Himp. Bilangan Primadan sifat-sifat operasi

himpunan

Tujuan

• Mahasiswa akan dapat menjelaskan sifat-sifat operasi himpunan, KPK dan FPB

Cakupan• Bilangan Prima dan Komposit• KPK dan FPB• Algoritma Euclid• Kongruen modulo dan Kelas ekuivalen• Himpunan Kuosien• Operasi biner• Asosiatif• Komutatif• Distributif• Dua himp isomorfis• Unsur kesatuan aditif dan multiplikatif• Invers aditif dan multiplikatif• Pseudorandom numbers• Enkripsi dan dekripsi• Chinese Remainder Theorem

Himpunan Bilangan Prima• Beberapa Definisi

– Bilangan prima– Pembagi– Kawan– FPB dan KPK (gcd & lcm)

• Algoritma Euclid

• Teorema faktorisasi unik

• Kelas Ekuivalen

• Himpunan Kuosien

Sifat-sifat operasi

• Operasi Biner (komposisi biner)

• Operasi komutatif

• Operasi asosiatif

• Operasi distributif

Himpunan-himpunan Isomorfis

Himpunan S dan T isomorfis, jika:• Ada korespondensi 1-1 antara anggota-anggota

S dan T• Setiap relasi (operasi) pada S dan T tetap

terpelihara dalam korespondensi tersebut.Contoh:

S = {0,1,2,3} dengan operasi tambah modulo 4, dan T = {1, 2, 3, 4} dengan operasi kali modulo 5 adalah isomorfis. Korespondensi 1-1 nya adalah 01, 13, 24, 32. Perlihatkan dengan tabel.

Unsur Kesatuan

• Untuk operasi aditif– Unkes aditif kiri– Unkes aditif kanan– Unkes aditif

• Untuk operasi multiplikatif– Unkes multiplikatif kiri– Unkes multiplikatif kanan– Unkes multiplikatif

Elemen Invers

• Untuk operasi aditif– Invers aditif kiri– Invers aditif kanan– Invers aditif

• Untuk operasi multiplikatif– Invers multiplikatif kiri– Invers multiplikatif kanan– Invers multiplikatif

Aritmetika Modular

• Definisi Modulo

• Aplikasi Modulo– Pseudorandom numbers– Kriptologi (Caesar cipher)– Chinese Remainder Theorem (Sun Tsu’s

problem)

Kesimpulan• KPK dan FPB dapat dicari dengan faktorisasi prima atau

Algoritma Euclid• Kongruen modulo akan menyebabkan terbentuknya

Kelas ekuivalen dan Himpunan Kuosien• Operasi biner adalah operasi yang tertutup• Asosiatif, artinya a(bc) = (ab)c• Komutatif, artinya ab = ba• Distributif, artinya a(b o c) = (ab) o (ac)• Dua himp isomorfis, bila ada korespondensi 1-1 yang

‘langgeng” di antara keduanya• Ingat kembali Unsur kesatuan aditif dan multiplikatif,

Invers aditif dan multiplikatif• Kongruen modulo banyak dipakai untuk Pseudorandom

numbers, Enkripsi dan dekripsi, dan dalam Chinese Remainder Problem