FAKTORISASI ALJABARKelompok 1 :

- Adhiwira Prabhawa P.

- Filzah Bazlina

- Irvan Ary Maulana N.

- M. Iqbal Nur Fikri

- Rio Muhammad R. H.

- Shaqilla Yasmina Difa P. Y.

Pengertian Aljabar

Aljabar adalah suatu bentuk matematika yang bentuk penyajiannya memuat

huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Aljabar ditemukan

oleh Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi pada bukunya “Al-Kitāb

al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala”. Aljabar berasal dari Bahasa

Arab "al-jabr" yang berarti "pertemuan", "hubungan" atau "penyelesaian"

Unsur-unsur dalam aljabar :

1. Koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.

2. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui

nilainya dengan jelas.

3. Konstanta adalah suku dari bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak

memuat variabel atau sering disebut bilangan tetap

Bentuk Aljabar

1. Suku tunggal / satu / monomial

7𝒶𝒷

7 adalah koefisien, sedangkan 𝒶 dan 𝒷 adalah variabel.

2. Suku dua / binomial

2𝓍 + 4𝓎

2 dan 4 adalah koefisien, sedangkan 𝓍 dan 𝓎 adalah variabel.

3. Suku banyak / polinomial

3𝓍 + 2𝓎 – 𝓏 + 6

3, 2, dan -1 adalah koefisien ; 𝓍, 𝓎, dan 𝓏 adalah variabel ; dan 6 adalah konstanta

Operasi Hitung Bentuk Aljabar

1. Penjumlahan dan Pengurangan

Caranya dengan menjumlahkan dan mengurangkan suku-suku sejenis. Pada

dasarnya, sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan yang berlaku pada bilangan

rill, berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan pada bentuk-bentuk

aljabar :

a. Sifat Komutatif

𝒶+ 𝒷 = 𝒷+ 𝒶, dengan 𝒶 dan 𝒷 bilangan riil.

b. Sifat Asosiatif

(𝒶+ 𝒷) + 𝒸= 𝒶+ (𝒷 + 𝒸), dengan 𝒶, 𝒷, dan 𝒸 bilangan riil.

c. Sifat Distributif

𝒶(𝒷 + 𝒸) = 𝒶𝒷 + 𝒶𝒸, dengan 𝒶,𝒷, dan 𝒸 bilangan riil.

Contoh

a. 𝓍+ 2𝓎 – 𝓏+ 2𝓍 – 𝓎+ 3𝓏= 𝓍+ 2𝓍+ 2𝓎 – 𝓎 – 𝓏+ 3𝓏

= 3𝓍+ 𝓎+ 2𝓏

b. (10𝓅 – 8 )– (8𝓅 – 10) = 10𝓅 – 8𝓅 – 8 + 10

= 2𝓅 + 2

2. Perkalian

Sifat distributif merupakan konsep dasar perkalian pada bentuk aljabar.

a. Perkalian Suku Satu dengan Suku Dua

Contoh :

2(𝒶 + 3𝒷) = 2𝒶 + 6𝒷

b. Perkalian Suku Dua dengan Suku Dua

Contoh :

(𝓍+ 2)(𝓍 +4) = 𝓍 ² + 4𝓍+ 2𝓍+ 8

= 𝓍² + 6𝓍+ 8

3. Pembagian

Pembagian bentuk aljabar akan lebih mudah jika dinyatakan dalam bentuk

pecahan

5𝓅²𝓆 : 𝓅𝓆= 5𝓅²𝓆 = 5𝓅

𝓅𝓆

4. Perpangkatan

Definisi bilangan berpangkat berlaku juga pada bentuk aljabar.

Berlaku jika 𝒶 bilangan riil dan 𝓃 bilangan asli

Contoh :

(2𝓍𝓎²)3 = (2𝓍𝓎²) x (2𝓍𝓎²) x (2𝓍𝓎²) = 8𝓍3𝓎8

𝒶 n = 𝒶 x 𝒶 x 𝒶 x … x 𝒶sebanyak 𝓃 faktor

Untuk memudahkan penguraian perpangkatan seperti (𝒶 + 𝒷)², (𝒶 + 𝒷)3, dan

seterusnya dapat menggunakan pola segitiga pascal.

1 koefisien (𝒶 + 𝒷)0

1 1 koefisien (𝒶 + 𝒷)1

1 2 1 koefisien (𝒶 + 𝒷)²

1 3 3 1 koefisien (𝒶 + 𝒷)3

1 4 6 4 1 koefisien (𝒶 + 𝒷)4

1 5 10 10 5 1 koefisien (𝒶 + 𝒷)5

Penguraiannya :

(𝒶 + 𝒷)² = 𝒶² + 2 𝒶𝒷 + 𝒷²

(𝒶 + 𝒷)3 = 𝒶3 + 3𝒶²𝒷 +3𝒶𝒷² +𝒷3

Dan seterusnya

Contoh :

(𝓍+ 4)² = 𝓍² + 2(𝓍)(4) + 4²

= 𝓍² + 8𝓍+16

Perpangkatan bentuk aljabar (𝒶 + 𝒷)𝓃 dengan 𝓃 bilangan asli juga mengikuti

pola segitiga Pascal. Akan tetapi, tanda setiap koefisiennya selalu berganti dari

(+) ke (–), begitu seterusnya.

Penguraiannya :

(𝒶 –𝒷)² = 𝒶² – 2 𝒶𝒷 + 𝒷²

(𝒶 –𝒷)3 = 𝒶3 – 3𝒶²𝒷 +3𝒶𝒷² –𝒷3

Contoh :

(𝓍 – 4)3 = 𝓍3 – 3(𝓍)²(4) + 3(𝓍)(4)² – 43

= 𝓍3 – 12𝓍² + 48𝓍 – 64

Pemfaktoran Bentuk Aljabar

1. Pemfaktoran dengan Sifat Distributif

Memfaktorkan suatu bilangan berarti menyatakan suatu bilangan dalam bentuk

perkalian faktor-faktornya. Dengan sifat distributif, bentuk aljabar 𝒶𝓍 + 𝒶𝓎 dapat

difaktorkan menjadi 𝒶(𝓍 + 𝓎), dimana 𝒶 adalah faktor persekutuan dari 𝒶𝓍 dan

𝒶𝓎.

Contoh :

10𝓅² + 25𝓅

Faktor persekutuan dari 10 dan 25 adalah 5

Faktor persekutuan dari 𝓅² dan 𝓅 adalah 𝓅

Jadi, 10𝓅² + 25𝓅 = 5𝓅(2𝓅 + 5)

2. Selisih 2 Kuadrat

𝒶² –𝒷² = (𝒶 + 𝒷)(𝒶 – 𝒷)

Bentuk 𝒶² –𝒷² disebut selisih dua kuadrat.

Contoh :

𝓍² – 49 = 𝓍² – 7² = (𝓍 + 7)(𝓍 – 7)

3. Pemfaktoran Bentuk Kuadrat

a. Pemfaktoran bentuk 𝒶𝓍² + 𝒷𝓍 + 𝒸 dengan 𝒶 = 1

Untuk memfaktorkan bentuk ini, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor 𝒸dan apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya sama dengan 𝒷.

Contoh :

𝓍² + 2𝓍+ 1 = (𝓍+ 1)(𝓍 + 1)

𝒶= 1, 𝒷 = 2, dan 𝒸 = 1

b. Pemfaktoran bentuk 𝒶𝓍² + 𝒷𝓍+ c dengan 𝒶≠ 1

Contoh :

2𝓍² + 11𝓍+ 15 = 2𝓍² + (6𝓍 + 5𝓍) + 15 ⟶ (1)

= (2𝓍² + 6𝓍 ) + (5𝓍 + 15) ⟶ (2)

= 2𝓍(𝓍+ 3) + 5(𝓍 + 3)

= (2𝓍 + 5)(𝓍 + 3)

Cara :

1. Uraikan 𝒷𝓍 menjadi penjumlahan dua suku yang apabila kedua suku tersebut

dikalikan hasilnya sama dengan (𝒶𝓍²)(𝒸)

2. Faktorkan bentuk yang diperoleh dengan menggunakan sifat distributif

KPK dan FPB pada Aljabar

Kelipatan-kelipatan dari suatu bentuk aljabar sangat sulit jika harus dinyatakan

satu demi satu. Oleh karena itu, kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bentuk-

bentuk aljabar tidak dicari melalui himpunan kelipatan persekutuan, melainkan

ditentukan dengan cara pemfaktoran (faktorisasi). Demikian juga untuk

menentukan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari bentuk-bentuk aljabar.

Contoh :

12𝒷2 = 22 x 3 x 𝒷2

9𝒷𝒸 = 32 x 𝒷 x 𝒸

KPK dari 12𝒷2 dan 9𝒷𝒸 = 22 x 32 x 𝒷2 x 𝒸= 36𝒷2𝒸

FPB dari 12𝒷2 dan 9𝒷𝒸 = 3 x 𝒷 = 3𝒷

Pecahan dalam Bentuk Aljabar

1. Penjumlahan dan Pengurangan

Cara menjumlahkan dan mengurangkan pecahan bentuk aljabar adalah sama

dengan menjumlahkan dan mengurangkan pada pecahan biasa.

Contoh :

a. 1 + 2 = 3 b. 2𝒶+ 2𝒷 = 𝒶(2𝒶) + 𝒷(2𝒷) = 2𝒶² + 2𝒷²𝓎 𝓎 𝓎 𝒷 𝒶 𝒶𝒷 𝒶𝒷

c. 5 - 2 = 3 d. 17 - 6 = 17𝓍 – 30

𝓍 𝓍 𝓍 5 𝓍 5𝓍

2. Perkalian dan Pembagian Pecahan Bentuk Aljabar

a. Perkalian

Cara mengalikan pecahan bentuk aljabar sama dengan mengalihkan pecahan

biasa.

Contoh :

8 x 𝓅 = 8 x 𝓅 = 8𝓅

𝓅 3 𝓅 x 3 3𝓅

b. Pembagian

Aturan pembagian pada pecahan bentuk aljabar sama dengan aturan pembagian

pada pecahan biasa.

Contoh :

9𝓂 : 𝓂= 9𝓂 x 3 = 27𝓂 = 9

3 3 3 𝓂 3𝓂

3. Perpangkatan Pecahan Bentuk Aljabar

Definisi bilangan berpangkat juga berlaku pada pecahan bentuk aljabar.

Contoh :

2 2= 22 = 4

3𝒷 (3𝒷)2 9𝒷2

4. Penyederhanaan Pecahan Bentuk Aljabar

Cara penyederhanakan pecahan bentuk aljabar sama dengan mengalikan

pecahan biasa.

Contoh :

15𝒶2𝒷 = 5𝒶2

3𝒷2 𝒷

TERIMA KASIH ATAS

PERHATIANNYA