unknown

_997731987.unknown

_997728914.unknown

_997731594.unknown

_997731644.unknown

_997731558.unknown

_997729306.unknown

_997731400.unknown

_997731097.unknown

_997729114.unknown

_997728633.unknown

_997728730.unknown

_997728570.unknown

_997727982.unknown

_997728262.unknown

_997728399.unknown

_997728537.unknown

_997728346.unknown

_997728243.unknown

_997728143.unknown

_997727769.unknown

_997727925.unknown

_997727577.unknown

_913609364.unknown

_994977568.unknown

_994979322.unknown

_994984521.doc

L

0

2

X

Y

_997726932.unknown

_997726995.unknown

_997727004.unknown

_997726977.unknown

_995134270.doc

X

Y

0

I

_997726874.unknown

_995135019.doc

2

-1

0

y = x + 2

y = x2

X

Y

_995133477.doc

X

Y

a

b

_994980232.unknown

_994983445.doc

f

a

b

x

y

0

_994979698.unknown

_994980003.unknown

_994978271.unknown

_994979260.unknown

_994979296.unknown

_994979123.unknown

_994978584.unknown

_994978162.unknown

_994978228.unknown

_994978143.unknown

_913609499.unknown

_994975342.unknown

_994976898.unknown

_994977211.unknown

_994977294.unknown

_994975525.unknown

_913609513.unknown

_913609527.unknown

_913609479.unknown

_913609488.unknown

_913609424.unknown

_913609467.unknown

_913609379.unknown

_913609160.unknown

_913609333.unknown

_913609351.unknown

_913609362.unknown

_913609342.unknown

_913609272.unknown

_913609312.unknown

_913609324.unknown

_913609281.unknown

_913609288.unknown

_913609251.unknown

_913609262.unknown

_913609192.unknown

_895382420.unknown

_913609050.unknown

_913609076.unknown

_913609103.unknown

_913609060.unknown

_895391399.unknown

_913609036.unknown

_913599381.doc

a

b

x

g

f

y

_895386194.unknown

_895382570.unknown

_895381989.unknown

_895382137.unknown

_895382197.unknown

_895382054.unknown

_895381496.unknown

_895381062.unknown

_895381216.unknown

_895380651.unknown

integral 1

Documents