fkip.mtk-152

MAKALAH MURNI SEMINAR PENDIDIKAN MATEMATIKA

PENEMUAN RUMUS BEBERAPA DERET KHUSUS DENGAN MENGGUNAKAN KONSEP BARISAN BERTINGKAT

Diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah seminar pendidikan matematika

DISUSUN OLEH :

Nama : M. Mahayuddin

NIM : 0705045152

Kelas : Reguler Sore B

Program Studi Pendidikan Matematika

Dosen Pembimbing:

1. Dra Suriaty, M.Pd

2. Safrudiannur S.pd, M.Pd

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MULAWARMAN

SAMARINDA

2010

ii

LEMBAR PENGESAHAN

Judul: Penemuan Rumus Beberapa Deret Khusus dengan Menggunakan Konsep

Barisan Bertingkat

Diajukan pada mata kuliah Seminar Pendidikan Matematika

Telah dikoreksi dan disetujui oleh :

Dosen Pembimbing

Pembimbing I

Drs. Zainuddin Untu, M.Pd131.996.425

Pembimbing II

Dra. Suriaty, M. Pd131.570.809

iii

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr.Wb.

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas berkat

rahmat dan hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan makalah Seminar

Pendidikan Matematika yang berjudul “ Penemuan Rumus Beberapa Deret

Khusus dengan Konsep Barisan Bertingkat”.

Makalah ini dibuat untuk memenuhi tugas mata kuliah Seminar

Pendidikan matematika. Dalam kesempatan ini penulis meyampaikan ucapan

terima kasih kepada Bapak Drs. Zainuddin Untu, M.Pd dan Ibu Dra Suriaty, M.Pd

dosen mata kuliah Seminar Pendidikan Matematika.

Penulis sadar didalam penulisan makalah ini masih banyak terdapat

kekurangan dan kesalahan. Oleh karena itu penulis sangat mengharapkan saran

dan kritik yang membangun dan mengarah kepada di masa mendatang.

Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca.

Wassalamu’alaikum Wr.Wb.

Samarinda, Desember 2009

Penulis

iv

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ..................................................................................... i

LEMBAR PENGESAHAN............................................................................ ii

KATA PENGANTAR ................................................................................... iii

DAFTAR ISI ................................................................................................. iv

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah ............................................................ 1

B. Batasan Masalah........................................................................ 2

C. Rumusan Masalah ..................................................................... 2

D. Tujuan ...................................................................................... 2

E. Manfaat ..................................................................................... 3

BAB II PEMBAHASAN

A. Barisan Bertingkat .................................................................... 4

B. Barisan Bertingkat dengan Landasan Barisan Aritmetika .......... 5

C. Induksi Matematika .................................................................. 8

D. Penemuan Rumus Beberapa Deret Khusus dengan Menggunakan

Konsep Barisan Bertingkat ....................................................... 9

BAB III PENUTUP

A. Kesimpulan .............................................................................. 22

B. Saran ........................................................................................ 22

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 23

BAB I

PENDAHULUAN

1. Latar belakang

Dalam kehidupan sehari-hari sering kita temui benda-benda di sekitar kita baik

tanaman, batu, hewan, dan lain-lain yang memiliki barisan bilangan tertentu. Sebagai contoh

adalah tanaman bunga matahari. Dalam susunan biji bunga matahari (kwaci) jika kita hitung

banyaknya kwaci dari dalam sampai luar,maka jumlahnya akan tampak suatu barisan

bilangan tertentu. Selain itu tidak hanya jumlah kwaci saja yang memiliki barisan bilangan,

kita juga dapat melihat susunan daun pada bunga, segmen-segmen dalam buah nanas atau biji

cemara. Semua contoh di atas menunjukkan barisan bilangan 1,1,2,3,5,8,13,21, . . . Barisan

bilangan ini dikenal sebagai barisan bilangan fibonacci. Setiap bilangan atau angka dalam

barisan ini merupakan jumlah dari dua bilangan sebelumnya. Barisan bilangan fibonacci ini

ditemukan oleh Fibonacci yang namanya lengkap adalah Leonardo of Pisa (1180-1250). Ia

menjelaskan teka-teki barisan fibonacci dalam karyanya yang berjudul Liber Abaci.Selain

itu, matematika juga bermanfaat dalam ilmu kependudukan. Dengan matematika, kita dapat

mengetahui laju pertumbuhan penduduk dan masih banyak lagi hal-hal yang berkaitan

dengan matematika.

Sangat disayangkan, dalam pelajaran matematika siswa seringkali tidak mendapat

kesempatan untuk melakukan penemuan. Padahal sebagian besar keindahan matematika

terletak pada kekuatan pengeneralisasian yang merupakan salah satu cara penemuan.

Generalisasi merupakan keahlian yang penting dalam penyelesaian masalah, maka

generalisasi pantas untuk mendapat perhatian selama belajar matematika.

Dalam matematika, penting untuk menguasai materi barisan dan deret yang banyak

diterapkan dalam kejadian di sekitar kita. Melihat perbedaan yangsangat besar antara

pertumbuhan manusia dan pertambahan bahan makanan,Thomas Robert Malthus

mengatakan bahwa pertumbuhan manusia berdasarkan kepada deret geometri (deret ukur)

sebaliknya pertumbuhan bahan makanan berdasarkan kepada deret aritmetika (deret hitung).

Dalam buku-buku matematika SMA, rumus untuk beberapa deret khusus ditemukan

dengan menggunakan pola dengan memperhatikan setiap sukunya. Dalam buku-buku

matematika SMA, tidak terdapat metode lain untuk menemukan rumus deret khusus tersebut.

Oleh karena itu, berdasarkan uraian di atas, maka penulis mencoba membahas

penemuan rumus beberapa deret khusus melalui makalah yang berjudul : “Penemuan Rumus

Beberapa Deret Khusus dengan Menggunakan Konsep Barisan Bertingkat”.

A. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah di atas, dapat dikemukakan rumusan masalah

sebagai berikut :

“Bagaimanakah rumus jumlah n suku bilangan asli pertama, jumlah kuadrat n bilangan

asli pertama, dan jumlah kubik n bilangan asli pertama?”

B. Batasan Masalah

Agar nantinya pembahasan tidak meluas, maka penulis membatasi masalah pada

penemuan rumus jumlah n suku bilangan asli pertama, jumlah kuadrat n bilanganasli pertama,

jumlah kubik n bilangan asli pertamadengan menggunakan konsep barisan bertingkat dengan

landasan barisan aritmetika.

C. Tujuan

Adapun tujuan dari penyusunan makalah ini adalah sebagai berikut:

1. Untuk menentukan rumus jumlah n suku bilangan asli pertama, jumlah kuadrat n bilangan

asli pertama, jumlah kubik n bilangan asli pertama dengan menggunakan konsep barisan

bertingkat dengan landasan barisan aritmetika.

2. Sebagai tugas dari mata kuliah Seminar Pendidikan Matematika.

D. Manfaat

Penulis berharap makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca untuk mengetahui cara

lain dalam menemukan rumus beberapa deret khusus.

AB I

BAB II

PEMBAHASAN

A. Barisan Bertingkat

Barisan adalah sebaris bilangan yang tersusun menurut aturan tertentu.

Barisan terdiri atas barisan berhingga dan barisan tak berhingga. Secara umum

barisan dapat ditulis dengan:

nn UUUUU ,...,,, 321

Terdapat banyak jenis barisan berdasarkan aturan penyusunannya.

Beberapa diantaranya adalah barisan aritmetika dan barisan geometri. Barisan

aritmatika adalah sebaris bilangan yang disusun sedemikian sehingga setiap suku

berikutnya sama dengan suku yang mendahului ditambah dengan sebuah bilangan

tetap (konstan), yang sama besarnya. Atau barisan dimana selisih (beda) antara

dua suku yang berurutan selalu tetap. Sedangkan barisan geometri adalah

sebarisan bilangan yang tersusun secara demikian, sehingga setiap suku yang

berikut sama dengan suku yang mendahului dikalikan dengan sebuah bilangan

tetap yang sama besarnya atau suatu barisan dimana rasio (perbandingan) antara

dua suku yang berurutan selalu tetap.

Untuk menentukan siku-suku suatu barisan dapat dilihat keteraturan pola

dari suku-suku sebelumnya. Terdapat barisan dimana keteraturan pola tidak

tampak secara langsung. Salah satu contohnya adalah barisan bertingkat. Terdapat

5

dua macam barisan bertingkat yaitu barisan bertingkat dengan landasan barisan

aritmetika dan barisan bertingkat dengan landasan barisan geometri.

Ciri dari barisan bertingkat dengan landasan barisan aritmetika adalah

beda barisan baru akan terlihat pada tingkat kesekian dari pengurangan. Ciri dari

barisan bertingkat dengan landasan barisan geometri adalah barisan yang setelah

dicari beda antara dua suku berurutan tidak juga diperoleh selisih yang tetap

sampai bebberapa kali tingkat pengurangan, tetapi beda pada tingkat tertentu itu

membentuk suatu barisan geometri.

B. Barisan Bertingkat dengan Landasan Barisan Aritmetika

Untuk menentukan rumus umum suku ke-n barisan seperti ini caranya

adalah dengan memperhatikan selisih antara dua suku yang berurutan. Bila pada

satu tingkat pengurangan belum diperoleh selisih tetap, maka pengurangan

dilakukan pada tingkat berikutnya sampai diperoleh selisih tetap. Suatu barisan

disebut berderajat satu (linear) bila selisih tetap diperoleh dalam satu tingkat

pengurangan, disebut berderajat dua bila selisih tetap diperoleh dalam dua tingkat

pengurangan dan seterusnya.

Bentuk umum dari barisan-barisan itu merupakan fungsi dalam n sebagai

berikut:

1. Selisih tetap 1 tingkat

bannf )( atau banU n


6

cbnannf 2)( atau cbnanU n 2


dcnbnannf 23)( atau dcnbnanU n 23

1. Barisan Linear (Berderajat Satu)

Bentuk umum: banUn .

Dengan demikian bau 1 , bau 22 , bau 33 , bau 44 , dan

seterusnya. Identifikasi selisih tetapnya adalah sebagai berikut:

Suku pertama dari barisan di atas adalah = a + b

Suku pertama dari selisih tingkat satu adalah = a

2. Barisan Berderajat Dua

Bentuk umum: cbnanUn 2 .

Dengan demikian cbau 1 , cbau 242 , cbau 393 ,

cbau 4164 , dan seterusnya. Identifikasi selisih tetapnya adalah sebagai

berikut:

Suku pertama dari barisan di atas adalah = a + b + c

a+b 2a+b 3a+b 4a+b 5a+b 6a+b

a a a a a

a+b+c 4a+2b+c 9a+3b+c 16a+4b+c

3a+b 5a+b 7a+b

2a 2a

7

Suku pertama dari selisih tingkat satu adalah = 3a + b

Suku pertama dari selisih tingkat dua adalah = 2a

3. Barisan Berderajat Tiga

Bentuk umum: dcnbnanUn 23

Dengan demikian dcbau 1 , dcbau 2482 ,

dcbau 39273 , dcbau 416644 , dan seterusnya. Identifikasi

selisih tetapnya adalah sebagai berikut:

Suku pertama dari barisan di atas adalah = a + b + c + d

Suku pertama dari selisih tingkat satu adalah = 7a + 3b + c

Suku pertama dari selisih tingkat dua adalah = 12a + 2b

Suku pertama dari selisih tingkat tiga adalah = 6a

4. Barisan Berderajat Empat

Bentuk umum: edncnbnanUn 234 .

Dengan demikian edcbau 1 , edcbau 248162 ,

edcbau 3927813 , edcbau 41664254 ,

edcbau 5251256254 dan seterusnya. Identifikasi selisih tetapnya

adalah sebagai berikut:

a+b+c+d 8a+4b+2c+d 27a+9b+3c+d 64a+16b+4c+d

7a+3b+c 19a+5b+c 37a+7b+c

12a+2b 18a+2b

6a

8

Suku pertama dari barisan di atas adalah = a + b + c + d + e

Suku pertama dari selisih tingkat satu adalah = 15a + 7b + 3c + d

Suku pertama dari selisih tingkat dua adalah = 50a + 12b + 2c

Suku pertama dari selisih tingkat tiga adalah = 60a + 6b

Suku pertama dari selisih tingkat empat adalah = 24a

C. Induksi Matematika

Induksi matematik merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam

matematika. Melalui induksi matematik kita dapat mengurangi langkah-langkah

pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan

kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas.

Prinsip Induksi Sederhana

Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan ingin

dibuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk

membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:

1. p(1) benar, dan

a+b+c+d+e 16a+8b+4c+2d+e 81a+27b+9c+3d+e 256a+64b+16c+4d+e 625a+125b+25c+5d+e

15a+7b+3c+d 65a+19b+5c+d 175a+37b+7c+d 369a+61b+9c+d

50a+12b+2c 110a+18b+2c 194a+24b+2c 60a+6b 84a+6b 24a

9

2. untuk semua bilangan bulat positif n 1, jika p(n) benar maka p(n + 1) juga

benar.

Langkah 1 dinamakan basis induksi, sedangkan langkah 2 dinamakan

langkah induksi. Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan

bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi. Bila kita sudah

menunjukkan kedua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa

p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.

D. Penemuan Rumus Beberapa Deret Khusus dengan Menggunakan Konsep

Barisan Bertingkat

Penemuan rumus jumlah bilangan asli pertama, rumus jumlah bilangan

kuadrat pertama, dan rumus jumlah bilangan kubik pertama adalah sebagai

berikut:

1. Akan ditemukan rumus untuk nin

i

....3211

Dari deret di atas diperoleh:

Jumlah 1 suku pertama = 1

Jumlah 2 suku pertama = 1 + 2 = 3

Jumlah 3 suku pertama = 1 + 2 + 3 = 6

Jumlah 4 suku pertama = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Jumlah 5 suku pertama = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Jumlah 6 suku pertama = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

Dan seterusnya hingga jumlah n suku pertama.

10

Dari jumlah suku pertama di atas dapat dibentuk barisan sebagai berikut:

1 3 6 10 15 21 ….

Identifikasi selisih tetap dari barisan di atas adalah sebagai berikut:

Suku pertama dari barisan di atas = 1

Suku pertama dari selisih tingkat satu = 2

Suku pertama dari selisih tingkat dua = 1

Berdasarkan konsep barisan bertingkat (berderajat dua) diperoleh tiga

persamaan sebagai berikut:

2a = 1 ............(1)

3a + b = 2 ............(2)

a + b + c = 1 ……....(3)

Dari persamaan 1 diperoleh

2

1

12

a

a

Substitusi nilai 2

1a ke persamaan (2) sehingga diperoleh

1 3 6 10 15 21 ….

2 3 4 5 6

1 1 1 1

a+b+c

3a+b

2a

11

2

1

2

32

22

3

32

13

23

b

b

b

ba

Substitusi 2

1a dan

2

1b sehingga diperoleh

0

12

1

2

1

1

c

c

cba

Substitusi 2

1a ,

2

1b , dan c = 0 ke bentuk umum barisan berderajat dua

cbnanUn 2

Sehingga diperoleh )1(2

10

2

1

2

1 2 nnnnU n

Jadi, nin

i

....3211

= )1(2

1nn

Selanjutnya, akan dibuktikan kebenaran rumus yang diperoleh dengan

menggunakan induksi matematika.

Untuk setiap Nn , andaikan Pn adalah pernyataan:

Pn : n ....321 = )1(2

1nn

(i) 12

)11(11:1

P

12

(ii) Andaikan Pn benar untuk n = k

Pk : k ....321 = )1(2

1kk

Akan dibuktikan kebenaran Pn untuk n= k + 1

Pk+1 : k ....321 +(k+1) = )1(2

1kk + (k+1)

2

)11(12

)2(12

23

2

)1(2

2

2

kk

kk

kk

kkk

Dari (i) dan (ii) maka terbukti bahwa Pn : n ....321 = )1(2

1nn

benar untuk setiap bilangan positif n.

2. Akan ditemukan rumus untuk 2222

1

2 ....321 nin

i


Jumlah 1 suku pertama = 1






13

1 5 14 30 55 91 140

4 9 16 25 36 49

5 7 9 11 13

2 2 2 2

a+b+c+d

7a+3b+c

12a+2b

6a

Jumlah 7 suku pertama = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 140



1 5 14 30 55 91 140 ….

Identifikasi selisih tetapnya adalah sebagai berikut:

.....




Suku pertama dari selisih tingkat tiga = 2

Berdasarkan konsep barisan bertingkat (berderajat tiga) diperoleh tiga


6a = 2 .........(1)

12a + 2b = 5 .........(2)

7a + 3b + c = 4 .........(3)

a + b + c + d = 1 .........(4)

Dari persamaan (1) diperoleh

14

3

1

26

a

a

Substitusi nilai 3

1a ke persamaan (2)

2

1

12

524

523

13

5212

b

b

b

b

ba

Substitusi nilai 3

1a dan

2

1b ke persamaan (3)

6

16

234

46

23

46

914

42

3

3

7

42

13

3

17

437

c

c

c

c

c

c

cba

Substitusi nilai 3

1a ,

2

1b , dan

6

1c ke persamaan (4)

15

0

16

6

16

1

2

1

3

1

1

d

d

d

dcba

Substitusi 3

1a ,

2

1b , c =

6

1, dan d = 0 ke bentuk umum barisan berderajat

tiga dcnbnanUn 23 .

6

)12)(1(

)12)(1(6

)132(6

6

1

2

1

3

1

2

23

23

nnn

nnn

nnn

nnn

dcnbnanU n

Jadi, 2222

1

2 ....321 nin

i

= 6

)12)(1( nnn

Selanjutnya akan dibuktikan kebenaran rumus yang diperoleh dengan

menggunakan prinsip induksi matematika.

Untuk setiap Nn , andaikan Pn adalah pernyataan

2222 ....321: nPn = 6

)12)(1( nnn

(i)

116

)112)(11(11: 2

1

P

16

(ii) Andaikan Pn benar untuk n = k berarti

2222 ....321: kPk = 6

)12)(1( kkk

Akan dibuktikan kebenaran Pn untuk n = k + 1

22222)1( 1....321: kkP k = 21

6

)12)(1(

k

kkk

6

1121116

32216

61392

6

612632

6

12632

126

)132(

23

223

223

22

kkk

kkk

kkk

kkkkk

kkkkk

kkkkk

Dari (i) dan (ii) terbukti bahwa 2222 ....321: nPn = 6

)12)(1( nnn

adalah benar untuk setiap bilangan bulat positif n.

3. 3333

1

3 ....321 nin

i


Jumlah 1 suku pertama = 13 = 1



17




Jumlah 7 suku pertama = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73= 784



1 9 36 100 225 441 784 ….

Identifikasi selisih tetap dari barisan di atas adalah sebagai berikut:




Suku pertama dari selisih tingkat tiga = 18

Suku pertama dari selisih tingkat empat = 6

Berdasarkan konsep barisan bertingkat (berderajat empat) diperoleh tiga


24a = 6 ............(1)

1 9 36 100 225 441 784 …..

8 27 64 125 216 343

19 37 61 91 127

18 24 30 36

a+b+c+d+e

15a+7b+3c+d

50a+12b+2c

60a+6b

24a 6 6 6

18

60a + 6b = 18 ............(2)

50a + 12b + 2c = 19 ............(3)

15a + 7b + 3c + d = 8 ............(4)

a + b + c + d + e = 1 ............(5)

Dari persamaan (1) diperoleh

4

1

624

a

a

Substitusi 4

1a ke persamaan (2)

2

1

36

18615

1864

160

18660

b

b

b

b

ba

Substitusi 4

1a dan

2

1b ke persamaan (3)

19

4

12

12

1922

37

1922

12

2

25

1922

112

4

150

1921250

c

c

c

c

c

cba

Substitusi 4

1a ,

2

1b , dan

4

1c ke persamaan (4)

0

84

32

84

3

4

14

4

15

84

13

2

17

4

115

83715

d

d

d

d

dcba

Substitusi 4

1a ,

2

1b ,

4

1c , dan d = 0 ke persamaan (5)

0

11

104

1

2

1

4

1

1

e

e

e

edcba

Substitusi 4

1a ,

2

1b ,

4

1c , d = 0, dan e = 0 ke bentuk umum barisan

berderajat empat edncnbnanUn 23 .

20

2

22

22

234

234

2

)1(

)1(4

)12(4

4

1

2

1

4

1

nn

nn

nnn

nnn

edncnbnanU n

Jadi, 2

3333

1

3

2

)1(....321

nnni

n

i

Selanjutnya akan dibuktikan kebenaran rumus yang diperoleh dengan

menggunakan prinsip induksi matematika.

Untuk setiap Nn , andaikan Pn adalah pernyataan

23333

2

)1(....321:

nn

nPn .

(i)

12

1111:

23

1

P

(ii) Andaikan Pn benar untuk n = k berarti

23333

2

)1(....321:

kk

kPk

Akan dibuktikan kebenaran Pn untuk n = k + 1.

32

333331 1

2

)1()1(....321:

kkk

kkPk

21

2

22

234

23234

322

2

11)1(

4

21

4

22114

13434

1332

14

)12(

kk

kk

kkkk

kkkk

kkkkkk

kkkk

Dari (i) dan (ii) terbukti bahwa 2

3333

2

)1(....321:

nn

nPn benar

untuk setiap bilangan positif n.

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Dari pembahasan, dapat diambil kesimpulan bahwa rumus jumlah n

bilangan asli pertama, rumus kuadrat n bilangan asli pertama, dan rumus

jumlah kubik n bilangan asli pertama adalah sebagai berikut:

1. nin

i

....3211

= )1(2

1nn

2. 2222

1

2 ....321 nin

i

= 6

)12)(1( nnn

3.2

3333

1

3

2

)1(....321

nnni

n

i

B. Saran

Diharapkan bagi para pendidik agar lebih kreatif dan inovatif dalam

menggunakan berbagai konsep untuk menemukan berbagai rumus.

DAFTAR PUSTAKA

Iryanti, Puji. 2008. Pembelajaran Barisan , Deret Bilangan dan Notasi Sigma di SMA. Yogyakarta: Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan pendidik dan Tenaga Kependidikan Matematika.

Pramudjono. 2007. Aljabar. Samarinda: Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Mulawarman.

Simangunsong, Wilson. 2002. Matematika Dasar. Jakarta: Erlangga.

fkip.mtk-152

Documents