MAKALAH MATEMATIKA EKONOMI

“HIMPUNAN”

DISUSUN OLEH:

Alfian Syahrudin 109017000020

Selvia Ermy W 109017000046

Siti Nurmala 109017000050

Nurmalianis 109017000053

Ayu Aulia Sari 109017000055

Kelas : 7.A

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN

UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA

2012

1

BAB I

PENDAHULUAN

Konsep himpunan adalah suatu konsep yang paling mendasar bagi ilmu matematika modern

pada umumnya dan di bidang ilmu ekonomi dan bisnis pada khususnya. Karena dalam bidang

ekonomi dan bisnis terutama dalam hal pembentukan model kita harus menggunakan

sehimpunan/sekelompok data observasi dari lapangan. Berkenaan dengan sifat mendasar itu,

maka pada bagian awal mata kuliah ini terlebih dahulu dibahas hal ikhwal yang berhubungan

dengan teori himpunan (set theory ).

Dalam kehidupan sehari-hari, tanpa disadari manusia sebenarnya sudah sering menerapkan

konsepsi himpunan. Seringkah kalian berbelanja di swalayan atau di warung dekat rumahmu?

Cobalah kalian perhatikan barang-barang yang dijual. Barang-barang yang dijual biasanya

dihimpun sesuai jenisnya. Penghimpunan jenis barang dapat memudahkan pembeli memilih

barang.

Himpunan detergen

Himpunan makanan ringan

Himpunan minuman ringan

Himpunan alat-alat tulis

2

BAB II

PEMBAHASAN

A. PENGERTIAN HIMPUNAN

Sekarang coba kamu pikirkan dengan teman-temanmu dapatkah kamu membentuk himpunan

yang berasal dari:

a. Kumpulan barang di KOPMA UIN yang harganya diatas Rp 50.000,-

b. Kumpulan makanan-makanan yang diproduksi dari Indonesia.

c. Kumpulan bank yang memiliki suku bunga tinggi.

d. Kumpulan perkakas rumah tangga yang murah.

Pikirkan, samakah himpunan yang kamu bentuk dari kumpulan-kumpulan diatas dengan

himpunan yang dibentuk oleh teman-temanmu? Dapatkah kamu secara pasti menentukan

kumpulan itu? Untuk peryataan a dan b antara kalian akan menyatakan kumpulan yang sama

karena anggota-anggotanya dapat didefenisikan dengan jelas sehingga pernyataan a dan b

dapat dikatakan suatu himpunan. Sedangkan, untuk pernyataan c dan d tidak, antara kalian

akan berbeda menyebutkan anggota-anggotanya. Mengapa? Perhatikan ilustrasi berikut.

3

Pada pernyataan c dan d bukan himpunan karena anggota-anggotanya tidak dapat

didefenisikan dengan jelas. Pengertian tinggi pada pernyataan c dan murah pada pernyataan d

itu relatif untuk setiap orang . Sehingga jelaslah bahwa untuk membentuk suatu himpunan

benda-benda yang dihimpun harus mempunyai tanda-tanda atau ciri-ciri tertentu dan jelas.

Dengan demikian, sekarang dapat dijawab pertanyaan “apakah himpunan itu?”

Himpunan adalah kumpulan objek atau benda yang dapat didefenisikan, dan dilambangkan

dengan jelas.1 Objek-objek yang mengisi atau membentuk sebuah himpunan disebut anggota

atau unsur atau elemen.2

B. Notasi Himpunan

Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B,

sementara elemen himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini

adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis

dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang

umum dipakai.

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan

sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.

1 Awagiyo, dkk. Pegangan belajar matematika 1. Jakarta. h. 154

2 Du Mairy. Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta. h. 34

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

C. HUBUNGAN ANTAR HIMPUNAN

Bila dua himpunan dibandingkan satu dengan lainnya, beberapa jenis hubungan yang

mungkin dapat diselidiki. Bila dua himpunan S1 dan S2 berisi elemen-elemen yang sama,

S1 = {2, 7, a, f} dan S2 = {2, a, 7, f}

maka S1 dan S2 dikatakan sama (S1 = S2) Perhatikan bahwa orde yang terlihat pada elemen-

elemen himpunan tidak penting. Akan tetapi, meskipun hanya satu elemen yang berbeda, dua

himpunan menjadi tidak sama.

Himpunan jenis lain adalah bahwa satu himpunan mungkin merupakan himpunan bagian

dari himpunan lainnya. Kalau kita mempunyai dua himpunan,

S = {1, 3, 5, 7, 9} dan T = {3, 7}

Maka T adalah himpunan bagian dari S, karena setiap elemen T adalah juga elemen S.

pernyataan yang lebih pasti mengenai hal ini adalah: T adalah himpunan bagian dari S jika

dan hanya jika x∈T memenuhi x∈S . dengan mengunakan simbol himpunan (berada

dalam) dan (termasuk), kita bisa menulis

T⊂ S atau S⊃T

5

Mungkin saja terjadi bahwa dua himpunan tertentu merupakan himpunan bagian dari

masing-masing himpunan. Bila hal ini terjadi, pasti bahwa kedua himpunan itu sama.

Jelasnya, kita bisa memiliki S1⊂S2dan S2⊂S1 jika dan hanya jika S1=S2 .

Simbol menghubungkan elemen individu dengan himpunan (set), sedangkan simbol ⊂

menghubungkan himpunan bagian (subset) denga himpunan. Setiap himpnan bagian yang

tidak berisi semua elemen S disebut himpunan bagian yang layak dari S.

Himpunan bagian S yang terkecil adalah suatu himpunan yang tidak berisi elemen sama

sekali. Himpunan seperti itu disebut himpunan nol atau himpunan kosong, yang ditunjukkan

oleh simbol atau { }. Alasan mengapa himpunan nol dianggap sebagai himpunan bagian

dari S adalah: Jika himpunan nol bukan merupakan himpunan bagian S (∅⊄ S ), maka harus

berisi paling sedikit sau elemen x sehingga x∉S. Tetapi karena menurut definisi himpuna nol

tidak mempunyai elemen apapun, kita tidak dapat mengatakan bahwa ∅⊄ S; karena itu,

himpunan nol adalah himpunan bagian S.

Sangat penting untuk membedakan secara jelas simbol atau { } dengan notasi {0};

yang pertama tanpa elemen, sedangkanyang terakhir berisi elemen nol. Himpunan nol adalah

unik; di seluruh dunia hanya ada satu himpunan seperti itu dan dianggap sebagai himpunan

bagian dari setiap himpunan yang mungkin.

Secara umum, jika suatu himpunan mempunyai n elemen, dapat dibentuk himpunan

bagian sebesar 2n dari elemen-elemen tersebut.

Hubungan tipe ketiga yang mungkin adalah dua himpun yang seluruh elemennya berbeda

sama sekali. Dalam kasus ini, kedua himpunan tersebut dikatakan menjadi terputus (disjoint).

Sebagai contoh, himpunan seluruh bilangan bulat positif dan himpunan seluruh bilangan

bulat negatif adalah himpunan yang terputus.

Hubungan tipe keempat terjadi bila dua himpunan mempunyai beberapa elemen yang

sama tetapi beberapa elemen di antaranya “aneh” satu sama lainnya. Dalam peristiwa itu,

6

kedua himpunan tidak sama maupun terputus (disjoint), tetapi juga bukan bagian himpunan

satu dengan lainnya.3

D. OPERASI PADA HIMPUNAN

Jika kita menambahkan, mengurangi, mengalikan, membagi, atau menarik akar dari

beberapa bilangan, maka kita dikatakan melakukan operasi matematis. Meskipun himpunan

berbeda dengan bilangan, dapat juga dilakukan beberapa operasi matematis yang sama

dengan bilangan.4

1. Gabungan (Union)

Gabungan himpunan A dan himpunan B, yang ditulis A∪B, adalah himpunan semua

unsur yang termasuk di dalam A atau B. Operasi gabungan ini dilambangkan dengan

A∪B= {x∨x∈ A atau x∈ B }. Ingat bahwa anggota yang sama dari dua himpunan tidak

perlu ditulis dua kali dalam operasi gabungan.

2. Irisan (Intersection)

Irisan himpunan A dan B, yang ditulis A ∩ B , adalah himpunan semua unsur yang

termasuk di dalam A dan di dalam B . Operasi irisan ini dilambangkan dengan

A ∩ B= {x∨x∈ A dan x∈ B } .

3. Komplemen (Complement)

Himpunan komplemen A, yang ditulis AC , adalah himpunan yang berisi seluruh bilangan

dalam himpunan universal U yang tidak ada dalam himpunan A. Operasi komplemen ini

dilambangkan dengan AC={x∨x∈U dan x∉ A }.

4. Selisih (Difference)

3 Alpha C. Chiang & Kevin W, Dasar-Dasar Matematika Ekonomi Jilid 1, Jakarta: Erlangga, Edisi ke-4, Hal.9

4 Ibid, Hal.107

Selisih himpunan A dan himpunan B, yang ditulis A – B, adalah himpunan semua unsur A

yang tidak termasuk di dalam B. Operasi selisih ini dilambangkan dengan

A−B={x∨x∈ A atau x∉ B } . Tetapi karena x∉B mengakibatkan x∈BC , maka

A−B={x∨x∈ A atau x∈ BC } . Sehingga A – B = A∩ BC.

Diagram Venn dari keempat operasi tersebut adalah:

A∪B A ∩ B

AC A – B

Contoh

1. Jika Z={x∨−2< x≤ 7 } ,V ={x∨0<x<7 }, x bilangan bulat dan W = {3, 4, 5, 8} maka

tentukanlah:

a. Z∪V b . V ∩W c. (Z∪V )∪W d .(Z ∩V )∩W

Jawab:Z={ x|−2<x ≤7 }={−1,0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 }

V= {x|0<x<7 }={1 ,2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

W = { 3, 4, 5, 8}

a. Z∪V= {−1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 }

b. V ∩W ={3 , 4 , 5 }

c. ( Z∪V )∪W= {−1, 0 , 1 ,2 ,3 , 4 ,5 ,6 , 7 , 8 }

d. ( Z ∩V ) ∩W ={3 , 4 ,5 }

2. U = { a, b, c, 1, 2, 3}, A = { c, 3 }, dan B = {a, b, 2} maka tentukanlah AC dan BC !

Jawab: AC = { a, b, 1, 2 } dan BC = { c, 1, 3 }8

E. SIFAT-SIFAT HIMPUNAN

1. A∪ A=A , A ∩ A=A

2. A ∩ B=B ∩ A , A∪B=B∪ A (h ukum komutatif )

3. A ∩ ( B∪C )= ( A ∩ B )∪ ( A ∩C ) , A∪ ( B∩ C )= ( A∪B ) ∩ ( A∪C )(hukum distributif )

4. A ∩ ( B ∩C )=( A ∩B )∩C , A∪ ( B∪C )=( A∪B )∪C (hukum asosiatif )

5. A∪∅=A , A ∩∅=A , A∪S=S , A ∩S=A

6. A∪ AC=S , A ∩ AC=∅ ,¿

7. ¿

8. n ( A∪B )=n ( A )+n (B )−n ( A ∩B )

9. n ( A∪B∪C )=n ( A )+n (B )−n ( A ∩ B )−n ( A ∩C )−n ( B ∩C )−n ( A ∩B ∩C )

10. A⊂B↔ BC⊂ AC

Contoh

Buktikan bahwa:

a. A – B adalah himpunan bagian dari A∪B

b. AC – BC = B – A

c. Jika A⊂B maka A∪B=B

Bukti:

a. Diagram Venn:

= himpunan A−B

= himpunan A∪B

A−B={ x|x∈ A atau x∉B }

A∪B= {x|x∈ A atau x∈ B}

Untuk x∈ A−B, maka x∈ A∪B. Sehingga A−B adalah himpunan bagian (subset) dari

A∪B.

9

b. Diagram Venn:

Ac={x∨x∉ A }

Bc={x∨x∉B }

B−A={ x|x∈B dan x∉ A }

Ac−Bc={x∨x∉ Ac dan x∉Bc }

Ac−Bc=B−A

c. Diagram Venn:

A⊂Bartinya setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B atau A termuat

di dalam B atau B memuat A atau A∪B=B.5

F. PASANGAN TERURUT

(a,b) disebut pasangan terurut dari elemen a dan b. Merupakan hasil kali kartesian A X B

Contoh :

1. Misalkan :

A = {1,2,3}

B = {a,b}

Tentukan :

a. A X B

5 M.Nababan, 1988, Pengantar Matematika untuk Ilmu Ekonomi dan Bisnis, jakarta:Erlangga, hal.8-1010

b. B X A

Jawab :

a. A X B terdiri dari semua pasangan terurut dengan komponen pertama berasal dari A dan

komponen kedua berasal dari B, maka :

A X B = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a),(3,b)}

b. Dalam hal ini komponen pertama berasal dari B dan kedua dari A, maka :

B X A = {(a,1), (a,2), (a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}

2. Misalkan A = {1,2}

Tentukan :

a. A2

b. A3

Jawab :

a. A2 = A X A = {( 1,1), (1,2),(2,1),(2,2)}

b. A3 = A X A X A

= {(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2)(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2)}

11

BAB III

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Himpunan adalah kumpulan objek atau benda yang dapat didefenisikan, dan

dilambangkan dengan jelas. Objek-objek yang mengisi atau membentuk sebuah

himpunan disebut anggota atau unsur atau elemen.

Notasi himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara

elemen himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z).

Operasi himpunan:

Gabungan (Union)

Irisan (Intersection)

Komplemen (Complement)

Selisih (Difference)

(a,b) disebut pasangan terurut dari elemen a dan b. Merupakan hasil kali kartesian A X B

12

DAFTAR PUSTAKA

Awagiyo, dkk. Pegangan belajar matematika 1. Jakarta.

Chiang, Alpha C & Kevin W , Dasar-Dasar Matematika Ekonomi Jilid 1, Edisi ke-4, Jakarta: Erlangga.

Kalangi, Josep Bintang. Matematika Ekonomi dan Bisnis. 2002, Jakarta: Salemba Empat.

Mairy, Du. Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta.

Nababan,M, 1988, Pengantar Matematika untuk Ilmu Ekonomi dan Bisnis, jakarta:Erlangga,

13