Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

TURUNAN FUNGSI Misal diberikan grafik fungsi y = f(x) dengan P ( a, b ) terletak pada kurva f(x).

Bila Q ( x,y) merupakan titik sembarang pada kurva f(x) maka gradien garis PQ dapat

dinyatakan dengan :

my bx a

f x f ax aPQ =

−−

=−−

( ) ( )

Bila titik Q berimpit dengan dengan titik P maka garis PQ akan merupakan garis

singgung kurva f(x) di P sehingga gradien :

mf x f a

x ax a=

−−→

lim( ) ( )

Turunan dari fungsi f(x) di titik x = a didefinisikan sebagai gradien dari garis

singgung kurva f(x) di x = a dan diberikan:

f af x f a

x ax a' ( ) lim

( ) ( )=

−−→

Bila nilai limit ada maka f(x) dikatakan diferensiabel atau dapat diturunkan di x = a.

Misal h = x - a . Maka turunan f(x) di x = a dapat dituliskan :

f af a h f a

hh'( ) lim

( ) ( )=

+ −

→0

Notasi lain : f adf a

dxdy a

dxy a' ( )

( ) ( )' ( )= = =

Secara fisis, pengertian dari turunan fungsi f(x) di titik x = a dinyatakan sebagai

kecepatan, V(x) benda yang bergerak dengan lintasan f(x) pada saat x = a. Oleh karena

itu, didapatkan hubungan V a f a( ) '( )= dan percepatan , A(x) , A adV a

dx( )

( )=

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

Bila y = f(x) diferensiabel di x = a maka kontinu di x = a. Sifat tersebut tidak

berlaku sebaliknya. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.

Contoh

Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0

Jawab :

Fungsi f ( x ) kontinu di x = 0 , sebab f f xx

( ) lim ( )0 00

= =→

Turunan f ( x ) di x = 0 dicari menggunakan rumus berikut :

ff h f

hhhh h

' ( ) lim( ) ( )

lim| |

00 0

0 0=

+ −=

→ →

Karena − = ≠ =→ →− +

1 10 0

lim| |

lim| |

h h

hh

hh

maka f(x) = |x| tidak diferensiabel di x = 0.

Untuk menentukan turunan suatu fungsi diberikan rumus sebagai berikut :

1. ( )d x

dxr x r R

rr= ∈−1 ;

2. ( ) ( ) ( )d f x g x

dx

d f x

dx

d g x

dx

( ) ( ) ( ) ( )+= +

3. ( ) ( ) ( )d f x g x

dxg x

d f x

dxf x

d g x

dx

( ) ( )( )

( )( )

( )= +

4. ( ) ( ) ( )d

dx

g x d f x f x d g x

g x

f xg x

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )=

−2

Soal latihan

( Nomor 1 sd 10 ) Tentukan dydx

dari :

1. yx

=− 12

2 6

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

2. yx x

= −1 1

2

3. y = x ( x2 + 1 )

4. ( )( )y x x x x= + + +4 3 22 2 1

5. ( )( )y x x x x= + − +3 2 3 12 4

6. yx

=+

1

3 92

7. yxx

=−−

2 11

8. yx x

x=

− ++

2 3 12 1

2

9. yx x

x x=

− +

+ −

2

22 5

2 3

10. yx x

x=

+ +−

5 2 63 1

2

( Nomor 11 sd 13 ) Tentukan nilai a dan b agar fungsi berikut diferensiabel di nilai yang

diberikan.

11. f xa x x

x bx x( )

;

;=

+ ≤ <− ≥

3 0 1

12 ; x = 1

12. f xax b x

x x( )

;

;=

− <− ≥

2

2 1 22 ; x = 2

13. f xx x

ax b x( )

;

;= − <

+ ≥

2 1 3

2 3 ; x = 3