STANDAR KOMPETENSI:STANDAR KOMPETENSI:Menggunakan sifat dan aturan geometri dalam Menggunakan sifat dan aturan geometri dalam

menentukan menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang; jarak; kedudukan titik, garis, dan bidang; jarak;

sudut; dan volume.sudut; dan volume.

INDIKATOR: INDIKATOR: 3. Menggambar dan menghitung besar sudut antara dua 3. Menggambar dan menghitung besar sudut antara dua

bidang.bidang.4. Menggambar dan menghitung besar sudut antara dua 4. Menggambar dan menghitung besar sudut antara dua

garis yang bersilangan.garis yang bersilangan.

KOMPETENSI DASAR: KOMPETENSI DASAR: Menggunakan abstraksi ruang untuk menggambar Menggunakan abstraksi ruang untuk menggambar

dan menghitung dan menghitung jarak dan besar sudut antara. jarak dan besar sudut antara.

3. Sudut antara Dua 3. Sudut antara Dua BidangBidang

4. Sudut antara Dua Garis 4. Sudut antara Dua Garis yang Bersilanganyang Bersilangan

Pertemuan IIPertemuan II

Masih Ingatkah Kamu:Masih Ingatkah Kamu:1. Proyeksi Garis pada 1. Proyeksi Garis pada

Bidang?Bidang?

Perhatikan gambar di atas:Perhatikan gambar di atas: Titik P dan Q terletak pada garis g. Titik P dan Q terletak pada garis g. Melalui titik P dan Q dibuat garis yang tegak lurus pada bidang U serta menembus Melalui titik P dan Q dibuat garis yang tegak lurus pada bidang U serta menembus

bidang tersebut di titik P’ dan Q’.bidang tersebut di titik P’ dan Q’. Garis yang melalui titik P’ dan Q’ dinamakan proyeksi orthogonal garis g pada bidang U.Garis yang melalui titik P’ dan Q’ dinamakan proyeksi orthogonal garis g pada bidang U.

U

g

P

Q

Q’P’

2. Sudut antara Garis dan Bidang2. Sudut antara Garis dan Bidang

Definisi:Definisi:

Sudut antara garis dan bidang adalah sudut Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis tersebut dengan proyeksinya.antara garis tersebut dengan proyeksinya.

Perhatikan gambar di bawah ini:Perhatikan gambar di bawah ini:

'AB'AB

- Garis AB’ merupakan proyeksi garis AB pada bidang V. Garis AB’ merupakan proyeksi garis AB pada bidang V. - Sudut antara garis AB dan bidang V adalah sudut BAB’.Sudut antara garis AB dan bidang V adalah sudut BAB’.

V

B’A

B

α

3. Sudut antara Dua Bidang3. Sudut antara Dua Bidang

Definisi:Definisi: Sudut antara bidang U dan bidang Sudut antara bidang U dan bidang

V dapat ditentukan oleh garis l V dapat ditentukan oleh garis l pada bidang U dan garis m pada pada bidang U dan garis m pada bidang V yang saling tegak lurus bidang V yang saling tegak lurus pada garis potong bidang U dan V.pada garis potong bidang U dan V.

'AB'AB

Perhatikan gambar di bawah ini:Perhatikan gambar di bawah ini:• Bidang U dan bidang V berpotongan di suatu garis yang dituliskan dengan Bidang U dan bidang V berpotongan di suatu garis yang dituliskan dengan

(U,V) (U,V) • Garis PQ tegak lurus (U,V) dengan titik P dan Q pada bidang UGaris PQ tegak lurus (U,V) dengan titik P dan Q pada bidang U

Misalkan diwakili garis Misalkan diwakili garis ll• RQ tegak lurus (U,V) dengan titik R dan Q pada bidang VRQ tegak lurus (U,V) dengan titik R dan Q pada bidang V

Misalkan diwakili garis mMisalkan diwakili garis m

Sehingga sudut PQR merupakan Sehingga sudut PQR merupakan

sudut antara bidang U dan sudut antara bidang U dan

bidang V.bidang V.

V

l

UP

QR

α

l

m

(U,V)

Contoh Sudut antara Dua Contoh Sudut antara Dua BidangBidang

Diketahui kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 6 cm.Diketahui kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 6 cm.Tunjukkan sudut antara bidang ABCD dengan bidang BCHE danTunjukkan sudut antara bidang ABCD dengan bidang BCHE danhitung besar sudutnya!hitung besar sudutnya!

Jawab:Jawab:- Garis CH tegak lurus garis Garis CH tegak lurus garis

BCBC- Garis CD tegak lurus garis Garis CD tegak lurus garis

BCBCSehingga:Sehingga:Sudut antara bidang ABCD Sudut antara bidang ABCD

dengan dengan bidang BCHE ditunjukkan oleh bidang BCHE ditunjukkan oleh sudut DCH atau sudut ABEsudut DCH atau sudut ABE

D

H

B

E

F G

A

C

β

Perhatikan gambar berikut!Perhatikan gambar berikut!

D

H

Cβ

DH = CD = rusuk kubus = 6 cmDH = CD = rusuk kubus = 6 cm Misalkan besar sudut DCH Misalkan besar sudut DCH

adalah adalah ββ Maka: tan Maka: tan β β = DH/CD= DH/CD tan tan ββ = 6/6 = 1 = 6/6 = 1

ββ = 45° = 45°D

H

B

E

F G

A

C

β

Jadi sudut antara bidang ABCD dengan bidang BCHE adalah Jadi sudut antara bidang ABCD dengan bidang BCHE adalah sudut DCH yang besarnya sudut DCH yang besarnya ββ = 45° = 45°

4. Sudut antara Dua Garis 4. Sudut antara Dua Garis yang Bersilangan yang Bersilangan

Definisi:Definisi:

Sudut antara dua buah garis l dan Sudut antara dua buah garis l dan m yang bersilangan adalah sudut m yang bersilangan adalah sudut yang diperoleh dari dua garis yang yang diperoleh dari dua garis yang berpotongan yang masing-masing berpotongan yang masing-masing sejajar dengan garis l dan m.sejajar dengan garis l dan m.

'AB'AB

m

l

Perhatikan gambar di bawah ini:Perhatikan gambar di bawah ini:

'AB'AB

- Garis l’ sejajar garis l Garis l’ sejajar garis l - Garis m’ sejajar garis mGaris m’ sejajar garis m- Garis l’ dan garis m’ Garis l’ dan garis m’

berpotongan di titik Oberpotongan di titik O

m’

l’

O

Sudut Sudut θθ yang dibentuk oleh garis l’ dan garis m’ yang dibentuk oleh garis l’ dan garis m’ adalah adalah

sudut antara garis l dan garis m.sudut antara garis l dan garis m.

θ

Contoh Sudut antara Dua Garis Contoh Sudut antara Dua Garis yang Bersilanganyang Bersilangan

Diketahui kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 4 cm.Diketahui kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 4 cm.

Tunjukkan sudut antara garis CF dan garis EG dan hitung Tunjukkan sudut antara garis CF dan garis EG dan hitung

besar sudutnya!besar sudutnya!

B

E F

G

A

D C

H Garis yang sejajar Garis yang sejajar dengan garis EG dan dengan garis EG dan memotong garis CF memotong garis CF adalah garis AC. adalah garis AC.

Sehingga sudut antara Sehingga sudut antara garis CF dengan garis garis CF dengan garis EG adalah sudut ACF.EG adalah sudut ACF.

Jawab:Jawab:

α

Misalkan besar sudut ACF adalah Misalkan besar sudut ACF adalah αα Karena CF, AF, dan AC merupakanKarena CF, AF, dan AC merupakan

diagonal sisi.diagonal sisi.

Sehingga segitiga ACF adalah segitiga Sehingga segitiga ACF adalah segitiga sama sisi.sama sisi.

Jadi besar sudut antara garis CF Jadi besar sudut antara garis CF dengan garis EG adalah 60°dengan garis EG adalah 60°

Perhatikan segitiga ACF!Perhatikan segitiga ACF!

A

F

Cα

Jawablah pertanyaan di bawah ini disertai gambar!Jawablah pertanyaan di bawah ini disertai gambar!1.1. Sebuah kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 6 Sebuah kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 6

cm. Tentukan sudut antara bidang BDHF dengan bidang cm. Tentukan sudut antara bidang BDHF dengan bidang AFH dan hitunglah besar sudutnya!AFH dan hitunglah besar sudutnya!

2.2. Suatu limas segiempat beraturan T.ABCD mempunyai Suatu limas segiempat beraturan T.ABCD mempunyai panjang rusuk alas 10 cm dan panjang rusuk tegak 10 panjang rusuk alas 10 cm dan panjang rusuk tegak 10 cm. Tentukan sudut antara bidang tegak dengan bidang cm. Tentukan sudut antara bidang tegak dengan bidang alas limas tersebut dan hitunglah besar sudut tersebut!alas limas tersebut dan hitunglah besar sudut tersebut!

3.3. Sebuah kubus PQRS.TUVW mempunyai panjang rusuk Sebuah kubus PQRS.TUVW mempunyai panjang rusuk 7√5 cm. Tentukan sudut antara garis QV dengan garis 7√5 cm. Tentukan sudut antara garis QV dengan garis PT dan hitunglah besar sudutnya!PT dan hitunglah besar sudutnya!

4.4. Prisma tegak beraturan PQR.STU mempunyai panjang Prisma tegak beraturan PQR.STU mempunyai panjang rusuk alas 2 cm dan rusuk tegak 4 cm. Tentukan sudut rusuk alas 2 cm dan rusuk tegak 4 cm. Tentukan sudut antara garis PQ dengan garis SU dan hitunglah besar antara garis PQ dengan garis SU dan hitunglah besar sudutnya!sudutnya!

LATIHAN 2

Jawablah pertanyaan di bawah ini disertai gambar!Jawablah pertanyaan di bawah ini disertai gambar!1.1. Sebuah kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 4 Sebuah kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 4

cm. Titik P dan titik Q masing-masing berada di tengah-cm. Titik P dan titik Q masing-masing berada di tengah-tengah garis CD dan garis BC. Tentukan sudut antara tengah garis CD dan garis BC. Tentukan sudut antara bidang PQG dengan bidang ABCD dan hitunglah besar bidang PQG dengan bidang ABCD dan hitunglah besar sudutnya!sudutnya!

2.2. Sebuah balok ABCD.EFGH mempunyai panjang 2a cm, Sebuah balok ABCD.EFGH mempunyai panjang 2a cm, lebar a cm, dan tinggi a√2 cm. Tentukan sudut antara lebar a cm, dan tinggi a√2 cm. Tentukan sudut antara bidang ABCD dengan bidang ACH dan hitunglah besar bidang ABCD dengan bidang ACH dan hitunglah besar sudutnya!sudutnya!

3.3. Sebuah balok ABCD.EFGH mempunyai panjang 8 cm, lebar Sebuah balok ABCD.EFGH mempunyai panjang 8 cm, lebar 6 cm. dan tinggi 4 cm. Titik S terletak di tengah-tengah 6 cm. dan tinggi 4 cm. Titik S terletak di tengah-tengah garis FG. Tentukan sudut antara garis AS dengan garis DG garis FG. Tentukan sudut antara garis AS dengan garis DG dan hitunglah besar sudutnya! dan hitunglah besar sudutnya!

TES 2

Waktu 20 menit