FUNGSI NAIK DAN TURUN, KECEKUNGAN GRAFIKDefinisi :Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di titik x = x0 , jika dapat ditunjukkan bilangan pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x1< x2 yang terletak dalam interval (x0-h , x0+h) berlaku : f(x1) < f(x2) .Suatu fungsi f(x) dikatakan turun di titik x = x0 , jika dapat ditunjukkan bilangan pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x1> x2 yang terletak dalam interval (x0-h , x0+h) berlaku : f(x1) > f(x2) .Untuk pemudahkan pemahamannyad diberikan skema pada gambar 3.1.Skema :

fs naik

x0-hx1x0x2x0+h

fs turunx0-hx1x0x2x0+hGambar 3.1. Skema Fungsi Naik dan Fungsi TurunDalil :

Jika y = f (x) naik di x = x0

y = f (x) turun di x = x0Teorema Uji Keturunan Kedua untuk KecekunganMisal f fungsi yang mempunyai turunan kedua

Jika Grafik f cekung ke atas

Grafik f cekung ke bawahContoh :

Tentukan semua ekstrim relatif dari fungsifJawab :f (x)= 2x4 4x2 + 3f (x)= 8x3 8x= 8x (x2 1)f (x)= 24x2 8Titik stasioner tercapai jika f(x) = 0f (x)= 8x (x2 1) = 0= 8x (x+1) (x-1) = 0x1 = 0 ; x2 = 1 ; x3 = -1f(0) = 3 ; f(1) = 1 ; f(-1) = 1

+-+- -1 0 1f (0)= -8 < 0 maka (0, 3) cekungkebawahf (1)= 16 > 0 maka (1, 1) cekungkeatasf (-1)= 16> 0 maka (-1, 1) cekungkeatas

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUNPerhatikan grafik f (x) = x2 - 4x + 3 pada gambar di samping. Sumbu simetri grafik tersebut adalah x=2. Semua garis singgung kurva yang terletak di sebelah kiri sumbu simetri gradiennya negatif, sedangkan semua garis singgung kurva yang terletak di sebelah kanan gradiennya positif dan garis singgung kurva pada sumbu simetri gradiennya nol. Selanjutnya akan kita selidiki hubungan letak garis singgung kurva dengan nilai-nilai fungsi turunannya.f (x) = x2 - 4x + 3f (x) = 2x 4jika kita subtitusikan nilai-nilai x pada fungsi turunan tersebut, maka hasilnya dapat kita nyatakan dengan diagram seperti pada gambar berikut ini.f (x) = 0f(x) < 0(-1) f(x) > 0 (+)

a. Untuk x0 dan fungsi f dikatakan naik.c. Untuk x=2 f(x)=0 dan fungsi f dikatakan tidak naik dan tidak turun, dan dikatakan pula bahwa f mempunyai nilai stasioner f(2) =-1

Berdasarkan penjelasan di atas maka:a. Fungsi f dikatakan naik jika f(x) > 0b. Fungsi f dikatakan turun jika f(x) < 0

Tentukan interfal dimana funsi f(x) = x3 + 3x2 9x +5a. Naikb. Turun Jawab :Terlebih dahulu kita turunkan turunan pertama fungsi f f(x) = x3 + 3x2 9x +5f(x) = 3x2 + 6x 9 = 3 ( x2 + 2x 3) = 3 (x + 3) (x 1)Perhatikan garis bilangan nilai-nilai f(x)

+-+

Berdasarkan garis bilangan tersebut, maka fungsi f :a. Naik pada interval x< -3 V x>1b. Turun pada interval -3 < x < 1

DEFINISI

Andaikan f terdefinisi pada selang I ( terbuka, tertutup, atau tak satupun). Kita katakan bahwa:(i) Fadalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I ,X1 < X2 => f (x1) < f (x2)

(ii) Fadalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I ,X1 < X2 => f (x1) > f (x2)

(iii) F monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I.

HUBUNGAN ANTARA FUNGSI NAIK , TURUN DAN STASIONER DENGAN TURUNAN

Pada gambar berikut l1 adalah garis lurus yang condong ke kanan atas dengan gradien m1 ; l2 adalah garis lurus yang condong ke kanan bawah dengan gradien m2 ; l3 adalah garis lurus yang sejajar dengan sumbu x dengan gradien m3 ; dan l4 adalah garis lurus yang tegak sejajarsumbu y dengan gradien m4 .ILUSTRASI GAMBAR :

YL2L1

X0L3l4

Gambar 8.3Y

0abX

Gambar 8.4

Perhatikan grafik fungsi y = f(x) di samping , dan garis garis singgung pada kurva . Diskusikan pada teman kalian kaitan antara kemiringan setiap garis singgung disamping dengan grafik fungsi (naik dan turun ; dan titik stasioner )Amati lagi grafik fungsi y = f (x) diatas : Perhatikan lintasan grafik fungsi y = f (x) yang naik yaitu pada interval 0 x < a atau x > b . Garis singgung grafik ini condong ke kanan atas , jadi gradiennya positif . Sebaliknya setiap garis singgung pada fungsi y = f (x) yang gradiennya positif (garis singgungnya condong ke kanan ) maka fungsi itu grafiknya naik .

Jadi fungsi y = f (x) naik jika dan hanya jika f (x) > 0

Perhatikan lintasan grafik fungsi y = f (x) yang turun , yaitu pada interval a < x < b . Garis singgung grafik ini condong ke kiri bawah , jadi gradiennya negatif . Sebaliknya setiap garis singgung pada fungsi y = f (x) yang gradiennya negatif (garis singgungnya condong ke bawah ) , maka fungsi ini grafiknya turun .

Jadi fungsi y = f (x) turun jika dan hanya jika f (x) < 0

Di titik stasioner garis singgungnya mendatar sejajar dengan sumbu x , gradien garis singgung yang sejajar sumbu x adalah nol . Sebaliknya setiap garis singgung yang gradiennya nol (sejajar sumbu x )menyinggung grafik di titik stasioner .

Jadi fungsi y = f (x) stasioner jika dan hanya jika f (x) = 0

(SUMBER BUKU MATEMATIKA UNTUK KELAS XI OLEH ROCHMAD .MULYONO)

SOAL :

Tentukandimanagrafikdarifungsi yang diberikannaik, turun, cekungkeatas, dancekungkebawah.Kemudiansketsgrafiknya :1. f(x) = x3-3x-12. g(x) = x3-2x2+x+1

MATEMATIKA DASARFUNGSI NAIK DAN TURUN, KECEKUNGAN GRAFIK

DisusunOleh :Kelompok 41. EkoRahayu(4301412047)2. AnggunDwi A. (4301412049)3. Nur Fatimah (4301412057)4. CecilliaDevina A. (4301412061)5. SidiqFauzi(4301412066)6. NurHamidah(4301412069)

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG20126