pertemuan ke-1 (integral tak tentu & logaritma)
DESCRIPTION
kalkulus lanjutTRANSCRIPT
KALKULUS LANJUT Pertemuan ke-1
Reny Rian Marliana, S.Si.,M.Stat.
Point Penilaian Nilai akhir akan ditentukan dengan komponen sebagai berikut:
• Terstruktur (TST): 20%
• Mandiri (MDR): 20%
• Ujian Tengah Semester (UTS): 20%
• Ujian Akhir Semester (UAS): 40%
Konversi Huruf Mutu :
A >=80
B 70-79,99
C 55-69.99
D 45-54,99
E <45
Aturan Nilai Akhir
1. Tidak ada ujian susulan untuk kuis. 2. Ujian Susulan untuk UTS dan UAS dapat
dilakukan dengan alasan sakit dan menunjukkan surat keterangan sakit dari dokter.
3. Keterlambatan pengumpulan Tugas atau Latihan Soal maksimal satu minggu dengan konsekuensi nilai yang diberikan hanya 80% dari nilai maksimal.
4. Jika terbukti melakukan kecurangan akademik berupa mencontek atau bekerja sama pada saat kuis, UTS dan UAS, maka akan mendapatkan sanksi nilai 0.
Aturan Perkuliahan
1. Toleransi Keterlambatan 15 Menit dari jadwal Perkuliahan
2. Handphone/Smartphone, Tablet dan alat Elektronik pribadi lainnya WAJIB di Silent
3. Tidak berbincang-bincang selama proses belajar mengajar
4. Tidak meninggalkan sampah di ruangan kelas
5. Membawa Kalkulator
Aturan Pengumpulan Tugas
1. Pada setiap jawaban tugas WAJIB mencantumkan Tanggal Penugasan
2. Nama lengkap
3. NIM
4. Kelas
5. Program Studi
Referensi
• Purcell, E. J. et all., Kalkulus Jilid 1 Edisi ke-8, Jakarta, Erlangga, 2003.
• Leithold, Louis. The Calculus with Analytic Geometry, 3rd edition, Happer & Row Publishers, New York. 1976.
• Apostol, Tom M. Calculus Volume 1, 2nd Edition. John Wileu & Sons, Inc. 1967.
• Paul A. Foerster, Calculus, Concepts and Applications, Key Curriculum Press, 2005.
• Robert Oman & Daniel Oman, Calculus for the Utterly Confused, Mc Graw Hill, 1999
Materi
1. Integral Tak tentu
-integral fungi Rasional
-integral fungsi logaritma
-integral fungsi Eksponensial
-integral fungsi Trigonometri
-integral substitusi
-integral parsial
2. Integral Tentu
3. Penggunaan Integral
4. Deret Tak Berhingga
Definisi Integral Tak Tentu
Purcell et all. (2003) : Kita menyebut F suatu antiturunan f pada selang I jika Dx F(x)=f(x) pada I, yakni, jika F’(x)=f(x) untuk semua x dalam I.
Paul A. Foerster (2005) :
Contoh
Mencari suatu fungsi F yang memenuhi F’(x)=4x3 untuk semua x real.
Berdasarkan differensiasi, diketahui bahwa F(x)=x4 pastilah antiturunan.
Lebih lanjut lagi, F(x)=x4 +6 juga memiliki turunan F’(x)=4x3
Dengan demikian :
F(x)=x4 +C adalah antiturunan dari F’(x)=4x3 pada ,
Aturan Pangkat
Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka :
Proof :
Untuk menunjukkan bahwa suatu hasil berbentuk
Cukup menunjukkan :
Dalam kasus ini :
11
1
r rx dx x Cr
f x dx F x C
xD F x C f x
1 111 11 0
1 1
rr r
xD x C r x xr r
Contoh
Carilah antiturunan (integral) dari :
Penyelesaian :
4
3f x x
4
3
4 13
73
1
4 13
3
7
f x dx x dx
x C
x C
Aturan Sin dan Cos
sin cos
cos sin
x dx x C
x dx x C
Aturan Operator Linear
Purcell et all. (2003) :
Integral tak tentu adalah operator linear
Andaikan f dan g mempunyai antiturunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta maka :
i k f x dx k f x dx
ii f x g x dx f x dx g x dx
iii f x g x dx f x dx g x dx
Aturan Operator Linear
Paul A. Foerster (2005) :
Contoh
Dengan menggunakan kelinearan hitunglah :
2
32
2
3 4
3 14
1
a x x dx
b u u du
c t dtt
Contoh
2 2
3 2
1 2
3 2
1 2
3 2
3 4 3 4
3 4
3 2
2
2
a x x dx x dx xdx
x c x c
x x c c
x x C
3 32 2
3 1 221 2 3
522
1 2 3
522
3 14 3 14 1
1 314
3 212
2 314
5 2
2 314
5 2
b u u du u du u du du
u c u c u c
u u u c c c
u u u C
1
22 2
32
1 1
1 2
3
c t dt dt t dtt t
t Ct
Aturan Pangkat yang Digeneralisir
Purcell et all. (2003) :
Andaikan g suatu fungsi terdiferensiasikan dan r suatu bilangan rasional yang bukan -1. Maka :
Paul A. Foerster (2005) :
11
1
r r
g x g x dx g x Cr
Contoh (1)
Hitunglah :
Misalkan :
Maka :
30
4 33 4 3x x x dx
4
3
3
4 3
g x x x
g x x
30 304 3
31
314
3 4 3
1
31
3
31
x x x dx g x g x dx
g x C
x xC
Contoh (2)
Hitunglah :
Misalkan :
Sehingga :
Maka :
5
3 26 6 12x x x dx
3
2
2
6
3 6
3 6
u x x
dux
dx
du x dx
2 26 12 2 3 6 2x dx x dx du
53 2 5 5 6
63
16 6 12 2 2 2
3
16
3
x x x dx u du u du u C
x x K
Persamaan Diferensial
Purcell et all. (2003) :
Sebarang persamaan dengan yang tidak diketahui berupa suatu fungsi yang melibatkan turunan (diferensial) dari fungsi yang tidak diketahui ini disebut sebagai persamaan diferensial.
Firdanza, dkk. (2005) :
Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan dari fungsi satu peubah yang tidak diketahui.
Orde :
turunan tertinggi dari fungsi yang terlibat dalam persamaan
Derajat/pangkat :
pangkat tertinggi dari turunan (tertinggi) fungsi yang terlibat dalam persamaan
Persamaan Diferensial
Contoh :
Persamaan diferensial orde 1, Derajat 1
Persamaan diferensial orde 2, Derajat 1
Persamaan diferensial orde 2, Derajat 5
4dy
ydx
2 sin 0y x
5 4 63 1y y y
Persamaan Diferensial
Definisi 1 :
Fungsi y=g(x) disebut sebagai solusi persamaan diferensial biasa jika y=g(x) disubstitusikan ke dalam persamaan diferensial menghasilkan kesamaan yang berlaku untuk semua x (kesamaan identitas)
Definisi 2 :
Jika y=g(x) memuat konstanta sembarang, maka solusinya disebut solusi umum, sebaliknya disebut solusi khusus.
Contoh :
• y=sin x + c solusi umum dari PDB y’-cos x = 0 , karena
(sin x + c)’- cos x = cos x – cos x =0
• y=cos x + 5 solusi khusus dari PDB y’+ sin x =0 karena
(cos x +5)’+ sin x = -sin x +sin x = 0
Persamaan Diferensial
Pemisahan peubah :
Perhatikan persamaan diferensial
Jika kedua ruas dikalikan dengan y2 dx , akan diperoleh :
Dalam bentuk ini, persamaan diferensial mempunyai peubah-peubah terpisah yakni, suku-suku y berada pada suatu ruas dari persamaan dan suku-suku x pada ruas lainnya.
Dalam bentuk terpisah, kita dapat menyelesaikan persamaan diferensial dengan menggunakan metode integral.
2
2
3dy x x
dx y
2 23y dy x x dx
Persamaan Diferensial Contoh :
Selesaikan persamaan diferensial
Kemudian carilah penyelesaian yang memenuhi y=6 bilamana x=0
Penyelesaian :
y=6 bilamana x=0
2
2
3dy x x
dx y
2 2
2 2
3 2 3
1 2
3 2 3
2 1
3 2 3
2 33
3
3
1 1
3 2
13
2
33
2
33
2
y dy x x dx
y dy x x dx
y c x x c
y x x c c
y x x C
y x x C
2 33
3
36 0 3 0
2
6
216
C
C
C
2 333
3 2162
y x x
Persamaan Diferensial Contoh :
Dekat permukaan bumi, percepatan benda jatuh karena gravitasi adalah 32 kaki per detik kuadrat, asalkan kita menganggap bahwa hambatan udara dapat diabaikan. Jika suatu benda dilempar ke atas dari suatu ketinggian 1000 kaki dengan kecepatan 50 kaki per detik, carilah kecepetan dan tingginya 4 detik kemudian.
Penyelesaian :
Ingat kembali mengenai s(t) yaitu posisi, v(t) yaitu kecepatan dan a(t) yaitu percepatan, pada saat t dari suatu benda yang bergerak sepanjang suatu garis ordinat, maka :
2
2
dsv t s t
dt
dv d sa t v t
dt dt
Persamaan Diferensial
Berdasarkan soal, anggap bahwa tinggi s diukur secara positif ke atas, sehingga v adalah positif dan a adalah negatif (tarikan gravitasi cenderung memperkecil v).
Titik awal persamaan diferensial :
Dengan syarat v=50 , s =1000 pada saat t=0, dengan demikian :
Karena v=50, s=1000 dan t=0, maka
32dv
dt
32
32
32
dv dt
v dt
t C
32
50 32 0
50
v t C
C
C
32 50v t
Persamaan Diferensial
Oleh karena maka :
Karena s=1000 dan t=0, sehingga :
dsv
dt
2
2
32 50
32 50
32 50
3250
2
16 50
dst
dt
ds t dt
s t dt
s t t C
s t t C
1000 16 0 50 0
1000
C
C
216 50 1000s t t
Persamaan Diferensial
Akhirnya untuk t=4 :
Dapat disimpulkan bahwa :
22
32 50 32 4 50 78det
16 50 1000 16 4 50 4 1000 944
kakiv t
s t t kaki
0
2
0
32
32
16 50
a
v t v
s t t s
Fungsi Transenden
Fungsi transenden adalah fungsi yang tidak dapat dinyatakan sebagai sejumlah berhingga operasi aljabar atas fungsi konstan y=k dan fungsi kesatuan y=x.
Integral Fungsi Transenden
Fungsi Tansenden
Logaritma Asli
Eksponensial
Trigonometri
Fungsi Logaritma Asli
Fungsi logaritma asli dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai :
Daerah asalnya adalah himpunan bilangan real positif.
1
1ln 0
x
x dt xt
Fungsi Logaritma Asli
Fungsi Logaritma Asli
Fungsi Logaritma Asli
Turunan Fungsi Logaritma Asli
Jika dan jika f terdiferensiasikan, maka :
1
1 1ln ; 0
x
x xD dt D x xt x
0u f x
1lnx xD u D u
u
Contoh 1
Tentukan
Misalkan maka :
lnxD x
12u x x
1
21
2
12
12
1ln
1 1
2
1
2
x xD x D xx
xx
x
Contoh 2
Tentukan
Misalkan maka
adalah positif jika x<-1 atau x>2, maka daerah asal yaitu
2ln 2xD x x
2 2u x x 0u
2 2 2 1x x x x
2ln ln 2u x x
, 1 2,
2 2
2 2
2 11ln 2 2
2 2x x
xD x x D x x
x x x x
Contoh 3
Buktikan bahwa 1
ln 0xD x xx
10 ln
1 10 ln
x
x x
x x x D xx
x
x x x D x D xx x
Berdasarkan contoh 3 :
Atau
1ln , 0dx x C x
x
1ln , 0du u C u
u
Contoh 4
Carilah integral
Misalkan :
5
2 7dx
x
2 7
2
1
2
u x
du dx
du dx
5 5 1
2 7 2
5 1
2
5ln
2
5ln 2 7
2
dx dux u
duu
u C
x C
Sifat-Sifat Logaritma Asli
Jika a dan b bilangan-bilangan positif dan r sebarang bilangan rasional, maka :
ln1 0
ln ln ln
ln ln ln
ln lnr
i
aii a b
b
iii ab a b
iv a r a
Proof
Sifat (i) :
Sifat (ii) :
Karena untuk x>0
Dan
1
1
1ln1 0dt
t
1 1
lnxD ax aax x
1lnxD x
x
Proof
Sifat (ii) :
Berdasarkan Teorema tentang dua fungsi dengan turunan sama bahwa :
Jika untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikiran rupa sehingga :
Untuk semua x dalam (a,b)
F x G x
F x G x C
Proof
Sifat (ii) :
Untuk menghitung C, ambillah x=1 maka ln a = C, sehingga :
ln
ln
ln ln
F x ax
G x x
ax x C
ln ln lnax x a
Proof
Sifat (iii) : Gunakan a sebagai 1/b dalam sifat (ii) untuk memperoleh :
Jadi :
Dengan menerapkan sifat (ii), diperoleh :
1 1ln ln ln ln1 0b b
b b
1ln ln b
b
1 1ln ln ln ln ln ln
aa a a b
b b b
Proof
Sifat (iv) : Karena untuk x>0,
Dan
juga, berdasarkan teorema yang digunakan pada sifat (ii), diperoleh bahwa :
Andaikan x =1, yang memberikan C=0 maka
11ln r r
x r
rD x rx
x x
1
lnx
rD r x r
x x
ln lnrx r x C
ln lnrx r x
Contoh 1
Carilah dy/dx jika
Penyelesaian :
3
2
1ln , 1
xy x
x
13
2
2
2
1ln
11ln
3
1ln 1 ln
3
1ln 1 2 ln
3
xy
x
x
x
x x
x x
1 1 2
3 1
2
3 1
dy
dx x x
x
x x
Contoh 2
Carilah dy/dx jika
Penyelesaian :
2
23
1
1
xy
x
2
23
1 22 2 3
2
1ln ln
1
ln 1 ln 1
1 2ln 1 ln 1
2 3
xy
x
x x
x x
2
2
2
1 1 1 2 12
2 3 11
2
3 11
2
3 1
dyx
y dx xx
x
xx
x
x
Contoh 2
2
2
2
2 23
12 2
223
122 23
21
3 1
2
3 1
21
3 11
1 2
3 1 1
2
3 1 1
xdy
y dx x
xdyy
dx x
xx
xx
x x
x x
x
x x
Grafik Logaritma Asli
Daerah asal ln x adalah himpunan bilangan real, sehingga grafik y=ln x terletak di setengah bagian bidang kanan.
Untuk x>0 :
2
2
11 ln 0
12 ln 0
x
xD xx
D xx
Grafik Logaritma Asli
• Rumus (1) menunjukkan bahwa fungsi logaritma natural (asli) kontinu dan naik dengan x bertambah besar.
• Rumus (2) menunjukkan bahwa grafik cekung ke bawah di mana-mana
TUGAS 1
2
3
62 3
2 3
2
2
1. 1
2.
3. 5 1 5 3 8
4. Carilah penyelesaian umum dan khusus dari
; 4 pada 0
5. 2 8
16.
2 4 3
x dx
x x dx
x x x dx
duu t t u t
dt
zdz
z
tdt
t t
TERIMA KASIH