GETARAN STRUKTUR

Didik Nurhadiyanto

Penerbit K-Media

Yogyakarta, 2015

ii

Getaran Struktur Copyright@Didik Nurhadiyanto

Desain Cover : den_nazz Tata Letak Isi : Nasir Nur H

Copyright © 2015 by Penerbit K-Media All right reserved

Hak Cipta dilindungi Undang-Undang No. 19 Tahun 2002. Dilarang memperbanyak/menyebarluaskan dalam bentuk apapun

tanpa izin tertulis dari Penerbit K-Media.

Cetakan Pertama: Maret 2015

Penerbit K-Media Perum Pondok Indah Banguntapan, Blok B-15

Potorono, Banguntapan, Bantul. 55196. Yogyakarta e-mail: kmedia.cv@gmail.com

Didik Nurhadiyanto

Getaran Struktur, Cet. 1 Yogyakarta: Penerbit K-Media, 2015 vi, 121 hlm; 15,5 x 23 cm ISBN: 978-602-72269-5-1

iii

KATA PENGANTAR

Syukur Alhamdulillah saya panjatkan ke hadlirat Allah SWT yang

telah melimpahkan rahmat-Nya sehingga buku Getaran Struktur ini dapat

terselesaikan. Buku ini dibuat didasarkan karena kurangnya literatur

tentang getaran struktur, yang sangat berguna bagi mahasiswa.

Buku ini bisa digunakan oleh mahasiswa program diploma

maupun strata satu. Bila sekiranya mahasiswa kurang memahami, maka

mahasiswa bisa membaca referensi lain. Isi dari buku ini mulai dari dasar-

dasar getaran, baik getaran bebas maupun getaran paksa, baik getaran

teredam maupun tidak teredam. Sebelumnya juga banyak membahas

tentang massa, konstanta kekakuan pegas, dan konstanta kekakuan

redaman ekivalen. Selain hal yang tersebut di atas juga banyak membahas

tentang frekuensi diri.

Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang

sebesar-besarnya kepada istri dan anak atas pengertian dan kesabarannya

selama penulisan buku ini. Penulis merasa masih banyak kekurangan di

sana-sini, oleh karena itu saran dan kritik dari pembaca sangat saya

harapkan demi kebaikan buku ini. Mudah-mudahan buku ini bisa

bermanfaat bagi kita semua. Amiiin.

Yogyakarta, Februari 2015

Penulis

iv

v

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ................................................................................ iii

DAFTAR ISI ............................................................................................... v

BAB I DASAR-DASAR GETARAN .................................................. 1

1.1 Konsep Dasar Getaran ................................................................ 1

1.2 Derajat Kebebasan ...................................................................... 2

1.3 Sistem Diskrit dan Kontinu ........................................................ 4

1.4 Klasifikasi Getaran ..................................................................... 6

1.5 Prosedur Menganalisa Getaran ................................................... 8

1.6 Elemen Pegas............................................................................ 12

1.7 Massa atau Inersia Elemen ....................................................... 20

1.8 Elemen Redaman (Damping Element) ..................................... 25

1.9 Gerak Harmonik ....................................................................... 33

1.10 Gerak Periodik .......................................................................... 38

BAB II GETARAN BEBAS SISTEM SATU DERAJAD

KEBEBASAN ......................................................................... 43

2.1 Persamaan Gerak dan Frekuensi Getaran Translasi ................. 43

2.2 Getaran Bebas untuk Sistem Torsional tanpa Redaman ........... 52

2.3 Metoda Energi (Metoda Lagrange) .......................................... 55

2.4 Kondisi Stablilitas .................................................................... 60

2.5 Metoda Energi Rayleigh ........................................................... 64

2.6 Resume ..................................................................................... 69

BAB III GETARAN BEBAS TEREDAM ........................................... 71

3.1 Konstanta Redaman Kritis dan Rasio Redaman (Damping

Ratio) ........................................................................................ 73

3.2 Pengurangan Logaritmik .......................................................... 82

3.3 Sistem Torsional dengan Viscous Damping ............................. 87

vi

3.4 Redaman Coulomb .................................................................. 88

3.5 Resume .................................................................................... 91

BAB IV GETARAN YANG TEREKSITASI SECARA

HARMONIK .......................................................................... 93

4.1 Sistem tanpa Redaman dengan Gaya Eksitasi Harmonik ........ 93

4.2 Sistem Getaran Teredam dengan Gaya Eksitasi Harmonik ... 105

4.3 Resume .................................................................................. 107

SOAL-SOAL ........................................................................................... 109

BAB I ....................................................................................................... 109

BAB II ..................................................................................................... 112

BAB III .................................................................................................... 115

BAB IV .................................................................................................... 117

DAFTAR PUSTAKA .............................................................................. 119

TENTANG PENULIS ............................................................................. 121

1

BAB I DASAR-DASAR GETARAN

Getaran adalah gerakan bolak-balik yang berulang dari bagian

suatu benda atau mesin dari posisi kesetimbangan statisnya jika keadaan

setimbang tersebut terganggu oleh gaya paksa (eksitasi) atau gerakan

badan mesin tersebut. Gerakan bolak-balik ini biasa disebut sebagai

osilasi. Semua benda yang mempunyai massa dan elastisitas mampu

bergetar. Jadi mesin dan struktur rekayasa mengalami getaran sampai

derajat tertentu dan rancangannya memerlukan pertimbangan sifat

osilasinya.

Karakteristik getaran meliputi parameter-parameter utama, yaitu

frekuensi, amplitudo dan bentuk gelombang. Pengukuran dasar dengan

menggunakan instrumen penting dilakukan untuk memperoleh hubungan

waktu dengan perpindahan, kecepatan dan percepatan. Dari analisis dapat

diperoleh informasi seperti frekuensi, amplitudo dan bentuk gelombang.

1.1 Konsep Dasar Getaran

Pada umumnya sistem yang bergetar mengubah energi potensial

menjadi energi kinetik atau kebalikannya mengubah energi kinetik

menjadi energi potensial. Jika sistem mempunyai peredam maka beberapa

energi diserap setiap siklus getaran dan harus diberi sumber dari luar untuk

menjaga getaran yang tetap (steady state). Gerakan pendulum sederhana

yang terlihat pada Gambar 1.1 merupakan contoh getaran.

Penjelasan gerakan pendulum bisa dijelaskan sebagai berikut.

Massa m dilepas setelah diberi simpangan sudut sebesar θ. Pada posisi 1

kecepatan dan energi kinetiknya adalah nol. Tetapi mempunyai energi

potensial sebesar mgl(1-cos θ), bila posisi 2 sebagai kondisi setimbang.

Gaya gravitasi mg bisa diuraikan menjadi mg sin θ dan mg cos θ, di mana

mgl sin θ merupakan torsi terhadap titik O, maka massa m akan bergerak

2

ke kiri dari posisi 1. Pada keadaan ini massa m percepatan sudut searah

jarum jam, dan dalam waktu tertentu akan mencapai pada kedudukan 2.

Pada posisi ini seluruh energi potensial diubah menjadi energi kinetik.

Kedudukan massa m terus bergerak dari posisi 2 ke posisi 3 di mana pada

posisi 3 seluruh energi kinetik pada posisi 2 diubah menjadi energi

potensial. Setelah itu massa m akan bergerak berlawanan arah jarum jam

tetapi posisi tertingginya akan lebih rendah dari posisi 1 karena ada

redaman dari udara. Gerakan ini akan berulang dari posisi 3 ke posisi 2

dan posisi 1 tetapi posisi 1 dan 3 akan semakin berkurang sampai

pendulum akan berhenti.

Gambar 1.1 Pendulum sederhana

1.2 Derajat Kebebasan

Derajat kebebasan (degree of freedom/DOF) adalah jumlah

koordinat independen yang dibutuhkan untuk menentukan posisi atau

gerakan secara lengkap setiap bagian dari sistem. Suatu partikel bebas

yang mengalami gerak umum dalam ruang memiliki tiga derajat

kebebasan, yaitu tiga komponen posisi dalam arah sumbu x, y dan z.

Benda kaku mempunyai enam derajat kebebasan, yaitu tiga komponen

posisi dan tiga sudut yang menyatakan orientasinya.

3

Massa m Gambar 1.2 adalah contoh sistem dengan satu derajat

kebebasan. Pada Gambar 1.2(a) massa m hanya bergerak dalam arah

sumbu x sedangkan pendulum pada Gambar 1.2(b) massa m hanya

bergerak dalam arah θ untuk koordinat polar.

(a) sistem massa-pegas (b) sistem torsional

Gambar 1.2 Sistem satu derajad kebebasan

Beberapa contoh untuk sistem dengan dua dan tiga derajat

kebebasan terlihat pada gambar 1.3 dan 1.4. Gambar 1.3(a) menunjukkan

sistem dua massa dengan dua pegas yang digambarkan dengan dua

koordinat, yaitu x1 dan x2. Sedangkan untuk gambar 1.3(b) sistem massa m

dan pendulum yang dibatasi oleh dua koordinat, yaitu X dan θ atau oleh x,

y dan X. Pada kasus berikutnya x dan y diartikan bahwa x2 + x

2 = l

2, di

mana l adalah konstan.

(a) sistem dua massa dengan dua pegas

(b) sistem massa dengan pendulum

Gambar 1.3 Sistem dengan dua derajat kebebasan

4

Gambar 1.4(a) dan (c), koordinat xi (i = 1,2,3) dan θ i (i = 1,2,3)

dapat digunakan untuk menggambarkan posisi dan gerakan massa m1, m2

dan m3. Pada kasus 1.4(b) posisi dan gerakan massa mi (i = 1,2,3)

digambarkan dengan posisi θ i (i = 1,2,3).

Gambar 1.4 Sistem dengan tiga derajat kebebasan

1.3 Sistem Diskrit dan Kontinu

Di dalam getaran suatu sistem mekanik apabila kita anggap massa-

massa dari bodi terkonsentrasi pada pusat gravitasinya disebut sistem

getaran diskrit (discrete or lumped vibration System). Gambar 1.1 sampai

1.4 merupakan contoh untuk discrete vibration system. Sebagai gambaran

kita ambil contoh pada Gambar 1.4(b). Sistem terdiri dari 3 massa, yaitu

m1, m2 dan m3. Posisi masing-masing massa berada pada pusat massa m1,

m2 dan m3. Dalam sumbu kartesian posisi m1 dinyatakan dalam (x1,y1),

posisi m2 dinyatakan dalam (x2,y2) dan posisi m3 dinyatakan dalam (x3,y3).

5

Sistem getaran yang kontinu (continous or distributed vibration

system) adalah suatu sistem getaran yang terdiri dari molekul-molekul atau

partikel-partikel yang berjumlah tak terhingga di mana partikel-partikel

tersebut mempunyai pergerakan elastis yang relatif satu sama lain.

Continous vibration system mempunyai derajat kebebasan yang tak

terhingga. Pada umumnya partikel-partikel terletak pada satu domain yang

dianggap tidak berubah banyak. Perubahan bentuk dari domain disebabkan

pergerakan elastik relatif dari partikel-partikel tersebut. Perubahan bentuk

ini biasa disebut sebagai deformasi domain. Domain ini disebut sebagai

continous elastic body.

Dalam continous elastic body tidak ada pusat garvitasi yang tetap

untuk seluruh bodi karena domain selalu berubah-ubah bentuk

geomerinya. Dengan demikian massa untuk continous elastic body

merupakan distribusi massa partikel-partikel anggota di seluruh domain.

Domain kedudukan partikel-partikel dan deformasi bentuk dapat dilihat

pada Gambar 1.5.

(a) Domain kedudukan partikel-partikel (b) Deformasi bentuk dari domain

Gambar 1.5 continous elastic body

Analisis sistem getaran yang kontinu sangat susah dan biasanya

dilakukan menggunakan:

1. Metode elemen hingga (finite elemen method)

2. Finite defference method

3. Aproksimasi analitis

4. Analog komputer

6

1.4 Klasifikasi Getaran

Getaran dapat diklasifikasikan dengan berbagai jalan. Beberapa

klasifikasi yang penting adalah seperti uraian ini.

a. Getaran bebas dan getaran paksa

Getaran bebas terjadi jika setelah diberi gangguan awal sistem

akan berosilasi sendiri karena bekerjanya gaya yang ada dalam sistem itu

sendiri dan tidak ada gaya dari luar yang bekerja. Karena tidak ada gaya

luar yang bekerja maka sistem akan berhenti dalam waktu tertentu. Hal ini

disebabkan adanya redaman pada sistem getaran atau dari luar sistem

getaran.

Getaran paksa terjadi karena rangsangan gaya dari luar atau biasa

disebut eksitasi. Jika rangsangan itu berosilasi maka, sistem dipaksa untuk

bergetar pada frekuensi rangsangan. Jika frekuensi rangsangan sama

dengan salah satu frekuensi natural sistem, maka akan didapat keadaan

resonansi, dan osilasi yang besar dan berbahaya akan terjadi. Kerusakan

pada struktur seperti jembatan, gedung, sayap pesawat terbang dan lain-

lain merupakan kejadian yang menakutkan yang disebabkan resonansi.

Jadi perhitungan frekuensi natural merupakan hal yang sangat penting.

b. Linier dan tidak linier

Sistem yang berosilasi secara luas dapat digolongkan sebagai

linier dan tidak linier. Jika komponen dasar sistem getaran seperti pegas,

massa dan peredam linier, maka getaran yang terjadi akan linier,

sedangkan bila komponen dasar sistem getaran tidak linier getaran yang

terjadi juga tidak linier. Untuk sistem linier prinsip superposisi berlaku dan

teknik matematika yang ada untuk melaksanakan hal itu dikembangkan

dengan baik. Sebaliknya, teknik untuk menganalisis sistem tidak linier

kurang dikenal dan sukar digunakan, serta prinsip superposisi tidak valid.

Namun demikian, pengetahuan tentang sistem tidak linier dibutuhkan

sebab semua sistem cenderung menjadi tidak linier dengan bertambahnya

amplitudo osilasi.

7

c. Getaran teredam dan tanpa redaman

Jika tidak ada energi yang hilang atau diserap (disipasi) oleh

gesekan atau tahanan yang lain selama osilasi, maka getaran yang terjadi

dinamakan getaran tanpa redaman atau undumped vibration. Tetapi jika

ada energi yang hilang atau diserap maka getaran yang terjadi dinamakan

getaran teredam atau damped vibration.

Semua sistem yang bergetar mengalami redaman sampai derajat

tertentu karena energi didisipasi oleh gesekan dan tahanan lain. Jika

redaman itu kecil, maka pengaruhnya sangat kecil pada frekuensi natural

sistem dan perhitungan frekuensi natural biasanya dilaksanakan atas dasar

tidak ada redaman. Sebaliknya redaman sangat penting untuk membatasi

amplitudo osilasi waktu resonansi.

(a) eksitasi deterministik (periodik) (b) eksitasi random

Gambar 1.6 eksitasi deterministik dan random

d. Getaran diterministik dan non-deterministik

Getaran deterministik adalah getaran suatu sistem yang bisa

diketahui atau diprediksi setiap saat. Getaran non-deterministik adalah

getaran suatu sistem yang tidak bisa diketahui atau diprediksi setiap saat.

Jika harga atau besaran eksitasi (gaya atau gerakan) yang bekerja pada

sistem yang akan digetarkan diketahui setiap saat maka dinamakan eksitasi

deterministik. Getaran yang terjadi merupakan getaran deterministik.

Contoh getaran deterministik adalah getaran harmonik, getaran sinusoidal

dan getaran periodik. Pada kasus lain, jika gaya eksitasi tidak dapat

diprediksikan setiap saat, maka dinamakan eksitasi non-deterministik atau

8

random. Getaran yang terjadi juga non-deterministik atau random. Contoh

eksitasi random adalah kecepatan angin, kekasaran jalan, gempa bumi dan

lain-lain. Untuk eksitasi deterministik dan random bisa dilihat pada

Gambar 1.6.

1.5 Prosedur Menganalisa Getaran

Respon getaran pada sistem getaran biasanya tergantung pada

kondisi awal sama seperti eksitasi dari luar. Dalam praktiknya sistem

getaran sangat komplek, dan tidak mungkin dikerjakan secara detail

dengan analisis matematika, tetapi yang mungkin adalah perhitungan

analisis untuk memprediksikan kelakuan sistem berdasarkan kondisi input

yang spesifik. Untuk menyederhanakan sistem seringkali dibuat modelnya.

Sehingga analisa sistem getaran antara lain meliputi model matematika,

membuat persamaan matematikanya, penyelesaian persamaan matematika

dan interpretasi persamaan getaran. Masing-masing langkah bisa

dijelaskan sebagai berikut:

Langkah 1: pemodelan matematika. Pemodelan matematika

menggambarkan semua bagian penting dari sistem untuk diturunkan

persamanan matematika (untuk analisis) sesuai tingkah laku dari sistem.

Model matematika harus mendetail supaya bisa menggambarkan sistem

dalam rangka pembuatan persamaan matematika tanpa membuat benda

secara komplek. Model matematika bisa linier atau non-linier, tergantung

keadaan sistem itu sendiri. Contoh pemodelan matematika dapat dilihat

pada Gambar 1.7. Gambar 1.7(a) merupakan gambar forging hammer

secara detail. Dalam analisis getaran harus dibuat model matematika. Di

sini dibuat dalam dua model matematika, yaitu Gambar 1.7(b)

menunjukkan perilaku getaran sistem secara keseluruhan di mana frame,

anvil, elastic pad dan pondasi dianggap sebagai satu kesatuan, dan Gambar

1.7(c) menggambarkan getaran dari bagian-bagian mesin.

9

(a) Forging hammer

(b) Model matematika keseluruhan sistem

(c) Model matematika bagian sistem

Gambar 1.7 Pemodelan untuk forging hammer

Langkah 2: Persamaan matematika. Setelah pemodelan matematika

dibuat, maka kita buat persamaan matematika dengan menggunakan prisip

dinamika. Persamaan gerakan bisa kita buat setelah dibuat diagram benda

bebas (free body diagram) massa yang ada. Diagram benda bebas suatu

10

massa dengan memisahkan massa tersebut dan mengidentifikasi gaya-gaya

yang bekerja, yaitu gaya-gaya luar, gaya reaksi dan gaya inersia.

Persamaan perpindahan dari sistem getaran biasanya dalam bentuk

persamaan diferensial biasa untuk sistem diskrit dan persamaan diferensial

parsial untuk sistem yang kontinu. Beberapa pendekatan yang digunakan

untuk menurunkan persamaan matematika, antara lain hukum kedua

Newton tentang gerak, prinsip d’Alembert dan prinsip konservasi energi.

Contoh soal 1.1.

Pada Gambar 1.8(a) terlihat motor dan pengendaranya. Berdasarkan

kekakuan elastisitas pada ban, elastisitas dan peredam shock (arah

vertikal), massa roda, massa motor serta elastisitas peredam dan massa

penumpang dan jok (penumpang dan jok jadi satu). Buatlah model

matematikanya!

Jawab :

Pertama kita tentukan sistem yang terdiri dari manusia dan kendaraan

dianggap sebagai satu kesatuan sistem. Massa yang digunakan adalah

massa total pengendara dan motor disebut sebagai massa ekivalen.

Redaman dan pegas yang terjadi juga dinamakan redaman ekivalen dan

konstanta pegas ekivalen. Gambar 1.8(b) adalah pemodelan sistem

ekivalen. Pegas dan redaman ekivalen merupakan sistem pegas dan

redaman yang terdiri dari penumpang dan jok, shock, dan ban. Pemodelan

berikutnya kita pisah-pisahkan berdasarkan massa dari setiap bagian.

Pemisahan massa ini tergantung kebutuhan yang akan dianalisa dan

kondisi redaman dan pegas setiap bagian. Dalam hal ini, kita pisahkan

massa menjadi tiga bagian, yaitu massa pengendara, massa motor dan

massa roda. Di antara pengendara dan motor terdapat sistem pegas dan

redaman, yaitu jok dan bodi pengendara. Di antara motor dengan roda

terdapat sistem pegas dan redaman, yaitu shock. Di antara motor dan roda

terdapat sistem pegas dan redaman, yaitu ban.

11

(a) motor dan pengendara

(b) pemodelan sistem sebagai satu kesatuan

(c) pemodelan per elemen

Gambar 1.8 Motor dan pengendara - sistem fisik dan pemodelan

Keterangan indeks:

ek : ekivalen p : penumpang m : motor

s : shock r : roda b : ban

12

Langkah 3: Penyelesaian persamaan getaran. Persamaan matematika

harus diselesaikan untuk memperoleh respon getaran. Penyelesaian ini

tergantung dari permasalahan, tetapi penyelesaian ini bisa dilakukan antara

lain dengan penyelesaian persamaan diferensial, metode transformasi

laplace, metode matrik dan metode numerik.

Langkah 4: Interpretasi respon getaran. Penyelesaian persamaan

getaran diperoleh simpangan, kecepatan dan percepatan dari variasi massa

sistem. Respon ini harus dikerjakan dengan analisis yang tepat dan

penerapan desain yang sesesuai mungkin.

1.6 Elemen Pegas

Bila suatu pegas linier dikenai gaya sebesar F di mana pegas

mempunyai kekakuan k maka pegas akan terdefleksi. Misalkan defleksi

pegas sebesar x, maka akan berlaku hubungan linier seperti pada

persamaan (1.1).

F = k x (1.1)

Gambar 1.9 Hubungan gaya dengan defleksi pegas

F

x

13

Jika kita plot grafik hubungan F dengan x akan terbentuk garis

miring yang linier, luasan di bawah garis miring pada x yang tertentu

merupakan energi potensial pegas (U), lihat Gambar 1.9.

2kx2

1U (1.2)

Apabila sistem getaran bukan merupakan pegas dan massa yang

diberi gaya luar, tetapi merupakan sistem lain maka bisa dibuat seperti

massa ekivalen dan pegas yang mempunyai konstanta ekivalen. Gambar

1.10 dan 1.11 masing-masing batang dan beam yang bisa dianggap sebagai

pegas dengan konstanta pegas ekivalen. Pada batang yang mempunyai luas

penampang A dan diberi gaya F akan terdefleksi sejauh l.

A

Fσ (1.3)

(a) Batang ditarik gaya (b) Pegas ekivalen

Gambar 1.10 Batang ditarik gaya sebagai pegas ekivalen

σ = ɛ E (1.4)

bila persamaan (1.3) dan (1.4) disamakan diperoleh :

14

(1.5)

di mana :

(1.6)

di mana : F = k Δl sehingga :

l

AEk (1.7)

Gambar 1.11 menunjukkan kantilever atau beam dengan massa merada di

ujung. Elemen elastik seperti ini bisa juga dianggap sebagai pegas. Untuk

menyederhanakan masalah massa beam, dianggap nol bila dibandingkan

dengan massa m. Dari mata kuliah kekuatan bahan kita tahu bahwa

defleksi pada ujung beam sejauh δst.

(1.8)

di mana : W = m g, yaitu berat dari massa m

E = modulus elastisitas

I = momen inersia penampang beam

Sedangkan konstanta pegas mempunyai hubungan

3

EI3

δ

Wk

lst

(1.9)

15

(a) sistem aktual (b) model single degree of freedom

Gambar 1.11 Kantilever dengan massa di ujung

Dalam aplikasi praktis beberapa pagas linier digunakan dalam

kombinasi. Pegas-pegas tersebut bisa diganti menjadi sebuah pegas dengan

indikasi yang berbeda-beda,

Kasus 1 : Pegas-pegas disusun paralel. Bila dua buah pegas atau lebih

yang mempunyai konstanta tertentu disusun secara paralel dan di ujung

pegas-pegas tersebut diberi beban dengan berat W, maka pegas-pegas

tersebut akan terdefleksi. Defleksi yang terjadi akan sama pada masing-

masing pegas, yaitu sebesar st. Susunan pegas paralel bisa dilihat pada

gambar 1.12(a) dan 1.12(b), sedangkan diagram benda bebasnya terlihat

pada gambar 1.12(c).

Kita lihat diagram benda bebas, di sana terjadi kesetimbangan.

W = k1 δst + k2 δst (1.10)

Jika kek adalah konstanta ekivalen pegas dari kombinasi dua pegas, maka

untuk defleksi yang sama kita punya seperti persamaan (1.11).

W = kek δst (1.11)

Dengan menyamakan persamaan (1.10) dan (1.11) kita peroleh suatu

persamaan seperti persamaan 1.12.

16

Kek = k1 + k2 (1.12)

(a) susunan pegas paralel (b) susunan diberi beban (c) diagram benda bebas

Gambar 1.12 Susunan pegas paralel

Dari uraian di atas, maka kita bisa mengambil suatu kesimpulan

bila suatu pegas disusun secara paralel maka konstata pegas ekivalen

adalah penjumlahan dari seruruh konstanta pegas penyusun, persamaannya

bisa dilihat pada persamaan (1.13).

Kek = k1 + k2 ……+ kn (1.13)

Kasus 2: Pegas-pegas disusun secara seri. Gambar 1.13 menunjukkan

dua buah pegas yang mempunyai konstanta pegas tertentu dan disusun

secara seri. Beban W diberikan pada ujung pegas, maka susunan pegas

akan terdefleksi sejauh st. Defleksi ini merupakan penjumlahan masing-

masing defleksi kedua pegas. Total defleksi statik sistem adalah st, yang

diberikan oleh persamaan (1.14).

δst = δ1 +δ2 (1.14)

17

Kedua pegas menerima beban sebesar W, bila kita lihat diagram benda

bebas pada gambar 1.12(c) maka

W = k1δ1

W = k2δ2 (1.15)

(a) susunan pegas seri (b) susunan diberi beban (c) diagram benda bebas

Gambar 1.13 Susunan pegas seri yang diberi beban

Kita misalkan kek adalah konstanta pegas ekivalen sistem, untuk jumlah

defleksi statik yang sama, maka

W = kekδst (1.16)

Dari persamaan (1.15) dan (1.16) diperoleh

W = k1δ1 = k2δ2= kekδst

18

2

stek2

k

δkδ (1.17)

Substitusi persamaan (1.17) ke dalam persamaan (1.14) diperoleh

21ek k

1

k

1

k

1 (1.18)

Secara umum, apabila beberapa pegas yang mempunyai konstanta

kekakuan yang berbeda-beda maka dapat disimpulkan seperti persamaan

1.19.

n21ek k

1....

k

1

k

1

k

1 (1.19)

Contoh soal 1.2

Batang AB pada crane terlihat pada gambar 1.14(a) adalah batang seragam

yang panjangnya 10 m dan luas penampangnya adalah 2500 mm2. Kabel

CDEBF terbuat dari baja dan mempunyai luas penampang 100 mm2. Efek

kabel CDEB diabaikan. Hitung konstanta kekauan pegas ekivalen dalam

arah vertikal.

Jawab :

Selama landasan Crane kaku, kabel dan batang akan tetap berada pada

posisi F dan A. Juga bila efek kabel CDEB diabaikan, maka berat W

bekerja di titik B seperti terlihat pada Gambar 1.14(b). Simpangan vertikal

x menyebabkan batang dengan kekakuan pegas k2 akan terdeformasi

19

sejauh x2 = x cos 450 dan kabel dengan kekakuan k1 akan terdeformasi

sejauh x1 = x cos(90 - θ). Panjang kabel FB, l1 pada Gambar 1.14(b) adalah

l12 = 3

2 + 10

2 – 2(3)(10)cos 135

0 = 151.426, sehingga l1 = 12.3055 m

Sudut θ diberikan oleh hubungan

l12 + 3

2 – 2(l1)(3)cos θ = 10

2, sehingga cos θ = 0.8184, dan θ = 35.0736

0

(a) Crane

(b) pemodelan getaran (c) pegas ekivalen

Gambar 1.14 Crane dengan beban

20

Energi potensial total (U) disebabkan oleh k1 dan k2 seperti diberikan oleh

persamaan 1.2 di atas adalah

U = ½ k1 (x cos 450)

2 + ½ k2[x cos (90 - θ)]

2 di mana

( )( )

( )( )

Bila pegas ekivalen arah vertikal terdeformasi sejauh x, Energi potensal

pegas ekivalen (Uek) diberikan

Dengan mengambil U = Uek maka akan diperoleh konstanta pegas ekivalen

sistem

kek = 26.4304 x 106 N/m

1.7 Massa atau Inersia Elemen

Massa atau Inersia Elemen diasumsikan untuk benda kaku (rigid

body). Disini energi kinetik akan bertambah atau berkurang dengan

berubahnya kecepatan. Dari hukum kedua Newton tentang gerakan, bahwa

massa dikalikan dengan percepatannya akan sama dengan gaya yang

bekerja padanya. Kerja adalah gaya yang bekerja dikalikan dengan jarak

perpindahan yang searah dengan gaya yang bekerja pada massa dan

diberikan dalam bentuk energi kinetik dari massa tersebut.

21

Dalam banyak kasus, kita harus menggunakan model matematika

untuk merepresentasikan sistem getaran yang sesungguhnya dan ada

beberapa model yang mungkin. Untuk menganalisa kita harus menentukan

mana model matematika yang sesuai. Salah satu model yang dipilih adalah

massa atau inersia elemen dari sistem yang dapat diidentifikasi dengan

mudah. Sebagai contoh kantilever beam yang mempunyai massa di ujung

yang terlihat pada gambar 1.11(a). Untuk menganalisisnya maka beam

biasa dimodelkan sebagai sistem pegas seperti pada gambar 1.11(b).

Contoh lain bangunan bertingkat seperti gambar 1.15(a) apabila terkena

gempa bumi. Massa dari tembok diabaikan dibandingkan massa lantai

setiap tingkat. Bangunan dimodelkan sebagai multi DOF seperti terlihat

pada Gamabr 1.15(b). Massa setiap lantai dianggap sebagai massa elemen

dan elastisitas bagian vertikal dianggap sebagai elemen pegas.

(a) bangunan bertingkat (b) model matematika

Gambar 1.15 Idealisasi bangunan bertingkat sebagai multi DOF

m5

m4

m3

m2

m1

x5

x4

x3

x2

x1

k5

k4

k3

k2

k1

m5

m4

m3

m2

m1

k5

k4

k3

k2

k1

22

Dalam penerapannya, beberapa massa berada dalam satu

kombinasi. Sebagai contoh analisis, kita akan mengganti massa-massa ini

sebagai sebuah massa ekivalen.

Kasus 1. Beberapa massa dihubungkan oleh suatu batang : Beberapa

massa diletakkan pada batang seperti pada Gambar 1.16. Massa-massa

tersebut bisa diganti dengan massa ekivalen yang diletakkan di sembarang

titik pada batang. Sebagai contoh spesifik massa ekivalen diletakkan pada

m1 seperti terlihat pada Gambar 1.16(b). Kecepatan massa-massa m2 dan

m3 bisa dinyatakan dalam kecepatan m1, dengan asumsi perpindahan sudut

batang yang kecil.

,

(1.20)

Dan

(1.21)

(a) tiga massa terletak pada batang

(b) massa ekivalen pada batang

Gambar 1.16 Beberapa massa translasi dihubungkan oleh batang

23

Dengan menyamakan energi kinetik ketiga massa dengan sistem sebuah

massa ekivalen, kita peroleh

(1.22)

dengan mensubstitusi persamaan (2.20) dan (2.21) ke dalam persamaan

(2.22) diperoleh

(

) (

) (1.23)

Kasus 2: Massa translasi dan rotasi digabung menjadi satu.

Massa m bergerak translasi dengan kecepatan digabung dengan massa

lain yang bergerak rotasi yang mempunyai kecepatan sudut dan momen

inersia massa J0, seperti rack dan pinion pada Gambar 1.17. Kedua massa

ini bisa diganti dengan sebuah massa yang bergerak translasi dengan

massa mek atau bergerak rotasi dengan momen inersia massa Jek.

Gambar 1.17 massa translasi dan rotasi pada rack dan pinion.

x

24

1. Massa translasi ekivalen. Energi kinetik kedua massa diberikan oleh.

(1.24)

energi kinetik massa ekivalen diberikan oleh

(1.25)

di mana

dan

dengan menyamakan T = Tek dan mengganti harga-harga di atas, maka

(

)

sehingga

(1.26)

2. Massa rotasional ekivalen.

Di sini dan , dengan menyamakan T dan Tek pada

persamaan 1.24 dan 1.25 di atas, maka

( )

sehingga (1.27)

25

1.8 Elemen Redaman (Damping Element)

Dalam beberapa sistem, energi getaran berangsur-angsur diubah

menjadi panas atau sound. Karena adanya reduksi energi, maka respon

getaran seperti simpangan berangsur-angsur akan menurun. Sistem

mekanik di mana energi getaran berangsur-angsur diserap menjadi panas

dan sound dikenal sebagai redaman. Walaupun penyerapan energi ini

relatif kecil namun mempertimbangkan redaman tetap penting untuk

ketepatan perhitungan respon getaran sistem. Peredam berfungsi sebagai

gaya bila ada kecepatan relatif di antara dua ujung peredam. Peredam bisa

dimodelkan sebagai salah satu atau lebih dari tipe-tipe berikut:

Viscous Damping. Viscous damping adalah yang paling umum digunakan

sebagai redaman mekanik dalam analisis getaran. Bila sistem mekanik

digetarkan di medium fluida, seperti udara, gas, air dan oli akan terjadi

tahanan bodi oleh fluida sebab energi sistem diserap. Dalam hal ini

besarnya penyerapan tergantung pada beberapa faktor, seperti ukuran dan

bentuk bodi getaran, viskositas fluida, dan kecepatan bodi yang bergetar.

Gaya redaman sebanding dengan kecepatan bodi yang bergetar. Contoh

tipe viscous damping adalah selaput fluida di antara permukaan yang

bergesekan, aliran fluida di sekeliling piston dalam silinder, aliran fluida

yang melewati orifis dan selaput fluida di sekitar jurnal bearing.

Coulomb atau Redaman Gesekan. Di sini besarnya gaya redaman

adalah konstan tetapi arahnya berlawanan dengan bodi yang bergetar.

Redaman ini disebabkan oleh gesekan antara bidang gesekan yang kering

atau mempunyai pelumas diantaranya.

Material atau Solid atau Hysteretic Redaman. Ketika material

terdeformasi, energi diserap oleh material. Hal ini disebabkan gesekan

antara internal planes, yang slip atau bergeser karena deformasi. Bila bodi

mempunyai material redaman, diagram tegangan regangan ditunjukkan

oleh hysteretic loop seperti pada Gambar 1.18(a). Luas loop ini merupakan

energi yang hilang setiap volume bodi per siklus.

26

(a) (b)

Gambar 1.18 Hysteretic loop untuk material elastik

(1.29)

di mana A adalah luas permukaan pelat yang bergerak, dan

(1.30)

dinamakan konstanta redaman.

Gambar 1.19 Plat paralel dengan fluida kental di antaranya

27

Kombinasi Peredam

Bila beberapa peredam dipasang secara bersama-sama, maka bisa

diganti oleh sebuah peredam ekivalen dengan prosedur sama seperti

beberapa pegas yang dipasang secara bersama-sama (lihat sub bab 1.6).

Contoh soal 1.3

Tentukan konstanta redaman pada dashpot yang terlihat pada Gambar 1.20

di bawah. Diketahui diameter silinder = D + 2d, diameter piston = D,

kecepatan piston = v, panjang aksial piston = l dan viskositas fluida = μ.

Gambar 1.20 Piston-silinder dashpot

Jawab :

Seperti pada Gambar 1.20, dashpot terdiri dari piston dengan diameter D,

panjang l, bergerak dengan kecepatan v0 pada silinder dan diberi pelumas

dengan viskositasμ. Ruang antara piston dan silinder adalah d. Pada jarak y

dari permukaan yang bergerak mempunyai kecepatan dan tegangan geser

masing-masing v dan τ, dan pada jarak (y + dy) mempunyai kecepatan (v –

dv) dan tegangan geser (τ + d τ). Harga negatif untuk kecepatan

menunjukkan bahwa kecepatan akan berkurang dengan bertambahnya y.

Gaya karena kekentalan fluida dapat ditulis sebagai berikut

28

(E.1)

tegangan geser diberikan oleh

(E.2)

di mana tanda negatif menyatakan gradien kecepatan yang berkurang.

Dengan memasukkan persamaan (E.2) ke (E.1), diperoleh

(E.3)

Tekanan piston pada ujung bawah piston diberikan

(

)

(E.4)

Gaya tekanan di sekitar piston adalah

( )

(E.5)

di mana (π D dy) menunjukkan luas annular antara y dan (y + dy). Jika

diasumsikan kecepatan rata-rata seragam pada arah gerakan pada fluida,

maka gaya pada persamaan (E.3) dan (E.5) harus sama, diperoleh

(E.6)

29

Dengan mengintegrasikan dua kali dan memberikan kondisi batas v = - v0

pada y = 0 dan v = 0 pada y = d, kita peroleh

( ) (

) (E.7)

debit rata-rata yang melewati ruang antara piston dan silinder dapat

diperoleh dengan mengintegrasikan debit fluida yang dipindahkan karena

gerakan piston diantara y = 0 dan y = d.

∫

*

+ (E.8)

Volume aliran fluida yang melewati ruang antara per detik harus sama

dengan volume per detik yang dipindahkan oleh piston. Sehingga

kecepatan piston harus sama debit rata-rata fluida dibagi dengan luas

piston.

(

)

(E.9)

Dengan memasukkan Q pada persamaan (E.9) ke persamaan (E.8)

diperoleh

0 (

)

1 (E.10)

Persamaan (E.10) bisa diganti P = c v0, di mana c adalah konstanta

redaman yang besarnya

0 (

)

1 (E.11)

30

Contoh soal 1.4

Mesin milling ditahan oleh empat shock seperti pada Gambar 1.21.

Elastisitas dan redaman shock dapat dimodelkan sebagai pegas dan

peredam seperti pada Gambar 1.21(b). Tentukan konstanta pegas ekivalen

(kek) dan konstanta redaman ekivalen (cek).

Jawab :

(a)

31

(b)

(c)

Gambar 1.21 Mesin miling horisontal

Free body diagram untuk keempat pegas dan redaman bisa dilihat pada

Gambar 1.21(b). Letak pusat massa G adalah di tengah-tengah keempat

pegas dan redaman, semua pegas akan terdefleksi yang sama sejauh x dan

semua peredam juga akan mempunyai kecepatan yang sama sebesar .

Gaya yang bekerja pada pegas (Fsi) dan peredam (Fdi) adalah:

32

(E.1)

Total gaya untuk semua pegas dan semua peredam adalah Fs dan Fd, maka

(E.2)

Dari persamaan (E.1) dan (E.2) dan harga x serta c setiap sudut sama,

maka diperoleh

( )

( ) (E.3)

di mana Fs + Fd = W, dan W adalah total gaya vertikal (termasuk gaya

inersia) yang bekerja pada mesin milling. Pada Gambar 1.21 (c) terlihat

(E.4)

Dengan menyamakan persamaan (E.3) dan (E.4) dan ki = k serta ci = c

maka

(E.5)

33

1.9 Gerak Harmonik

Gerak osilasi dapat berulang secara teratur, misalnya gerak

pendulum sederhana. Osilasi bisa juga bergerak tidak beraturan, contoh

gerakan tanah saat terjadi gempa bumi. Jika gerakan terulang pada interval

yang sama (), maka dinamakan gerak periodik. Waktu pengulangan

tersebut disebut perioda osilasi, dan kebalikannya, f = 1/, disebut

frekuensi. Jika gerak dinyatakan dalam fungsi x(t), maka setiap gerak

periodik harus memenuhi hubungan x(t) = x(t + ). Bentuk gerak periodik

yang paling sederhana adalah gerak harmonik. Hal ini dapat diperagakan

pada sebuah massa yang tergantung pada sebuah pegas ringan pada

mekanis yoke Scotch seperti terlihat pada Gambar 1.22. Pada sistem ini

crank mempunyai jari-jari A, dan berpusat di O. Ujung crank yang satunya

P bergerak dibatasi slot yang bergerak vertikal dan dibatasi R. Ketika

crank berotasi dengan kecepatan sudut , ujung S juga bergerak sesuai slot

dan massa m pada sistem massa-pegas dari posisi tengah bergerak sejauh x

(fungsi waktu) yang diberikan oleh

(1.31)

Besaran biasanya diukur dalam radian per detik dan disebut frekuensi

lingkaran. Karena gerak berulang dalam 2 radian, maka didapat

hubungan

(1.32)

dengan dan f adalah perioda dan frekuensi gerak harmonik, berturut-turut

biasanya diukur dalam detik dan siklus per detik.

Gerakan massa merupakan sinusoidal seperti terlihat pada gambar

1.22. Kecepatan getaran massa m setiap saat diberikan oleh

(

) (1.33)

34

dan percepatan getaran massa m setiap saat diberikan oleh

( ) (1.34)

Gambar 1.22 Mekanis Yoke Scotch

Jadi kecepatan dan percepatan juga harmonik dengan frekuensi

osilasi yang sama, tetapi mendahului simpangan, berturut-turut dengan /2

dan radian. Gambar 1.23 menunjukkan baik perubahan terhadap waktu

maupun hubungan fasa vektor antara simpangan, kecepatan dan percepatan

pada gerak harmonik.

35

Gambar 1.23 Dalam gerak harmonik, kecepatan dan percepatan

mendahului simpangan dengan dan 2

Peninjauan kembali persamaan (1.31) dan (1.34) menunjukkan bahwa

(1.35)

sehingga dalam gerak harmonik, percepatan adalah sebanding dengan

simpangan dan arahnya menuju titik asal.

1.9.1 Besaran vektor untuk Merepresentasikan Getaran Harmonik

Getaran harmonik dapat direpresentasikan oleh vektor dengan

besar A yang bergerak berputar dengan kecepatan konstan , seperti

terlihat pada Gambar 1.24.

36

Proyeksi vektor pada sumbu vertikal diberikan oleh

(1.36)

dan untuk proyeksi terhadap sumbu horizontal diberikan oleh

(1.37)

Gambar 1.24 Getaran harmonik sebagai proyeksi suatu titik yang

bergerak pada lingkaran

37

1.9.2 Bentuk Eksponensial dan Bilangan Kompleks untuk

Merepresentasikan Getaran Harmonik

Fungsi trigonometrik sinus dan cosinus dihubungkan dengan

fungsi eksponensial oleh persamaan Euler

(1.38)

Suatu vektor dengan amplitudo A yang berputar dengan kecepatan sudut

tetap dapat dinyatakan sebagai besaran komplek dalam diagram

Argand seperti terlihat dalam Gambar 1.25.

Gambar 1.25 Diagram Argan

(1.39)

(1.40)

(1.41)

dengan ( ) , dan

(

)

y (imajiner)

x (riil) a

b

A

t

38

Besaran disebut sinusoid komplek dengan a dan b adalah komponen riil

dan imajiner. Besaran juga memenuhi persamaan untuk gerak

harmonik.

1.10 Gerak Periodik

Pada getaran biasanya beberapa frekuensi yang berbeda ada secara

bersama-sama. Contoh getaran dawai biola terdiri dari frekuensi dasar f

dan semua harmoniknya 2f, 3f dan seterusnya. Getaran semacam ini

menghasilkan bentuk gelombang komplek yang diulang secara periodik

seperti Gambar 1.26.

Matematikawan Perancis J. Fourier (1768 – 1830) menunjukkan

bahwa tiap gerak periodik dapat dinyatakan oleh deretan sinus dan cosinus

yang dihubungkan secara harmonik. Jika x(t) adalah fungsi periodik

dengan perioda , maka fungsi ini dinyatakan oleh deret Fourier.

( )

( )

∑ ( )

(1.42)

di mana = 2/ dan a0, a1, a2 ….an, b1, b2,….bn adalah koefisien konstan.

Untuk menghitung koefisien an dan bn, dengan mengalikan cos nt dan sin

nt kedua ruas persamaan (1.42), serta mengintegrasikan dengan satu

perioda = 2/. Dengan mengingat hubungan berikut

∫

∫

(1.43)

39

∫

,

-

maka semua suku kecuali satu pada ruas kanan persamaan adalah nol, dan

diperoleh hasil,

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

(1.44)

∫ ( )

∫ ( )

Gambar 1.26 Gerak periodik dengan perioda

Contoh soal 1.5

Jika y(t) diketahui seperti Gambar 1.27, maka cari persamaan getaran

untuk x(t).

40

Gambar 1.27 Sistem Cam-follower

Jawab :

( ) ( )

( )

( ) (E.1)

Dari Gambar 1.27(b) diperoleh y(t) = Y t/ ; 0 t ,

di mana Y = amplitudo maksimum y.

41

Dari dimensi rocker arm, diperoleh hubungan

(E.2)

dan x(t) = X t/ ; 0 t , di mana X adalah amplitudo maksimum x.

dengan menggunakan persamaan (1.44) diperoleh

∫ ( )

∫

(

)

(E.3)

∫ ( )

∫

∫

Rumus integral ∫

*

( )

+

(E.4)

∫ ( )

∫

/2

0

/2

0

/2

0sinsinsin tdtnt

Xtdtn

tXtdtndttxbn

42

∫

Rumus integral ∫

*

( )

+

(E.5)

Jadi

( )

∑ ( )

( )

∑ (

)

( )

∑

( )

di mana

sehingga

( )

43

BAB II GETARAN BEBAS SISTEM SATU DERAJAD KEBEBASAN

Semua sistem yang mempunyai massa dan elastisitas dapat

mengalami getaran bebas atau getaran yang terjadi tanpa rangsangan luar.

Hal pertama yang menarik untuk sistem semacam itu adalah frekuensi

natural getarannya. Sasaran kita di sini adalah belajar menulis persamaan

geraknya dan menghitung frekuensi naturalnya yang merupakan fungsi

massa dan kekakuan sistem.

Redaman dalam jumlah sedang mempunyai pengaruh yang sangat

kecil pada frekuensi natural dan dapat diabaikan dalam perhitungannya.

Kemudian sistem dapat dianggap sebagai sistem yang konservatif dan

prinsip kekekalan energi memberikan pendekatan lain untuk menghitung

frekuensi natural. Pengaruh redaman sangat terlihat pada berkurangnya

amplitudo getaran terhadap waktu. Walaupun terdapat banyak model

redaman namun hanya model yang menghasilkan cara analitik yang mudah

dibahas dalam bab ini.

2.1 Persamaan Gerak dan Frekuensi Getaran Translasi

Sistem berosilasi yang paling sederhana adalah sistem yang terdiri

dari massa dan pegas seperti ditunjukkan pada Gambar 2.1. Pegas

penunjang massa dianggap mempunyai massa yang dapat diabaikan dan

kekakuan k (Newton per meter simpangan). Sistem mempunyai satu

derajat kebebasan karena geraknya digambarkan oleh koordinat tunggal x.

44

Gambar 2.1 Sistem pegas-massa dan diagram benda bebas

Bila digerakkan, osilasi akan terjadi pada frekuensi natural fn, yang

merupakan milik sistem. Kita sekarang mengamati beberapa konsep dasar

yang dihubungkan dengan getaran bebas sistem dengan satu derajat

kebebasan.

Hukum Newton kedua adalah dasar pertama untuk meneliti gerak

sistem. Seperti ditunjukkan pada Gambar 2.1, perubahan bentuk pegas

pada posisi kesetimbangan statik adalah ∆ dan gaya pegas adalah k∆

adalah sama dengan gaya gravitasi W yang bekerja pada massa m.

k∆ = W = mg (2.1)

Dengan mengukur simpangan x dari posisi kesetimbangan statik, maka

gaya-gaya yang bekerja pada massa m adalah k(∆+x) atau W. Dengan x

yang dipilih positif dalam arah ke bawah. Sekarang hukum Newton kedua

untuk gerak diterapkan pada massa m.

∑Fy = 0

( )

dan karena k∆ = W, diperoleh

(2.2)

45

Jelaslah bahwa pemilihan posisi kesetimbangan statik sebagai acuan untuk

x mengeliminasi W, yaitu gaya yang disebabkan gravitasi. Gaya pegas

statik k∆ dari persamaan gerak hingga resultan pada massa m adalah gaya

pegas karena simpangan x saja.

Dengan mendefinisikan frekuensi lingkaran ωn menggunakan

persamaan

(2.3)

Persamaan (2.2) dapat ditulis sebagai

(2.4)

Solusi persamaan (2.2) dengan mengasumsikan

( )

dan

di mana A dan s adalah konstata, setelah dimasukan ke persamaan (2.2),

diperoleh

+ = 0

( + ) = 0

+ = 0 (2.5)

= (

)

di mana = (

) dan ( )

sehingga

46

jadi

( ) + di mana A1 dan A2 adalah konstata.

Dengan menggunakan

= maka

( ) + (2.6)

Di mana A dan B adalah konstata yang baru dan dapat dicari dengan

menggunakan kondisi awal, yaitu

( ) =

( ) = (2.7)

Dengan memasukkan kondisi awal persamaan (2.7) ke dalam persamaan

(2.6) termasuk dengan menurunkam dulu persamaan (2.6) maka diperoleh

= ( ) + ( )

= ( ) ( )

dan

( )

( ) ( )

( )

Jadi

(2.8)

Periode natural osilasi dibentuk dari , atau

√

(2.9)

47

dan frekuensi naturalnya adalah

√

(2.10)

Besaran-besaran ini dapat dinyatakan dalam penyimpangan statik

dengan melihat persamaan (2.1), = 𝑔. Jadi persamaan (2.10) dapat

dinyatakan dalam penyimpangan statik sebagai

√

(2.11)

Contoh soal 2.1

Sebuah massa ¼ kg digantungkan pada pegas yang mempunyai kekakuan

0,1533 N/mm. Tentukan frekuensi naturalnya dalam siklus per sekon.

Tentukan juga penyimpangan statiknya.

Jawab :

Konstanta kekakuan

= 153.3 N/m

Substitusi ke dalam persamaan (2.10), menghasilkan frekuensi natural

√

√

(E.1)

Penyimpangan statik pegas yang digantungi massa ⁄ kg diperoleh dari

mg

(E.2)

48

Contoh soal 2.2

Tentukan frekuensi natural massa M yang diletakkan pada ujung kantilever

beam yang massanya dapat diabaikan seperti ditunjukkan dalam Gambar

2.2.

Gambar 2.2 Massa m pada ujung kantilever

Jawab:

Penyimpangan kantilever beam yang disebabkan gaya yang terkonsentrasi

P adalah

(E.1)

Dengan EI adalah ketegaran lentur. Jadi kekuatan balok adalah k

dan frekuensi natural sistem menjadi

√

(E.2)

Contoh soal 2.3

Hitung frekuensi natural dari sistem seperti pada Gambar 2.3. Asumsi

gesekan dan massa puli diabaikan.

49

Gambar 2.3 Sistem puli, massa dan pegas

Jawab:

Pada diagram benda bebas 1 (dbb 1) pada dbb 2

2W = k1 x1 2W = k2 x2

Sehingga gerakan total massa adalah

X = 2( )

X = 2(

) = 4W (

) = 4W

(E.2)

(a) (b) diagram benda bebas

50

Hukum Newton kedua menyatakan

F =

=

= 4W

( ) (E.3)

Persamaan getaran

m + kekx= 0 (E.4)

m +

( x = 0

jadi

n= (

)

(

( ))

(E.5)

(

( ))

(E.6)

Contoh soal 2.4

Massa batang PQ diabaikan, tentukan persamaan diferensial getaran dan

frekuensi diri dari sistem pada gambar 2.4

51

Jawab :

Gambar 2.4 sistem pegas dan batang yang diberi beban pada ujung.

Pada kondisi statis terjadi kesetimbangan momen, yaitu

mgl3 cos α = k2l2 sinα l2 cos α + k1l1 sinα l1 cosα (E1)

sehingga dalam keadaan dinamis sudah tidak perlu diperhitungkan

∑Mp = 0

(E.2)

Untuk θ kecil maka sin θ = θ dan cos θ = 1, jadi

(E.3)

52

(

) (E.4)

dan frekuensi naturalnya adalah

√

(E.5)

2.2 Getaran Bebas untuk Sistem Torsional tanpa Redaman

Jika benda kaku diberi simpangan sudut dengan sumbu referensi

khusus, maka akan menyebabkan gerak yang disebut getaran torsional.

Dalam masalah getaran torsional menggunakan kesetimbangan momen

torsional. Gambar 2.5 ditunjukkan piringan dengan massa inersia polar J0,

berada di ujung poros dan ujung poros yang lain ditumpu dengan tumpuan

jepit. Simpangan sudut piringan dan poros sebesar θ.

Gambar 2.5 Getaran torsional dari piringan

kekakuan poros (kt)

Di mana : G = modulus elastisitas

Jo = momen inersia luas penampang poros

l = panjang poros

53

Jo =

Sehingga =

Untuk poros maka torsinya

( 2.13 )

Di mana: = kekakuan poros

= simpangan sudut poros

Hukum Newton yang kedua untuk gerakan sudut

+ = 0 ( 2.14 )

Di mana: momen inersia massa disk

=

densitas massa

W = berat disk

Persamaan (2.14) bisa diselesaikan seperti pada getaran linier seperti pada

persamaan (2.2), yaitu

( ) cos t + cos t ( 2.15 )

Dengan A1dan A2 adalah konstanta dan bisa diselesaikan dari kondisi

awal. Bila

( )=

( )=

= cos ( 0 ) + cos ( 0 )

=

= sin (0) + cos (0)

54

=

=

sehingga

(t) = cos t+

sin t (2.16)

Frekuensi natural dan priode natural bisa dihitung berdasarkan persamaan

diferensial getaran pada persamaan (2.14)

= (

)

= 2 (

)

=

(

)

(2.17)

Contoh soal 2.5

Sebuah roda dan ban mobil digantungkan pada batang baja yang

diameternya 0.5 cm dan panjangnya 2 m seperti ditunjukkan pada Gambar

2.6. Bila roda diberi simpangan sudut kemudian lepas, maka ia membuat

10 osilasi dalam 30.2 detik. Tentukan momen inersia polar roda dan ban.

Gambar 2.6 Ban mobil yang digantung pada baja

55

Jawab :

Persamaan rotasional untuk gerak sesuai hukum Newton kedua

( E.1 )

Frekuensi natural osilasi

= = 2

= 2.081 rad / s ( E.2 )

=

=

(0.5 ) = 0.006136

= 80

=

=

= 2.455 Nm /rad ( E.3 )

maka

(

)

=

=

= 0.567 kg

2.3 Metode Energi (Metode Lagrange)

Dalam suatu konservatif energi totalnya adalah konstan dan

persamaan diferensial gerak juga dapat dibentuk dari prinsip kekekalan

energi. Untuk getaran bebas suatu sistem yang tak teredam, energinya

sebagian adalah energi kinetik dan sebagian potensial. Energi kinetik T

sebagian disimpan dalam massanya karena kecepatannya, sedang energi

potensial U disimpan dalam bentuk energi regangan dalam perubahan

bentuk elastik atau kerja yang dilakukan dalam suatu medan gaya seperti

gravitasi. Karena energi total adalah konstan, maka laju perubahan energi

adalah nol seperti oleh persamaan (2.18).

56

T + U = konstan

( ) ( 2.18 )

Bila perhatian hanya tertuju pada frekuensi natural sistem, maka

frekuensi itu dapat ditentukan dari pertimbangan prinsip kekekalan energi

pada persamaan (2.19 ).

(2.19)

dengan indeks 1 dan 2 menyatakan saat yang berbeda. Ambil indeks 1 saat

ketika massa sedang melewati posisi kesetimbangan statik dan pilih U1 = 0

sebagai acuan untuk energi potensial. Ambil indeks 2 saat yang sesuai

dengan simpangan maksimum dari massa. Pada potensial ini, kecepatan

massa adalah nol, hingga T2 = 0, jadi diperoleh

T1 + 0 = 0 + U2 (2.20)

Namun, bila sistem mangalami gerak hermorik, maka T1 dan U2

merupakan nilai maksimum, jadi

Tmaks = Umaks (2.21)

Persamaan (2.21) langsung menghasilkan frekuensi natural.

Contoh soal 2.6

Tentukan frekuensi natural sistem yang ditunjukkan pada Gambar 2.7.

57

Gambar 2.7

Jawab:

Anggap bahwa sistem secara harmonik dengan amplitudo dari posisi

kesetimbangan statik. Energi kinetiknya adalah

( )

(E.1)

Energi potensial adalah energi yang disimpan dalam pegas yaitu

U =

k ( )²

(E.2)

Sebelumnya diketahui

T + U = konstan, atau

dT + dU = 0

r2 r1

J θ

m

58

( )

( )

(

( ) ) +

(

( ) ) = 0

J 2 +

+

2θ =0

J + m + k

θ=0

(J+m ) + k

θ=0 (E.3)

Dengan melihat persamaan ( ) dan persamaan ( ) maka diperoleh

ωn =√

dalam hal ini

dan

maka

ωn =√

(E.4)

fn =

√

(E.5)

Contoh Soal 2.7

Sebuah silinder seberat W dan jari-jari r menggelinding tanpa tergelincir

(slip) pada permukaan silindris yang berjari-jari R (lihat Gambar 2.8).

Tentukan persamaan diferensial geraknya untuk osilasi kecil pada titik

terendah. Untuk keadaan tanpa tergelincir r = R .

59

Gambar 2.8

Jawab:

Kecepatan translasi pusat silinder adalah

( ) (E.1)

Sedang kecepatan rotasinya adalah

( ) (

) (E.2)

Karena tanpa tergelincir maka

( ) (E.3)

Energi kinetiknya adalah

T

[( ) ]

+

*(

) +

T

(R ) (E.4)

R

θ

r

60

Energi potensialnya adalah

( )( ) (E.5)

Perubahan energi akan menjadi energi lain, sehingga

(T + U) (E.6)

(

(R ) ) +

W (R - r)(1- )

( ) + W( )

( ) +W( ) (E.7)

Untuk sudut θ yang kecil maka sin = θ, dan dengan mencoret kedua suku

diperoleh

( ) +

( )

Dengan melihat persamaan ( ) dan persamaan ( ) maka diperoleh

√

( ) (E.8)

2.4 Kondisi Stablilitas

Untuk menentukan kondisi stabililtas diambil contoh batang

seragam yang dipegang engsel dan dihubungkan dengan dua buah pegas

61

simetri di ujungnya seperti pada Gambar 2.9. Dimisalkan massa batang

adalah m dan pegas tidak meregang pada saat batang vertikal. Ketika

batang diberi simpangan sejauh pegas akan diberi beban gaya sebesar

kl . Karena ada dua buah pegas, maka total gaya adalah 2kl .

Gaya berat W = mg bekerja searah vertikal.

Gambar 2.9 Batang vertikal dipegang pegas simetri di ujung

(

) ( )

Persamaan momen batang terhadap titik O adalah

∑ = 0

( )

62

( )

(2.23)

Untuk osilasi ( ) kecil maka sin = dan cos sehingga persamaan

( ) menjadi

( )

(

) (2.24)

Solusi persamaan ( ) tergantung pada harga dalam kurung

( ) ⁄ bisa dibahas sebagai berikut

Kasus 1: Bila ( ) ⁄ Persamaan ( ) merupakan

osilasi stabil dan dapat diselesaikan sebagai berikut

( ) (2.25)

Di mana A1 dan A2 adalah konstanta dan bisa ditulis

(

)

(2.26)

Kasus 2: Bila ( ) ⁄ Persamaan ( ) menjadi lebih

sederhana

(2.27)

Solusinya dapat diselesaikan dengan mengintegrasikan dua kali sehingga

diperoleh

63

( ) (2.28)

Untuk kondisi awal (t=0) = θ0 dan (t=0) = , solusinya menjadi

θ(t)= t + (2.29)

Persamaan (2.29) menunjukkan simpangan sudut meningkat secara linier

pada kecepatan konstan 0. Jika 0 = 0, persamaan (2.29) merupakan

keseimbangan statis dengan = 0.

Kasus 3: Bila (12kl²-3Wl)/2ml² < 0, kita definisikan

α = (

)

(2.30)

Kita lihat persamaan (2.24), maka solusinya adalah

( )

(2.31)

di mana B1 dan B2 adalah konstanta. Untuk kondisi awal (t=0) = θ0

dan (t=0) = 0

Persamaan (2.31) menjadi

( )

[( )

( ) ] (2.32)

Persamaan (2.32) menunjukkan bahwa θ(t) meningkat secara eksponensial

dengan waktu, dan getaran tidak stabil. Alasan secara fisiknya adalah

momen yang disebabkan oleh pegas (2kl²θ), yang membuat sistem pada

posisi setimbang lebih kecil momen yang dihasilkan oleh gravitasi (-

W(1/2)θ), yang menyebabkan massa berpindah dari posisi kesetimbangan.

64

2.5 Metode Energi Rayleigh

Metode energi ini digunakan untuk sistem bermassa banyak atau

untuk sistem yang massanya terdistribusi, bila gerak tiap titik dalam sistem

diketahui. Dalam sistem di mana massa-massa dihubungkan oleh

penghubung tegar, truss, atau roda gigi, gerak berbagai massa tadi dapat

dinyatakan dalam gerak beberapa titik spesifik x dan sistem hanyalah

merupakan sistem dengan satu derajat kebebasan karena hanya diperlukan

satu koordinat.

Energi kinetik dapat ditulis

(2.33)

Di mana: mef = massa efektif atau segumpalan massa ekivalen pada titik

spesifik tersebut.

Bila kekakuan di titik itu diketahui, maka frekuensi natural dapat dihitung

melalui

n=√

(2.34)

Rayleigh menunjukkan bahwa dengan asumsi bentuk amplitudo getaran

yang masuk akal, maka massa yang tadinya diabaikan dapat ikut

diperhitungkan dan diperoleh perkiraan frekuensi dasar yang lebih baik.

Contoh soal 2.8

Tentukan pada sistem Gambar 2.10, bila massa pegas ikut

diperhitungkan.

Jawab:

Perpindahan pegas pada titik y adalah

dan kecepatan adalah

65

Gambar 2.10 Massa m digantung pada sebuah pegas

Sehingga energi kinetik pegas adalah

(

) (

) (E.1)

Energi kinetik total adalah

T = Energi kinetik massa (Tm) + Energi kinetik pegas (Ts)

T =

m + ∫

((

) (

)/

T =

m +∫

T =

m

[ ]

T =

m

66

T =

(

) (E.2)

Dari persamaan (2.36) diperoleh kesimpulan bahwa massa efektif pegas

adalah 1/3 massa pegas ( (eff) = 1/3ms)

Energi potensial sistem adalah

U =

(E.3)

Jumlah perubahan energi kinetik dan energi potensial adalah nol.

dT + dU = 0

(

)2 +

k 2 x = 0

(

) + kx = 0 (E.4)

Persamaan ( 2.38 ) menunjukkan bahwa massa efektif sistem adalah

= m +

(E.6)

Frekuensi natural sistem dengan memperhitungkan massa pegas adalah

= √

(E.7)

Contoh soal 2.9

Sebuah batang dengan massa total m yang ditopang di kedua ujungnya, di

tengah-tengah batang ada sebuah M (lihat Gambar 2.11). Tentukan

frekuensi diri di tengah-tengah sistem.

67

Jawab:

Defleksi statis pada setengah panjang batang adalah

y = (

(

) ) untuk (

) (E.1)

Gambar 2.11 Batang ditumpu kedua ujung dengan massa M di tengah-

tengah

Energi kinetik maksimum batang itu sendiri adalah

= (

(

) ) (E.2)

T =

∫

⁄

⁄

, (

(

) )- (E.3)

T =

( )

(E.4)

Dari persamaan (E.4) di ketahui bahwa massa efektif batang di tengah-

tengah tumpuan adalah

( ) (E.5)

Jadi massa efektif sistem di tengah-tengah rentangan adalah

+ 0,4857m (E.6)

x l

l/2

M

68

Frekuensi diri di tengah-tengah sistem adalah

= √

( ) (E.7)

Contoh soal 2.10

Sistem berosilasi seringkali terdiri dari tuas, roda gigi dan penghubung lain

yang dapat mempersulit analisis. Sistem katup mesin pada Gambar 2.12

merupakan contoh sistem seperti itu. Penyederhanaan sistem itu menjadi

sistem ekivalen yang lebih mudah biasanya diharapkan. Tentukan massa

efektif sistem tersebut pada titik A!

Jawab :

Gambar 2.12 Gambar sistem katup mesin

Lengan pemutus (rocker-arm) dengan momen inersia J, katup dengan

massa mv dan pegas dengan massa m, dapat disederhanakan menjadi

massa tunggal di A dengan menuliskan energi kinetik sebagai berikut:

( )

(

) ( )

69

(

) (E.1)

Dengan mengingat bahwa kecepatan di A adalah maka persamaan

di atas menjadi

.

/ (E.2)

Jadi massa efektif di a adalah

.

/ (E.3)

Bila batang pendorong sekarang direduksi menjadi sebuah pegas dan

massa tambahan pada ujung A, maka seluruh sistem direduksi menjadi

pegas tunggal dan sebuah massa seperti ditunjukkan pada Gambar 2.12(b).

2.6 Resume

Semua sistem yang mempunyai massa dan elastisitas dapat

mengalami getaran bebas atau getaran yang terjadi tanpa gangguan dari

luar. Hal pertama yang menarik untuk sistem semacam itu adalah frekuensi

natural getarannya. Bila sistem bergetar melewati frekuensi naturalnya,

maka sistem berada dalam resonasi. Untuk menentukan frekuensi natural

bisa menggunakan beberapa metode antara lain dengan:

1. Menentukan massa dan konstanta kekakuan pegas

2. Menentukan massa dan konstanta kekakuan pegas ekivalen

3. Mencari persamaan diferensial getaran

4. Metode Energy Lagrange

5. Metode Energy Rayleigh

70

71

BAB III GETARAN BEBAS TEREDAM

Gaya redaman karena kekentalan Fd berbanding lurus dengan

kecepatan getaran, yaitu

(3.1)

di mana

= kecepatan getaran

Fd = gaya redaman

c = konstanta redaman

- = arahnya berlawanan dengan arah kecepatan

Getaran bebas satu derajat kebebasan (SDOF) dengan redaman

dapat dilihat pada Gambar 3.1. Jika x diukur dari kesetimbangan posisi

massa m, menurut hukum Newton kedua tentang gerakan diperoleh

(3.2)

(a) Sistem (b) diagram benda bebas

Gambar 3.1 Sistem satu derajat kebebasan dengan redaman

+x

k c

O

kx

+x

c

72

Untuk menyelesaikan persamaan (3.2) kita misalkan solusinya

dalam bentuk

( ) (3.3)

di mana A dan s adalah konstanta, bila persamaan (3.3) diturunkan dua

kali diperoleh

( )

( ) (3.4)

Persamaan (3.4) dimasukkan ke persamaan (3.3) diperoleh

mA + kA = 0

ms2 +cs +k = 0 (3.5)

akar-akar persamaan (3.5) bisa diperoleh dengan rumus

√

= -

± √(

)

√(

)

dan

√(

)

(3.6)

sehingga

( )

dan ( )

x( )

(3.7)

persamaan (3.6) dimasukkan ke persamaan (3.7) diperoleh

73

x( )

√(

)

√(

)

x( )

√(

)

√(

)

(3.8)

di mana A1 dan A2 adalah konstanta yang bisa dicari pada kondisi awal.

suku pertama

adalah fungsi waktu yang meluruh secara

eksponensial. Tetapi sifat suku-suku di dalam kurung tergantung pada nilai

numerik di bawah akar, yaitu positif, nol dan negatif.

3.1 Konstanta Redaman Kritis dan Rasio Redaman (Damping

Ratio)

Redaman kritis adalah harga c di mana harga radikal (bawah akar

pada persamaan (3.8) menjadi nol).

-(

) +

= 0

Dalam keadaan ini c menjadi (kondisi kritis)

-(

) +

= 0 (3.9)

=2m √

= 2√ = 2m (3.10)

Untuk sistem teredam, nilai suatu redaman biasanya dinyatakan

dalam redaman kritis oleh rasio non-dimensional, yaitu

=

(3.11)

74

yang disebut rasio redaman. Dengan mengingat bahwa

=

= (3.12)

Sehingga akar-akar persamaan (3.6) bisa dalam bentuk .

. √ / (3.13)

Sehingga diperoleh

x(t)= . √

/ +

. √ /

(3.14)

Penyelesaian persamaan (3.8) atau (3.14) bisa dilihat pada

beberapa kasus berikut

Kasus 1: Underdamped system atau kurang teredam ( < 1 atau c <

atau c / 2m < √( ).

Untuk kondisi ini, ( ) berharga negatif dan akar-akar dan dapat

ditulis

. √ /

. √ /

Persamaan (3.14) dapat ditulis menjadi

x( ) . √

/ +

. √ /

75

x( ) . √

/

. √ /

x( ) 2( ) √ ( ) √

3

x( ) 2 √

√

3

x( ) X .√ / (3.15)

di mana A1, A2, X dan ф adalah konstanta yang bisa dicari pada kondisi

awal, yaitu

x( ) √

√

√ (3.16)

di mana dan adalah simpangan dan kecepatan getaran awal.

Getaran yang dituliskan pada persamaan (3.16) adalah getaran harmonik

teredam (lihat Gambar 3.2), di mana suku merupakan pengurangan

amplitudo secara eksponensial.

Frekuensi getaran teredam adalah

√ (3.17)

76

Gambar 3.2 Getaran teredam

Terlihat bahwa frekuensi getaran teredam selalu lebih kecil dari

frekuensi getaran tak teredam (Undamped) . Pengurangan frekuensi

getaran teredam semakin besar dengan besarnya harga redaman. Grafik

yang menyatakan antara frekuensi teredam dan damping ratio bisa dilihat

pada Gambar 3.3.

Gambar 3.3 Variasi ωd dengan damping rasio

1

1

ωd/ωn

77

Kasus 2: Critically damped system (teredam kritis) ( = 1 atau c = cc atau

c/2m = √ ). Dalam hal ini akar-akar s1 dan s2 adalah sama.

s1 = s2 = -

= - (3.18)

Karena akar akarnya sama maka penyelesaian persamaan (3.2) menjadi

( ) ( ) (3.19)

Gambar 3.4 Getaran teradam kritis

Pada kondisi awal x(t=0) = x0 dan ( ) , bila harga ini

dimasukkan pada persamaan (3.19) maka diperoleh

c1 = x0

c = + (3.20)

dan penyelesaian persamaan (3.19) menjadi

( ) [ ( ) ] (3.21)

x(0)

x(t)

t

<

78

persamaan (3.21) merupakan non-periodik dan akan menjadi nol

bila t = ∞. Gambar untuk persamaan (3.21) bisa dilihat pada gambar 3.4.

Kasus 3: Overdamped system (keadaan banyak teredam) ( > 1 atau c > cc

atau c/2m > √ . Bila lebih besar dari satu, maka kedua akar tetap

berada pada sumbu riil dan berpisah, satu membesar dan yang lainnya

mengecil. Akar-akar s1 dan s2 diberikan oleh

. √ / <

. √ / < (3.22)

Solusi umum menjadi

. √

/

. √ /

(3.23)

bila dicari pada kondisi awal, di mana x(t=0) = x0 dan ( ) maka

diperoleh

( ) . √

/ ( )

√

( ) . √

/ ( )

√

(3.24)

79

Gambar 3.5 Gerak aperiodik ( > 1)

Gerak ini merupakan fungsi yang menurun secara eksponensial terhadap

waktu dan disebut fungsi aperiodik seperti terlihat pada Gambar 3.5.

Bila ketiga kasus dinyatakan dalam satu gambar untuk

membandingkan, akan diperoleh seperti pada Gambar 3.6.

Gambar 3.6 Perbandingan getaran dengan tipe redaman yang berbeda-

beda.

80

Contoh soal 3.1

Susunlah persamaan diferensial gerak untuk sistem pada Gambar 3.7.

Tentukan persamaan untuk koefisien redaman kritis dan frekuensi natural

osilasi teredam.

Gambar 3.7

Diagram benda bebas pada gambar tersebut bisa dibuat

k

c

l

P

a

m

k a sin θ

θ

c a θ cos θ

81

∑Mp = 0

m l2 cos + ka sin a cos + c a cos a cos = 0 (E.1)

untuk θ yang sangat kecil, maka diperoleh sin θ = θ dan cos θ = 1,

sehingga

m l2+ + = 0 (E.2)

Untuk mencari ωn maka redaman diabaikan

m l2 + = 0 (E.3)

dari persamaan (E.3) diperoleh

ωn = √

(E.4)

Redaman kritis bisa diperoleh dari hubungan

=2√ =2m =2m√

=2√

(E.5)

Rasio redaman ( ) diperoleh

=

=

√

=

√

(E.6)

Hubungan antara frekuensi tanpa dan dengan redaman diperoleh

= √

82

= √ .

√

/

= √

(E.7)

3.2 Pengurangan Logaritmik

Suatu cara mudah untuk menentukan jumlah redaman yang ada

dalam suatu sistem adalah dengan mengukur laju dengan mengukur laju

peluruhan osilasi bebas. Makin besar redamannya, makin besar pula laju

peluruhannya. Perhatikan suatu getaran teredam yang dinyatakan oleh

persamaan (3.25) yang ditunjukkan secara grafik pada Gambar 3.8. Di sini

dikenalkan istilah pengurangan logaritmik (logarithmic decreament) yang

didefinisikan sebagai logaritma natural dari rasio dua ampilitudo

berurutan.

x(t) = sin .√ / (3.25)

Gambar 3.8 Laju peluruhan osilasi yang diukur dengan pengurangan

logaritmik

x x2

x1

τ 2π ω

x(t)

83

Jadi rumus pengurangan logaritmik menjadi

.√

/

( ) .√ ( ) /

(3.26)

dan karena nilai-nilai sinusnya adalah sama bila waktu ditambah dengan

periode redaman , maka hubungan di atas menjadi

( )

= ln = (3.27)

Dengan mensubstitusikan periode redaman,

√ , maka

pengurangan logaritmik di atas menjadi

√ (3.28)

yang merupakan persamaan eksak. Bila kecil, maka √ , dan

diperoleh persamaan pendekatan

(3.29)

Contoh soal 3.2.

Data ini diberikan untuk sistem getaran dengan redaman karena

kekentalan. W = 10 lb, k = 30 lb/in, dan c = 0.12 lb/in per sekon. Tentukan

pengukuran logaritmik dan rasio dua amplitudo yang berurutan.

Jawab:

Frekuensi natural sistem tersebut tanpa redaman adalah

√

√

84

Koefisien redaman kritis cc dan faktor redaman adalah

Dari persamaan (3.28), pengurangan logaritmik adalah

√

√

rasio amplitude untuk tiap dua siklus yang berurutan adalah

Contoh soal 3.3

Tunjukan bahwa pengurangan logaritmik juga diberikan oleh persamaan

dengan xn menyatakan amplitude setelah n siklus berlangsung.

Jawab:

Rasio amplitude untuk tiap dua amplitudo yang berurutan adalah

( )

Rasio ⁄ dapat ditulis sebagai

85

(

) (

) (

) (

) ( )

( )

Dari sini persamaan yang dibutuhkan bisa diperoleh, yaitu

=

(E.3)

Contoh soal 3.4.

Shock absorber yang bersifat under damped didesain untuk motor yang

mempunyai massa 200 kg. Ketika kecepatan awal diberikan karena jalan

yang berlubang, maka diperoleh kurva simpangan fungsi waktu seperti

pada Gambar 3.9. Tentukan kekakuan pegas dan konstanta redaman shock

absorber jika periode getaran 2 sekon dan amplitude berkurang menjadi

⁄ pada ⁄ siklus.

Jawab:

Dari soal diketahui bahwa

( )

sehingga diperoleh

( )

pengurangan logaritmik

(

) ( )

Sementara

√

2.7726 =

√ (E.4)

86

X (t)

τd

X1

X1.5

X2

t

(a) motor melewati lubang (b) kurva getaran

Gambar 3.9 Motor melewati lubang dan kurva getarannya

Persamaan (E.4) merupakan persamaan kuadrat, bila diselesaikan

diperoleh akar-akarnya

(E.5)

Karena under damped maka diambil akar yang positif, yaitu

(E.6)

Sementara

=

√ (E.7)

2 =

√ ( ) (E.8)

= 3.4338 rad / sek (E.9)

87

Konstanta redaman kritis

= 2m = 2(200)3.4338 = 1373.54 Ns / m (E.10)

Sementara

c = = 0,4057 x 1373.54

c = 554.498 Ns / m (E.11)

dan

k = m = (200)( )

k = 2358.26 N / m (E.12)

3.3 Sistem Torsional dengan Viscous Damping

Pada sub bab 3.1 dan 3.2 dijelaskan getaran linier dengan viscous

damping. Pada subbab ini dijelaskan getaran torsional satu derajat

kebebasan dengan viscous damping. Contoh untuk getaran tersebut bisa

dilihat pada Gambar 3.10 di bawah ini.

(a) Disc diputar dalam fluida benda bebas (b) diagram benda bebas

Gambar 3.9 Disc diputar dalam fluida dan diagram benda bebasnya

Disc, J0

Poros, kt

Fluida kt θ

ct θ

θ, θ, θ

88

Torsi redaman vicous adalah

T = - (3.30)

Persamaan getaranya diperoleh dari diagram benda bebas, adalah

+ + θ = 0 (3.31)

di mana: = moment inersia masa

= konstanta kekakuan torsional

θ = simpangan sudut

Persamaan (3.31) bisa diselesaikan seperti pada getaran linear

dengan viscous damping, sehingga diperoleh

√ (3.32)

Di mana

√

(3.33)

dan

√ (3.34)

3.4 Redaman Coulomb

Redaman Coulomb diperoleh dari gesekan antara dua permukaan

kering. Gaya redaman adalah sama dengan hasil kali gaya normal dengan

koefisien gesekan μ dan dianggap tidak tergantung pada kecepatan, bila

gesekan dimulai. Karena tanda gaya redaman selalu berlawanan dengan

tanda kecepatan, maka persamaan diferensial gerak untuk tiap tanda hanya

benar untuk selang setengah siklus. Contoh sederhana getaran yang

89

teredam Coulomb bisa dilihat pada Gambar 3.11. Gambar tersebut

menunjukkan sebuah massa m yang diletakkan di atas lantai. Antara lantai

dan massa m mempunyai koefisien gesekan. Kemudian massa

dihubungkan dengan sebuah pegas. Bila massa m diberi sebuah

simpangan, maka akan bergetar.

·

Gambar 3.11 Sistem massa-pegas dengan redaman Coulomb

Untuk menentukan peluruhan amplitudo, diperhatikan prinsip

kerja-energi yang menyamakan kerja yang dilakukan dengan perubahan

energi kinetik. Dengan memilih sebuah setengah siklus yang dimulai dari

posisi ekstrim dengan kecepatan yang sama dengan nol dan amplitudo

sama dengan x1 (puncak), maka perubahan energi kinetik dikurangi kerja

yang dilakukan pada m adalah nol.

(

) ( ) (3.35)

( )( ) ( ) 0

( )

(3.36)

m

k

k

m

N

k x

W

μ N

90

dengan x-1 adalah amplitudo setelah setengah siklus seperti yang

ditunjukkan dalam Gambar 3.12. Di samping itu gambar ini menunjukkan

getaran bebas suatu sistem dengan getaran Coloumb. Perlu dicatat bahwa

amplitudo meluruh secara linier terhadap waktu. Bila prosedur ini diulang

untuk setengah siklus berikutnya, maka diperoleh

(3.37)

maka

(3.38)

Gerakan akan berhenti bila amplitudonya sudah lebih kecil dari Δ. Pada

posisi itu gaya pegas tidak cukup untuk mengatasi gaya gesekan statik,

yang biasanya lebih besar dari gaya gesekan kinetik.

Gambar 3.12 Getaran bebas dengan redaman Coloumb

x

4Fd/k

t Δ

x1 x2

x-1

91

3.5 Resume

Pada getaran bebas yang teredam, akan terjadi penyerapan energi

sehingga terjadi pengurangan getaran yang disebut sebagai pengurangan

logaritmik (logarithmic decreament). Redaman bisa terjadi karena

kekentalan, gesekan antara dua permukaan kering (redaman Coloumb) dan

lain-lain.

92

93

BAB IV GETARAN YANG TEREKSITASI SECARA HARMONIK

Bila sebuah sistem dipengaruhi oleh eksitasi paksa dinamakan

getaran yang tereksitasi. Dalam masalah ini, sistem terkena gaya luar

sehingga respon dinamik menjadi lebih kompleks. Dilihat dari jenis gaya

luar ada gaya statik dan gaya dinamik. Di sini kita hanya membahas gaya

luar dinamik dan harmonik. Respon getarannya akan berlangsung pada

frekuensi yang sama dengan frekuensi perangsangnya. Sumber-sumber

eksitasi harmonik adalah ketidaksetimbangan pada mesin-mesin yang

berputar, gaya-gaya yang dihasilkan mesin torak (reciprocating machines),

atau gerak mesin itu sendiri. Eksitasi ini mungkin tidak diinginkan oleh

mesin karena dapat mengganggu operasinya atau mengganggu keamanan

struktur mesin itu bila terjadi amplitudo getaran yang besar. Dalam banyak

hal resonansi harus dihindari dan untuk mencegah berkembangnya

amplitudo yang besar maka sering kali digunakan peredam (dampers) dan

penyerap (absorbers). Pembahasan sifat peredam dan penyerap adalah

penting demi penggunaannya yang tepat.

4.1 Sistem tanpa Redaman dengan Gaya Eksitasi Harmonik

Eksitasi harmonik sering dihadapi dalam sistem rekayasa. Eksitasi

ini biasanya dihasilkan oleh ketidaksetimbangan pada mesin-mesin yang

berputar. Walaupun eksitasi harmonik murni lebih jarang terjadi dibanding

eksitasi periodik atau eksitasi jenis lain, namun mempelajari sifat sistem

yang mengalami eksitasi harmonik adalah penting agar dapat mengerti

jenis eksitasi yang lebih umum. Eksitasi harmonik dapat berbentuk gaya

atau simpangan beberapa titik dalam sistem. Sistem getaran tanpa redaman

dengan gaya eksitasi harmonik bisa dilihat pada Gambar 4.1.

94

Gambar 4.1 Sistem tanpa redaman dengan eksitasi harmonik

Dari diagram benda bebas diperoleh persamaan diferensial gerakannya

kx = F0 sinΩt (4.1)

Persamaan ini biasa disebut getaran harmonik paksa, dan F(t) = F0 sin ωt

disebut fungsi gaya harmonik (harmonic forcing function). Persamaan

(4.1) merupakan persamaan diferensial linier non-homogen yang solusi

umumnya adalah jumlah solusi homogen dan solusi partikulir (khusus).

Contoh persamaan diferensial linier order-n sebagai berikut.

( ) ( )

( ) ( ) (4.2)

Solusi umumnya adalah

m

k

k x

m

x

F0 sin Ωt

95

y = y hom + ypart (4.3)

yhom didapat dengan memisalkan q(x) = 0

ypart ditentukan untuk q(x) ≠ 0

Untuk kasus pada persamaan (4.1) penyelesaian homogennya xhom = 0,

sehingga

+ kx= 0 (4.4)

Penyelesaiannya seperti pada persamaan (2.2) yaitu

xhom= A1 cosωnt + A2 sin ωnt (4.5)

Solusinya partikulir persamaan (4.1) diperoleh dengan asumsi x adalah

proposional dengan sin Ωt, sehingga

xpart = A3 sin Ωt (4.6)

Substitusi xpart dan part ke persamaan (4.1) didapatkan

-mΩ2 A3 sinΩt + kA3 sinΩt = F0 sinΩt

(-mΩ2 + k)A3 = F0

A3 =

=

( )

A3=

(

)

(4.7)

jadi

96

(

)

(4.8)

Solusi umum persamaan (4.1) adalah

(

)

(4.9)

Gambar 4.2 Solusi homogen, partikulir dan umum untuk kasus

underdamped

xh(t)

xp(t)

x(t) = xh(t) + xp(t)

O

O

O

t

t

t

τ

τ

τ

97

Dari persamaan (4.9) terlihat bahwa respon x merupakan gabungan

antara respon getaran bebas dan respon yang tergantung pada gaya

pengganggu. Jika kita tertarik untuk menganalisa respon yang tergantung

pada gaya pengganggu saja (xpart), maka disebut keadaan tunak dari

getaran paksa (Steady state forced vibration). Jika kita tertarik untuk

menganalisa respon keseluruhan, maka disebut keadaan transien (transient

state). Analisa mana yang kita pilih tergantung dari jenis gaya eksitasi.

Untuk F(t) periodik menggunakan analisa keadaan tunak, tetapi untuk F(t)

non-periodik menggunakan analisa keadaan transien. Variasi keadaan

homogen, partikulir dan solusi umum fungsi waktu untuk tipe tertentu bisa

dilihat pada Gambar 4.2. Di sini terlihat bahwa xh(t) akan berhenti dan

berganti x(t) setelah melewati waktu tertentu (τ).

4.1.1 Steady state forced vibration

Di sini kita analisis penyelesaian partikulir (xpart) saja dalam hal ini

terdapat pada persamaan (4.8).

(

)

faktor F0/k sin Ωt adalah defleksi akibat gaya F0 sin Ωt yang terjadi jika

gaya bekerja secara statik. Faktor

dihitung untuk gaya F0 sin Ωt yang

bekerja secara dinamik. Persamaan (4.8) dapat ditulis

( )

(

)

(4.10)

di mana xst = F0/k merupakan perpindahan statik karena gaya konstan F0.

Harga absolut faktor

disebut faktor pembesaran (magnification

factor).

98

|

| (4.11)

di mana: β = faktor pembesaran (tergantung dari perbandingan frekuensi

Ω/ωn)

Ω = frekuensi gaya pengganggu

ω = frekuensi natural dari sistem getaran bebas

Dilihat dari harga-harga Ω dan ωn maka bisa dibedakan dalam beberapa

kasus, antara lain

Kasus 1: bila harga Ω ωn, maka harga β ≈ 1 dan defleksi seperti pada

kasus dari gaya F0 sin Ω statik.

Kasus 2: bila harga Ω < maka harga β > 1 dan getaran dikatakan ada

dalam fase dengan eksitasi. Perpindahan memiliki arah yang sama dengan

arah gaya pengganggu. Untuk Ω mendekati , faktor pembesaran dan

amplitudo getaran paksa bertambah secara cepat.

Kasus 3: bila harga Ω = , maka harga β = dan merupakan kondisi

resonansi, sehingga amplitudo getaran menjadi tak terhingga.

Kasus 4: bila harga Ω > , maka harga β menurun menuju nol, respon

dikatakan keluar dari fase, perpindahan massa berlawanan arah dengan

gaya. Untuk Ω >> , maka amplitudo getaran sangat kecil dan dalam

banyak kasus sistem dipertimbangkan kembali seperti stasioner.

Dari keempat kasus di atas maka kita bisa menggambarkan secara

lebih jelas seperti Gambar 4.3.

99

Gambar 4.3 Hubungan pembesaran dengan perbandingan frekuensi gaya

pengganggu dan frekuensi diri

Contoh soal 4.1

Suatu sistem pegas-massa seperti pada Gambar 4.4. Misalkan ujung atas

pegas dikenakan sebuah gerak harmonik sederhana = sin Ω dalam

arah vertikal. Tentukan persamaan matematika untuk keadaan tunak.

Jawab:

Gambar 4.4 Sistem pegas dan masa dengan gaya eksistasi

1

1 2 3

2

3

β

Ω/ωn

W

k

x

xg,

100

Jika kita ukur perpindahan x pada berat W dari posisi

kesetimbangan pada = 0, perpanjangan dari pegas pada saat t adalah x-

+ , dan gaya dalam pegas yang sesuai adalah k (x ) + W. Jadi

persamaan gerak benda menjadi

=W - [ ( )] (E.1)

+ kx = k (E.2)

+kx =kd (E.3)

Jadi persamaan gerak menjadi

+ kx = q (E.4)

di mana q=k d

Persamaan (E.4) secara matematika sama seperti persamaan (4.1) yang

mana solusi keadaan tunak (steady state) adalah

x = (

)

(

)

(E.5)

karena q = k d, maka

x = (d sinΩt )

(

)

(E.6)

Contoh soal 4.2. Sebuah roda berputar sepanjang permukaan dengan

kecepatan horizontal konstan sebesar v seperti Gambar 4.5 .Tentukan

amplitudo getaran paksa vertikal dari berat W yang digabungkan ke sumbu

101

roda dengan sebuah pegas. Asumsikan bahwa defleksi statik dari pegas

karena aksi dari berat W adalah = 3.86 in, v = 60 ft/s, dan permukaan

didefinisikan oleh persamaan

, di mana d = 1 in dan l = 36 in.

Jawab :

=

=

= 100 rad/

= 10 rad/s

Bila v = konstan maka x = v t

y = d sin

Gambar 4.5 Roda berputar di atas permukaan yang bergelombang

W

v

d

l

x

y

102

Getaran paksa pada beban W terjadi seperti kasus pada contoh 4.1,

sehingga didapat

x = (d sin ) (

) di mana d =1 in

Ω =

=

=

Jadi amplitudo getaran paksa =

= 0.026 in

4.1.2 Transient State Force Vibrations

Kita perhatikan persamaan (4.12) yang merupakan respon

keseluruan dari sistem.

x =

x = t + sin t +

(

)

in (4.12)

Kenyataannya x merupakan superposisi dari dua buah gerak

harmonik yang memiliki amplitudo dan frekuensi berbeda, yang

menghasilkan gerakan yang sangat kompleks. Namun demikian kita bisa

mendekati kasus ini dengan keadaan tunak, hanya saja kita harus hati-hati

dalam menentukan periodenya lihat Gambar 4.6. Untuk kondisi awal t = 0

maka x(t) = dan (t) = didapat

dan =

-

( )

(4.13)

Sehingga didapat

103

x = cos t +

sin t +

( )

*

+ (4.14)

Jika = = 0, persamaan (4.14 ) menjadi

x =

( )

*

+ (4.15)

Gambar 4.6 Gerakan kompleks yang didekati dengan keadaan tunak

Persamaan 4.15 menunjukkan respon untuk fungsi gaya F0 sin Ωt,

dan terdiri dari dua bagian. Bagian pertama adalah respon keadaan tunak

proposional dengan sin Ωt, sedangkan bagian kedua adalah getaran bebas

proposional dengan sin ωnt. Jumlahnya bukan merupakan gerak harmonik.

Sekarang kita tinjau persamaan (4.15) untuk kasus Ω ≈ n. Kita gunakan

notasi

x

ω t

2πω /

π

104

(4.16)

Persamaan (4.15) kita tulis dalam bentuk

( )( ) (4.17)

Persamaan (4.16) dapat ditulis dalam bentuk

x =

( )

*

( )

( )+ (4.18)

Kita kembangkan identitas trigonometri dan digunakan notasi pada

persamaan (4.16), sehingga didapat

x = -

*

( )

( )+ (4.19)

( ) (4.20)

Dalam bentuk sudut fase persamaan (4.20) dapat ditulis

x = -

Acos ( ) (4.21)

Di mana

A =

√( )

= arc tan ⌈

⌉

Bila persamaan (4.20) digambar akan dihasilkan seperti pada

Gambar 4.7. Jadi bilamana Ω = n, amplitudo getaran bertambah secara

105

tak terhingga sesuai dengan waktu. Pada Gambar 4.7 terlihat bahwa secara

teori sistem mencapai amplitudo tak terhingga pada saat resonansi, tetapi

untuk mencapai hal tersebut membutuhkan waktu tak terhingga. Jadi

dalam kasus sebuah mesin apabila didesain beroperasi di atas resonansi,

tidak terlalu sulit bila dicoba melewati kondisi resonansi tersebut asalkan

kondisi ini dibuat dengan cepat. Namun demikian percobaan menunjukkan

bahwa jika suatu sistem bergetar diperbolehkan mencapai keadaan tunak

sebelum resonansi, selanjutnya menjadi sulit mempercepat mesin melewati

kondisi resonansi tersebut. Daya tambahan diperlukan untuk keperluan ini

dengan menambah amplitudo getaran dari pada kecepatan mesin. Contoh

dalam kasus ini adalah pergantian gigi pada sepeda motor atau mobil.

Gambar 4.7 Getaran resonansi ( )

4.2 Sistem Getaran Teredam dengan Gaya Eksitasi Harmonik

Jika fungsi gaya eksitasi diberikan oleh F( ) = F sin

Ωt, maka persamaan getarannya menjadi

t

(ω ω ω )

106

( )

Solusi partikulir pada persamaan ( ) juga merupakan persamaan

harmonik, kita asumsikan dalam bentuk

( ) ( ) ( )

di mana X dan ϕ adalah amplitudo dan sudut fase dari respon yang bisa

dihitung. Dengan memasukkan persamaan ( ) ke persamaan ( )

diperoleh

[( ) ( ) ( )] ( )

Dalam persamaan trigonometri ada hubungan

( )

( ) (4.25)

Persamaan (4.25) dimasukkan ke dalam persamaan (4.24) dan dengan

menyamakan koefisien cos Ωt dan sin Ωt pada kedua sisi, diperoleh

X [( ) ]

X[( ) ] (4.26)

Solusi persamaan ( )

X =

[( ) ] (4.27)

dan

*

+ (4.28)

107

Bila kita masukan persamaan (4.27) dan (4.28) ke persamaan

(4.23) akan diperoleh persamaan solusi partikul, yaitu

(t)=

[( ) ] cos( (

)) (4.29)

Solusi partikulir di atas bisa digambarkan bersama-sama dengan

gaya eksitasi seperti pada Gambar 4.8.

Gambar 4.8 Solusi partikulir dan gaya eksitasi

4.3 Resume

Getaran tereksitasi akan terjadi gaya paksa pada sistem yang

bergetar. Analisis getaran ini harus diselesaikan dengan penyelesaian

homogen dan partikulir. Bila kita tertarik untuk menganalisis respon yang

F(t), Xp(t)

O t

2

2

F(t)

Xp(t)

108

tergantung pada gaya pengganggu saja, maka disebut keadaan tunak dari

getaran paksa (steady state forced vibration). Jika kita tertarik untuk

menganalisis keseluruhan, maka disebut keadaan transien (transient state).

Analisis yang kita pilih tergantung jenis gaya eksitasi.

109

SOAL-SOAL

BAB I

1.1 Suatu gerak harmonik mempunyai frekuensi 10 hz dan kecepatan

maksimal 4.57 m/s. Tentukan amplitudo, perioda dan percepatan

maksimumnya.

1.2 Motor bolak-balik dengan pondasi terlihat seperti pada Gambar S.1.

Gaya dan momen bekerja saat motor dijalankan. Gaya dan momen

tersebut diterima oleh frame dan pondasi. Elastis pad ditempatkan di

antara motor dan pondasi mereduksi getaran transmisi. Buat modal

matematika untuk menyelesaikan persoalan getaran.

Gambar S.1 Motor bolak-balik pada pondasi

1.3 Tentukan konstanta kekuatan pegas torsional ekivalen dari sistem

seperti terlihat pada Gambar S.2. Diasumsukan k1, k2, k3 dan k4 adalah

kekuatan torsional sedangkan k5 dan k6 adalah kekakuan linier.

110

Gambar S.2

1.4 Suatu mesin dengan massa m = 500 kg berada di atas beam baja yang

mempunyai panjang l = 2 m. Beam mempunyai penampang empat

persegi panjang dengan lebar = 1,2 m dan tebal 0,1 m serta modulus

Young E = 2,06 x N/ . Untuk mengurangi defleksi vertikal

diberikan pegas yang menyentuh bagian bawah tengah dari beam,

seperti terlihat pada Gambar S.3. Hitung harga konstanta k pegas

untuk mengurangi defleksi beam sampai 1/3 bila tanpa pegas.

Asumsikan massa beam diabaikan.

Gambar S.3

θ

k1

k2

k3

k4

k5 k6

m

k

111

1.5 Hitung konstanta redaman ekivalen menurut kasus:

Bila ketiga pegas disusun secara paralel

Bila ketiga pegas disusun secara seri

Bila ketiga pegas menempel pada batang seperti terlihat pada

Gambar S.4 dan redaman ekivalen berada pada c .

Gambar S.4

l3

l2

l1

c3 c2 c1

3 2 1 pivot

112

BAB II

2.1 Suatu massa 0.453 kg digantungkan pada suatu pegas dan

menyebabkan perpanjangan 7.87 mm. Tentukan frekuensi natural

sistem ini.

2.2 Suatu sistem pegas-massa dengan konstanta pegas k dan massa m

mempunyai frekuensi natural f . Jika pegas konstanta k dihubungkan

secara seri dengan pegas pertama, frekuensi naturalnya akan turun

menjadi 1/2f . Nyatakan k dalam k .

2.3 Suatu massa 4.53 kg diletakkan pada ujung bawah suatu pegas,

sedangkan pada ujung atasnya tetap. Sistem ini bergetar dengan

periode natural 0.45 sekon. Tentukan periode natural jika massa 2.26

kg dilekatkan di tengah-tengah pegas yang sama sedangkan ujung-

ujung atas dan bawahnya tetap.

2.4 Suatu massa m kg yang dilekatkan pada ujung suatu pegas dengan

konstanta pegas k memberikan frekuensi natural 94 cpm. Jika massa

0.453 kg ditambahkan pada m, frekuensi naturalnya turun menjadi

76.7 cpm. Tentukan massa m dan konstanta pegas k dalam N/m.

2.5 Hitung frekuensi natural untuk sistem getaran massa-pegas pada

papan yang miring seperti pada Gambar S.5.

Gambar S.5

m

k1

k2

θ

113

2.6 Benda dengan berat W ditahan oleh tiga puli dan sebuah pegas yang

mempunyai kekakuan k, seperti terlihat pada Gambar S.6. Gesekan

dan massa puli diabaikan. Tentukan frekuensi natural benda pada

simpangan yang kecil.

Gambar S.6

2.7 Skema diagram dari governor sentrifugal terlihat seperti pada

Gambar S.7. Panjang setiap tali adalah l dan massa setiap bola adalah

m serta panjang bebas pegas adalah h. Jika kecepatan poros adalah ω,

tentukan posisi kesetimbangan dan frekuensi natural pada simpangan

kecil.

W

k

114

Gambar S.7.

115

BAB III

3.1 Sistem spring-mass-damper, m = 50 kg dan k = 5000 N/m. Carilah a)

Konstanta redaman kritis b) Frekuensi natural teredam c)

Pengurangan logaritmik.

3.2 Pendulum torsional mempunyai frekuensi natural 200 siklus/menit

ketika digetarkan pada daerah vakum. Momen inersia massa disc

adalah 0,2 kg m . Jika digetarkan pada oli, frekuensi natural menjadi

180 siklus/menit. Tentukan konstanta redaman, jika disc pada oli

diberikan simpangan awal 2⁰.

3.3 Bodi bergetar dengan redaman viskos terjadi 5 osilasi per sekon dan

pada 50 siklus amplitudo menurun 10 persen. Tentukan pengurangan

logaritmik dan rasio redaman.

3.4 Siklus redaman viskos mempunyai kekakuan 5000 N/m, konstanta

redaman kritis 0.2 N s/mm dan pengurangan logaritmik 2. Jika sistem

diberi kecepatan awal 1 m/s. Hitunglah simpangan maksimum pada

sistem.

3.5 Sistem seperti terlihat pada Gambar S.8, mempunyai frekuensi natural

5 Hz. Data sistem m = 10 kg, J = 5 kg m², r = 10 cm, r = 25 cm.

Ketika sistem diberi gangguan dengan simpangan awal, amplitudo

getaran bebas berkurang 80% pada siklus ke-10. Tentukan harga k

dan c.

3.6 Massa 20 kg bergetar sliding 4 kali pada permukaan kasar karena aksi

dari pegas yang mempunyai kekakuan 10 N/mm. Setelah 4 siklus,

amplitudonya menjadi 100 mm. Tentukan koefisien gesekan rata-rata

antara dua permukaan jika amplitudo awal 150 mm. Tentukan juga

waktu yang diperlukan untuk 4 siklus.

116

Gambar S.8.

m

k

x(t)

r2 r1

O

c

117

BAB IV

4.1 Sistem pegas – massa 100 N dan pegas dengan kekakuan 2000 N/m.

Massa diberi gaya paksa F(t) = 25 cos t N. Tentukan amplitudo

getaran paksa pada a) 0.25 siklus b) 2.5 siklus dan c) 5.75 siklus.

4.2 Sebuah massa digantungkan pada pegas dengan kekakuan 4000 N/m

dan dikenai gaya harmonik dengan amplitudo 100 N dan frekwensi 5

Hz. Amplitudo getaran paksa massa adalah 20 mm. Tentukan harga

m.

4.3 Sistem massa pegas dengan massa m = 10 kg dan k = 5000 N/m

diberikan gaya harmonik dengan amplitudo 250 N dan frekuensi .

Jika amplitudo maksimum massa adalah 100 mm. Hitung harga .

4.4 Pada Gambar S.9 diberikan gaya periodik F(t) = F0 cos t. Tentukan

steady state response dari massa m.

Gambar S.9.

m

k

x

c

118

119

DAFTAR PUSTAKA

1. Meirovitch, L. (1995), Elements of Vibration Analysis, McGraw-Hill

Kogakusha, Ltd, Tokyo.

2. Morse, M. (1984), Vibration and Sound, McGraw Hill Book

Company, Inc, New York.

3. Rao. S., S. (1995), Mechanical Vibration, Eddison-Wesley Publishing

Company.

4. Thompson, W.T., (1981), Theory of Vibration with Application,

NewYork-Prentice Hall, New York.

120

121

TENTANG PENULIS

Dr. Eng. Didik Nurhadiyanto, ST., MT. lahir di

Boyolali 4 Juni 1971. Setelah menamatkan

pendidikan strata satu di Jurusan Teknik Mesin

Undip pada tahun 1996 kemudian bekerja di

Jurusan Pendidikan Teknik Mesin FPTK IKIP

Yogyakarta sekarang menjadi Jurusan Pendidikan

Teknik Mesin FT Universitas Negeri Yogyakarta

sampai saat ini. Pada tahun 1998 melanjutkan

pendidikan magister di Jurusan Teknik Mesin ITS

lulus pada tahun 2001. Pada tahun 2011 melanjutkan pendidikan doktoral

di Yamaguchi University Jepang lulus pada tahun 2014. Penulis aktif

dalam penelitian di bidang Teknik Mesin. Di samping itu penulis banyak

menulis di jurnal, baik nasional maupun internasional. Beberapa kali

penulis juga mengikuti seminar nasional dan internasional sebagai

pemakalah.