geseran ( translasi )

GESERAN ( TRANSLASI )

DALAM MEMBAHAS TRANSLASI DIPERLUKAN BEBERAPA SIFAT DAN PENGERTIAN VEKTOR

VEKTOR ADALAH BESARAN YANG MEMPUNYAI BESAR DAN ARAH

SECARA ALJABAR VEKTOR DINYATAKAN SEBAGAI <a,b>

PENGERTIAN GESERAN Suatu pemetaan S disebut geseran

/ translasi, apabila terdapat suatu ruas garis berarah AB sedemikian sehingga untuk setiap titik P dalam bidang V berlaku S(P)=Q dengan PQ = AB.

Selanjutnya geseran dengan vektor AB dinyatakan sebagai SAB.

BEBERAPA TEOREMA DALAM GESERAN SAB = SCD jika dan hanya jika AB = CD.

Misalkan tiga titik A,B dan C tidak segaris,

SAB = SCD jika dan hanya jika CABD berupa jajaran genjang.

• Geseran adalah suatu isometri.

• Geseran mempertahankan arah garis.

• Hasil kali dua geseran SAB dan SCD akan berupa suatu geseran SPQ dengan

• PQ = AB + CD.

RUMUS GESERAN DALAM BIDANG KOORDINAT

Misalkan diberikan titik-titik A(a,b) dan B(c,d) .

SAB ((x,y)) = (x+(c-a)), y+(d-b)) ATAU

Dalam notasi matriks

bd

ac

y

x

y

x

'

'

CONTOH TERAPAN PADA GEOMETRI TERKAIT DENGAN GESERAN

Diberikan dua lingkaran L1 dan L2 serta garis g. Lukis garis h//g yang memotong L1 di A dan B, serta L2 di C dan D sehingga |AB|=|CD|

Diberikan dua lingkaran L1 dan L2 masing-masing mempunyai persamaan

L1 (x+3)2+(y-3)2=9, L2 (x-8)2+y2=36 ,dan garis g x+y= -4.

Tentukan persamaan garis h yang sejajar g dan koordinat titik-titik A, B di L1 dan C,D di L2 sedemikian sehingga h memotong L1 di titik A dan B, serta memotong L2 di titik C dan D dengan syarat |AB|=|CD|.

.

.

L1

L2

g

METODE KILAS BALIK

Cara menyelesaikan masalah dengan cara menganalisis balik. Dimulai dari seakan-akan permasalahan sudah dapat diselesaikan.

Bertolak dari gambaran penyelesaian, disusun langkah balik sehingga diperoleh cara mendapatkan penyelesaian.

Masalah yang biasa menggunakan metode ini adalah masalah “melukis”.

BUAT lukisan SEAKAN

MASALAH TELAH TERSELESAIKAN

KEADAAN

AWAL

ANALISIS…….

LANGKAH BALIK

. 02

. 01

L1

L2

g

h

. 0’1

A

B

CD

ANALISIS…….

Andaikan garis h sudah terlukis seperti gambar.

Dengan menggesar L1 sedemikian sehingga A

berimpit dengan C dan B dengan D, terlihat bahwa

garis O1’O2 tegak lurus pada g. Maka dengan

meggeser L1 searah dengan g sedemikian sehingga

O1’O2 tegak lurus pada g, akan diperoleh titik C dan

D sebagai titik potong L1’ dengan L2. Maka CD

adalah garis h yang ditanyakan.

Langkah

1. Proyeksikan titik-titik pusat kedua lingkaran pada g misal hasil proyeksinya M1’ dan M2’

2. Geser L1 dengan vektor geser M1’M2’ diperoleh L1’

3. C, D perpotongan L1’ dan L2

4. Garis h adalah garis yang melalui C dan D

Misalkan lingkaran L dengan tali busur AB dan CD seperti pada gambar. Tentukan titik P pada L sehingga AP memotong CD di E dan PB di F dengan panjang diketahui (a) (|EF|=a )

.

CD

AB

L

a

a

L

C

D

A

B

D

BA

C

LP

EF

BUAT SEAKAN MASALAH TELAH TERSELESAIKAN

KEADAAN

AWAL

ANALISIS…….

LANGKAH BALIK

Misalkan lingkaran L dengan tali busur AB dan CD seperti pada gambar. Tentukan titik P pada L sehingga AP memotong CD di E dan PB di F dengan panjang diketahui

.

C

D

AB

L

a

C

D

AB

L

a

P

GAMBAR SEAKAN MASALAH TELAH TERSELESAIKAN

E

F

C

D

AB

L

a

P

A’

P’

C

D

AB

L

a

P

A’

P’

E

F

ANALISIS…….

Andaikan titik P telah didapat , maka dengan

menggeser AP dengan EF diperoleh A’P’ = SEF(AP).

Meskipun kenyataanya A’P’ belum dapat dilukis,

tetapi A’ dapat dilukis dan diketahui pula bahwa

A’P’ akan melalui F. Dalam segitiga A’BF yang dapat

diketahui A’B dan m(<A’FB) = m(<APB). Maka dapat

dicari tempat kedudukan titik F yang berupa

lingkaran yang melalui A’ dan B dan mempunyai

sudut keliling sama dengan sudut keliling AB. Titik

potong lingkaran tersebut dengan CD adalah titik F

yang dicari.

Langkah-langkah melukis

1. Transformasikan A dengan vektor geser sejajar CD sebesar panjang yang diketahui( diperoleh A’)

2. Buat lingkaran melalui A’ dan B dengan sudut keliling sama dengan sudut keliling lingkaran L terhadap A dan B ( misal lingkaran ini adalah L1)

3. Diperoleh F, titik potong CD dengan L1

4. P merupakan titik potong FB dengan lingkaran

5. E merupakan titik potong CD dengan AP

TENTUKAN JARAK TERDEKAT DARI A KE B DENGAN MENGANGGAP DUA GARIS SEJAJAR INI SEBAGAI ‘SUNGAI’

.A

.B


.A

.BA’

C

D

.A


.B

Diberikan dua titik A=(-8,10) dan B=(1,-11) serta dua garis s: 2x-y = 3, t: y=2x-2. Tentukan jarak terpendek dari A dan B, dengang syarat jalur yang memotong kedua garis s dan t harus tegak lurus terhadap garis-garis tersebut.

Dapatkah ditemukan titik P pada lingkaran L dengan persamaan x2+y2=36, sedemikian sehingga AP memotong CD di E dan PB memotong CD di F, jika |EF| = 2 , D=(6,0),

C=(-5,), A=(-4, ) dan B= (5, ).

4. Dapatkah ditemukan titik P pada lingkaran L dengan persamaan x2+y2=36,

sedemikian sehingga AP memotong CD di E dan PB memotong CD di F, jika

|EF| = 2 , D=(6,0), C=(-5, 11 ), A=(-4, 20 ) dan B= (5, 11 ).

. A

. B


JARAK TERPENDEK DUA TITIK DIPEROLEH DENGAN MEMBUAT RUAS GARIS YANG MENGHUBUNGKAN DUA GARIS TERSEBUT

Jarak yang pasti ditempuh adalah jarak yang terkait dengan panjang jembatan/jarak antara tepi dua sungai

. A

. B


A” A’

. A

. B

1. Geser A dengan vektor geser tegak lurus arah garis dengan panjang sebesar jarak dua garis (diperoleh A’)

2. Tarik garis A’B, akan memotong garis yang terdekat dengan B di P

3. Q adalah titik pada garis yang lain hasil perpotongan garis yang memalui P tegak lurus garis tersebut

4. Jalur tependek AQPB

Langkah Melukis

Tentukan jarak terpendek dari titik A dan B .

A .

. B

geseran ( translasi )

Documents