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GELE5222 Chapitre 4 :Circuits resonants

Gabriel Cormier, Ph.D., ing.

Universite de Moncton

Hiver 2012

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 1 / 48

Introduction

Contenu

Contenu :

Circuits resonants serie et parallele

Resonateurs a ligne de transmission

Resonateur en guide rectangulaire

Cavite cylindrique

Couplage des resonateurs


Introduction

Introduction

Applications :

Oscillateurs

Amplificateurs a resonance

Filtres

Frequence-metres


Circuits resonants RLC Circuit resonant serie

Circuit resonant serie

R L

C

−

+

V I

Zin

Zin = R+ jωL− j 1

ωC

Pin =1

2VI∗ =

1

2|I|2

(R+ jωL− j 1

ωC

)




Puissance dissipee par la resistance :

Ppertes =1

2R|I|2

Energie magnetique emmagasinee dans l’inductance :

Wm =1

4L|I|2

Energie electrique emmagasinee dans la capacitance :

We =1

4C|Vc|2 =

1

4

1

ω2C|I|2

ou Vc est la tension aux bornes du condensateur.




L’equation de la puissance complexe peut alors etre re-ecrite :

Pin = Ppertes + 2jω(Wm −We)

et l’impedance d’entree devient :

Zin =2Pin|I|2

=Ppertes + 2jω(Wm −We)

12 |I|2



Resonance

La resonance a lieu lorsque Wm = We, ce qui donne

Zin =Ppertes12 |I|2

= R

ce qui est purement reel. La frequence a la resonance est :

ω0 =1√LC



Facteur de qualite

Facteur de qualite Q :

Q = ωEnergie moyenne emmagasinee

Energie perdue / seconde

= ωWm +We

Ppertes

Pour le circuit serie, le facteur de qualite donne :

Q = ω02Wm

Ppertes=ω0L

R=

1

ω0RC

→ Q augmente si R diminue.



Perturbation

Comportement pres de la resonance : ω = ω0 + ∆ω, ou ∆ω est petit.

Zin = R+ jωL

(ω2 − ω2

0

ω2

)puisque ω2

0 = 1/LC. Alors,

ω2 − ω20 = (ω − ω0)(ω + ω0) = ∆ω(2ω −∆ω) ≈ 2ω∆ω

si ∆ω est petit. L’impedance d’entree devient :

Zin ≈ R+ j2L∆ω ≈ R+ j2RQ∆ω

ω0



Resonateur avec pertes

Utiliser une frequence de resonance complexe :

ω0 ← ω0

(1 +

j

2Q

)Technique utile :

Pertes generalement faibles dans les resonateurs

Calculer Q par la methode de perturbations

Ajouter les pertes avec une frequence complexe



Largeur de bande

ωω0

|Zin(ω)|

R

R

0.707

0 1

BW

1−∆ω

ω01 +

∆ω

ω0

BW =2∆ω

ω0=

1

Q


Circuits resonants RLC Circuit resonant parallele

Circuit resonant parallele

CR L

−

+

V

I

Zin

Zin =

(1

R+

1

jωL+ jωC

)−1Puissance complexe fournie au resonateur :

Pin =1

2VI∗ =

1

2|V|2

(1

R+

j

ωL− jωC

)Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 12 / 48



La resonance a lieu lorsque Wm = We, ce qui donne : Zin = RLa frequence de resonance est la meme,

ω0 =1√LC

Le facteur de qualite, pour le cas parallele, est :

Q = ω02Wm

Ppertes=

R

ω0L= ω0RC

Dans ce cas-ci, le facteur de qualite augmente si la resistance augmente.




Avec ω = ω0 + ∆ω,

Zin ≈R

1 + 2j∆ωRC=

R

1 + 2jQ∆ω/ω0

en utilisant le fait que ω20 = 1/LC. Lorsque R =∞, l’equation devient

Zin =1

j2C(ω − ω0)




ωω0

|Zin(ω)|R

0.707R

0 1

BW

1−∆ω

ω01 +

∆ω

ω0

BW =2∆ω

ω0=

1

Q


Circuits resonants RLC Charge externe

Q avec charge externe

Le facteur de qualite du resonateur diminue lorsqu’on le branche a uncircuit externe :

Qe =

ω0L

RLcircuit serie

RL

ω0Lcircuit parallele

Circuitresonant

QRL

Qe

1

QL=

1

Qe+

1

Q


Resonateurs a ligne de transmission Ligne λ/2 court-circuitee

Ligne λ/2 court-circuitee

l

Z0, β, α

Zin

l = λ/2 a ω0

A une frequence ω = ω0, la longueur de la ligne est l = λ/2.L’impedance d’entree est :

Zin = Z0 tanh[(α+ jβ)l]

qu’on peut transformer, a l’aide d’identite trigonometrique, a :

Zin = Z0tanh(αl) + j tan(βl)

1 + j tan(βl) tanh(αl)




Faibles pertes : αl 1 : tanh(αl) ≈ αlAussi : ω = ω0 + ∆ω

βl =ωl

vp=ω0l

vp+

∆ωl

vp= π +

∆ωπ

ω0

et donc

tan(βl) = tan

(π +

∆ωπ

ω0

)= tan

(∆ωπ

ω0

)≈ ∆ωπ

ω0




On combine ces resultats pour obtenir :

Zin ≈ Z0αl + j(∆ωπ/ω0)

1 + j(∆ωπ/ω0)αl≈ Z0

(αl + j

∆ωπ

ω0

)→ se comporte comme un resonateur RLC serie :

R = Z0αl L =Z0π

2ω0C =

1

ω20L

Rappel : RLC serie

Zin ≈ R+ j2RQ∆ω

ω0



Resonance

A la resonance, ∆ω = 0Zin = R = Z0αl.Le facteur de qualite pour ce resonateur est :

Q =ω0L

R=

π

2αl=

β

2α


Resonateurs a ligne de transmission Ligne λ/2 ouverte

Ligne λ/2 ouverte

l

Z0, β, α

Zin

l = λ/2 a ω0

Se comporte comme un circuit RLC parallele


Resonateurs a ligne de transmission Ligne λ/2 ouverte

Impedance

L’impedance d’entree :

Zin =Z0

αl + jπ∆ω/2ω0

→ se comporte comme un resonateur RLC parallele :

R = Z0αl L =1

ω20C

C =π

2ω0Z0

Facteur de qualite :

Q = ω0RC =π

2αl=

β

2α




l

Z0, β, α

Zin

l = λ/4 a ω0

Se comporte comme un circuit RLC parallele



Impedance

L’impedance d’entree :

Zin =Z0

αl + jπ∆ω/2ω0

→ se comporte comme un resonateur RLC parallele :

R = Z0αl L =1

ω20C

C =π

4ω0Z0

Facteur de qualite :

Q = ω0RC =π

4αl=

β

2α




Guide rectangulaire termine par des court-circuits aux extremites

x

y

z

0a

b

d




On solutionne les equations des champs electriques et magnetiques

La resonance a lieu a des frequences discretes (si sans pertes)

Les frequences de coupure :

fmnl =ckmnl

2π√µrεr

=c

2π√µrεr

√(mπa

)2+(nπb

)2+

(lπ

d

)2

Mode dominant TE : TE101 (b < a < d)

Mode dominant TM : TM110 (b < a < d)



Modes resonants

TE :

m = 0, 1, 2, · · ·n = 0, 1, 2, · · ·l = 1, 2, 3, · · ·

Premiers modes : TE101, TE011

On ne peut pas avoir m = n = 0

TM :

m = 1, 2, 3, · · ·n = 1, 2, 3, · · ·l = 0, 1, 2, · · ·

Premiers modes : TM110, TM010



Facteur de qualite du mode TE10l

Q =2ω0We

Pl

ou

We =1

4ε

∫∫∫EyE

∗ydV

etPl = Pc + Pd

les pertes dues au conducteur et au dielectrique



Facteur de qualite du mode TE10l

Pertes du conducteur :

Qc =2ω0We

Pc=

(kad)3bη

2π2Rs

1

2l2a3b+ 2bd3 + l2a3d+ ad3

Pertes du dielectrique :

Qd =2ωWe

Pd=ε′

ε′′=

1

tan δ

Lorsque les deux types de pertes sont presentes, Q total est :

Q =

(1

Qc+

1

Qd

)−1


Cavite cylindrique

Cavite cylindrique

Guide circulaire terminee par 2 court-circuits :

x

z

a

dφ


Cavite cylindrique

Cavite cylindrique

La frequence de resonance du mode TEnml est

fmnl =c

2π√µrεr

√(p′nma

)2

+

(lπ

d

)2

et la frequence de resonance du mode TMnml est

fmnl =c

2π√µrεr

√(pnma

)2+

(lπ

d

)2

Mode dominant TE : TE111 ; Mode dominant TM : TM110


Cavite cylindrique

Cavite cylindrique : modes resonants

0 1 2 3 4 5 6 70

500

1,000

1,500

2,000

TE111TE211

TE 2

12

TE 1

12

TM010

TM110

TM011

TE011, TM111

TM112

TM012

(2a/d)2

(2af

)2(G

Hz-

cm)2

Pour trouver les modes qui resonent a telle frequence, pour une dimensiondonnee


Cavite cylindrique

Facteur de qualite

Le facteur de qualite du au conducteur est :

Qc =ω0W

Pc=

(ka)3ηad

4(p′nm)2Rs

1−(

np′nm

)2da2

[1 +

(βan

(p′nm)2

)2]+(βa2

p′nm

)2 (1− n2

(p′nm)2

)Facteur de qualite du dielectrique :

Qd =2ωWe

Pd=ε′

ε′′=

1

tan δ


Cavite cylindrique

Facteur de qualite

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

TE011

TE012

TE111

TM010

2a/d

QR

s/πη


Cavite cylindrique

Cavite cylindrique

Dans la bande 1 GHz a 20 GHz : Q du TE101 est 1000 a 5000

Avec le mode TE011, Q peut approcher 50 000

Permet des mesures tres precises de frequence : BW = 0.2 MHz




Coupler l’energie d’une source au resonateur

Circuit externe necessaire

Depend du type de resonateur



Ligne resonante

Couplagecapacitif

Lignemicroruban

a) Ligne microruban

Caviteresonante

Guide d’ondeouverture

b) Ouverture dans un guide

Caviteresonante

c) Cable coaxial



Couplage direct

Ligne de transmission couplee directement :

Vg

Rg

Generateur

RG

Ligne de sortie

Z0

Resonateur

l

faibles pertes α



Modelisation

Modelise comme un circuit RLC serie, ou

R1 = αlZ0 =2n− 1

4αλgZ0

L1 =QrR1

ωr=

2n− 1

4

π

ωrZ0

C1 =1

ω2rL1

=4

(2n− 1)πωrZ0

R1 represente les pertes (faibles) du resonateur



Circuit equivalent

+

RG R1 L1

C1

−

Vg

Generateur



Facteur de qualite

Le facteur de qualite du circuit avec charge est :

QL =ωrL

R=

ωrL1

R1 +RG

Typiquement, RG = 50 Ω, et R1 < 1 Ω (faibles pertes), donc :

QL ≈ωrL1

RG=

(2n− 1)π

4

Z0

RG

Pour avoir un resonateur le plus court possible, n = 1, et puisqueZ0/RG ≈ 1,

QL ≈π

4< 1

→ peu utile en pratique !



Facteur de qualite

Pour ameliorer Q :

Reduire Rg

Augmenter Z0

Augmenter n

Trois options peu pratiques

On utilise une capacitance entre le generateur et la source



Couplage avec condensateur

Vg

RgCg

Generateur

RG

Ligne de sortie

Z0

Resonateur

l

Zin = jX



Facteur de qualite

Si R1 est faible, Qr du resonateur sera eleveCg va modifier le facteur de qualite externe Qe de la combinaisoncondensateur-resonateur.

1

QL=

1

Qr+

1

Qe

Si Qr est eleve, QL ≈ Qe : resonateur sans pertes.



Resonance

L’impedance Zin appliquee au generateur est purement reactive :

Zin = jX = j

(− 1

ωCg− Z0 cot(βl)

)La resonance a lieu lorsque X = 0 :

− 1

ωCg= Z0 cot(βl)



Facteur de qualite

On doit recalculer le facteur de qualite avec Cg :

Qe =Z0

2Rg

[1

ωrCgZ0+ βrl

(1 +

(1

ωrCgZ0

)2)]


Conclusion

Conclusion

Les points cles de ce chapitre sont :

Utilisation de lignes de transmission comme resonateurs

Cavites resonantes

Couplage de resonateurs a l’aide de condensateurs


Problemes suggeres

Problemes suggeres

Dans le manuel de Pozar :

6.1, 6.5, 6.6, 6.9, 6.14, 6.15

Et aussi les exemples en classe.


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