Fungsi (matematika)Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

"f(x)" beralih ke halaman ini. Untuk grup musik, lihat F(x) (grup musik).

Grafik contoh sebuah fungsi,

Baik domain maupun kisaran dalam gambar adalah himpunan bilangan riil di antara -1 dan 1,5

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan

sebagai domain) kepada anggota himpunanyang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda

pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan

baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah

"fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya

yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan

kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan

riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

Daftar isi

  [sembunyikan] 

1 Notasi

2 Fungsi sebagai relasi

3 Domain dan Kodomain

4 Sifat-sifat fungsi

o 4.1 Fungsi injektif

o 4.2 Fungsi surjektif

o 4.3 Fungsi bijektif

5 Lihat pula

6 Pranala luar

Notasi[sunting | sunting sumber]

Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.

Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A

kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua

himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan

baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.

atau

Fungsi sebagai relasi[sunting | sunting sumber]

Sebuah fungsi f dapat dimengerti sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur

pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.

Domain dan Kodomain[sunting | sunting sumber]

Pada diagram di atas, X merupakan domain dari fungsi f, Y merupakan kodomain

Domain adalah daerah asal, kodomain adalah daerah kawan, sedangkan range adalah

daerah hasil

Sifat-sifat fungsi[sunting | sunting sumber]

Fungsi injektif[sunting | sunting sumber]

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk

sebarang a1 dan a2   dengan a1 tidak sama dengana2 berlaku f(a1) tidak sama

dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2).

Fungsi surjektif[sunting | sunting sumber]

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk

sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satua dalam domain A sehingga

berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan

kisarannya (range).

Fungsi bijektif[sunting | sunting sumber]

Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk

sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b,

dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif

adalah sekaligus injektif dan surjektif.

FungsiDari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Belum Diperiksa

Fungsi adalah sekelompok aktivitas yang tergolong pada jenis yang sama berdasarkan sifat atau

pelaksanaannya.

Lihat fungsi di Wiktionary,

kamus gratis.

Fungsi dapat dihubungkan dengan:

Fungsi diatonik , sesuatu istilah dalam teori musik

Fungsi (biologi) , sesuatu yang menjelasakan bagaimana seleksi alam terjadi

Fungsi (ilmu komputer) , atau sub rutin, bagian dari sebuah kode pemrograman di dalam program yang

lebih besar, dan menjalankan tugas tertentu

Fungsi (teknik) , berhubungan dengan bagian dari suatu sistem yang lebih besar

Fungsi (bahasa) , dalam linguistik berarti suatu cara untuk mencapai tujuan dengan menggunakan

bahasa tersebut

Fungsi (matematika) , suatu entitas abstrak yang mengasosiasikan suatu masukkan kepada suatu

keluaran yang saling terkait berdasarkan peraturan tertentu dan baku

Fungsi model , fungsi, kegiatan dan proses yang terangkum dalam suatu tatanan tertentu

Function object , atau functor atau functionoid, suatu konsep dalam pemrograman 'object-oriented'

Function Drinks , perusahaan minuman yang berbasis di Redondo Beach, California.

suatu acara formal seperti pesta atau pertemuan

Domain fungsi Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Belum Diperiksa

f adalah fungsi dari domain X terhadapkodomain Y. Bulat telur yang lebih kecil di dalam Yadalah kisaran f.

Dalam matematika, domain atau ranah suatu fungsi adalah suatu himpunan nilai-nilai "masukan"

tempat fungsi tersebut terdefinisi (ada). Sebagai contoh, domain fungsi sinus adalah bilangan riil,

sedangkan domain fungsi akar kuadrat adalah bilangan riil yang lebih besar dari nol (dengan

mengabaikan bilangan kompleks). Pada sistem koordinat Cartesius, domain dilambangkan oleh

sumbu x atau absis.

Himpunan yang membatasi "keluaran" suatu fungsi disebut sebagai kodomain

Pengertian Fungsi Relasi atau perkawanan adalah pemasangan anggota dari suatu himpunan ke himpunan yang lain.

Fungsi merupakan relasi khusus, relasi dari himpunan A ke himpunan B dapat dikatakan fungsi jika

setiap anggota pada himpunan A dipasangkan dengan tepat satu anggota himpunan B. Himpunan A

disebut daerah asal atau domain dan himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain, sedangkan

himpunan semua anggota himpunan di B yang menjadi peta dari anggota himpunan A disebut range.

Macam-macam Fungsi :

Fungsi Aljabar : semua fungsi yang menggunakan operasi perhitungan secara aljabar disebut fungsi

aljabar, misalnya fungsi kuadrat, fungsi pecahan, fungsi linier dan sebagainya.

Fungsi Eksponen : fungsi eksponen adalah fungsi perpangkatan dengan variabel bebas sebagai

pangkatnya. misalnya f(x) = 2x

       

Fungsi Eksplisit : fungsi eksplisit adalah fungsi yang dapat dibedakan dengan jelas antara variabel

bebas dan variabel tidak bebas. contohnya y = 2x - 5 , dalam fungsi ini x sebagai variabel bebas dan y

sebagai variabel tidak terbatas, nilai y ditentukan oleh besarnya nilai x, sehingga dapat terlihat dengan

jelas perbedaan kedua variabel tersebut.

Funsi Implisit : fungsi implisit merupakan lawan dari fungsi eksplisit jadi pada fungsi implisist perbedaan

antara variaabel bebas dan variabel tidak bebas tidak dapat dibedakan dengan jelas. contohnya f(x,y) =

3x + 4y.

Fungsi Ganjil : suatu fungsi dikatakan ganjil jika dan hanya jika f(-x) = - f(x).

Fungsi Genap : suatu fungsi dikatakan genap jika dan hanya jika f(-x) = f(x). fungsi genap merupakan

lawan dari fungsi ganjil.

Fungsi Goniometri : fungsi goniometri juga disebut fungsi trigonometri yaitu fungsi yang memetakan

besar sudut dengan bilangan aljabar atau sebaliknya. contohnya y = sin x.

Fungsi Identitas : fungsi identitas dilambangkan dengan notasi "I", yaitu fungsi yang memetakan setiap

anggota domain dengan dirinya sendiri.

Fungsi Into : fungsi into juga disebut fungsi kedalam atau fungsi injektif atau fungsi satu-satu yaitu

fungsi yang  memetakan setiap anggota domain dengan tepat sati kawan yang berbeda pada

kodomain.

Fungsi Onto : fungsi onto juga disebut fungsi surjektif atau fungsi kepada yaitu suatu fungsi yang setiap

anggota daerah hasil merupakan peta dari daerah asal.

Fungsi Bijektif : fungsi bijektif disebut juga fungsi satu-satu kepada yaitu gabungan dari fungsi satu-satu

dan fungsi kepada yaitu fungsi yang memetakan setiap anggota domain dengan tepat satu kawan pada

kodomain dan setiap anggota kodomain adalah peta dari domain.

Soal dan Pembahasan Matematika Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (1-5)

RECENT POSTS

Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri Harga Mutlak

Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Implisit (1-5)

Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat dengan Akar Kembar

Soal dan Pembahasan Matematika Perbandingan Waktu

Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar dengan Pendekatan Logaritma

RECENT COMMENTS

wisnu123 on Soal dan Pembahasan Integral T…

maya on Soal dan Pembahasan Sistem Per…rudolph30 on Soal dan Pembahasan Matematika…Ulfa Amalia (@ulfaam…on Soal dan Pembahasan Matematika…ekagun on Soal dan Pembahasan Permutasi,…

ARSIP

                                                                 

KATEGORI

                                                                                                                                                                 

TWITTER UPDATES

simak TL @IMe_Fisika yuk :) Lagi share aplikasi Fisika dalam kehidupan tuh!2   hours   ago

Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri Harga Mutlakwp.me/p3rdpQ-1A1 1   day   ago

Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Implisit (1-5) wp.me/p3rdpQ-1zH 2   days   ago

Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat dengan Akar Kembarwp.me/p3rdpQ-1zz 3   days   ago

RT @KurniaKartika_: @IstanaMengajar Alhamdulillah sesuatu *alasyahrini3   days   ago

Follow @IstanaMengajar

1. Diketahui (f o g)(x) = x + 1 dan f(x-2) = (x – 1)/(x – 2). Maka nilai dari g-’ (2) [dibaca: g invers 2]

adalah…

Penyelesaian:

f(x – 2) = (x – 1)/(x – 2)

Inverskan x-2 agar ditemukan nilai dari f(x)

y = x – 2

x = y + 2   <—-> y = x + 2 maka:

f(x) = [(x + 2) - 1]/[(x + 2) - 2]

f(x) = (x + 1)/x

(f o g)(x) = f(g(x))

f(g(x)) = x + 1

[g(x) + 1]/g(x) = x + 1

g(x) + 1 = (x + 1). g(x)

g(x) + 1 = x.g(x) + g(x)

g(x) – x.g(x) -g(x) = -1

-x.g(x) = -1

g(x) = 1/x

g(x) = 1/x

y = 1/x

x = 1/y, maka:

g-’(x) = 1/x

Jadi, nilai dari g-’(2) adalah = 1/x = 1/2.

2. Diketahui f(3 + 2x) = 4 – 2x + x². maka f(x) = ….?

Penyelesaian:

Jadi f(x) = 1/4 x² – 10/4x + 37/4

3. Diketahui f(x) = x³ + 4 dan g(x) = 2sinx. Nilai dari (f o g)(-90) adalah…

Penyelesaian:

(f o g)(x) = f(g(x))

= (g(x))³ + 4

= (2sinx)³ + 4

= 8sin³x + 4

Jadi, ( f o g) (-90) adalah

= 8sin³(-90) + 4

= 8.(-1) + 4

= -8 + 4 = -4.

4. Diketahui g(x) = (x² + 2x – 3)/4. Maka g-’(x) adalah…

Penyelesaian:

Perhatikan penyebutnya, untuk mencari invers sebuah fungsi kuadrat, salah satu caranya adalah

mengubah persamaan umum kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna. Maka:

= x² + 2x – 3

= x² + 2x  + 1 – 1 – 3

= (x + 1)² – 4

Jadi,

g(x) = (x² + 2x – 3)/4

g(x) = [(x + 1)² - 4]/4

y = [(x + 1)² - 4]/4

4y = [(x + 1)² - 4]

(x + 1)² = 4y + 4

(x + 1)² = 4(y + 1)

x + 1 = √4(y + 1)

x + 1 = ±2 √(y + 1)

x = -1 ±2 √(y + 1)

g-’(x) = -1 ±2 √(x + 1)

5. Diketahui g(x) = px + q dan (g o g)(x) = 16x – 15 maka nilai p dan q adalah…

Penyelesaian:

(g o g)(x) = g(g(x))

16x – 15 = p(g(x)) + q

16x – 15 = p(px + q) + q

16x – 15 = p²x + pq + q

Cocokkan sesuai dengan variabel/konstantanya.

16x = p²x dan -15 = pq + q

Kemudian mencari nilai p dan q nya.

16x = p²x

16 = p²

p = √16 ——> p = ± 4.

Jika p = 4 maka q =

-15 = 4q + q

-15 = q(4 + 1)

q = -15/5 = -3

Jika p =  -4 maka q =

-15 = -4q + q

-15 = q(-4 + 1)

q = -15/-3 = 5

Jadi, nilai p dan q adalah (4 dan -3) atau (-4 dan 5).

*Semoga Bermanfaat*

Pasangan terurut

Contoh:A = {1, 2, 3}, B = {4, 5}Himpunan semua pasangan terurut dari A dan B adalah:{(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

RelasiRelasi adalah himpunan dari pasangan terurut ang memenuhi aturan tertentuContoh:A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4}Jika ada relasi R dari  A ke B dengan aturan ”faktor dari”, maka himpunan pasangan terurut untuk relasi tersebut adalah:R = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (4, 4)}Diagram panahnya:

FungsiFungsi dari A ke B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A kehanya

satu anggota himpunan BNotasi fungsi f dari A ke B ditulis f : A → BA disebut domain (daerah asal)B disebut kodomain (daerah kawan)Himpunan bagian dari B yang merupakan hasil dari fungsi A ke B disebut range (daerah hasil)Fungsi juga dapat dinyatakan dengan lambang f : x → y = f(x)dimana y = f(x) adalah rumus fungsi dengan x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel terikat (tak bebas)Contoh:

Untuk fungsi yang digambarkan dalam diagram panah di atas:Domain = Df = {1, 2, 3, 4}Range = Rf = {2, 4}

Menentukan Daerah Asal Fungsi

Agar suatu fungsi terdefinisi (mempunyai daerah hasil di himpunan bilangan real), maka ada beberapa syarat yang harus dipenuhi.1. Fungsi di dalam akar

2. Fungsi pecahan

3. Fungsi dimana penyebutnya adalah fungsi lain dalam bentuk akar

4. Fungsi logaritma

Contoh:Daerah asal untuk fungsi

adalah:x2 + 3x – 4 > 0(x + 4)(x – 1) > 0Pembuat nol: x = –4 dan x = 1Jika x = 0 maka hasilnya 02 + 3.0 – 4 = –4 (negatif)

Jadi Df = {x | x < –4 atau x > 1}

Aljabar Fungsi

Jika f : x → f(x) dan g : x → g(x) maka:

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)2. (f – g)(x) = f(x) – g(x)3. (f × g)(x) = f(x) × g(x)

4.

Daerah asalnya:Df+g, Df–g, Df×g = Df ∩ Dg (irisan dari Df dan Dg)Df/g = Df ∩ Dg dan g(x) ≠ 0

Komposisi fungsi

Notasi:f komposisi g dapat dinyatakan dengan f o g (dapat juga dibaca ”f bundaran g”)(f o g)(x) = f(g(x)) (g dimasukkan ke f)Ilustrasi:

Contoh: f(1) = 2, g(2) = 0, maka (g o f )(1) = g(f(1)) = g(2) = 0Sifat-Sifat Komposisi Fungsi1. Tidak bersifat komutatif(f o g)(x) ≠ (g o f)(x)2. Asosiatif(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)3. Terdapat fungsi identitas I(x) = x(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

Contoh 1:f(x) = 3x + 2g(x) = 2x + 5h(x) = x2 – 1Cari (f o g)(x), (g o f)(x), dan (f o g o h)(x)!(f o g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 5)=  3(2x + 5) + 2= 6x + 15 + 2 = 6x + 17(g o f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 2)= 2(3x + 2) + 5= 6x + 4 + 5 = 6x + 9(f o g o h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x2 – 1))= f(2(x2 – 1) + 5)= f(2x2 – 2 + 5)= f(2x2 + 3)= 3(2x2 + 3) + 2= 6x2 + 9 + 2 = 6x2 + 11atau dengan menggunakan rumus (f o g)(x) yang sudah diperoleh sebelumnya,(f o g o h)(x) = (f o g)(h(x)) = (f o g)(x2 – 1)= 6(x2 – 1) + 17= 6x2 – 6 + 17= 6x2 + 11

Contoh 2:f(x) = 3x + 2(f o g)(x) = 6x + 17Cari g(x)!(f (g(x)) = 6x + 173.g(x) + 2 = 6x + 173.g(x) = 6x + 17 – 23.g(x) = 6x + 15g(x) = 2x + 5

Contoh 3:g(x) = 2x + 5(f o g)(x) = 6x + 17Cari f(x)!f(2x + 5) = 6x + 17misalkan: 2x + 5 = a → 2x = a – 5f(a) = 3(a – 5) + 17f(a) = 3a – 15 + 17f(a) = 3a + 2f(x) = 3x + 2

Contoh 4:f(x) = x2 + 2x + 5(f o g)(x) = 4x2 – 8x + 8Cari g(x)!f(g(x)) = 4x2 – 8x + 8(g(x))2 + 2g(x) + 5 = 4x2 – 8x + 8Gunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna(g(x) + 1)2 – 1 + 5 = 4x2 – 8x + 8(g(x) + 1)2 = 4x2 – 8x + 8 – 4(g(x) + 1)2 = 4x2 – 8x + 4(g(x) + 1)2 = (2x – 2)2

g(x) + 1 = 2x – 2 atau g(x) + 1 = –(2x – 2)g(x) = 2x – 3 atau g(x) = –2x + 3atauf(g(x)) = 4x2 – 8x + 8(g(x))2 + 2g(x) + 5 = 4x2 – 8x + 8Karena pangkat tertinggi di ruas kanan = 2, maka misalkan  g(x) = ax + b(ax + b)2 + 2(ax + b) + 5 = 4x2 – 8x + 8a2x2 + 2abx + b2 + 2ax + 2ab + 5 = 4x2 – 8x + 8a2x2 + (2ab + 2a)x + (b2 + 2ab + 5) = 4x2 – 8x + 8Samakan koefisien x2 di ruas kiri dan kanan:a2 = 4 → a = 2 atau a = –2samakan koefisien x di ruas kiri dan kanan:untuk a = 2 → 2ab + 2a = –84b + 4 = –84b = –12 → b = –3untuk a = –2  → 2ab + 2a = –8–4b + 4 = –8–4b = –12 → b = 3Jadi g(x) = 2x – 3 atau g(x) = –2x + 3

Invers Fungsi

NotasiInvers dari fungsi f(x) dilambangkan dengan f–1 (x)

Ilustrasi

Contoh: Jika f(2) = 1 maka f–1(1) =2Jika digambar dalam koordinat cartesius, grafik invers fungsi merupakan pencerminan dari grafik fungsinya terhadap garis y = x

Sifat-Sifat Invers Fungsi:

1. (f–1)–1(x) = f(x)2. (f o f–1)(x) = (f–1 o f)(x) = I(x) = x, I = fungsi identitas3. (f o g)–1(x) = (g–1 o f–1)(x)

Ingat: (f o g–1)(x) ¹ (f o g)–1(x)

Mencari invers fungsi

1. Nyatakan persamaan fungsinya y = f(x)2. Carilah x dalam y, namai persamaan ini dengan x = f–1(y)3. Ganti x dengan y dan y dengan x, sehingga menjadi y = f–1(x), yang merupakan

invers fungsi dari f

Contoh 1:f(x) = 3x – 2invers fungsinya:

Contoh 2:

Cara Cepat!

Contoh 3:f(x) = x2 – 3x + 4Invers fungsinya

Contoh 4:

http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/12/picture12.gif

1. CARA MENENTUKAN SUATU GRAFIK ADALAH FUNGSI ATAU BUKAN

Tarik sembarang garis lurus sejajar sumbu y. Bila hanya memotong di satu titik pada grafik, maka grafik tersebut merupakanfungsi. Bila tidak demikian maka grafik tersebut bukan merupakan fungsi.

2. Bila V = {-2,-1,0,1,2}g : V  R; R = riilg(x) = x² + 1Tentukan range !!!

Jawab:

Domain = {-2, -1, 0, 1, 2}Image dari g adalah :g(-2) = 5g(-1) = 2g(0) = 1g(1) = 2g(2) = 5

maka range = {1, 2, 5}3. Tentukan domain dan range dari y = (x - 1)

syarat : (x - 1)  0

Jawab : 

D = { x  x  1}R = { y  y  0}

4. Tentukan range dari f(x) = x² pada domain [1, -4]

Jawab:

Domain : f(x) = x²-1 x  40  x  160  y  16Range : [0, 16]