Hukum Gauss

Fluks listrik

Fluks berkaitan dengan besaran medan yang “menembus” dalam arah yang tegak lurus suatu permukaan tertentu.

Fluks listrik menyatakan medan listrik yang menembus dalam

arah tegak lurus suatu permukaan. Ilustrasinya akan lebih

mudah dengan menggunakan deskripsi visual untuk medan

listrik (yaitu penggambaran medan listrik sebagai garis-

garis).

Dengan penggambaran medan seperti itu (garis), maka fluks

listrik dapat digambarkan sebagai banyaknya “garis” medan

yang menembus suatu permukaan.

Fluks listrik yang dihasilkan

oleh medan E pada

permukaan yang luasnya dA adalah

AE dd •=φ

∫

∫

∫∫

=

•=

•==

permukaanseluruh

permukaanseluruh

permukaanseluruh

cos

dAE

dA

dd

θ

φφ

nE

AE

n

E

dA

θ

Arah elemen luas dA ditentukan dari arah normal permukaan

tersebut.

Hukum Gauss

Fluks listrik disebabkan adanya medan listrik, berarti adanya

muatan menimbulkan fluks listrik.

Tinjau suatu muatan titik q yang berada di titik pusat suatu permukaan yang berbentuk kulit bola

Di setiap bagian pada permukaan bola

E arahnya tegak lurus permukaan dan

besarnya sama.

Fluks total pada permukaan kulit bola

tersebut adalah

∫∫∫∫ ===•=

permukaanseluruh

2

permukaanseluruh

2

permukaanseluruh

permukaanseluruh

total dArkq

dArkq

EdAdAnEφ

22

ototal 4

4

1r

rq

ππε

φ = o

total εφ

q=

Secara umum dapat diperluas bahwa untuk sembarang

permukaan hasil yang didapat adalah sama (tidak bergantung

pada permukaan yang dipilih).

Karena E

sejajar n

Karena E

konstan

E

dA

Dengan demikian berarti fluks total pada suatu permukaan

sebanding dengan muatan total yang dilingkupi oleh

permukaan itu. → hukum Gauss

Dapat dinyatakan kembali

o

dalam

tertutuppermukaan ε

qd =•∫ AE

Hukum Gauss dapat digunakan untuk menghitung medan

listrik dari sistem yang mempunyai kesimetrian yang tinggi

(misalnya simetri bola, silinder, atau kotak).

Untuk menggunakan hukum gauss perlu dipilih suatu

permukaan khayal yang tertutup (permukaan gauss). Bentuk

permukaan tertutup tersebut dapat sembarang.

Konduktor dan isolator

Konduktor dicirikan sebagai bahan yang mempunyai muatan

bebas. Bila suatu penghantar (konduktor) diberi medan

listrik maka muatan bebasnya akan mengatur diri mengikuti

medan listrik eksternal tersebut hingga tercapai keadaan

setimbang.

Dengan demikian, pada keadaan setimbang (statik) kuat

medan listrik di dalam konduktor adalah sama dengan nol.

Eeks

++

++

++

Eeks

−−

−−

−− Eint

Etotal dalam bahan = Eeks + Eint = 0

qdalam adalah muatan

yang berada di dalam

permukaan gauss yang

dibuat

Elektron-elektron pada bahan isolator terikat kuat pada

atomnya sehingga tidak dapat bergerak bebas, artinya

muatan-muatan pada bahan isolator tersebar di seluruh

bagian benda.

Beberapa contoh

� Dengan menggunakan hukum Gauss, tentukan kuat

medan listrik di dekat permukaan bermuatan yang rapat

muatannya σ.

Jika permukaan cukup besar

dan yang ditinjau adalah

medan di dekat permukaan

maka E dapat dianggap

homogen dengan arah tegak

lurus permukaan.

Gunakan hukum Gauss

o

dalam

silindertutup

silinderselubung ε

qdAdAdA =•+•=• ∫∫∫ nEnEnE

2

silindertutup

silindertutup

2 rEdAEdA π==• ∫∫ nE sedangkan )2dalam rAq πσσ (==

0 (karena pada

selubung E

tegak lurus

terhadap n)

Permukaan

gauss yang

berbentuk

kulit

silinder

Ada dua

permukaan yang

merupakan tutup

silinder

Jadi o2ε

σ=E , dalam bentuk vektor nE

o2ε

σ=

� Dengan menggunkan hukum gauss, tentukan medan

listrik pada jarak l dari sebuah kawat panjang yang

mempunyai rapat muatan λ.

Kawat panjang mempunyai bentuk simetri silinder.

Pilih permukaan gauss berupa kulit silinder yang jari-

jarinya l dan berpusat pada kawat.

Karena kawat panjang, maka

efek pinggirnya dapat

diabaikan dan medan listrik

mempunyai arah radial.

Hukum gauss

o

dalam

kiridinding

kanandinding

silinderdinding

permukaanseluruh ε

qdAdAdAdA =•+•+•=• ∫∫∫∫ nEnEnEnE

)2(

silinderdinding

silinderdinding

LEdAEdA lπ==• ∫∫ nE

Jadi rEll

l

ooo 2

2 )2(

πε

λ

πε

λ

ε

λπ =⇒=⇒= E

LLE

� Sebuah bola isolator yang bermuatan dengan rapat

muatan yang merupakan fungsi dari jarak terhadap

pusat bola, yaitu rr 2)( =ρ . Tentukan medan listrik di

dalam dan di luar bola

l

0 (karena pada

kedua permukaan

E tegak lurus

terhadap n)

L

Misalkan jari-jari bola adalah a. Untuk menentukan medan

listrik di dalam bola, buat

permukaan gauss berupa kulit

bola yang jari-jarinya r

Pada permukaan gauss tersebut arah medan listrik sejajar

dengan arah normal permukaan , sehingga

)4( 2

gausspermukaan

gausspermukaan

rEdAEdA π==• ∫∫ nE

sedangkan muatan yang dilingkupi oleh permukaan gauss

tersebut adalah

4

0

2dalam 2)(2)( rdrrrdVrq

r

V

ππρ =4== ∫∫

Sehingga

rEo

2

o

42

2

2)4(

εε

ππ

rrrE =→= (di dalam bola, r < a)

Untuk menentukan medan listrik di luar

bola, buat permukaan gauss berbentuk

kulit bola yang jari-jarinya r > a.

)4( 2

gausspermukaan

gausspermukaan

rEdAEdA π==• ∫∫ nE

sedangkan muatan yang dilingkupi oleh permukaan gauss

tersebut adalah

4

0

2dalam 2)(2)( adrrrdVrq

a

V

ππρ =4== ∫∫

Permukaan

gauss

Sehingga

rE 2o

4

o

42

2

2)4(

raa

rEεε

ππ =→= (di luar bola, r > a)

� Bola konduktor yang jari-jarinya a diberi muatan

sebesar −Q. Tentukan medan listrik di dalam dan di

luar bola.

Untuk menentukan medan

listrik di dalam bola, buat

permukaan gauss berupa kulit

bola yang jari-jarinya r di

dalam bola

)4( 2

gausspermukaan

gausspermukaan

rEdAEdA π==• ∫∫ nE

sedangkan muatan yang dilingkupi oleh permukaan gauss

tersebut adalah sama dengan nol (karena pada konduktor

muatan hanya berada di permukaannya saja).

Sehingga 0=E (di dalam bola)

Untuk menentukan medan listrik di luar

bola, buat permukaan gauss berupa kulit

bola yang jari-jarinya r di luar bola

)4( 2

gausspermukaan

gausspermukaan

rEdAEdA π==• ∫∫ nE

sedangkan muatan yang dilingkupi oleh permukaan gauss

tersebut adalah Qq −=dalam

Permukaan

gauss

sehingga

QrE −=)4( 2π atau rE 24 rQπ

−= (di luar bola)

� Dua buah kulit bola konduktor yang tersusun sepusat

masing-masing dengan jari-jari a dan b (a < b). Kulit bola yang berjari-jari a mempunyai muatan +2q sementara kulit bola yang berjari-jari b mempunyai

muatan −q. Tentukan medan listrik di dalam dan di luar

kulit-kulit bola tersebut.

Untuk r < a Buat permukaan gauss berupa kulit bola yang jari-jarinya r di dalam kulit bola berjari-jari a

0)4( 2 ==o

dalamqrE

επ (karena qdalam = 0)

sehingga E = 0 (untuk r < a)

Untuk a < r < b Buat permukaan gauss berupa kulit bola yang jari-jarinya r di antara kedua kulit bola

oo

dalam qqrE

εεπ

2)4( 2 == (karena qdalam = 2q)

sehingga

2o2 rq

Eπε

= (untuk a < r < b)

a r

r a

b

Untuk r > b Buat permukaan gauss berupa kulit bola yang jari-jarinya r dengan r > b

ooo

dalam qqqqrE

εεεπ =

−==2

)4( 2

(karena qdalam = q) sehingga

2o4 rq

Eπε

= (untuk r > b)

b a

r