olimpiade sains nasional matematika sma/ma · olimpiade matematika sma/ma 1. suatu bilangan bulat...

23
OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA Disajikan pada Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar 28 Oktober 9 November 2007 Oleh Wiworo, S.Si., M.M. Departemen Pendidikan Nasional Direktorat Jenderal Peningkatan Mutu Pendidik dan Tenaga Kependidikan Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Matematika Yogyakarta 2007 PPPG Matematika Yogyakarta Kode Dok. : F-PRO-016 Revisi No . : 0

Upload: trinhkien

Post on 02-Mar-2019

393 views

Category:

Documents


8 download

TRANSCRIPT

Page 1: OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA · OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA 1. Suatu bilangan bulat pt 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. ... sebagai bilangan

1 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007

OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA

Disajikan pada Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA

Jenjang Dasar 28 Oktober – 9 November 2007

Oleh Wiworo, S.Si., M.M.

Departemen Pendidikan Nasional Direktorat Jenderal Peningkatan Mutu Pendidik dan Tenaga Kependidikan

Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Matematika

Yogyakarta 2007

PPPG Matematika Yogyakarta Kode Dok. : F-PRO-016 Revisi No . : 0

Page 2: OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA · OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA 1. Suatu bilangan bulat pt 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. ... sebagai bilangan

2 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007

CONTOH SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA

1. Suatu bilangan bulat 2p merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. Misalkan M

menyatakan perkalian 100 bilangan prima yang pertama. Berapa banyakkah angka 0 di akhir bilangan M

?

(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2003)

2. Misalkan 2

1

)!9(10p , 2

1

)!10(9q dan 2

1

)!11(r , dengan nnn )1(321! . Bagaimana

pengurutan yang benar dari ketiga bilangan ini?

(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2003)

3. Misalkan a dan b bilangan real yang berbeda sehingga

210

10

ab

ba

b

a

Tentukan nilai b

a

(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2003)

4. Berapakah jumlah digit-digit bilangan 20001999 52 ?

(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2003)

5. Bilangan bulat positif 2p disebut bilangan prima jika ia hanya mempunyai faktor 1 dan p. Tentukan

nilai penjumlahan semua bilangan prima di antara 1 dan 100 yang sekaligus bersifat satu lebihnya dari

suatu bilangan kelipatan 5 dan satu kurangnya dari suatu bilangan kelipatan 6.

(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2003)

6. Bilangan real 525252,2 adalah bilangan rasional sehingga dapat ditulis dalam bentuk n

m, di mana m,

n bilangan-bilangan bulat, 0n . Jika dipilih m dan n yang relatif prima, berapakah nm ?

(Seleksi Tingkat Provinsi – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2003, 10 Juni 2002)

7. Misalkan M dan m berturut-turut menyatakan bilangan terbesar dan bilangan terkecil di antara semua

bilangan 4 angka yang jumlah keempat angkanya adalah 9. Berapakah faktor prima terbesar dari

mM ?

(Seleksi Tingkat Provinsi – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2003, 10 Juni 2002)

8. Tentukan semua solusi dari sistem persamaan

24

12

6

333

222

zyx

zyx

zyx

(Olimpiade Sains Nasional I 2002, Matematika SMA, Yogyakarta, 10 September 2002)

Page 3: OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA · OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA 1. Suatu bilangan bulat pt 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. ... sebagai bilangan

3 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007

9. Ada berapa banyak bilangan 4 angka yang semua angkanya genap dan bukan merupakan kelipatan

2003 ?

(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2004)

10. Jika a dan b bilangan bulat sedemikian sehingga 200322 ba , maka berapakah nilai 22 ba ?

(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2004)

11. Untuk setiap bilangan real , kita definisikan sebagai bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau

sama dengan . Sebagai contoh, 49,4 dan 77 . Jika x dan y bilangan real sehingga

9x dan 12y , maka nilai terkecil yang mungkin dicapai oleh xy adalah .....

(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2004)

12. Jika 0x dan 71

2

2 x

x , maka 5

5 1

xx

(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2005, 28 April 2004)

13. Jika f suatu fungsi yang memenuhi 4)1( f dan )(2)1( xfxf maka )2004(f

(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2005, 28 April 2004)

14. Dua lingkaran pada bidang mempunyai titik pusat yang sama. Jari-jari lingkaran besar adalah tiga kali jari-

jari lingkaran kecil. Jika luas daerah di antara kedua lingkaran ini adalah 8, maka luas daerah lingkaran

kecil adalah ...

(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2005, 28 April 2004)

15. Nilai dari 10100

1

20

1

12

1

6

1

2

1 adalah ...

(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2005, 28 April 2004)

16. Diberikan persegipanjang PQRS. Titik O terletak di dalam PQRS demikian rupa sehingga OP = 3 cm,

OQ = 12 cm dan OS = 11 cm. Maka OR = ...

(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2005, 28 April 2004)

17. Titik (a, b) disebut titik letis jika a dan b keduanya adalah bilangan bulat. Banyaknya titik letis pada

lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari 5 adalah ...

(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2006, 11 Juni 2005)

18. Tentukan semua solusi persamaan 241 xx .

(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2006, 11 Juni 2005)

19. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat positif (m, n) yang merupakan solusi dari persamaan

124

nm.

(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2006, 11 Juni 2005)

20. Sebuah kelompok terdiri dari 2005 anggota. Setiap anggota memegang tepat satu rahasia. Setiap

anggota dapat mengirim surat kepada anggota lain manapun untuk menyampaikan seluruh rahasia yang

Page 4: OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA · OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA 1. Suatu bilangan bulat pt 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. ... sebagai bilangan

4 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007

dipegangnya. Banyaknya surat yang perlu dikirim agar semua anggota kelompok mengetahui seluruh

rahasia adalah ...

(Seleksi Tingkat Provinsi – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2006, 18 Juli 2005)

21. Banyaknya pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi persamaan 5552 yxxy adalah ...

(Seleksi Tingkat Provinsi – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2006, 18 Juli 2005)

22. Find all pairs of integers (x, y) such that 3

111

yx.

(South East Asian Mathematics Olympiad III, Penang – Malaysia, First Day – Individual Contest – 17 May 2005)

23. How many integers from 1 to 2005 have the sum of their digits divisible by 5 ?

(South East Asian Mathematics Olympiad III, Penang – Malaysia, First Day – Individual Contest – 17 May 2005)

24. Let a, b, c be a real numbers such that 80 cba and 2390222 cba . Find the value of

cabcab .

(South East Asian Mathematics Olympiad III, Penang – Malaysia, First Day – Individual Contest – 17 May 2005)

25. How many pairs of integers (x, y) such that 0 yx satisfy

2005)()( y

xxyyxyx

(South East Asian Mathematics Olympiad III, Penang – Malaysia, First Day – Individual Contest – 17 May 2005)

26. Let N be the set of all positive integers. Let NNf : be a function such that xxfxf )()1( for

Nx and 5)1( f . Find the value of )2005(f .

(South East Asian Mathematics Olympiad III, Penang – Malaysia, First Day – Individual Contest – 17 May 2005)

27. Buktikan bahwa aa 9 habis dibagi 6 untuk semua bilangan bulat a.

(Olimpiade Sains Nasional II 2003, Matematika SMA, Hari I – Balikpapan, 16 September 2003)

28. Buktikan untuk setiap bilangan real a, b dan c berlaku ketaksamaan

cabcabcba 444555 222

dan tentukan kapan kesamaan berlaku.

(Olimpiade Sains Nasional II 2003, Matematika SMA, Hari II – Balikpapan, 17 September 2003)

29. Tentukan banyaknya pembagi genap dan pembagi ganjil dari 156

(Olimpiade Sains Nasional III 2004, Matematika SMA, Hari I – Pekanbaru, 25 Agustus 2004)

30. Untuk sebarang bilangan real x, notasi x menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau

sama dengan x. Buktikan bahwa ada tepat satu bilangan bulat m yang memenuhi persamaan

20052005

mm .

(Olimpiade Sains Nasional VI 2005, Matematika SMA, Hari II – DKI Jakarta, 7 September 2005)

Page 5: OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA · OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA 1. Suatu bilangan bulat pt 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. ... sebagai bilangan

5 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007

LATIHAN 1

31. Tampilan suatu jam digital mempunyai format Bulan : Tanggal : Jam : Menit. Jangkauan

bilangan-bilangan pada tampilan jam tersebut adalah sebagai berikut:

Bulan, dari 01 sampai 12

Tanggal, dari 01 sampai 31

Jam, dari 00 sampai 23

Menit, dari 00 sampai 59

Berapa kali pada tahun 2007, tampilan jam digital tersebut menunjukkan suatu palindrom ?

(Palindrom adalah suatu bilangan yang sama jika dibaca dari depan maupun dari belakang. Contoh,

12 : 31 : 13 : 21 dan 01 : 02 : 20 : 10)

32. Tiga pola susunan pengubinan berikut tersusun dari ubin putih dan ubin hitam. Selanjutnya

suatu susunan pengubinan yang lebih besar dibuat mengikuti pola yang sama dan tersusun dari

58 ubin hitam. Hitunglah banyaknya ubin putih pada susunan pengubinan yang tersusun dari 58

ubin hitam tersebut.

33. Berapa banyak bilangan tiga angka n sedemikian hingga jika s merupakan jumlah angka-angka

dari n, maka dan n habis dibagi s ?

34. Misalkan . Berapa kali angka 1 muncul pada n ?

35. Jika , berapakah ?

36. Pada trapezium berikut ini, DC sejajar AB, dan . Carilah

.

37. Pada gambar berikut, ABCD adalah trapesium. AF dan BE tegak lurus terhadap CD, dengan

dan . Carilah nilai .

38. Diketahui bahwa . Tentukan nilai A agar .

Page 6: OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA · OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA 1. Suatu bilangan bulat pt 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. ... sebagai bilangan

6 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007

39. Untuk setiap pasangan bilangan asli a dan b, kita definisikan . Bilangan asli x

dikatakan penyusun bilangan asli n jika terdapat bilangan asli y yang memenuhi .

Sebagai contoh, 2 adalah penyusun 6 karena terdapat bilangan asli 4 sehingga

. Tentukan semua penyusun 2005.

40. Carilah hasil dari

LATIHAN 2

1. Buktikan pernyataan-pernyataan berikut:

a. Jumlah dua bilangan genap adalah bilangan genap

b. Jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap

c. Jumlah bilangan genap dan bilangan ganjil adalah bilangan ganjil

2. Buktikan bahwa pada bentuk bintang berikut ini .

3. Buktikan ba

abba

4 jika 0a , 0b dan ba .

4. Buktikan jika ABCD persegipanjang dan titik E adalah titik sebarang di luar persegipanjang

ABCD seperti pada gambar berikut, maka akan berlaku hubungan .

Perhatikan bahwa A, B, C, D, E adalah titik-titik yang koplanar (sebidang).

5. Buktikan bahwa 333 )2()1( nnn selalu habis dibagi 9 untuk setiap bilangan asli n.

6. Jika a, b, c, d dan e adalah bilangan-bilangan sedemikian hingga

baed

aedc

edcb

dcba

E

D C

B A

Page 7: OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA · OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA 1. Suatu bilangan bulat pt 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. ... sebagai bilangan

7 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007

buktikan bahwa bilangan terbesar adalah a dan bilangan terkecil adalah b.

7. Pada segilima ABCDE, segitiga-segitiga ABC, BCD, CDE, DEA dan EAB semuanya mempunyai

luas yang sama. Garis AC dan AD memotong BE pada titik M dan N. Buktikan bahwa

.

8. Buktikan bahwa nnnn 6381 selalu habis dibagi 10 untuk setiap bilangan bulat positif n.

9. Buktikan bahwa jumlah kuadrat dua bilangan asli berurutan tidak akan sama dengan jumlah

pangkat empat dua bilangan asli berurutan.

10. Buktikan bahwa sistem persamaan

0111

0

zyx

zyx

tidak mempunyai solusi bilangan real.

Page 8: OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA · OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA 1. Suatu bilangan bulat pt 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. ... sebagai bilangan

8 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007

CONTOH SOLUSI DARI SISWA YANG MEMILIKI KEMAHIRAN MATEMATIKA CUKUP BAIK

1. Prove that the system of equations

0111

0

zyx

zyx

has no real solutions. (The 55th Leningrad Mathematical Olympiad 1989, Grade 8)

Bukti: (dibuktikan oleh Nurvirta Monarizqa, kelas IX – 5 SMPN 8 Yogyakarta) Misal 0 zyx ..........(1)

0111

zyx ........(2)

Dari (2) maka

0111

zyx kedua ruas dikali xyz

0 yzxzxy ..........(3)

Dari (1) maka 0)( zyx kedua ruas dikuadratkan

0)( 2 zyx

0222222 yzxzxyzyx ..........(4)

Pengantar:

Berikut ini diberikan beberapa contoh soal dan jawaban siswa untuk Tugas Mingguan Pembinaan Kelas

VII dan VIII untuk OSN Matematika SMP serta Tugas Mingguan Pembinaan Veteran Kelas VIII

dan IX untuk OSN Matematika SMA, yang dilakukan siswa selama mengikuti Pembinaan Tim

Olimpiade Matematika SMPN 8 Yogyakarta. Jawaban siswa diketikkan apa adanya seperti yang

mereka tulis di lembar jawaban dan tidak ada yang ditambah-tambahi. Memang masih ada kesalahan

pada beberapa langkah jawaban ataupun langkah pembuktian. Terlepas dari itu semua, yang harus

dicermati adalah keberanian siswa untuk berpikir kreatif, sistematis, logis dan rasional serta

keberanian mereka untuk mengungkapkan gagasan yang ada dalam pikiran ke dalam bahasa tulis

dengan cukup terstruktur. Hal ini merupakan contoh langkah awal penguasaan siswa terhadap lima

hal yang disyaratkan untuk menjadi mahir dalam matematika, yaitu:

1. Conceptual Understanding

2. Procedural Fluency

3. Strategic Competence

4. Adaptive Reasoning

5. Productive Disposition

Diperlukan waktu dua tahun lebih untuk membimbing dan membiasakan siswa-siswa tersebut sehingga

dapat mencapai kemampuan seperti ini. Proses pembimbingan ini masih berlangsung terus sampai

sekarang.

Page 9: OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA · OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA 1. Suatu bilangan bulat pt 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. ... sebagai bilangan

9 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007

Persamaan (4) dikurangi persamaan (3) diperoleh

0222 yzxzxyzyx kedua ruas dikali 2

0222222 222 yzxzxyzyx

0222 222222 zyzyzxzxyxyx

0)()()( 222 zyzxyx ..........(5)

Andaikan x, y dan z adalah sembarang bilangan real, maka yx , zy dan zx juga merupakan

bilangan real. Perhatikan bahwa kuadrat sembarang bilangan real selalu nonnegatif, maka penjumlahan ketiga bilangan real kuadrat juga pasti nonnegatif. Pada persamaan (5) penjumlahan ketiga sembarang kuadrat bilangan real sama dengan nol, akibatnya

2)( yx , 2)( zx dan 2)( zy juga harus sama dengan 0. sehingga

0 zxzyyx

zyyx kedua ruas dikurangi y

zx

zxzy kedua ruas dikurangi z

xy

Maka zyx .

Sehingga jika zyx disubstitusikan ke persamaan (5)

0

0

012

0444

0)2()2()2(

0)()()(

0)()()(

2

2

222

222

222

222

z

z

z

zzz

zzz

zzzzzz

zxzyyx

yxz 0 .

Kembalikan ke persamaan (2) dengan mensubstitusikan 0 zyx .

00

1

0

1

0

1

0111

zyx

Perhatikan bahwa bilangan pada penyebut tidak boleh nol karena hasilnya tidak terdefinisi, bukan nol. Kontradiksi, maka pengandaian salah. Jadi terbukti bahwa sistem persamaan

0

111

0

zyx

zyx

tidak mempunyai solusi real.

Prestasi Nurvirta Monarizqa:

Juara 3 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN IV 2005

Juara 3 Matematika SMP Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN IV 2005

Medali Perak Matematika SMP Olimpiade Sains Nasional IV 2005 DKI Jakarta

Peringkat 12 Matematika SMA Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN V 2006

Juara 1 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN V 2006

Juara 2 Matematika SMP Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN V 2006

Medali Perunggu Matematika SMP Olimpiade Sains Nasional V 2006 Semarang

Juara 1 Matematika SMA Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN VI 2007

Peringkat 8 Matematika SMA Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN VI 2007

Kemampuan

mengkonstruksi

Pembuktian dengan kontradiksi.

Perhatikan cara menyusun kalimat-

kalimatnya.

Page 10: OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA · OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA 1. Suatu bilangan bulat pt 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. ... sebagai bilangan

10 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007

2. Prove that 333 )2()1( nnn is divisible by 9 for all natural numbers n.

Bukti 1: (dibuktikan oleh Gabriela Kasih Mawarni, kelas IX – 4 SMPN 8 Yogyakarta) Untuk 1n

36

2781

321)21()11(1 333233

36 habis dibagi 9. Terbukti. Andaikan rumus benar untuk kn .

akkk 9)2()1( 333 dengan a sembarang bilangan bulat.

Harus dibuktikan rumus benar untuk 1 kn .

339

3399

33339

99339

39639

)3()3()3(9

)3(9

)3(9)3()2()1(

2

2

2

2

222

22

33

33333

kka

kka

kka

kka

kkkkka

kkkkkka

kka

kkakkk

Jadi terbukti bahwa 333 )2()1( nnn habis dibagi 9 untuk sembarang bilangan asli n.

Bukti 2: (dibuktikan oleh Ikhsan Permadi Kusumah, kelas IX – 4 SMPN 8 Yogyakarta) Kasus I untuk kn 9 , maka

115812439

91357292187

8108486729729127243729)29()19()9(

23

23

23323333

kkk

kkk

kkkkkkkkkk

Terbukti habis dibagi 9. Kasus II untuk 19 kn , maka

4421622439

3637814582187)39()29()19(23

23333

kkk

kkkkkk

Terbukti habis dibagi 9. Kasus III untuk 29 kn , maka

11872432439

9978321872187)49()39()29(23

23333

kkk

kkkkkk

Kemauan untuk bekerja keras karena berani

membagi masalah dalam kasus per kasus dan diselesaikan satu per

satu

Prestasi Gabriela Kasih Mawarni:

Peringkat 14 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN IV 2005

Juara 4 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN V 2006

Juara 2 Matematika SMA Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN VI 2007

Juara 1 Matematika SMA Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN VI 2007

Ada sedikit kesalahan dalam

menuliskan langkah induksi.

Page 11: OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA · OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA 1. Suatu bilangan bulat pt 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. ... sebagai bilangan

11 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007

Terbukti habis dibagi 9. Kasus IV untuk 39 kn , maka

171503242439

153135029162187)59()49()39(23

23333

kkk

kkkkkk

Terbukti habis dibagi 9. Kasus V untuk 49 kn , maka

452314052439

405207936452187)69()59()49(23

23333

kkk

kkkkkk

Terbukti habis dibagi 9. Kasus VI untuk 59 kn , maka

763304862439

684297043742187)79()69()59(23

23333

kkk

kkkkkk

Terbukti habis dibagi 9. Kasus VII untuk 69 kn , maka

1197265672439

1071653451032187)89()79()69(23

23333

kkk

kkkkkk

Terbukti habis dibagi 9. Kasus VIII untuk 79 kn , maka

956184052439

855556236452187

)9()89()79()99()89()79(

23

33

333333

mmm

mmm

mmmkkk

Terbukti habis dibagi 9. Kasus IX untuk 89 kn , maka

574762432439

513426621872187

)19()9()89()109()99()89(

23

23

333333

mmm

mmm

mmmkkk

Terbukti habis dibagi 9.

Karena terbukti untuk seluruh n bilangan asli, maka terbukti 333 )2()1( nnn habis dibagi 9.

Bukti 3: (dibuktikan oleh Nurvirta Monarizqa, kelas IX – 5 SMPN 8 Yogyakarta)

Perhatikan bahwa untuk n bilangan asli, n, n + 1 dan n + 2 merupakan 3 bilangan asli berurutan. Padahal setiap 3 bilangan asli berurutan pasti memuat 1 buah bilangan yang merupakan kelipatan 3. Sehingga diperoleh 3 kemungkinan.

Jika n merupakan kelipatan 3, maka ambil sembarang k bilangan real positif sedemikian hingga kn 3 ,

131 kn dan 232 kn . Maka

9k + 9 dapat ditulis 9m

Prestasi Ikhsan Permadi Kusumah:

Juara 2 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN IV 2005

Juara 2 Matematika SMP Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN IV 2005

Medali Perak Matematika SMP Olimpiade Sains Nasional IV 2005 DKI Jakarta

Peringkat 17 Matematika SMA Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN V 2006

Juara 5 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN V 2006

Juara 3 Matematika SMA Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN VI 2007

Peringkat 9 Matematika SMA Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN VI 2007

Page 12: OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA · OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA 1. Suatu bilangan bulat pt 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. ... sebagai bilangan

12 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007

19999

9815427273

872542719272727

)23()13()3()2()1(

23

223

23233

333333

kkk

kkkk

kkkkkkk

kkknnn

Merupakan kelipatan 9.

Jika n + 1 merupakan kelipatan 3, maka ambil sembarang k bilangan real positif sedemikian hingga

13 kn , kn 31 dan 132 kn . Maka

kk

kk

kkkkkkk

kkknnn

299

18327

19272727192727

)13()3()13()2()1(

3

3

23323

333333

Merupakan kelipatan 9. Jika n + 2 merupakan kelipatan 3, maka ambil sembarang k bilangan real positif sedemikian hingga

23 kn , 131 kn dan kn 32 . Maka

19999

98181273

271927278725427

)3()13()23()2()1(

23

23

32323

333333

kkk

kkk

kkkkkkk

kkknnn

Merupakan kelipatan 9.

Maka dari kemungkinan tersebut terbukti bahwa 333 )2()1( nnn habis dibagi 9 untuk

sembarang bilangan asli n.

3. Two integers are called equivalent, written x y, if they are divisible by the same prime numbers. So 2 2

4, 3 27 but 2 3.

a. Show that 10 80, but 10 90.

b. Prove that if x y, then x2 y2. (Canadian Mathematical Society Prize Exam, 26 April 1999)

Bukti: (dibuktikan oleh Robertus Sonny Prakoso, kelas IX – 1 SMPN 8 Yogyakarta)

a. 5210 .

5280 4 .

53290 2 .

10 dan 80 mempunyai faktor prima yang sama sehingga 10 80. 10 dan 90 mempunyai faktor prima yang berbeda (90 memiliki faktor prima 3, sementara 10 tidak

punya) sehingga 10 90 .

b. Ambil dua bilangan bulat sebarang x dan y sedemikian hingga x y . Maka x dan y memiliki faktor prima yang sama (misalkan a dan b). Sehingga x dapat dinyatakan dalam faktorisasi prima

nm ba dengan m dan n adalah sebarang bilangan asli, y dapat dinyatakan dalam faktorisasi prima qp ba dengan p dan q adalah sebarang bilangan asli.

nm bax maka Selalu

mengambil generalisasi atau bentuk

umum

Page 13: OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA · OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA 1. Suatu bilangan bulat pt 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. ... sebagai bilangan

13 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007

nm

nm

nm

ba

ba

bax

22

22

22

qp bay maka

qp

qp

qp

ba

ba

bay

22

22

22

2x dan 2y tetap memiliki faktor prima yang sama. Sehingga terbukti bahwa jika x y maka

x2 y2.

4. If a, b, c, d and e are numbers such that

baed

aedc

edcb

dcba

Prove that the largest number is a and the smallest is b. (Old Mutual Mathematical Olympiad 1991, Final Paper 2)

Bukti: (dibuktikan oleh Mirna Jatiningrum, kelas IX – 4 SMPN 8 Yogyakarta)

)4(

)3(

)2(

)1(

baea

aedc

edcb

dcba

Dari (1) dan (4):

baed

dcba

Maka )5(dcbaed

Dari (3) dan (5):

dcbaed

aedc

Maka )6(aedcbaed

Dari (2) dan (6):

aedcbaed

edcb

Maka )7(aedcbaedcb

Prestasi Robertus Sonny Prakoso:

Juara 4 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN IV 2005

Juara 6 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN V 2006

Peringkat 12 Matematika SMA Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN VI 2007

Juara 2 Matematika SMA Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN VI 2007

Page 14: OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA · OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA 1. Suatu bilangan bulat pt 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. ... sebagai bilangan

14 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007

Dari (7):

)8(db

dccb

Dari (7):

)9(eb

aeba

Dari (7):

)10(ad

aeed

Dari (7):

)11(ac

bacb

Dari (7):

)12(ce

dced

Dari (9) dan (12):

ce

eb

maka

)13(cb

acb

Dari (13) dan (11):

ac

cb

maka

)14(ab

acb

Dari (8), (9), (13), (14):

ab

cb

eb

db

maka terbukti b adalah yang terkecil

Dari (11) dan (12);

ce

ac

maka

)15(ae

ace

Dari (15), (11), (10), (14):

ab

ad

ac

ae

maka terbukti a adalah yang terbesar

Jadi dari persamaan-persamaan di atas terbukti bahwa a adalah yang terbesar dan b yang terkecil.

Prestasi Mirna Jatiningrum:

Peringkat 11 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN IV 2005

Juara 3 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN V 2006

Juara 1 Matematika SMP Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN V 2006

Medali Perak Matematika SMP Olimpiade Sains Nasional V 2006 Semarang

Juara 4 Matematika SMA Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN VI 2007

Juara 6 Matematika SMA Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN VI 2007

Kontingen Indonesia ke The 4th IJSO 2007 China Taipei

Page 15: OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA · OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA 1. Suatu bilangan bulat pt 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. ... sebagai bilangan

15 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007

5. How many non-congruent triangles with integer sides and perimeter 1999 can be constructed ? (South African Mathematics Olympiad, Senior Section – Third Round 1999)

Solusi: (diselesaikan oleh Mirna Jatiningrum, kelas IX – 4 SMPN 8 Yogyakarta) Misal sisi-sisi segitiga adalah a, b dan c.

1999 cba dan cba , acb , bca .

Karena segitiga-segitiga tidak kongruen maka kita asumsikan saja cba , supaya tidak ada a, b, c yang dobel. Maka nilai-nilai a, b, c:

a b c Pola 1 999 999 1 2 998 999 1 3 997 999

2 3 998 998 4 996 999

2 4 997 998 5 995 999 3 5 996 998 5 997 997 6 994 999

3 6 995 998 6 996 997 7 993 999

4 7 994 998 7 995 997 7 996 996

500 500 999

250 500 501 998

500 749 750

6. In a given pentagon ABCDE, triangles ABC, BCD, CDE, DEA and EAB all have the same area. The

lines AC and AD intersect BE at points M and N. Prove that BM = EN. (South African Mathematics Olympiad, Senior Section – Third Round 2003)

Bukti: (dibuktikan oleh Gabriela Kasih Mawarni, kelas IX – 4 SMPN 8 Yogyakarta)

Diketahui bahwa EABDEACDEBCDABC LLLLL .

BCDABC LL .

Karena alas dari kedua segitiga sama, yaitu BC dan karena luas kedua segitiga sama, maka kedua tinggi dari segitigapun sama. Maka jika ditarik garis dari kedua tinggi akan sejajar dengan alasnya.

BCAD .

Dengan cara yang sama kita memperoleh CEAB , BECD , ACDE , BDAE .

Karena BECD dan ADBC , maka kita dapat membuat jajargenjang CDNB dengan BNCD , serta

dapat membuat jajargenjang CDEM karena ACDE dengan EMCD .

Maka banyak a, b, c yang mungkin ada

627502

2512502)250321(2

Menerapkan prinsip

Without Loss of Generality

Melakukan kesalahan

dalam menyimpulkan pola

Pemahaman konsep luas yang mendalam

Page 16: OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA · OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA 1. Suatu bilangan bulat pt 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. ... sebagai bilangan

16 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007

Akibatnya

BMEN

MNBNMNME

BNME

7. ABCD is a convex quadrilateral with perimeter p. Prove that pBDACp 2

1.

(South African Mathematics Olympiad, Senior Section – Third Round 2001)

Bukti 1: (dibuktikan oleh Ikhsan Permadi Kusumah, kelas IX – 4 SMPN 8 Yogyakarta)

ABOAOB (menurut teori ketaksamaan pada segitiga). Dengan cara yang sama maka:

BCOCOB

CDODOC

ADOAOD +

pBDAC

pODOBOCOA

pODOCOBOA

ADCDBCABODOCOBOAODOCOBOA

2

12

1

)(2

BCABAC (menurut teori ketaksamaan pada segitiga). Dengan cara yang sama maka:

CDADAC CDBCBD

ADABBD +

pBDAC

ADCDBCABBDAC

ADCDBCABBDAC

ADADCDCDBCBCABABBDBDACAC

)(2)(2

Dari kedua ketaksamaan tersebut dapat ditulis pBDACp 2

1.

Bukti 2: (dibuktikan oleh Gabriela Kasih Mawarni, kelas IX – 4 SMPN 8 Yogyakarta)

Akan dibuktikan BDACp 2

1 dengan p adalah keliling segiempat.

Perhatikan BEC .

)(iBCECBE

Perhatikan DEA .

)(iiADEAED

Perhatikan CED .

)(iiiCDEDEC

Perhatikan AEB

)(ivABEBEA

(i) + (ii) + (iii) + (iv):

O

O

O

D

A

C

B

O

C

D

B

A

E

Page 17: OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA · OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA 1. Suatu bilangan bulat pt 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. ... sebagai bilangan

17 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007

ABEBEA

CDEDEC

ADEAED

BCECEB

+ BCCDADABEDECEAEB 2222

pEDEBECEA )()(2

pBDAC2

1

Akan dibuktikan bahwa pBDAC dengan p keliling segiempat.

Perhatikan ABC

)(iACBCAB

Perhatikan ADC

)(iiACDACD

(i) + (ii):

ACDACD

ACBCAB

+

(*)2

1

2

2

ACp

ACp

ACDACDBCAB

Perhatikan ABD

)(iiiBDADAB

Perhatikan BCD

)(ivBDCDBC

(iii) + (iv):

BDCDBC

BDADAB

+

(**)2

1

2

2

BDp

BDp

BDADCDBCAB

(*) + (**):

BDp

ACp

2

12

1

+ BDACp

8. Prove that for all positive integers n, nnnn 6381 is divisible by 10.

O

O

Perhatikan sistematika penulisan

langkah-langkah pembuktiannya

Page 18: OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA · OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA 1. Suatu bilangan bulat pt 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. ... sebagai bilangan

18 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007

Bukti: (dibuktikan oleh Alimatun Nashirah, kelas VIII – 8 SMPN 8 Yogyakarta)

Akan dibuktikan bahwa nnnn 6381 habis dibagi 10 untuk seluruh n bilangan bulat positif. Menurut syarat keterbagian bilangan, bilangan dikatakan habis dibagi 10 apabila habis dibagi 2 dan 5. Habis dibagi 2:

nnnnnnnn 68316381

12

1211

12232211

3327932

313191312

31313131313131

nn

nn

nnnnnnn

12233221

12233221

68686868682

68686868686868

nnnnn

nnnnnnn

Sehingga

122332211 686868686839326831 nnnnnnnnnn

Maka nnnn 63812 .

Habis dibagi 5:

nnnnnnnn 38616381

1232

12321

122332211

666665

666665

61616161616161

nn

nn

nnnnnnn

12233221

12233221

38383838385

38383838383838

nnnnn

nnnnnnn

Sehingga

1222211232 383838386666653861 nnnnnnnnnn

Maka nnnn 63815 .

Karena sudah memenuhi 2 syarat tersebut, terbukti bahwa nnnn 6381 habis dibagi 10 untuk setiap n bilangan bulat positif. Q.E.D.

9. The number 22 has the following property: the sum of its digits is equal to the product of its digits. Find the smallest 8-digit natural number that satisfies the given condition.

(4th Indonesia Elementary Mathematics International Contest 2006, Team Test Problems, Denpasar – Bali, 29 May 2006)

Solusi: (diselesaikan oleh Alimatun Nashirah, kelas VIII – 8 SMPN 8 Yogyakarta) Bilangan 8 angka terkecil yang jumlah digit-digitnya sama dengan hasil kali digit-digitnya = ? Yang jelas pada bilangan ini tidak boleh ada angka 0, karena hasil kali digit-digitnya juga pasti nol. Kita coba dulu dengan angka 1 di digit awal. Angka 1 ini tidak mungkin sampai digit 8 karena

1111111111111111 .

Prestasi Alimatun Nashirah:

Juara 2 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN V 2006

Juara 3 Matematika SMP Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN V 2006

Medali Perunggu Matematika SMP Olimpiade Sains Nasional V 2006 Semarang

Kontingen Indonesia ke The 4th IJSO 2007 China Taipei

Melakukan kesalahan dalam

pola

perpangkatannya

Melakukan kesalahan dalam

pola

perpangkatannya

Page 19: OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA · OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA 1. Suatu bilangan bulat pt 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. ... sebagai bilangan

19 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007

Juga tidak mungkin sampai digit 7 karena nn 11111111111111

nn 7 . Untuk angka 1 ada sampai digit ke 6. Misalkan digit ke 7 = x dan ke 8 = y, dengan x dan y adalah angka dari 1 s/d 9.

1

71

1

7

1

11

6

)1(6

6

6

111111111111

xy

xx

xy

x

xy

xyx

yxyx

xyyx

yxyx

Agar y bilangan bulat, maka )1( x harus faktor dari 7, yaitu 1 atau 7.

211 xx dan 812

62

1

6

x

xy

871 xx dan 218

68

y

Jadi kemungkinan bilangan yang dicari adalah 11111128 dan 11111182. Maka bilangan 8 angka terkecil yang dimaksud adalah 11111128.

10. Prove that the sum of the squares of two consecutive positive integers cannot be equal to a sum of the

fourth powers of two consecutive positive integers. (South African Mathematics Olympiad, Senior Section – Third Round 2003)

Bukti: (dibuktikan oleh Robertus Sonny Prakoso, kelas IX – 1 SMPN 8 Yogyakarta) Ambil sebarang dua bilangan bulat positif berurutan, misal a dan 1a .

Kasus I: a dan 1a bukan bilangan kuadrat. Jumlah kuadrat:

122

12)1(2

2222

aa

aaaaa

Jumlah pangkat empat:

16462

1646)1(234

234444

aaaa

aaaaaaa

Kasus II: a adalah bilangan kuadrat, maka a dapat dimisalkan dalam 2m dan 1a dimisalkan 12 m . Jumlah kuadrat:

122

12124

2442222

mm

mmmmm

Jumlah pangkat empat:

16462

164612468

246884242

mmmm

mmmmmmm

Kasus III: 1a adalah bilangan kuadrat, maka 1a dapat dimisalkan 2n dan a dimisalkan 12 n . Jumlah kuadrat:

Perhatikan cara menyusun

model/kalimat matematikanya

Page 20: OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA · OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA 1. Suatu bilangan bulat pt 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. ... sebagai bilangan

20 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007

122

12124

2442222

nn

nnnnn

Jumlah pangkat empat:

16462

164612268

226884242

nnnn

nnnnnnn

Kasus IV: a dan 1a adalah bilangan kuadrat. Hanya ada satu pasangan, 0 dan 1. Tetapi karena 0 bukan bilangan positif maka Kasus IV tidak termasuk. Dari ketiga bentuk jumlah kuadrat, tidak ada yang sama dengan ketiga bentuk jumlah pangkat empat. Sehingga terbukti bahwa jumlah kuadrat dua bilangan bulat berurutan tidak pernah sama dengan jumlah pangkat empat dua bilangan bulat berurutan.

11. Prove that by adding one to the product of four consecutive integers, a perfect square is obtained. For

example: 21112115432 .

Bukti: (dibuktikan oleh Nurvirta Monarizqa, kelas IX – 5 SMPN 8 Yogyakarta) Ambil sembarang bilangan bulat a sedemikian hingga 1a , a, 1a dan 2a merupakan 4 bilangan bulat berurutan. Kalikan keempat bilangan bulat tersebut:

aaaa

aaaaaaa

22

21)2)(1()1(234

22

Kedua ruas ditambah 1:

22

2222

4232

2234

234

)1(

121

2212

1222

1221)2)(1()1(

aa

aaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaaaaa

Terlihat bahwa hasil akhirnya merupakan kuadrat sempurna, sehingga terbukti bahwa dengan menambah bilangan 1 pada perkalian 4 bilangan bulat berurutan akan menghasilkan bilangan kuadrat sempurna.

12. Show that there are no integers a, b, c for which 6822 cba .

Bukti: (dibuktikan oleh Mirna Jatiningrum, kelas IX – 4 SMPN 8 Yogyakarta)

Akan dibuktikan tidak ada bilangan bulat ) , ,( cba yang memenuhi untuk 6822 cba .

cba

cba

cba

432

86

68

22

22

22

Akan dibagi menjadi 3 kasus: (i) Untuk ),( ba keduanya genap

(ii) Untuk ),( ba keduanya ganjil

(iii) Untuk ),( ba salah satunya genap, satunya ganjil

Untuk kasus (i):

cba

432

22

Misal na 2 , mb 2

Perhatikan cara mengkonstruksi dan

memanipulasi suku-sukunya supaya menjadi bentuk

kuadrat sempurna

Perhatikan kemampuan menggunakan strategi

pemecahan masalah dengan memecah masalah ke dalam

beberapa bagian

Page 21: OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA · OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA 1. Suatu bilangan bulat pt 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. ... sebagai bilangan

21 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007

22

222222

22

4

2

44

2

)2()2(mn

mnmnmn

Padahal c43 ganjil merupakan bilangan genap

Maka c43 ganjil. Padahal 2

22 ba genap. Maka untuk ),( ba genap tidak mungkin.

Untuk kasus (ii) ),( ba keduanya ganjil.

cba

432

22

Misal )12( na , )12( mb .

cmmnn

cmmnn

cmn

cba

432

24444

432

144144

432

)12()12(

432

22

22

22

22

cmmnn 4312222 22 kedua ruas dikurangi 1

cmmnn 422222 22 kedua ruas dibagi 2

cmmnn 2122

cmmnn 21)1()1(

Perkalian 2 bilangan berurutan pasti menghasilkan bilangan genap karena salah satunya pasti genap.

genapganjil

genapgenap

cmmnn 21)1()1(

Penjumlahan 2 bilangan genap akan menghasilkan bilangan genap. Penjumlahan bilangan genap dan ganjil akan menghasilkan bilangan ganjil.

tidak mungkin untuk ),( ba keduanya ganjil.

Untuk kasus (iii) ),( ba salah satu ganjil.

Misal 12 na , mb 2

cba

432

22

2a genap

2b ganjil Penjumlahan bilangan genap dan ganjil akan menghasilkan bilangan ganjil.

Jika 22 ba dibagi 2 maka tidak akan menghasilkan bilangan bulat. Jadi untuk ),( ba salah satu genap

tidak mungkin. Jadi terbukti, untuk ) , ,( cba bilangan bulat tidak ada yang memenuhi untuk persamaan

6822 cba .

Page 22: OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA · OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA 1. Suatu bilangan bulat pt 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. ... sebagai bilangan

22 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007

DAFTAR PUSTAKA

____, 2004, Tim Olimpiade Matematika Indonesia: Menembus Dunia, Jakarta: Bagian Proyek Pengembangan Wawasan Keilmuan, Direktorat Pendidikan Menengah Umum, Departemen Pendidikan Nasional.

____, 2006, Kumpulan Jawaban Siswa untuk Tugas Mingguan Pembinaan Kelas VII dan VIII untuk OSN Matematika SMP, Yogyakarta: Tim Olimpiade Matematika SMPN 8 Yogyakarta.

____, 2006, Kumpulan Jawaban Siswa untuk Tugas Mingguan Pembinaan Veteran Kelas VIII dan IX untuk OSN Matematika SMA, Yogyakarta: Tim Olimpiade Matematika SMPN 8 Yogyakarta.

As’ari, Abdur Rahman, 2006, OSN Bidang Matematika SMP: Kontribusinya dalam Peningkatan Mutu Pendidikan Matematika di Sekolah Menengah Pertama, makalah disajikan dalam Seminar Peningkatan Kualitas Widyaiswara LPMP se-Indonesia di PPPG Matematika Yogyakarta.

Monarizqa, Nurvirta, Ikhsan Permadi Kusumah dan Agatha Previan Chrisditya, 2006, Kesan-kesan Mengikuti Pembinaan di Sekolah dan Mendapat Medali di OSN, artikel dalam Jurnal Mahkota Matematika Volume 1 Nomor 3 Maret 2006, Malang: Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Malang.

Muchlis, Achmad, 2004, Pembelajaran Matematika dalam KBK, makalah disajikan dalam Lokakarya Widyaiswara Matematika LPMP se-Indonesia di PPPG Matematika Yogyakarta.

Muchlis, Achmad, 2004, Peningkatan Mutu Pendidikan Melalui Kompetisi, makalah disajikan dalam Lokakarya Widyaiswara Matematika LPMP se-Indonesia di PPPG Matematika Yogyakarta.

Muchlis, Achmad, 2005, Indonesia dan Kompetisi Matematika, Jakarta: Direktorat Pendidikan Menengah Umum, Departemen Pendidikan Nasional.

Susanto, Hery, 2005, Soal Olimpiade MIPA Bidang Matematika Tingkat SD/MI Provinsi Jawa Timur, artikel dalam Jurnal Mahkota Matematika Volume 1 Nomor 1 September 2005, Malang: Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Malang.

Susanto, Hery, 2005, Hasil OSN 2005 Bidang Matematika, artikel dalam Jurnal Mahkota Matematika Volume 1 Nomor 2 Desember 2005, Malang: Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Malang.

Susanto, Hery, 2006, Pemecahan Masalah dalam Pembelajaran Matematika, makalah disampaikan pada Penataran dan Lokakarya Widyaiswara Matematika LPMP Se-Indonesia Tahun 2006, Yogyakarta: PPPG Matematika.

Susanto, Hery, Sisworo dan Abdur Rahman As’ari, 2006, Napak Tilas Olimpiade Sains Nasional Matematika SMP, Malang: Universitas Negeri Malang.

Wiworo, 2004, Metode Pembinaan untuk Menghadapi Olimpiade Matematika SMP, makalah disampaikan pada Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMP, Yogyakarta: PPPG Matematika.

Wiworo, 2004, Pemecahan Masalah Aljabar dalam Olimpiade Matematika SMP, Yogyakarta: PPPG Matematika.

Wiworo, 2005, Dasar-dasar Bilangan untuk Olimpiade Matematika SMP, Yogyakarta: PPPG Matematika.

Wiworo, 2006, Ketaksamaan, Yogyakarta: PPPG Matematika.

Page 23: OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA · OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA 1. Suatu bilangan bulat pt 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. ... sebagai bilangan

23 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007

Wiworo, 2006, Impossible is Nothing: Sebuah Pengalaman Membina Tim Olimpiade Sains SMPN 8 Yogyakarta, artikel dalam Jurnal Mahkota Matematika Volume 1 Nomor 3 Maret 2006, Malang: Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Malang.