hasilkali transformasi

mmittajs874.blogspot.com

Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA

Hasilkali Transformasi

Definisi : Andaikan F dan G dua transformasi dengan :

F : V v

G : V v

Sehingga produk atau komposisi dari f dan g yang ditulis sebagai GoF didefinisikan

sebagai (GoF)(P) = G[F(P)], P V

Teorema 5.1 :

Jika F : V v dan G : V v masing-masing suatu transformasi maka hasil kali H = GoF : V v adalah juga transformasi.

Pembuktian

1. H : V v

Transformasi G memiliki daerah nilai dan daerah asal di V

Transformasi F memiliki daerah nilai dan daerah asal di V

2. H surjektif : Anggota kodomain memiliki pasangan didomain

Ambil sebarang y V, akan dibuktikan bahwa H(x) = y

Transformasi G : Ambil sebarang y V dan z V maka G(z) = y

Transformasi F : Ambil sebarang z V dan x V maka F(x) = z

Jadi dapat disimpulkan G(z) = y , G [F(x)] = y atau (GoF)(x) = y sehingga y = H(x)

3. H Injektif : Setiap domain memiliki tepat satu pasangan pada kodomain atau dapat

ditulis PQ maka H(P) H(Q) . Akan dibuktikan menggunakan kontradiksi

Andaikan H(P) = H(Q) maka G[F(P)] = G[F(Q)]

F(P) = F(Q)

P = Q

Dari pembuktian diatas, pengandaian H(P) = H(Q) adalah SALAH. Yang benar

H(P) = H(Q) sehingga dapat disimpulkan bahwa H adalah injektif.

Example :

Andaikan g sebuah garis dan T sebuah transformasi T : V v yang didefinisikan sebagai berikut :

Jika x g, maka T(x) = x

Jika x g maka T(x) adalah titik tengah ruas garis dari x ke g yang tegak lurus.



Pembuktian Isometri : Transformasi dan refleksi.

Ambil sebuah garis h tegak lurus g dan Mh (refleksi garis h) atau Mh [T(x)] = y, sehingga

y = (MhoT)(x). apakah merupakan hasil kali isometri? Dari gambar didapat MhoT = ToMh.

Andaikan x = (x,y) maka T(x) = (x, 1/2y) dan Mh[T(x)] = (-x, 1/2y)

Selanjutnya perhatikan (T o Mh) (X) = T [Mh (X)]. Kalau X = (x,y) maka Mh (X) = (-x, y)

dan T[Mh (X)] = (-x, 1/2 y). Oleh karena Mh [T(X)] = T [Mh (X)] maka (Mh o T) (X) = (T o

Mh) (X) yang berlaku untuk semua X V. Jadi, Mh o T = T o Mh . Akan tetapi, sifat komutatif tersebut tidak selalu berlaku.

Pada gambar 5.2 tampak bahwa Mh [T(X)] T [Mh (X)]. Jadi Mh o T T o Mh. Dari contoh di atas dapat dikatakan bahwa apabila S dan T transformasi maka S o T T o S.

Buktikan bahwa memang Mh [T(X)] T[Mh (X)] pada gambar 5.2

Hasilkali transformasi yang telah dibahas di atas tidak hanya terbatas pada dua

transformasi. Kita dapat menyusun terlebih dahulu hasilkali T2 o T1 kemudian dikalikan

dengan T3 . untuk hasilkali transformasi ini kita tulis sebagai T3 (T2 T1). Jadi andaikan P = T1 (P), P = T2 (P), P = T3 (P) maka



[T3 (T2 T1)] (P) = T3 [T2 T1(P)]

= T3 [T2 (T1(P))]

= T3 [T2 (P)]

= T3 (P) = P

Kita juga dapat mengalikan sebagai berikut :

[(T3T2)T1] (P) = (T3 T2)[T1(P)]

= (T3 T2)(P)

= T3 [T2 (P)]

= T3 (P) = P

Jadi, hasilkali transformasi bersifat asosiatif. Kita juga dapat deskripsikan sebagai berikut

T3 (T2 T1) = (T3T2)T1 = T3T2T1

hasilkali transformasi

Documents