fismat tugas 3

TUGAS (3) FISIKA MATEMATIKA 2

FAHMI SETIAWANK2310036

Chapter 4

Section 8

Informasi untuk soal nomor 3 dan 6

Jika f x=f y=0 saat (a,b), maka

(a,b) adalah titik minimum jika saat (a,b), f xx>0 , f yy>0 ,dan

f xx f yy> f2xy

(a,b) adalah titik maksimum jika saat (a,b), f xx<0 , f yy<0 ,dan

f xx f yy> f2xy

(a,b) bukan titik maksimum ataupun minimum jika f xx f yy< f2xy

Tentukan titik maksimum dan minimum dari fungsi soal nomor 3 dan 6 :

3. x2+ y2+2x−4 y+10

Penyelesaian :

f x=2 x+20=2x+2x=−1

f y=2 y−40=2 y−4y=2

f x=2 x+2f xx=2f xx>0

f y=2 y−4f yy=2f yy>0

Sehingga titik minimum dari fungsi x2+ y2+2x−4 y+10 adalah (-1,2).

Dan fungsi x2+ y2+2x−4 y+10 tidak memiliki titik maksimum, karena hanya

memiliki satu nilai f xx dan f yy yaitu 2.



6. x3− y3−2xy+2

Penyelesaian :

f x=3 x2−2 y

0=3 x2−2 y3 x2=2 y

3 x2=2 yf y=3 y2−2x

0=3 y2−2 x3 y2=2x

3(94x2)=2x

27 x2=8 xx (27 x−8 )=0

x=0 atau x= 8

27

Sehingga (0,0 )atau ( 827,

827 )

f x=3 x2−2 yf xx=6 x

x=0 maka f xx=0

x= 827 maka

f xx=169

f y=3 y2−2xf yy=6 y

y=0maka f yy=0

y= 827 maka

f yy=169

Jika (0,0) maka f xx f yy=0



Jika ( 827,

827 )

maka f xx f yy=

64729

f x=3 x2−2 yf xy=−2

f2xy=4

Baik saat (0,0) ataupun ( 827,

827 )

, f xx f yy< f2xy

Sehingga (0,0) ataupun ( 827,

827 )

bukan titik maksimum ataupun minimum

15. Tentukan titik pada garis melalui (1,0,0 ) dan (0,1,0 ) yang terdekat dengan

garis x= y=zTentukan pula titik pada garis x= y=zyang terdekat dengan

garis melalui (1,0,0 ) dan (0,1,0 )

Penyelesaian :

m=ΔyΔx

m=1−00−1

m=−1y− y1=m (x−x1)y−0=−1 (x−1 ))y+x=1

y

x

Luas segitiga pada alas xy adalah 0,5 satuan

Jarak dari titik (1,0,0) dan (0,1,0) adalah

d=√x2+ y2+z2=√2 satuan



Oleh karenanya apabila dihitung jarak terdekat (a) dari titik awal sampai garis y +

x = 1 adalah

L=√2⋅a2

a=0,5⋅2

√2

a=√22

Oleh karena a=√ x2+ y2dan x = 1- y maka

(√22 )

2

=1−2 y+2 y2

0=12

−2 y+2 y2

0=1−4 y+4 y2

(2 y−1 )2=0

sehingga

x=12 dan

y=12

sehingga titik terdekat pada garis melalui (1,0,0 ) dan (0,1,0 ) dengan garis

x= y=z adalah ( 12,12,0)

karena x=1

2 dan y=1

2 maka z=1

2

Oleh karenanya luas segitiga yang menghubungkan garis y+x=1 dan x= y=z

adalah

L=z⋅a2

L=√28

Atau L= c⋅b

2



Dimana b adalah panjang dari titik awal (0,0,0) sampai ( 1

2,

12,12 )

yang besarnya

yaitu :

b=√ 14+ 1

4+ 1

4=√ 3

4=√3

2

Dan c merupakan jarak terdekat antara garis x= y=z dan y+x=1 yang

besarnya adalah

L=c√32

√28

=c√32

c=√64

e c

x d

sehingga

asin 90

=csin x

√22

=√64 sin x

sin x=√32

x=60

esin (90−x )

=csin x

e12

=√6

4⋅√32

e=√24

Oleh karena e=√ x2+ y2+ z2 dan x = y = z, mkaa



(√24 )

2

=3x2

124

=x2

x=√124

=√612

Sehingga titik terdekat pada garis x= y=z dengan garis melalui (1,0,0 ) dan

(0,1,0 )adalah(√612, √612, √612 )

Soal tambahan

Kotak tanpa tutup memiliki luas penampang 108 cm2. Tentukan dimensi kotak

agar volume maksimal !

Penyelesaian :

Misal xy = 108 cm2

A=xy+2xz+2 yz

A=108+2 xz+2 yz…………….. (i)

V=xyzV=108 z

z= V108 …………… (ii)

Dengan mensubtitusikan persamaan (ii) dan y=108

x ke persamaan (i) maka akan

diperoleh :

A=108+x V54

+108V54 x

A=108+x V54

+ 2Vx …………… (iii)

Dengan mendiferensialkan persamaan (iii) dan mengatur sama dengan nol akan

diperoleh:



∂ A∂ x

=V54

−2V

x2

0=V54

−2V

x2

2V

x2=V

54

x2=108x=6√3

Oleh karena x=6√3 maka

y=1086√3

=6√3

Sehingga volume maksimumnya adalah xyz = ….

Section 9

6. Sebuah kotak memiliki tiga sisi yang letaknya pada bidang koordinat dan satu

vertex pada bidang 2 x+3 y+4 z=6 . Tentukan volume maksimum kotak

tersebut!

Penyelesaian :

2 x+3 y+4 z=6 ………………. (i)

Dengan menggunakan metode perkalian Lagrange akan diperoleh :

F=xyz+λ (2 x+3 y+4 z )

Dengan mengatur ketiga turunan parsial sama dengan nol akan diperoleh :

∂F∂ x

= yz+2 λ

0= yz+2 λ

λ=− yz2 ………………. (ii)

∂F∂ y

=xz+3 λ

0=xz+3 λ………………. (iii)

∂F∂ z

=xy+4 λ



0=xy+4 λ ……………… (iv)

Dengan mensubtitusikan persamaan (ii) ke persamaan (iii) akan diperoleh :

xz−3yz2

=0

x=3 y2 …………………… (v)

Dengan mensubtitusikan persamaan (ii) ke persamaan (iv) akan diperoleh :

0=xy−4yz2

x=2 z……………………… (vi)

Dengan mensubtitusikan persamaan (v) ke persamaan (vi) akan diperoleh :

4 z=3 y

y= 4 z3 ……………………… (vii)

Dengan mensubtitusikan persamaan (vi) dan (vii) ke persamaan (i) akan diperoleh

:

4 z+4 z+4 z=612 z=6

z=12

Sehingga persamaan (vii) dan (vi) menjadi

y=23

x=1

Sehingga volume maksimum kotak adalah

xyz=1⋅23⋅12

xyz=13

11. Tentukan jarak terpendek dari titik awal ke garis yang berpotongan dengan

bidang 2 x+ y−z=1 danx− y+z=2 !

Penyelesaian :



Dengan menjumlahkan 2 x+ y−z=1 danx− y+z=2 akan didapatkan

3 x=3x=1

Sehingga dengan mensubtitusikan x = 1 akan diperoleh

y=−1+z…………………….. (i)

Dengan menggunakan metode Lagrange, kita akan menemukan tiga turunan

parsial dari

F=x2+ y2+ z2+λ1 (2 x+ y−z )+λ2 (x− y+z )

Dan mengatur supaya masing-masing sama dengan nol, maka persamaan di atas

akan menjadi

∂F∂ x

=2x+2 λ1+ λ2

0=2x+2 λ1+λ2

∂F∂ y

=2 y+ λ1−λ2

0=2 y+ λ1−λ2 ……………… (ii)

∂F∂ z

=2 z− λ1+ λ2

0=2 z−λ1+ λ2 ……………….. (iii)

Dengan menjumlahkan persamaan (ii) dan (iii) maka akan diperoleh :

0=2 y+2 z

y=− z…………………………(iv)

Dengan mensubtitusikan persamaan (iv) ke persamaan (i) akan diperoleh :

−z=−1+z−2 z=−1

Sehingga z=1

2 dan y=−1

2

Oleh karenanya x = 1, z=1

2 dan y=−1

2

Sehingga jarak terpendek adalah



d=√x2+ y2+z2

d=√1+14

+14

d=√64

d=12

√6

fismat tugas 3

Documents