GERAK HARMONIS SEDERHANA

1. 2. Gerak Harmonis Sederhana pada Ayunan

Ketika beban digantungkan pada ayunan dan tidak diberikan gaya maka benda akan diam di titik kesetimbangan B. Jika beban ditarik ke titik A dan dilepaskan, maka beban akan bergerak ke B, C, lalu kembali lagi ke A. Urutannya adalah A-B-C-B-A. Seandainya benda dilepaskan dari titik C maka urutan gerakannya adalah C-B-A-B-C. Gerak dari A-B-C-B-A atau C-B-A-B-C disebut satu getaran.Getaran yang terjadi berulang secara periodic melalui titik kesetimbangan disebut gerak harmonik sederhana.

Gambar 1

a. Besaran fisika pada Gerak Harmonik Sederhana pada ayunan sederhana

Ampltudo (A)Amplitudo adalah perpindahan maksimum dari titik kesetimbangan. Pada contoh ayunan sederhana sesuai dengan gambar di atas, amplitudo getaran adalah jarak AB atau BC.

Waktu yang digunakan untuk melakukan satu kali getaran disebut periode (T). Jumlah getaran sempurna yang dilakukan tiap satuan waktu (sekon) disebut frekuensi (f) dan dinyatakan dengan satuan hertz (Hz) atau cycles per second (cps). Jika banyaknya getaran adalah n setelah getaran selama t sekon, maka dapat dirumuskan:

b. Hubungan antara Periode dan Frekuensi

T = periodef = frekuensiGaya Pemulih pada Bandul (Ayunan Sederhana) Persamaan gaya pemulih pada bandul sederhana adalah F = -mg sin . Untuk sudut kecil ( dalam satuan radian), maka sin = . Oleh karena itu persamaannya dapat ditulis

F = -mg

Periode dan frekuensi ayunan SederhanaGambar 2

g = percepatan gravitasi (m/s2)L = panjang tali (m)

LatihanSebuah ayunan sederhana dengan panjang tali 40 cm melakukan gerak harmonik sederhana. Jika g = 10 m/s, tentukanlah periode dan frekuensi ayunan tersebut.

3. Gerak Harmonik sederhana pada Pegas

Gambar 2

Perhatikan Gambar 3. Kedudukan a, c, dan e merupakan kedudukan setimbang. Kedudukan b dan f merupakan kedudukan terbawah sedangkan kedudukan d merupakan kedudukan tertinggi.

a. Gaya pemulih pada PegasUntuk memahami getaran harmonik, Anda dapat mengamati gerakan sebuah benda yang diletakkan pada lantai licin dan diikatkan pada sebuah pegas (Gambar 4). Anggap mula-mula benda berada pada posisi X = 0 sehingga pegas tidak tertekan atau teregang. Posisi seperti ini dinamakan posisi keseimbangan. Ketika benda ditekan ke kiri (X = ) pegas akan mendorong benda ke kanan, menuju posisi keseimbangan. Sebaliknya jika benda ditarik ke kanan, pegas akan menarik benda kembali ke arah posisi keseimbangan (X = +).

Gambar 3

Gaya yang dilakukan pegas untuk mengembalikan benda pada posisi keseimbangan disebut gaya pemulih. Besarnya gaya pemulih menurut Robert Hooke dirumuskan sebagai berikut.Gambar 4

Tanda minus menunjukkan bahwa gaya pemulih selalu berlawanan dengan simpangan.

Periode dan frekuensi ayunan Sederhana

m = massa beban (kg)k = konstanta pegas (N/m)

LatihanPada pegas digantung beban 100 gram, jika pegas bergetar dengan periode 0,5 sekon. Tentukan konstanta pegas tersebut.

4. Persamaan Getaran HarmonikPersamaan getaran harmonik diperoleh melalui analogi sebuah titik yang bergerak melingkar beraturan. Proyeksi titik tersebut pada diameter lingkaran adalah gerak harmonik sederhana

a. Simpangan Getaran HarmonikSimpangan pada getaran harmonik sederhana dapat dianggap sebagai proyeksi partikel yang bergerak melingkar beraturan pada diameter lingkaran. Gambar 5 melukiskan sebuah partikel yang bergerak melingkar beraturan dengan kecepatan sudut dan jari-jari A. Anggap mula-mula partikel berada di titik P. Perhatikan Gambar 5! Setelah selang waktu t partikel berada di titik Q dan sudut yang ditempuh adalah

Gambar 5

Proyeksi titik Q terhadap diameter lingkaran (sumbu y) adalah titik Q. y adalah simpangan gerak harmonik sederhana, maka Anda peroleh persamaan sebagai berikut.

Jika partikel mula-mula berada pada posisi sudut , maka persamaanya dapat dituliskan

A= a

Sudut Fase dan Fase Gerak Harmonik Sederhana

Sudut Fase adalah posisi sudut selama benda bergerak harmonis

Secara fisis, fase adalah kedudukan suatu benda dilihat dari arah getar dan simpangannya pada suatu saat tertentu. Secara matematis, pernyataan ini dituliskan

Gambar 4

Perhatikanlah Gambar 4. Titik A dan titik E serta titik B dan titik F dikatakan memiliki fase yang sama karena simpangannya sama dan arah getarnya sama. Syarat agar dua titik memiliki fase yang sama adalah: = n. 2 ; n = 0, 1, 2, ... atau

= n ; n = 0, 1, 2, ...

Titik A dan titik C, titik B dan titik D dikatakan berlawanan fase karena arah getarnya berlawanan. Syarat agar dua titik memiliki fase yang berlawanan adalah : = (2n + 1) ; n = 0, 1, 2, ... atau

= (2n + 1) ; n = 0, 1, 2, ...

b. Kecepatan Getaran HarmonikKecepatan benda yang bergerak harmonik sederhana dapat diperoleh dari turunan pertama persamaan simpangan.

Mengingat nilai maksimum dari fungsi cosinus adalah satu, maka kecepatan maksimum (vmaks) gerak harmonik sederhana adalah sebagai berikut.

c. Percepatan Getaran HarmonikPercepatan benda yang bergerak harmonik sederhana dapat diperoleh dari turunan pertama persamaan kecepatan atau turunan kedua persamaan simpangan.

Karena nilai maksimum dari simpangan adalah sama dengan amplitudonya (y = A), maka percepatan maksimumnya (amaks) gerak harmonik sederhana adalah sebagai berikut.

Energi Gerak HarmonisBenda yang melakukan gerak harmonik sederhana memiliki energi potensial dan energi kinetik. Jumlah energi potensial dan energi kinetik disebut energi mekanik.

Energi kinetikEnergi kinetik adalah energi yang dimiliki oleh benda yang melakukan gerak harmonik sederhana karena kecepatannya. Secara matematis dituliskan:

Energi potensialEnergi potensial adalah energi yang dimiliki gerak harmonik sederhana karena simpangannya. Secara matematis dituliskan:

Energi mekanik

Berdasarkan persamaan , ternyata energi mekanik suatu benda yang bergetar harmonik tidak tergantung waktu dan tempat. Jadi, energi mekanik sebuah benda yang bergetar harmonik dimanapun besarnya sama.Perhatikan Gambar 6 !

Gambar 6

Gambar 7

Soal dan Pembahasan1. Sebuah benda bergetar harmonik bermula dari titik setimbang dengan frekuensi 10 Hz dan mempunyai amplitodo 10 cm. Tentukan simpangan getarnya setelah bergerak selama 0,025 sekon!Diketahui : f = 10 HzA = 10 cmt = 0,025 sDitanyakan: y = ....?Jawab :y = A sin t= A sin 2 f t= 10 sin 2 x10 0,025= 10 sin ( 0,5 )= 10 1= 10 cmJadi, pada saat t = 0,025 s benda berada di puncak getaran karena y = A.

2. Sebuah benda bergetar harmonik bermula dari titik setimbang dengan frekuensi 10 Hz dan mempunyai amplitudo 10 cm. Tentukan kecepatan getarnya setelah bergetar selama 0,025 sekon!Diketahui : f = 10 HzA = 10 cmt = 0,025 sDitanyakan: vy = ...?Jawab :vy = 2 f A cos 2 ft = 2 10 10 cos (2 10 0,025) = 200 cos (0,5 ) = 200 0 = 0Jadi, pada saat ini kecepatan getarnya adalah 0 (nol). Hal ini menunjukkan benda berada di puncak di mana benda berhenti sesaat untuk bergerak kembali menuju titik setimbang.

3. Sebuah benda bergerak harmonik bermula dari titik setimbang dengan frekuensi 10 Hz dan mempunyai amplitudo 10 cm. Tentukan percepatan getarnya setelah bergetar selama 0,025 sekon!Diketahui : f = 10 HzA = 10 cmt = 0,025 sDitanyakan: ay = ....?Jawab :ay = -4 fAsin (2 ft) = -4 1010sin (2 10 0,025)= -4 10 10 sin (0,5 )= -4 10 cm/s= -4 101= -40 m/s

4. Sebuah pegas spiral dengan gaya pegas 400 N/m tergantung bebas. Pada bagian bawah pegas digantungi beban 1 kg dan digetarkan dengan amplitudo 10 cm. Tentukan frekuensi getaran, kecepatan getar saat t = 0,025 sekon, simpangan beban saat t = 0,025 sekon, percepatan getar saat t = 0,025 sekon, dan gaya getar saat t = 0,025 sekon!Diketahui : k = 400 N/m m = 1 kgA = 10 cm = 10-1mDitanyakan: a. f = ...?b. v = ? saat t = 0,025 sekonc. y = ? saat t = 0,025 sekond. a = ? saat t = 0,025 sekone. F = ? saat t = 0,025 sekon

Jawab :a.

b. v = vmaks cos ( t) dengan t = 0,025 sekon = A cos (t) = 2 f A cos (2t) = 2 10 10-1 cos (2 10 0,025) = 2 cos (0,5 ) = 2 0 = 0Jadi, pada saat t = 0,025 sekon. v = 0

c. y = ymaks sin (t) dengan t = 0,025 sekony = A sin (2 f t)= 10 sin (2 10 0,025)= 10 sin (0,5 )= 10 sin 90= 10 1 = 10 cmJadi, pada saat t = 0,025 sekon, simpangan benda y = 10 cmCatatan : pada saat ini benda berada di y = Ad. a = -amax sin ( t)= - ASin ( t)= -4 f2 Asin (2 f t)= -4 1020,1 sin(2 10 0,025)= -4 10 sin (0,5 )= -4 10 sin 90= -40 Jadi, saat t = 0,025 s percepatan getaran -40 m/.Catatan : nilai a negatif, berarti arah a ke bawah dan menuju titik setimbang. e. F = m a= 1 (-40 )= -40 Jadi, pada saat t = 0,025 sekon gaya getarnya F = -40 N.Catatan : bila F negatif, berarti arah gaya getar ke bawah dan menuju titik setimbang.

Benda yang massanya 400 g bergetar harmonik dengan amplitudo 5 cm dan frekuensi 100 Hz. Hitunglah energi kinetik, energi potensial, dan energi mekaniknya (energi total) saat simpangannya 2,5 cm!

Diketahui : m = 400 g = 0,4 kgA = 5 cm = 0,05 mf = 100 Hzy = 2,5 cmDitanyakan : a. Ek = ...?b. Ep = ...?c. Em = ...?Jawab:a. Energi kinetikY =Asinsin

Soal Latihan1. Sebuah pegas yang panjangnya 16 cm digantungkan vertikal. Kemudian, ujung bawahnya diberi beban 100 gram sehingga panjangnya bertambah 4 cm. Beban ditarik 3 cm ke bawah, kemudian dilepas hingga beban bergetar harmonik. Jika g = 10 m/s2,tentukan:a. tetapan pegas, danb. periode dan frekuensi getarannya.

2. Per sebuah mobil bergetar ke atas ke bawah dengan periode detik ketika ban mobil melewati suatu halangan. Massa mobil dan pengemudi adalah 300 kg. Jika pengemudi menaikkan beberapa temannya, sehingga massa mobil dan penumpang menjadi 600 kg, maka tentukan periode baru getaran per ketika melewati halangan tersebut!

3. Perhatikan gambar di samping! Beberapa pegas disusun secara seri dan paralel. Ujung pegas digantungi beban yang sama besar. Bila konstanta pegas k1 = k2 = k3 = k4 = k, maka hitunglah perbandingan periode susunan seri dan paralel!

4. Sebuah benda melakukan gerak harmonik sederhana dengan persamaan simpangan

y dalam meter dan t dalam sekon. Tentukan:a. amplitudo dan frekuensinya;b. simpangan, kecepatan, dan percepatan saat t =5. Sebuah benda melakukan gerak harmonik sederhana dengan amplitudo cm. Energi kinetik di titik setimbang 20 joule. Tentukan besar energi potensial benda pada saat kecepatannya setengah harga maksimumnya!

6. Sebuah benda dengan massa 1 kg bergetar harmonik dengan amplitudo 4 m dan frekuensinya 5 Hz. Hitunglah energi kinetik, energi potensial, dan energi mekaniknya pada saat simpangannya 2 m!