Haversine rumus

Rumus haversine adalah persamaan yang penting dalam navigasi, memberikan lingkaran-besar jarak antara dua titik pada bola dari garis bujur dan garis lintang. Ini adalah kasus khusus dari formula yang lebih umum dalam trigonometri bola, hukum haversines, berkaitan sisi dan sudut dari segitiga bola.

Nama-nama ini mengikuti dari kenyataan bahwa mereka lazim ditulis dalam hal fungsi haversine, diberikan oleh haversin (θ) = sin2 (θ / 2). Rumus yang sama dapat ditulis dalam setiap kelipatan haversine, seperti fungsi versine tua (dua kali haversine tersebut). Secara historis, haversine memiliki, mungkin, sedikit keuntungan dalam maksimum adalah satu, sehingga tabel logaritmik dari nilai-nilainya bisa berakhir di nol. Hari-hari ini, bentuk haversine juga nyaman karena tidak memiliki koefisien di depan fungsi sin2.

The haversine Rumus

Untuk setiap dua titik pada bola, yang haversine dari sudut pusat antara mereka diberikan oleh

    \ Operatorname {} haversin \ left (\ frac {d} {r} \ right) = \ operatorname {} haversin (\ phi_2 - \ phi_1) + \ cos (\ phi_1) \ cos (\ phi_2) \ operatorname {} haversin (\ lambda_2-\ lambda_1)

dimana

    haversin adalah fungsi haversine:

    \ Operatorname {} haversin (\ theta) = \ sin ^ 2 \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) = \ frac {1 - \ cos (\ theta)} {2}

    d adalah jarak antara dua titik (sepanjang lingkaran besar dari bola, melihat jarak bola),    r adalah jari-jari bola,    \ Phi_1, \ phi_2: lintang titik 1 dan garis lintang titik 2    \ Lambda_1, \ lambda_2: bujur titik 1 dan bujur titik 2Di sisi kiri dari tanda sama d / r adalah sudut pusat, dengan asumsi sudut diukur dalam radian (perhatikan bahwa φ dan λ dapat dikonversi dari derajat ke radian dengan mengalikan dengan π/180 seperti biasa).

Memecahkan d dengan menerapkan haversine terbalik (jika tersedia) atau dengan menggunakan arcsine (invers sinus) fungsi:

    d = r \ operatorname {} ^ {haversin -1} (h) = 2 r \ arcsin \ left (\ sqrt {h} \ right)

di mana h adalah haversin (d / r), atau lebih eksplisit:

    d = 2 r \ arcsin \ left (\ sqrt {\ operatorname {} haversin (\ phi_2 - \ phi_1) + \ cos (\ phi_1) \ cos (\ phi_2) \ operatorname {} haversin (\ lambda_2-\ lambda_1)} \ right)

        = 2 r \ arcsin \ left (\ sqrt {\ sin ^ 2 \ left (\ frac {\ phi_2 - \ phi_1} {2} \ right) + \ cos (\ phi_1) \ cos (\ phi_2) \ sin ^ 2 \ left (\ frac {\ lambda_2 - \ lambda_1} {2} \ right)} \ right)

Di era sebelum kalkulator digital, tabel dicetak untuk (untuk membantu perkalian) navigator haversine / invers-haversine dan logaritma yang diselamatkan dari sinus mengkuadratkan, komputasi akar kuadrat, dll, proses yang sulit dan kemungkinan akan memperburuk kesalahan kecil (lihat juga versine).

Bila menggunakan formula ini, memastikan bahwa h tidak melebihi 1 karena kesalahan floating point (d hanya nyata untuk h dari 0 ke 1). h hanya mendekati 1 untuk poin antipodal (di sisi berlawanan dari bola) - di wilayah ini, kesalahan numerik relatif besar cenderung muncul dalam formula saat hingga presisi digunakan. Karena d kemudian besar (mendekati πR, setengah lingkar) kesalahan kecil sering tidak menjadi perhatian utama dalam hal ini tidak biasa (meskipun ada rumus jarak besar lainnya-lingkaran yang menghindari masalah ini). (Rumus di atas kadang-kadang ditulis dalam bentuk fungsi arctangent, tapi ini menderita masalah numerik serupa di dekat h = 1.)

Seperti dijelaskan di bawah ini, formula yang sama dapat ditulis dengan menggunakan cosinus (kadang-kadang disebut hukum cosinus bola, tidak menjadi bingung dengan hukum cosinus untuk geometri pesawat) bukan haversines, tetapi jika dua titik yang berdekatan (misalnya satu kilometer terpisah, di Bumi) Anda mungkin berakhir dengan cos (d / R) = 0,99999999, yang mengarah ke jawaban akurat. Karena rumus haversine menggunakan sinus menghindari masalah itu.

Rumus Entah hanya perkiraan bila diterapkan pada bumi, yang tidak bulat sempurna: "Bumi radius" R bervariasi dari 6.356,78 km di kutub ke 6.378,14 km di khatulistiwa. Lebih penting lagi, jari-jari kelengkungan dari garis utara-selatan pada permukaan bumi adalah 1% lebih besar di kutub daripada di khatulistiwa-sehingga rumus haversine dan hukum cosinus tidak dapat dijamin benar untuk lebih dari 0,5%. [ rujukan?] Metode yang lebih akurat yang menganggap ellipticity Bumi yang diberikan oleh formula Vincenty dan rumus lainnya dalam artikel jarak geografis.

Hukum haversines

Segitiga bola diselesaikan dengan hukum haversines.

Mengingat lingkup unit, sebuah "segitiga" pada permukaan bola didefinisikan oleh lingkaran besar yang menghubungkan tiga poin u, v, dan w pada bola. Jika panjang dari ketiga sisi adalah (dari u ke v), b (dari u ke w), dan c (dari v ke w), dan sudut dari sudut yang berlawanan c adalah C, maka hukum negara haversines :(Hukum haversines)

    \ Operatorname {} haversin (c) = \ operatorname {} haversin (a - b) + \ sin (a) \ sin (b) \, \ operatorname {} haversin (C).

Karena ini adalah bola satuan, panjang a, b, dan c hanya sama dengan sudut (dalam radian) subtended oleh mereka sisi dari pusat bola (untuk lingkup non-unit, masing-masing panjang busur sama dengan sudut pusat dikalikan dengan jari-jari bola).Segitiga bola diselesaikan dengan hukum haversines.

Untuk mendapatkan rumus haversine dari bagian sebelumnya dari undang-undang ini, satu hanya mempertimbangkan kasus khusus di mana u adalah kutub utara, sementara v dan w adalah dua poin yang memisahkan d akan ditentukan. Dalam hal ini, a dan b adalah π / 2 - φ1, 2 (yaitu, 90 ° - lintang), C adalah Δλ pemisahan bujur, dan c adalah diinginkan d / R. Memperhatikan bahwa dosa (π / 2 - φ) = cos (φ), rumus haversine segera mengikuti.

Untuk memperoleh hukum haversines, seseorang mulai dengan hukum bola cosinus:(Hukum bola cosinus)

    \ Cos (c) = \ cos (a) \ cos (b) + \ sin (a) \ sin (b) \ cos (C). \,

Seperti disebutkan di atas, formula ini adalah cara yang buruk-AC dari pemecahan untuk c ketika

c kecil. Sebaliknya, kami mengganti identitas bahwa cos (θ) = 1 - 2 haversin (θ), dan juga mempekerjakan cos identitas penambahan (a - b) = cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b) , untuk memperoleh hukum haversines, di atas.