HUKUM KEPLER

Karya Kepler sebagian dihasilkan dari data-data hasil pengamatan yang dikumpulkan Ticho Brahe mengenai posisi planet-planet dalam geraknya di luar angkasa. Hukum ini telah dicetuskan Kepler setengah abad sebelum Newton mengajukan ketiga Hukum-nya tentang gerak dan hukum gravitasi universal. Di antara hasil karya Kepler, terdapat tiga penemuan yang sekarang kita kenal sebagai Hukum Kepler mengenai gerak planet.

Hukum I Kepler

Lintasan setiap planet ketika mengelilingi matahari berbentuk elips, di mana matahari terletak pada salah satu fokusnya.

Kepler tidak mengetahui alasan mengapa planet bergerak dengan cara demikian. Ketika mulai tertarik dengan gerak planet-planet, Newton menemukan bahwa ternyata hukum-hukum Kepler ini bisa diturunkan secara matematis dari hukum gravitasi universal dan hukum gerak Newton. Newton juga menunjukkan bahwa di antara kemungkinan yang masuk akal mengenai hukum gravitasi, hanya satu yang berbanding terbalik dengan kuadrat jarak yang konsisten dengan Hukum Kepler.

Perhatikan orbit elips yang dijelaskan pada Hukum I Kepler. Dimensi paling panjang pada orbit elips disebut sumbu mayor alias sumbu utama, dengan setengah panjang a. Setengah panjang ini disebut sumbu semiutama alias semimayor (sambil lihat gambar di bawah ya).

F1 dan F2 adalah titik Fokus. Matahari berada pada F1 dan planet berada pada P. Tidak ada benda langit lainnya pada F2. Total jarak dari F1 ke P dan F2 ke P sama untuk

semua titik dalam kurva elips. Jarak pusat elips (O) dan titik fokus (F1 dan F2) adalah ea, di mana e merupakan angka tak berdimensi yang besarnya berkisar antara 0 sampai 1, disebut juga eksentrisitas. Jika e = 0 maka elips berubah menjadi lingkaran. Kenyataanya, orbit planet berbentuk elips alias mendekati lingkaran. Dengan demikian besar eksentrisitas tidak pernah bernilai nol. Nilai e untuk orbit planet bumi adalah 0,017. Perihelion merupakan titik yang terdekat dengan matahari, sedangkan titik terjauh adalah aphelion.

Pada Persamaan Hukum Gravitasi Newton, telah kita pelajari bahwa gaya tarik gravitasi berbanding terbalik dengan kuadrat jarak (1/r2), di mana hal ini hanya bisa terjadi pada orbit yang berbentuk elips atau lingkaran saja.

Contoh soal Hukum I Kepler :

Komet Halley bergerak sepanjang orbit elips mengitari matahari. Pada perihelion, komet Halley berjarak 8,75 x107 km dari matahari, sedangkan pada aphelion berjarak 5,26 x 109 km dari matahari. Berapakah eksentrisitas dari orbit komet halley

Panduan jawaban :

Panjang sumbu utama sama dengan total jarak komet ke matahari ketika komet berada di perihelion dan aphelion.

Panjang sumbu utama adalah 2a, dengan demikian :

Pada Perihelion, jarak komet Halley dengan matahari diperoleh dari (sambil perhatikan gambar di atas) :

a – ea = a(1-e)

Jarak komet Halley dengan matahari ketika komet Halley berada pada perihelion adalah 8,75 x107 km. Dengan demikian, eksentrisitas komet Halley adalah :

Nilai eksentrisitas komet halley mendekati 1. Ini menunjukkan bahwa orbit halley sangat panjang….

Hukum II Kepler

Luas daerah yang disapu oleh garis antara matahari dengan planet adalah sama untuk setiap periode waktu yang sama.

Hal yang paling utama dalam Hukum II Kepler adalah kecepatan sektor mempunyai harga yang sama pada semua titik sepanjang orbit yang berbentuk elips.

Hukum III Kepler

Kuadrat waktu yang diperlukan oleh planet untuk menyelesaikan satu kali orbit sebanding dengan pangkat tiga jarak rata-rata planet-planet tersebut dari matahari.

Jika T1 dan T2 menyatakan periode dua planet, dan r1 dan r2 menyatakan jarak rata-rata mereka dari matahari, maka

Newton menunjukkan bahwa Hukum III Kepler juga bisa diturunkan secara matematis dari Hukum Gravitasi Universal dan Hukum Newton tentang gerak dan gerak melingkar. Sekarang mari kita tinjau Hukum III Kepler menggunakan pendekatan Newton.

Terlebih dahulu kita tinjau kasus khusus orbit lingkaran, yang merupakan kasus khusus dari orbit elips. Semoga dirimu belum melupakan Hukum Newton dan pelajaran Gerak Melingkar…

Sekarang kita masukan persamaan Hukum Gravitasi Newton dan percepatan sentripetal ke dalam persamaan Hukum II Newton :

m1 adalah massa planet, mM adalah massa matahari, r1 adalah jarak rata-rata planet dari matahari, v1 merupakan laju rata-rata planet pada orbitnya.

Waktu yang diperlukan sebuah planet untuk menyelesaikan satu orbit adalah T1, di mana jarak tempuhnya sama dengan keliling lingkaran, 2 phi r1. Dengan demikian, besar v1 adalah :

Misalnya persamaan 1 kita turunkan untuk planet venus (planet 1). Penurunan persamaan yang sama dapat digunakan untuk planet bumi (planet kedua).

T2 dan r2 adalah periode dan jari-jari orbit planet kedua. Sekarang coba anda perhatikan persamaan 1 dan persamaan 2. Perhatikan bahwa ruas kanan kedua persamaan memiliki nilai yang sama. Dengan demikian, jika kedua persamaan ini digabungkan, akan kita peroleh :

Persamaan ini adalah Hukum III Kepler…

Kita juga bisa menurunkan persamaaan untuk menghitung besarnya periode gerak planet (T) dengan cara lain. Pertama terlebih dahulu kita turunkan untuk kasus gerak melingkar.

Sebelumnya kita telah mensubtitusikan persamaan Hukum Gravitasi Newton dan percepatan sentripetal ke dalam persamaan Hukum II Newton :

Pada pembahasan mengenai gerak melingkar beraturan, kita mempelajari bahwa laju v adalah perbandingan jarak tempuh dalam satu kali putaran (2phir) dengan periode (waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu kali putaran), yang secara matematis dirumuskan sebagai berikut :

Pada persamaan ini tampak bahwa periode dalam orbit lingkaran sebanding dengan pangkat 3/2 dari jari-jari orbit. Newton menunjukkan bahwa hubungan ini juga berlaku untuk orbit elips, di mana jari-jari orbit lingkaran (r) diganti dengan setengah sumbu utama a

Dibaca secara perlahan-lahan sambil direnungkan

DATA ASTRONOMI

HUKUM GRAVITASI NEWTON

Sebelum mencetuskan Hukum Gravitasi Universal, eyang Newton telah melakukan perhitungan untuk menentukan besar gaya gravitasi yang diberikan bumi pada bulan sebagaimana besar gaya gravitasi bumi yang bekerja pada benda-benda di permukaan bumi. Sebagaimana yang kita ketahui, besar percepatan gravitasi di bumi adalah 9,8 m/s2. Jika gaya gravitasi bumi mempercepat benda di bumi dengan percepatan 9,8 m/s2, berapakah percepatan di bulan ? karena bulan bergerak melingkar beraturan (gerakan melingkar bulan hampir beraturan), maka percepatan sentripetal bulan dihitung menggunakan rumus percepatan sentripetal Gerak melingkar beraturan.

Diketahui orbit bulan yang hampir bulat mempunyai jari-jari sekitar 384.000 km dan periode (waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu putaran) adalah 27,3 hari. Dengan demikian, percepatan bulan terhadap bumi adalah

Jadi percepatan gravitasi bulan terhadap bumi 3600 kali lebih kecil dibandingkan dengan percepatan gravitasi bumi terhadap benda-benda di permukaan bumi. Bulan berjarak 384.000 km dari bumi. Jarak bulan dengan bumi ini sama dengan 60 kali jari-jari bumi (jari-jari bumi = 6380 km). Jika jarak bulan dari bumi (60 kali jari-jari bumi) dikuadratkan, maka hasilnya sama dengan 3600 (60 x 60 = 602 = 3600). Angka 3600 yang diperoleh dengan mengkuadratkan 60 hasilnya sama dengan Percepatan bulan terhadap bumi, sebagaimana hasil yang diperoleh melalui perhitungan.

Berdasarkan perhitungan ini, eyang newton menyimpulkan bahwa besar gaya gravitasi yang diberikan oleh bumi pada setiap benda semakin berkurang terhadap kuadrat jaraknya (r) dari pusat bumi. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut :

Selain faktor jarak, Eyang Newton juga menyadari bahwa gaya gravitasi juga bergantung pada massa benda. Pada Hukum III Newton kita belajar bahwa jika ada gaya aksi maka ada gaya reaksi. Ketika bumi memberikan gaya aksi berupa gaya gravitasi kepada benda lain, maka benda tersebut memberikan gaya reaksi yang sama besar tetapi berlawanan arah terhadap bumi. Karena besarnya gaya aksi dan reaksi sama, maka besar gaya gravitasi juga harus sebanding dengan massa dua benda yang berinteraksi. Berdasarkan penalaran ini, eyang Newton menyatakan hubungan antara massa dan gaya gravitasi. Secara matematis ditulis sbb :

MB adalah massa bumi, Mb adalah massa benda lain dan r adalah jarak antara pusat bumi dan pusat benda lain.

Setelah membuat penalaran mengenai hubungan antara besar gaya gravitasi dengan massa dan jarak, eyang Newton membuat penalaran baru berkaitan dengan gerakan planet yang selalu berada pada orbitnya ketika mengitari matahari. Eyang menyatakan bahwa jika planet-planet selalu berada pada orbitnya, maka pasti ada gaya gravitasi yang bekerja antara matahari dan planet serta gaya gravitasi antara planet, sehingga benda langit tersebut tetap berada pada orbitnya masing-masing. Luar biasa pemikiran eyang Newton ini. Tidak puas dengan penalarannya di atas, ia menyatakan bahwa jika gaya gravitasi bekerja antara bumi dan benda-benda di permukaan bumi, serta antara matahari dan planet-planet maka mengapa gaya gravitasi tidak bekerja pada semua benda ?

Akhirnya, setelah bertele-tele dan terseok-seok, kita tiba pada inti pembahasan panjang lebar ini. Eyang Newton pun mencetuskan Hukum Gravitasi Universal dan mengumumkannya pada tahun 1687, hukum yang sangat terkenal dan berlaku baik di indonesia, amerika atau afrika bahkan di seluruh penjuru alam semesta. Hukum gravitasi Universal itu berbunyi demikian :

Semua benda di alam semesta menarik semua benda lain dengan gaya sebanding dengan hasil kali massa benda-benda tersebut dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara benda-benda tersebut.

Secara matematis, besar gaya gravitasi antara partikel dapat ditulis sbb :

Fg adalah besar gaya gravitasi pada salah satu partikel, m1 dan m2 adalah massa kedua partikel, r adalah jarak antara kedua partikel.

G adalah konstanta universal yang diperoleh dari hasil pengukuran secara eksperimen. 100 tahun setelah eyang Newton mencetuskan hukum Gravitasi Universal, pada tahun 1978, Henry Cavendish berhasil mengukur gaya yang sangat kecil antara dua benda, mirip seperti dua bola. Melalui pengukuran tersebut, Henry membuktikan dengan sangat tepat persamaan Hukum Gravitasi Universal di atas. Perbaikan penting dibuat

oleh Poyting dan Boys pada abad kesembilan belas. Nilai G yang diakui sekarang = 6,67 x 10-11 Nm2/kg2

Contoh soal 1 :

Seorang guru fisika sedang duduk di depan kelas dan seorang murid sedang duduk di bagian belakang ruangan kelas. Massa guru tersebut adalah 60 kg dan massa siswa 70 kg (siswa gendut). Jika pusat mereka (yang dimakudkan di sini bukan pusat yang terletak di depan perut manusia) berjarak 10 meter, berapa besar gaya gravitasi yang diberikan oleh guru dan murid satu sama lain ?

Panduan jawaban :

Gampang, tinggal dimasukkan aja nilai-nilai telah diketahui ke dalam persamaan Hukum Newton tentang Gravitasi

Contoh soal 2 :

Diketahui massa bulan 7,35 x 1022 kg, massa bumi 5,98 x 1024 kg dan massa matahari adalah 1,99 x 1030 kg. Hitunglah gaya total di bulan yang disebabkan oleh gaya gravitasi bumi dan matahari. Anggap saja posisi bulan, bumi dan matahari membentuk segitiga siku-siku. Oya, jarak bumi-bulan 3,84 x 108 m dan jarak matahari-bulan 1,50 x 108 km (1,50 x 1011 m).

Keterangan Gambar :

b = bulan, B = bumi dan M = matahari

Panduan jawaban :

Gaya total yang bekerja pada bulan akibat gravitasi matahari dan bumi kita hitung menggunakan vektor. Sebelumnya, terlebih dahulu kita hitung besar gaya gravitasi antara bumi-bulan dan matahari-bulan.

Besar gaya gravitasi antara bumi-bulan :

Besar gaya gravitasi antara matahari-bulan.

Besar gaya total yang dialami bulan dapat dihitung sebagai berikut :

Gaya total yang dimaksud di sini tidak sama dengan gaya total pada Hukum II Newton. Hukum gravitasi berbeda dengan Hukum II Newton. Hukum Gravitasi menjelaskan gaya gravitasi dan besarnya yang selalu berbeda tergantung dari jarak dan massa benda yang terlibat. Hukum II Newton menghubungkan gaya total yang bekerja pada sebuah benda dengan massa dan percepatan benda tersebut.

Massa gravitasi Newtonian

Isaac Newton 1689. Earth's Moon Bumi Bulan

Mass of Earth Massa Bumi Semi-major axis Semi-

sumbu utama Sidereal orbital period Periode sideris orbit

0.002 569 AU 569 0,002 AU

0.074 802 sidereal year 0,074 802 sidereal tahun

= =

Earth's Gravity Gravitasi Bumi

Earth's Radius Radius Bumi

0.00980665 km ⁄ sec 2

0.00980665 km / sec 2

6 375 km 6 375 km

Robert Hooke menerbitkan konsep tentang gaya gravitasi di 1674, menyatakan bahwa: "semua Badan Coelestial apapun, memiliki daya tarik atau gravitasi kekuasaan terhadap mereka sendiri Centers" [dan] "mereka juga menarik semua Badan Coelestial lain yang berada dalam lingkup aktivitas mereka. “Dia lebih jauh menyatakan bahwa meningkatkan daya tarik gravitasi "oleh seberapa banyak dekat tubuh tempa atas adalah pusat mereka sendiri." Dalam sebuah korespondensi 1679-1680 antara Robert Hooke dan Isaac Newton, Hooke dugaan bahwa gaya gravitasi akan menurun sesuai dengan kuadrat dari jarak antara kedua benda. Hooke mendesak Newton, yang merupakan pionir dalam pengembangan kalkulus , untuk bekerja melalui rincian matematis dari orbit Keplerian untuk menentukan hipotesis Hooke benar.

investigasi Newton sendiri diverifikasi yang Hooke benar, namun karena perbedaan pribadi antara dua orang, Newton memilih untuk tidak mengungkapkan ini untuk Hooke. Isaac Newton diam tentang penemuan-penemuan nya sampai 1684, di mana saat ia mengatakan kepada seorang teman, Edmond Halley , bahwa ia telah memecahkan masalah orbit gravitasi, tapi salah solusi di kantornya. [8] Setelah didorong oleh Halley, Newton memutuskan untuk mengembangkan ide-ide tentang gravitasi dan mempublikasikan seluruh temuannya . Pada bulan November 1684, Isaac Newton mengirimkan dokumen ke Edmund Halley, kini hilang namun diperkirakan telah berjudul motu corporum De di gyrum (Latin: "Di gerak tubuh di dalam garis edarnya"). [9] Halley disajikan temuan Newton untuk dari Royal Society of London, dengan sebuah janji bahwa sebuah presentasi yang lebih lengkap akan menyusul. Newton kemudian direkam ide-idenya dalam satu set buku tiga, berjudul Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Latin: "Prinsip Matematika Alam Filsafat"). Yang pertama diterima oleh Royal Society pada tanggal 28 April 1685-6, yang kedua pada tanggal 2 Maret 1686-7, dan ketiga pada tanggal 6 April 1686-7

Isaac Newton menjembatani kesenjangan antara massa gravitasi Kepler dan Galileo percepatan gravitasi, dan membuktikan hubungan berikut:

, ,

dimana g adalah percepatan tampak dari tubuh saat melewati suatu daerah ruang di mana medan gravitasi yang ada, μ adalah massa gravitasi ( parameter gravitasi standar) dari tubuh menyebabkan medan gravitasi, dan r adalah koordinat radial (jarak antara pusat dari dua badan).

Dengan menemukan hubungan yang tepat antara massa gravitasi tubuh dan medan gravitasi, Newton memberikan metode kedua untuk mengukur massa gravitasi

Massa bumi dapat ditentukan dengan menggunakan metode Kepler (dari orbit Bumi Bulan), atau dapat ditentukan dengan mengukur percepatan gravitasi di permukaan bumi, dan mengalikan bahwa dengan kuadrat dari radius Bumi.

Massa bumi adalah sekitar tiga sepersejuta massa Matahari. Sampai saat ini, ada metode yang akurat untuk mengukur massa lain gravitasi telah ditemukan. [11]

gravitasi massa Newtonian

Konsep massa gravitasi Newton bersandar pada hukum Newton's gravitasi . Mari kita andaikan kita memiliki dua benda A dan B, dipisahkan oleh jarak AB r Hukum gravitasi menyatakan bahwa jika A dan B mempunyai massa gravitasi M A dan M B masing-masing, maka setiap benda memberikan gaya gravitasi di sisi lain, besarnya

dimana G adalah universal konstanta gravitasi . Pernyataan di atas dapat dirumuskan dengan cara berikut: jika g adalah percepatan massa referensi pada lokasi tertentu dalam medan gravitasi, maka gaya gravitasi pada objek dengan massa M gravitasi

Ini adalah dasar dimana massa ditentukan oleh berat . Dalam sederhana skala musim semi , misalnya, gaya F sebanding dengan perpindahan dari musim semi di bawah panci berat, sesuai 's hukum Hooke , dan timbangan yang dikalibrasi untuk mengambil g ke rekening, yang memungkinkan massa M untuk dibaca off Sebuah keseimbangan tindakan massa gravitasi, hanya skala musim semi langkah berat.

Massa Inertial

Inertial massa adalah massa dari suatu objek yang diukur oleh resistensi terhadap percepatan.

. Untuk memahami apa massa inersia tubuh, satu dimulai dengan mekanik klasik dan hukum-hukum Newton dari Motion . Kemudian, kita akan melihat bagaimana definisi klasik kita massal harus diubah jika kita mempertimbangkan teori relativitas khusus , yang lebih akurat dari mekanika klasik. Namun, implikasi dari relativitas khusus tidak akan mengubah arti dari "massa" dengan cara apa pun penting.

Menurut kedua undang-undang Newton , kita mengatakan bahwa tubuh memiliki massa m jika, pada setiap instan waktu, itu mematuhi persamaan gerak

di mana F adalah gaya yang bekerja pada tubuh dan adalah percepatan tubuh. [catatan 2]

Untuk saat ini, kami akan mengesampingkan pertanyaan tentang apa "gaya yang bekerja pada tubuh" sebenarnya berarti.

Persamaan ini menggambarkan bagaimana massa berkaitan dengan inersia tubuh. Pertimbangkan dua benda dengan massa yang berbeda. Jika kita menerapkan kekuatan identik dengan masing-masing, objek dengan massa yang lebih besar akan mengalami percepatan yang lebih kecil, dan objek dengan massa yang lebih kecil akan mengalami percepatan yang lebih besar. Kita mungkin mengatakan bahwa massa yang lebih besar memberikan suatu "perlawanan" yang lebih besar untuk mengubah statusnya gerak dalam menanggapi memaksa.

Namun, ini gagasan menerapkan "identik" kekuatan untuk objek yang berbeda membawa kita kembali ke kenyataan bahwa kita belum benar-benar pasti apa sebuah gaya. Kita bisa menghindari kesulitan ini dengan bantuan hukum ketiga Newton, yang menyatakan bahwa jika satu objek memberikan gaya pada benda kedua, ia akan mengalami gaya yang sama dan berlawanan. Harus tepat, misalkan kita memiliki dua benda A dan B, dengan massa inersial konstan m dan m B A. Kami mengisolasi dua obyek dari segala pengaruh fisik lainnya, sehingga kekuatan hanya menyajikan adalah gaya yang bekerja pada A oleh B, yang kami menunjukkan F AB, dan gaya yang bekerja pada B oleh A, yang kami menunjukkan F BA. Newton's second law states that Hukum Newton Kedua menyatakan bahwa

di mana A dan B adalah percepatan A dan B, masing-masing. Misalkan Percepatan ini non-nol, sehingga gaya antara dua benda tersebut tidak nol.. Hal ini terjadi, misalnya, jika dua objek dalam proses bertabrakan dengan satu sama lain.hukum ketiga Newton kemudian menyatakan bahwa

dan dengan demikian

Perhatikan bahwa kebutuhan kita yang A non-nol memastikan bahwa fraksi yang didefinisikan dengan baik.

Hal ini, pada prinsipnya, bagaimana kita akan mengukur massa inersia suatu benda.. Kami memilih "referensi" objek dan menetapkan m-nya massa B sebagai (katakanlah) 1 kilogram. Maka kita bisa mengukur massa benda lainnya di alam semesta dengan bertabrakan dengan objek referensi dan mengukur percepatan.