2.1 Transformasi dan Postulat Relativitas Khusus PETA KONSEP MENGENAI TEORI RELATIVITAS

Kebanyakan pengamatan dan pengalaman kita sehari-hari berhubungan dengan kecepatan yang jauh lebih kecil daripada kecepatan cahaya. Hukum mekanika Newton dan ide awal tentang ruang dan waktu dijelaskan berdasarkan kecepatan ini. Pada tahun 1905, dalam usia 26 tahun, Einstein dengan ketajaman intuisinya berhasil mengemukakan 2 postulatnya tentang relativitas khusus, yang menjelaskan tentang batas kecepatan suatu partikel. Disebut teori relativitas khusus karena teori relativitas ini hanya berlaku untuk kerangka acuan inersial yaitu kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan konstan. Baru setelah 10 tahun kemudian yaitu pada tahun 1916 Einstein mengusulkan teori relativitas umum, yang berlaku bagi semua kerangka acuan baik inersial maupun non-inersial.

2.1.1. Relativitas Newton 2.1.1.1 Semua Gerakan itu RelatifMisalkan Anda berada di kereta yang sedang melaju dengan kelajuan 60 km/jam terhadap orang yang diam di tepi rel. Kemudian Anda berjalan di atas kereta dengan kelajuan 5 km/jam searah dengan gerak kereta. Orang yang diam dalam kereta mengatakan bahwa kelajuan Anda 5 km/jam, tetapi orang yang diam di tepi rel mangatakan kelajuan Anda 65

1

km/jam. Siapakah yang benar? Keduanya benar, sebab keduanya memandang gerak Anda sesuai dengan kerangka acuannya. Dengan kata lain, gerak itu relatif.

2.1.1.2 Definisi Kejadian, Pengamat, dan Kerangka AcuanKejadian adalah suatu peristiwa fisika yang terjadi dalam suatu ruang pada suatu waktu tertentu. Contoh kejadian adalah: kilat di langit, tumbukan antara dua mobil, buah jatuh dari pohonnya, dan sebagainya. Seseorang yang mengamati suatu kejadian dan melakukan pengukuran, misalnya pengukuran koordinat dan waktu, disebut pengamat. Alat ukur apa saja yang melakukan pengukuran terhadap suatu kejadian juga disebut pengamat. Untuk menentukan letak sebuah titik dalam ruang, kita memerlukan suatu sistem koordinat atau kerangka acuan. Misalnya, untuk menyatakan buah sebelum jatuh dari pohonnya, seorang pengamat memerlukan suatu kerangka acuan dalam sistem koordinat (x, y, z). Jadi, kerangka acuan adalah suatu sistem koordinat, misalnya sistem koordinat (x, y, z) di mana seorang pengamat melakukan pengamatan terhadap suatu kejadian.

2.1.1.3 Relativitas NewtonTeori relativitas berhubungan dengan kejadian-kejadian yang diamati dari kerangka acuan inersial, yaitu kerangka acuan di mana hukum I Newton (hukum inersia) berlaku. Hukum I Newton menyatakan bahwa jika pada suatu benda tidak bekerja gaya resultan ( gaya resultan = 0 ), maka benda akan selamanya diam atau selamanya bergerak dengan kecepatan konstan pada garis lurus tadi. Jadi, kerangka acuan inersial adalah suatu kerangka acuan yang berbeda dalam keadaan diam atau bergerak terhadap kerangka acuan lainnya dengan kecepatan konstan pada suatu garis lurus. Galileo dan Newton mengemukakan tentang apa yang sekarang kita sebut sebagai prinsip relativitas Newton, yaitu hukum-hukum mekanika berlaku pada semua kerangka acuan inersial. Untuk memahami prinsip ini, mari kita mempelajari kejadian berikut. Jika Anda menjatuhkan koin di rumah, maka koin menempuh suatu lintasan lurus vertikal dan jatuh di atas lantai, tepat vertikal di bawah kedudukan awal koin. Bagaimana jika Anda menjatuhkan koin di dalam sebuah mobil yang sedang bergerak? Menurut Anda yang berada di mobil, koin pun menempuh lintasan lurus vertikal dan jatuh di atas lantai mobil, tepat vertikal di bawah kedudukan awal koin. Tetapi menurut orang yang diam di luar mobil ( kerangka acuan tanah ) , koin mengikuti lintasan lengkung parabola. Jadi , lintasan nyata yang ditempuh koin adalah berbeda jika dipandang dari kerangka acuan yang berbeda. Ini tidak menentang prinsip relativitas Newton sebab prinsip ini menyatakan bahwa hukum-hukum mekanika berlaku sama pada semua kerangka acuan inersial. Hukum gravitasi yang sama dan hukum-hukum gerak yang sama berlaku pada kedua kerangka inersial . Perbedaannya adalah bahwa pada kerangka acuan tanah , koin memiliki kecepatan awal horizontal ( sama dengan kecepatan mobil ) . Hukum-hukum mekanika karena itu memperkirakan bahwa koin akan menempuh lintasan parabola , serupa dengan lintasan peluru yang ditembakkan horizontal. Dalam kerangka acuan mobil , koin tidak memiliki kecepatan awal horizontal , dan hukum-hukum mekanika memperkirakan bahwa koin akan jatuh bebas menempuh lintasan lurus vertikal . Jadi , hukum mekanika berlaku sama pada kedua kerangka acuan inersial tersebut walaupun lintasan yang ditempuhnya berbeda .

2.1.2.Transformasi GalileoRelativitas berhubungan dengan dua kerangka acuan yang saling bergerak dengan kecepatan konstan . Ada yang perlu diluruskan disini mengenai ruang dan waktu mutlak. Konsepsi ruang mutlak adalah hasil pemikiran Aristoteles, bukan Newton. Aristoteles2

menganggap setiap objek hanya bisa dianggap bergerak apabila telah terjadi perubahan jarak yang mengacu kepada kerangka referensi bintang-bintang tetap (fixedstars), yang disebutnya berada di luar lingkungan tata surya. Model ruang mutlak ini kemudian diadopsi oleh Gereja Katolik dan disebutkan bahwa dalam lingkungan bintang-bintang tetap inilah terdapat surga dan neraka . Newton, dengan mengacu pada transformasi Galileo, menolak adanya ruang mutlak. Menurut Newton, sebuah objek hanya bisa disebut bergerak jika telah terjadi perubahan jarak dengan objek lain (sembarang obyek) di dunia ini. Jadi yang ada hanya ruang relatif. Karena konsepsinya ini, Galileo kemudian diinkuisisi Gereja dan dijatuhi tahanan rumah. Namun baik Galileo maupun Newton tetap meyakini adanya waktu mutlak. Yakni waktu bagi seluruh objek di alam semesta ini adalah identik, tanpa dipengaruhi kedudukan dan kecepatan setiap objek. Nah, anggapan tentang waktu mutlak inilah yang direvisi oleh Einstein dengan relativitas khususnya. Cara mudah memahami relativitas khusus adalah dengan meninjau kerangka acuan di bawah ini :|Y' | |======> V |_ _ _ _ _ /O' X' |Y / | / | /Y' |_ _ _ _ _ /O X / / /Y

Ada dua macam objek dengan kerangka acuannya masing-masing. Objek O dengan kerangka XYZ dan objek O' dengan kerangka X'Y'Z'. O melihat O' bergerak dengan kecepatan V ke arah sumbu X'. Jika kita menurut pada pemikiran Galileo (yang kemudian dikembangkan Newton menjadi hukum-hukum geraknya), karena sumbu Y sejajar dengan Y' dan sumbu Z sejajar pula dengan Z', maka bisa dikatakan Y = Y' dan Z = Z', sehingga yang perlu diperhatikan hanyalah sumbu X danX'. Menurut Galileo, O melihat O' bergerak sejauh : X' = X + vt (1)

Sementara jika dibalik, O' melihat O bergerak sejauh : X = X' - vt (2)

Transformasi Galileo untuk kecepatan Untuk menempuh tranformasi Galileo untuk kecepatan , persamaan berikut harus kita diferensialkan terhadap waktu :

,3

,

Sehingga kita peroleh

Transformasi Galileo untuk Kecepatan Ux = Ux v Uy = Uy Uz = U z

Transformasi Kebalikan Ux = Ux + v Uy = Uy Uz = Uz

Di sini, Ux adalah komponen kecepatan benda sejajar sumbu X Uy adalah komponen kecepatan benda sejajar sumbu Y Uz adalah komponen kecepatan benda sejajar sumbu Z

2.1.3. Postulat Relativitas KhususPada tahun 1888 Hertz berhasil membuktikan hipotesis Maxwell bahwa cahaya termasuk gelombang elektromagnetik, yang merambat melalui udara dengan kecepatan c = 3 x 108 m/s. Sesuai dengan pendapat umum pada saat itu bahwa gelombang memerlukan medium untuk merambat, para ilmuwan kemudian mengemukakan hipotesis eter: Jagat raya dipenuhi oleh eter stasioner yang tidak mempunyai wujud tetapi dapat mempertahankan perambatan gelombang . Penelitian kemudian ditujukan untuk menemukan eter. Jika eter dapat ditemukan, maka dua pertanyaan yang masih merupakan teka-teki pada zaman itu dapat dijawab, yaitu: 1. Seperti diketahui bahwa jika anda berlari, maka Anda bergerak terhadap kerangka acuan tanah di lokasi tempat Anda berlari. Tanah di lokasi tempat Anda berlari bergerak terhadap poros Bumi. Poros Bumi bergerak terhadap Matahari. Dan Matahari itu sendiri tidak diam, tetapi mengorbit mengitari pusat galaksi kita (Galaksi Bima Sakti), sedang Galaksi Bima Sakti juga bergerak terhadap galaksi lainnya. Adakah suatu kerangka acuan yang mutlak diam, dan karena itu semua pengukuran dapat dibuat relatif terhadap kerangka acuan mutlak ini? Cahaya sebagai perambatannya? gelombang haruskah memerlukan medium dalam

2.

2.1.3.1 Kerangka Acuan UniversalDalam menentukan posisi suatu benda , kita menggunakan suatu kerangka acuan . Ada 2 macam kerangka acuan yaitu kerangka inersial dan kerangka non-inersial . Kerangka non-inersial adalah kerangka acuan ketika benda yang berada dalam kerangka ini mengalami percepatan akibat gerakan kerangka ini . Pada kerangka inersial , benda tidak mengalami percepatan tambahan akibat gerakan kerangka ini. Bumi dapat dianggap sebagai suatu kerangka inersial . Walaupun putaran bumi dapat menyebabkan benda-benda di dalamnya dipercepat dengan percepatan4

sentripetal , namun percepatan sentripetal ini sangat kecil dibandingkan percepatan akibat gravitasi yang arahnya sama . Jadi , percepatan sentripetal ini dapat diabaikan dan bumi kita anggap sebagai suatu kerangka inersial . Suatu kerangka yang bergerak dengan kecepatan konstan relatif terhadap suatu kerangka inersial juga merupakan suatu kerangka inersial . Misalnya kereta yang bergerak lurus beraturan relatif terhadap tanah dapat dianggap sebagai suatu kerangka inersial . Anggap kamu melakukan suatu percobaan di suatu laboratorium misalnya percobaan ayunan sebuah bandul . Periode bandul diberikan oleh rumus :

Jika percobaan ini dilakukan dalam sebuah kereta yang sedang bergerak dengan kecepatan konstan relatif terhadap bumi , maka seolah-olah seluruh alat percobaan bergerak dengan kecepatan v relatif terhadap bumi. Akan tetapi gerak ayunan bandul tidak akan berubah karena menurut hukum I Newton, gerakan suatu benda tidak akan berubah jika tidak ada gaya yang merubahnya. Jadi, di dalam kereta, rumus periode bandul sederhana tadi tetap berlaku. Dengan demikian, dalam hal ini dapat dikatakan bahwa: semua hukum Fisika berlaku pada setiap kerangka inersial. Misalnya, ada dua orang, yaitu A dn B sedang melakukan percobaan. A berada di laboratorium yang diam, sedangkan B di dalam mobil dengan kecepatan tetap. Ternyata hasil yang diperoleh A dan B adalah sama. Kebalikannya, jika A yang di dalam mobil, sedangkan B yang di laboratorium yang diam, ternyata hasilnya juga sama. Jika dua orang tadi mengamati suatu percobaan dan ternyata hasilnya sama, maka sulit bagi kedua orang ini untuk menentukan mana yang bergerak dan mana yang diam. Menurut A ia diam dan B bergerak. Adapun menurut B, ia yang diam dan A yang bergerak. Pemecahannya adalah dengan mengambil salah satu sebagai acuan (misalnya A) dan menganggap yang lain (B) bergerak relatif terhadap acuan (A). Konsep gerak relatif ini menunjukkan bahwa semua gerak adalah relatif, tidak ada gerak absolut. Jadi, penting sekali untuk menentukan suatu kerangka acuan tertentu dalam perhitungan Fisika.

2.1.3.2. Percobaan Michelson-MorleyPada pembahasan gelombang , telah dipelajari bahwa semua gelombang mekanik memerlukan medium untuk merambat dan kecepatan rambatnya bergantung pada sifat-sifat medium . Jadi , tidaklah mengherankan jika setelah Maxwell mengemukakan teori gelombang elektromagnetiknya , para ilmuwan segera berlomba-lomba menemukan medium perambatan gelombang elektromagnetik ini . Pada waktu itu , para ilmuwan berpendapat bahwa gelombang elektromagnetik merambat melalui eter . Akan tetapi , karena eter belum pernah teramati dalam percobaan , maka eter dipostulatkan sebagai zat tidak bermassa dan tidak tampak , tetapi mengisi seluruh ruangan . Satu-satunya fungsi eter adalah sebagai medium perambatan gelombang elektromagnetik Percobaan awal yang cukup teliti untuk mendapatkan bukti keberadaan eter dilakukan pada tahun 1887 oleh fisikawan Amerika , Albert A.Michelson dan rekannya E.W Morley . Mereka menggunakan interferometer yang dirancang5

khusus untuk percobaan mereka . Dalam percobaan itu seberkas cahaya monokromatis dipisahkan menjadi 2 berkas yang dibuat melewati 2 lintasan berbeda dan kemudian disatukan kembali . Karena adanya perbedaan panjang lintasan ( jarak ) yang ditempuh kedua berkas , maka akan dihasilkan suatu pola interferensi .

Gbr 1 Skema Inferometer Michelson

Prinsip ini didasarkan pada penjumlahan vektor kecepatan . Perahu A dan B bergerak dengan kecepatan C relatif terhadap tanah melalui sungai yang airnya mengalir dengan kecepatan v relatif terhadap tanah . Adapun resultan kecepatan kapal melintasi sungai menjadi :

Gbr 2 Prinsip Penjumlahan Kecepatan Perahu dengan kecepatan arus sungai Waktu yang diperlukan oleh perahu A untuk pulang pergi

Sedangkan sebuah perahu lainnya , yaitu perahu B mencoba menempuh jarak d sejajar dengan arah aliran . Pada waktu perahu bergerak dengan laju c searah lintasan aliran sungai , kecepatan perahu B bertambah sebanding dengan kecepatan aliran air sehingga perahu B membutuhkan waktu bolak-balik sebesar :

6

Bentuk ini dapat diuraikan menjadi

Apabila ta dibandingkan dengan tb akan diperoleh :

Jadi , bila kecepatan perahu c diketahui , ta dan tb dapat diukur sehingga kecepatan aliran v akan dapat dihitung . Pada tahun 1887 Michelson dan Morley mempergunakan contoh sederhana di atas untuk mencoba mengukur kecepatan aliran eter apabila eter benar-benar ada . Oleh Michelson dan Morley , prinsip pada perahu A dan B diterapkan pada pasangan berkas cahaya yang berasal dari satu sumber monokromatik . Berkas cahaya dari sumber monokromatik dilewatkan pada kaca setengah cermin yang berlaku sebagai pemecah berkas (beam splitter). Beam splitter akan meneruskan sebagian berkas cahaya yang mengenainya dan memantulkan sebagian sisanya . Baik berkas yang diteruskan maupun dipantulkan oleh beam splitter akan mengenai cermin pantul .

Gbr 3 Bagian dari percobaan MichelsonMorley

7

Andaikan eter diam terhadap bumi dan benda-benda langit lainnya. Oleh karena bumi bergerak terhadap eter , maka akan terjadi selisih panjang lintasan cahaya yang searah dengan arah gerak bumi dan cahaya yang tegak lurus ke arah gerak bumi sehingga waktu tempuh kedua berkas untuk sampai ke detektor akan berbeda . Jika ini terjadi atau dengan kata lain jika konsep tentang adanya eter ini benar seharusnya pola interferensi yang teramati pada layar detektor akan berubah-ubah membentuk pola terang-gelap bergantian . Dengan melakukan percobaan berkali-kali untuk posisi dan waktu yang berbeda-beda ternyata tidak terdapat perbedaan antara ta dan tb. Dari hasil percobaan Michelson dan Morley dapat disimpulkan hal berikut : 1. Tidak terdapat eter 2. Kecepatan cahaya dalam segala arah tidak bergantung dari gerak bumi

2.1.3.3 Postulat Einstein untuk Teori Relativitas KhususTidak teramatinya pergeseran pola frinji berarti t = 0, yaitu tidak ada beda waktu antara cahaya yang merambat sejajar rotasi Bumi dan cahaya yang merambat tegak lurus rotasi Bumi. Hasil nol ini membuktikan kesulitan yang sangat hebat bagi para ilmuwan saat itu. Selama ratusan tahun mereka dengan sangat teguh telah menerima pernyataan Isaac Newton bahwa ruang dan waktu adalah mutlak sedangkan cahaya adalah relatif. Padahal hasil nol ini menunjukkan kebalikannya, yaitu cahaya adalah mutlak, yang berdampak pada ruang dan waktu adalah relatif (tidak mutlak). Sungguh tak terbayangkan oleh para ilmuwan untuk melanggar aturan dengan menyatakan bahwa waktu dan ruang adalah relatif. Mereka tetap yakin bahwa medium eter ada dan menghabiskan waktu untuk menjelaskan mengapa hasil nol ini terjadi. Sewaktu Michelson dan Morley melakukan eksperimen mereka, Einstein yang baru berusia 18 tahun telah melakukan percobaan sendiri. Dalam usia belasan tahun ia telah bergulat langsung dengan eksperimen untuk medeteksi eter. Dari kerja keras bersama rekan-rekannya, Einstein berani melanggar aturan dengan mengambil pendekatan yang berbeda untuk memahami masalah eter. Dia bertanya-tanya pada dirinya sendiri apakah kita memang perlu eter? Einstein seperti halnya Faraday lebih menyukai gambaran yang sederhana, maka ia menganggap saja bahwa eter itu tidak ada. Dari anggapannya itu, dia kemudian menjelaskan fenomena-fenomena fisika yang sesuai dengan fakta (termasuk hasil nol dalam percobaan Michelson-Morley). Pada usia yang masih sangat muda, 26 tahun, ia berhasil memecahkan masalah eter yang telah menyulitkan para ilmuwan senior yang tetap berpegang teguh pada hipotesis eter. Pada tahun 1905, Einstein (1879-1955) mengajukan dua postulatnya, yang terkenal dengan sebutan Postulat Relativitas Khusus, yang berbunyi sebagai berikut. Postulat ke-1 relativitas khusus: Hukum-hukum fisika memiliki bentuk yang sama pada setiap kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan tetap. Postulat ke-2 relativitas khusus: Cahaya merambat melalui ruang hampa dengan cepat rambat c = 3,0 x 108 m/s, dan kelajuan cahaya tak bergantung pada kelajuan sumbernya ataupun kelajuan pengamatnya.8

Misalkan Anda berada dalam sebuah kereta yang jendela kacanya tak tertutup kain sehingga Anda dapat melihat melalui jendela. Berdampingan dengan kereta yang Anda naiki tampak sebuah kereta yang bergerak searah dengan kereta Anda. Jika kereta Anda dan kereta di sebelah Anda memiliki kecepatan yang sama, misalnya 80 km/jam, apakah yang Anda rasakan? Melalui jendela, Anda melihat posisi kereta di sebelah Anda tidak berubah (atau tetap). Anda merasakan seakan-akan kereta Anda dan kereta di sebelah Anda adalah diam. Betulkah demikian? Apa yang terjadi ketika seseorang dalam kereta Anda melompat turun dari kereta karena merasa kereta diam? Dia akan mengalami kecelakaan dan mungkin sudah mati. Mengapa? Karena kereta Anda tidaklah diam terhadap tanah tetapi sesungguhnya sedang bergerak terhadap tanah (orang yang diam di tepi rel) dengan kecepatan 80 km/jam. Contoh ilustrasi ini menunjukkan bahwa semua gerak berubah tempat (posisi), dan kita tidak dapat menyatakan apakah sesuatu benda bergerak atau kitalah yang bergerak. Andaikan eter ada, maka eter dapat dipakai sebagai kerangka acuan yang tetap di jagat raya dan semua gerak dapat dinyatakan bergerak relatif terhadap eter yang diam. Karena eter tidak ada, maka kerangka acuan mutlak juga tidak ada. Apabila hukum-hukum fisika mengenal bentuk yang bebeda untuk dua pengamat yang bergerak relatif dengan kecepatan tetap, maka harus dapat dinyatakan mana pengamat yang diam dan mana pengamat yang bergerak . Karena tidak ada kerangka acuan yang mutlak, maka pernyataan bahwa hukum-hukum fisika mengenal bentuk yang berbeda untuk dua pengamat yang bergerak relatif tidaklah benar. Inilah inti dari Postulat ke-1 Relativitas Khusus. Postulat ke-1 ini adalah perluasan dari prinsip relativitas Newton untuk memasukkan bukan hanya hukum-hukum mekanika tetapi juga hukum-hukum fisika lainnya, termasuk listrik dan magnet. Pemahaman postulat ke-2 diilustrasikan sebagai berikut. Misalkan di dalam kereta api yang sedang melaju dengan kecepatan 66 km/jam, ada dua penumpang yang berjalan di gerbong searah dengan arah gerak kereta dengan kelajuan 4 km/jam. Umumnya, kita akan menyatakan bahwa kelajuan orang tersebut terhadap tanah (orang yang diam di tepi rel) adalah (66 + 4) 70 km/jam. Betulkah penjumlahan tersebut jika orang dalam kereta tadi diganti dengan kedipan cahaya dalam kereta dengan kelajuannya 3 x 108 m/s? Dengan kata lain, apakah bagi pengamat yang diam di tepi rel, laju cahay terhadap dirinya menjadi 66 km/jam + c? Postulat ke-2 dengan tegas menyatakan tidak. Bagi pengamat yang diam di tepi rel, laju kedipan cahaya tetap c. Menurut postulat ke-2, kecepatan cahaya adalah sama untuk semua arah dan ini berlaku di seluruh jagat raya tanpa bergantung pada gerak sumber cahaya ataupun pengamatnya. Tak ada kelajuan lain dalam jagat raya yang memiliki sifat aneh ini. Kelajuan lain, misalnya kelajuan bunyi bergantung pada kerangka acuan. Sebagai contoh, kelajuan bunyi menurut pengamat pada kerangka acuan yang diam terhadap sumber bunyi adalah berbeda nilainya dengan kelajuan bunyi menurut pengamat pada kerangka acuan yang bergerak terhadap sumber bunyi. Hukum penjumlahan kecepatan konvensional (relativitas Newton) tidak berlaku untuk cahaya. Kelajuan cahaya dalam vakum merupakan besaran mutlak, artinya tak ada kelajuan lain yang lebih besar dari kelajuan cahaya. Diukur dalam semua kerangka acuan bergerak, kelajuan cahaya dalam vakum adalah sama, yaitu c = 3 x 108 m/s.

9

2.1.4. Transformasi LorentzKita telah mempelajari persamaan transformasi Yandi dan Joseph yang menghubungkan titik pada koordinat ( x,y,z ) pada kerangka acuan S ke titik pada koordinat (x ,y ,z ). Pada kerangka acuan S yang bergerak dengan kecepatan konstan v relatif terhadap S sepanjang sumbu x-x . Dengan anggapan selang waktu yang dicatat di S ( t=t ) . Akan tetapi , transformasi ini hanya berlaku untuk kecepatan yang hampir menyamai kecepatan cahaya, sedangkan untuk kecepatan yang hampir menyamai kecepatan cahaya diperlukan suatu transformasi baru sehingga berlaku bahwa pada kerangka acuan apa saja, kecepatan cahaya dalam vakum adalah c atau dikatakan merupakan besaran mutlak. Kekeliruan transformasi Galileo untuk kelajuan-kelajuan yang mendekati kelajuan cahaya adalah anggapan bahwa selang waktu pada kerangka acuan S sama dengan selang waktu pada kerangka acuan S(t = t ). Untuk memasukkan konsep relativitas khusus Einstein, maka selang waktu ini tidaklah sama (t t ). Jika kita anggap transformasi ini adalah linear, maka hubungan transformasinya akan mengandung suatu faktor pengali disebut tetapan transformasi. Dengan demikian, transformasi baru ini dapat berbentuk: .......( 1 )

Perhatikan bahwa v di sini adalah kecepatan gerak kerangka acuan S dalam arah sumbu x relatif terhadap kerangka acuan S . Besaran itu dalam pembahasan transformasi Galileo disimbolkan dengan u. Menurut konsep relativitas, hukum-hukum Fisika mempunyai bentuk yang sama pada semua kerangka acuan S maka S dapat dianggap bergerak ke kiri terhadap kerangka acuan S . jadi , hubungan x terhadap x dapat ditulis : ...... ( 2 )

Dengan mensubtitusikan persamaan 1 ke dalam persamaan 2 akan diperoleh :

..... ( 3 )

Misalya partikel P bergerak ke arah sumbu x dalam kerangka acuan S dengan kecepatan Ux . Partikel P ini dapat berupa astronot yang bergerak ke dalam pesawat ruang angkasa atau seberkas sinar yang disorotkan dari dalam pesawat angkasa yang bergerak ( kerangka acuan S ).

10

Jika kecepatan P terhadap kerangka acuan S sama dengan kecepatan Ux = c , maka menurut konsep relativitas Einstein , kecepatan P terhadap kerangka acuan S akan sama besarnya yaitu Ux = c. Dengan demikian diperoleh: ... ( 4 )

Dengan menggunakan persamaan ( 1 ) , ( 3 ) , ( 4 ) akan diperoleh :

Oleh karena x=ct maka

Sehingga persamaan (1) menjadi:

Hasil tranformasi baru untuk selang waktu t dapat diperoleh dari persamaan (3), yaitu:

11

Nilai

dapat dicari sebagai berikut :

Dengan demikian , selang waktu t menjadi

Secara lengkap akhirnya diperoleh transformasi koordinat Lorentz untuk gerak dalam arah sumbu x sebagai berikut

Transformasi Lorentz untuk Kecepatan Transformasi Lorentz untuk kecepatan diperoleh dengan melakkukan diferensiasi. Contoh sederhana adalah kasus ketika benda bergerak hanya dalam arah sumbu x. Jika koordinat ruang dan waktu benda dalam kerangka acuan S diketahui, maka kecepatan gerak benda dalam kerangka S yaitu Ux , dapat dicari dengan rumus Ux = dx /dt . Dengan

dan

kita peroleh

; ingat bahwa dx/dt = Ux sehingga

12

Jika terdapat komponen kecepatan dalam arah sumbu-sumbu lain, kita dapat menemukan rumsunya menggunakan analogi langkah-langkah di atas.

Untuk gerak dalam arah sumbu y, berlaku:

; ingat bahwa dy/dt = Uy sehingga

Untuk gerak dalam arah sumbu z, berlaku

; ingat bahwa dz/dt = Uz sehingga

2.1.5.Penjumlahan Kecepatan RelativistikInilah penerapan dari teori relativitas khusus Einstein . Bayangkan Anda ( A ) sedang berdiri di atas truk terbuka yang sedang bergerak mendatar dengan kelajuan 0,80c melewati seseorang ( D ) yang sedang berdiri di tepi jalan . Kemudian Anda melemparkan sebuah bola ( B ) searah dengan arah gerak truk dengan kecepatan 0,60c realtif terhadap diri Anda .Berapakah kecepatan bola B menurut orang yang berdiri di tepi jalan? Dalam kasus ini kita memiliki Dan ditanya

13

Secara intuisi kita ketahui bahwa kecepatan bola relatif terhadap pengamat D yang diam , adalah penjumlahan kecepatan antara dan . Maka

Diperoleh hasil penjumlahan kecepatan yang melebihi kecepatan mutlak c dan ini jelas menyalahi kenyataan yang diperoleh dari eksperimen . Berdasarkan transformasi Lorentz tentang kecepatan , Einstein mengoreksi kesalahan ini dengan memberikan persamaan yang berlaku untuk penjumlahan relativistik . Untuk kasus gerak 1 dimensi ,

Perhatikan ruas kanan persamaan di atas , pembilangnya persis seperti penjumlahan kecepatan menurut relativitas Newton. Sedangkan penyebutnya merupakan koreksi terhadap realtivitas Newton untuk memasukkan kontraksi panjang dan pemekaran waktu .

2.2 Pemekaran Waktu dan Konstraksi Panjang2.2.1 Pemekaran WaktuDampak dari postulat ke-2 relativitas khusus adalah waktu tidaklah mutlak tetapi relatif bergantung pada gerak pengamat relatif terhadap kejadian yang diamatinya . Mislakan , selang waktu antara dua kejadian yang terjaadi pada tempat yang sama ( x2 = x1 ) dalam kerangka acuan S [kerangka acuan pengamat yang diam terhadap kejadian ] , diukur adalah tp. Tentu saja , tp adalah t2-t1 . Bagaimana hubungan antara tp dan t ? Perhatikan transformasi Lorentz untuk waktu !

Maka

Karena selalu lebih besar daripada satu, maka selang waktu t yang diukur oleh pengamat yang bergerak terhadap suatu kejadian selalu lebih besar daripada selang14

waktu tp yang diukur oleh pengamat yang diam terhadap kejadian. Efek bertambah lamanya selang waktu yang diukur oleh pengamat yang bergerak terhadap kejadian ini dikenal dengan pemekaran waktu atau dilasi waktu (time dilation). Selang waktu didefinisikan sebagai kejadian. Sedangkan waktu, yaitu selang kejadian. tp dalam persamaan di atas disebut waktu sejati (proper time), selang waktu yang diukur oleh pengamat yang diam terhadap t dapat kita sebut sebagai waktu relativistik atau pemekaran waktu yang diukur pengamat yang bergerak relatif terhadap

Karena selang waktu yang diukur oleh pengamat yang bergerak terhadap kejadian selalu lebih lama daripada selang waktu oleh pengamat yang diam terhadap kejadian, maka umumnya orang mengatakan, sebuah jam yang bergerak berjalan lebih lambat daripada jam yang diam, dengan faktor Pernyataan ini benar, baik untuk jam mekanik biasa maupun untuk jam cahaya seperti yang baru saja dijelaskan. Secara fakta, kita dapat menggeneralisasi hasil ini dengan menyatakan bahwa semua proses fisik, termasuk reaksi-reaksi kimia dan proses biologi, diperlambat ketika diamati dari kerangka acuan di mana proses-proses ini sedang bergerak.

2.2.1.1 Paradoks KembarSuatu kejadian yang menarik dari pemekaran waktu adalah gejala yang terkenal dengan paradoks kembar. Misalkan ada 2 orang kembar, Yona dan Pasca. Yona pergi berpetualang saat berumur 25 tahun menuju sebuah planet X yang berjarak 30 tahun cahaya dari Bumi. Pesawat antariksanya dapat dipercepat sampai mendekati kelajuan cahaya. Setelah tiba di planet X, Yona menjadi sangat rindu dengan rumahnya dan segera kembali ke Bumi dengan kelajuan yang sama ketika ia meninggalkan Bumi menuju planet X. Ketika ia tiba di Bumi, Yona sangat terkejut melihat kota yang ditinggalkannya telah berubah menjadi kota supermodern dan saudara kembarnya, Pasca, telah berusia 75 tahun dan menderita penyakit tua. Yona sendiri hanya bertambah usia 10 tahun menjadi 35 tahun. Ini karena proses biologi dalam tubuhnya mengalami perlambatan selama perjalanannya mengarungi antariksa. Sangatlah wajar jika kita bertanya, Kembaran manakah yang sesungguhnya bergerak dengan kelajuan mendekati kelajuan cahaya, dan karena itu pertumbuhan usianya lebih kecil? Di sinilah letak paradoksnya: dari kerangka acuan Pasca, dia adalah diam, sedangkan saudaranya Yona bergerak dengan kecepatan sangat tinggi. Di lain pihak, Yona merasa dia adalah diam, sementara saudara kembarnya di Bumi bergerak menjauhinya dan kemudian mendekatinya. Kasus ini menimbulkan kebingungan, manakah kembaran sesungguhnya yang berusia lebih tua? Pemecahan masalah paradoks ini bergantung pada ketidaksimetrisan kehidupan pasangan kembar itu. Dalam seluruh hidupnya, Pasca yang tinggal di Bumi selalu berada dalam kerangka acuan inersial, kecuali periode singkat ketika Yona membalikkan pesawatnya, ke Bumi, tetapi priode ini dapat kita abaikan. Dengan demikian, perhitungan Pasca sebagai acuan dalam menghitung selang waktu perjalanan Yona adalah sah menurut teori relativitas khusus. Sebaliknya, Yona mengalami sederetan percepatan dan perlambatan selama perjalanannya ke planet X dan kembali ke Bumi, dan karena itu ia tidak selalu dalam gerak lurus beraturan. Ini berarti Yona berada dalam suatu kerangka acuan non-inersial selam sebagian waktu dari perjalanannya, sehingga perhitungan selang waktu berdasarkan teori relativitas khusus adalah tidak sah dalam kerangka acuan ini. Jadi, kesimpulan yang benar adalah petualang angkasa selalu lebih muda ketika kembali ke Bumi.15

2.2.1.2 Bukti Pemekaran WaktuFakta dari pemekaran waktu dibuktikan dalam suatu percobaan yang ditampilkan oleh B. Rossi dan D.B. Hall pada tahun 1941 dan diulang dalam bentuk yang lebih sederhana oleh D.H. Frisch dan J.H. Smith pada tahun 1963. Sebuah partikel elementer, muon ( ), meluruh menjadi partikel-partikel lainnya. Dengan No muon pada t = 0, jumlah muon yang tersisa t waktu kemudian adalah

di mana = 2,2 s disebut waktu hidup rata-rata. Muon diproduksi di atmosfer (pada ketinggian ribuan meter di atas permukaan laut) dari pemboman proton-proton sinar kosmis. Percobaan ini melibatkan perbandingan jumlah N1 muon yang dideteksi pada ketinggian 2000 m dengan jumlah N2 muon yang dideteksi pada permukaan laut. Muon yang kelajuannya diketahui v = 0,995c, memerlukan waktu 6,7 s untuk menempuh jarak dari puncak gunung ke permukaan laut. Dari persamaan (*), dengan t = 6,7 s dan = 2,2 s, nilai perbandingan seharusnya

Tetapi, dari percobaan diperoleh N2/N1 adalah 0,7. Jadi, sebagai ganti mendeteksi hanya 5% dari jumlah muon semula yang bertahan pada permukaan laut, mereka mendapatkan bahwa 70% yang dapat bertahan! Nilai 0,7 = , dan ini berarti bahwa muon-muon yang bergerak memiliki waktu hidup rata-rata yang sepuluh kali lebih lama daripada muon-muon yang meluruh pada keadaan diam di laboratorium. Ini secara tepat sesuai dengan yang diprediksi oleh pemekaran waktu. Untuk kecepatan muon v = 0,995c = 0,995

Bukti yang tegas tentang pemekaran waktu diterima tahun 1971 melalui percobaan yang dilakukan oleh J. C. Hafele dan R. E. Keating. Mereka membawa jam atom mengelilingi dunia dengan pesawat jet. Karena kelajuan pesawat jet jah lebih kecil daripada c, efek pemekaran waktu sangatlah kecil, tetapi jam atom yang memiliki ketelitian 10-9 s dapat mengukur efek pemekaran ini. Jam atom berada di angkasa selama 45 jam, dan selang waktu yang diukurnya dibandingkan dengan jam atom standar yang disimpan di Bumi. Hasil percobaan menunjukkan adanya perbedaan selang waktu antara jam atom dalam pesawat dan jam atom di Bumi, tepat seperti yang diprediksikan oleh pemekaran waktu.

2.2.2 Kontraksi PanjangTelah diketahui bahwa karena pemekaran waktu, dua pengamat yang saling bergerak dengan kelajuan konstan relatif satu terhadap lainnya akan mengukur selang waktu yang berbeda di antara dua kejadian. Selang waktu adalah jarak dibagi kelajuan. Karena kelajuan relatif pengamat satu terhadap pengamat lainnya adalah sama menurut keduanya, maka supaya selang waktu berbeda jarak menurut kedua pengamat harus berbeda. Ternyata panjang benda atau jarak antara dua titik yang diukur oleh pengamat yang bergerak relatif terhadap benda selalu lebih pendek daripada panjang yang diukur16

pengamat yang diam terhadap benda. Pemendekan panjang atau jarak ini dikenal dengan kontraksi panjang. Untuk memahami kontraksi panjang secara kuantitatif, perhatikanlah percobaan fiktif berikut. Anggap sebuah pesawat antariksa berawak melakukan perjalanan dari Bumi menuju ke sebuah bintang dengan kelajuan tetap v ke arah kanan. Kita tetapkan dua pengamat yang akan mengukur jarak antara Bumi dan bintang dan selang waktu perjalanannya. Pengamat pertama diam di Bumi dan pengamat kedua adalah penumpang pesawat antariksa. Pengamat yang diam di Bumi dianggap juga diam terhadap bintang, sehingga pengamat di Bumi akan mengukur panjang jarak sejati (proper length), Lp, antara Bumi dan bintang. Pesawat antariksa bergerak dengan kelajuan v relatif terhadap Bumi sehingga selang waktu perjalanan pesawat dari Bumi ke bintang menurut pengamat di Bumi adalah

Bagaimana ukuran panjang dan selang waktu perjalanan ini menurut penumpang pesawat antariksa? Menurut penumpang, pesawat adalah diam dan Bumilah yang bergerak dengan kelajuan v ke kiri dan bintang dengan kelajuan v yang sama ke kanan. Karena yang melakukan perjalanan dari Bumi ke bintang adalah pesawat antariksa, maka penumpanglah yang mengukur selang waktu sejati, tp. Karena pemekaran waktu maka tp haruslah lebih kecil daripada t, selang waktu pengamat di Bumi. Dengan faktor tetapan transformasi , maka

Tentu saja jarak Bumi dan bintang yang diukur penumpang, L, adalah

Masukkan

, maka akan kita peroleh

Kontraksi Panjang

Karena selalu lebih besar dari 1, maka L lebih kecil daripada Lp (L disebut panjang relativistik, karena diukur oleh pengamat yang bergerak terhadap kedua titik). Yand menjadi catatan ialah kontraksi panjang atau penyusutan panjang hanya terjadi pada komponen panjang benda yang sejajar dengan arah gerak . Semua komponen panjang lainnya yang tegak lurus terhadap arah gerak ( arah kecepatan v ) tidak mengalami penyusutan panjang .

17

Peristiwa penyusunan panjang pertama kali diprakirakan oleh Hendrik Anton Lorentz, seorang fisikawan Belanda, untuk menerangkan hasil nol pada percobaan MichelsonMorley. Oleh karena itu, peristiwa penyusutan panjang ini disebut juga kontraksi Lorentz.

2.3.Massa, Momentum, dan Energi Relativistik2.3.1 Massa RelativistikDalam mekanika klasik, berlaku hukum kekekalan momentum yang menyatakan bahwa ketika dua benda bertumbukan, momentum total sistem adalah konstan, dengan anggapan bahwa sistem terisolasi (kedua benda hanya berinteraksi satu sama lain). Kekekalan momentum adalah suatu hukum Fisika yang menurut postulat ke-1 relativitas khusus haruslah berlaku unutk semua kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan konstan. Misalkan saja, ada dua benda masing-masing bermassa m dan bergerak dengan kelajuan v saling mendekati pada suatu garis lurus (anggap sebagai sumbu X) dalam kerangka acuan S. Kedua benda bertumbukan tak lenting sempurna sehingga sesaat sesudah tumbukan kedua benda bersatu dan diam (v = 0). Momentum sistem sebelum dan sesudah tumbukan adalah

Jadi, menurut pengamat O dalam kerangka acuan S, momentum adalah kekal. Sekarang kedua tumbukan tak lenting tersebut diamati oleh pengamat dalam kerangka acuan S yang sedang bergerak dengan kecepatan masing-masing benda sebelum dan sesudah tumbukan dengan menggunakan transformasi Lorentz untuk kecepatan. Sebelum tumbukan kedua benda hanya bergerak pada sumbu X, dengan dan

Maka

memberikan

Sesudah tumbukan ux = 0 sehingga

memberikan

18

Dengan demikian, momentum system sebelum dan sesudah tumbukan menurut pengamat dalam kerangka acuan S adalah

Jadi, menurut pengamat O dalam kerangka acuan S ,

atau dengan kata lain bagi pengamat O , momentum sistem tidak kekal.

Menurut postulat ke-1 relativitas khusus, kekekalan momentum sebagai hukum fisika haruslah berlaku bagi semua kerangka acuan inersial. Dengan demikian, bagi kecepatan yang mendekati kecepatan cahaya, definisi momentum dalam mekanika klasik, yaitu p = mv haruslah diubah. Karena kita telah menangani semua vector kecepatan v dengan benar, maka kesalahan pasti terletak pada penanganan kita terhadap massa. Sesuai hukum pemekaran waktu dan penyusutan panjang, marilah kita menganggap bahwa bagi besaran massa juga dikenal pertambahan massa relativistic, menurut hubunganMassa relativistik

Contoh Penyelesaian Masalah : Berapakah kelajuan sebuah partikel agar partikel itu memiliki massa dua kali massa diamnya ? Diketahui : m=2mo m= jadi Ditanya v ?

19

Dengan m adalah massa relativistik , mo adalah massa diam , dan v adalah kecepatan relativistik benda. Seperti pemekaran waktu dan penyusutan panjang, pertambahan massa relativistic adalah nyata. Kita telah mempelajari bahwa medan magnetic B akan membelokkan suatu partikel bermuatan (misalnya elektron) yang bergerak dengan kelajuan tertentu di dalam medan magnetic ini. Besarnya sudut refleksi sebanding dengan massa partikel. Makin besar massa partikel, makin besar pula besar medan magnetic B yang diperlukan untuk membelokkan partikel tersebut. Dalam percobaan yang telah dilakukan oleh fisikawan diperoleh bahwa medan magnetic lebih besar diperlukan untuk membelokkan partikel bermuatan yang bergerak dengan kelajuan tinggi daripada yang diperlukan jika partikel dianggap dianggap konstan (seperti anggapan fisika klasik). Percobaan ini dengan jelas menyatakan bahwa electron cepat lebih berat daripada electron lambat.

2.3.2 Momentum RelativistikKembali kepada masalah kita sebelumnya, dengan memegang definisi fisika klasik tentang momentum sebagai hasil kali massa dan kecepatan p = mv, kita peroleh bahwa hokum kekekalan momentum tidak berlaku bagi pengamat O dalam kerangka acuan S . Ini bertentangan dengan postulat ke-1 relativitas khusus. Agar kekekalan momentum tetap berlaku pada kerangka S , maka definisi momentum menurut mekanika klasik harus diubah. Seperti telah dikatakan sebelumnya bahwa kesalahan definisi terdapat pada massa. Definisi massa yang benar adalah massa relativistic. Jika definisi massa relativistik ini kita masukkan ke definisi momentum fisika klasik kita peroleh definisi baru tentang momentum relativistic yang dinyatakan sebagai Momentum relativistik

20

Contoh Penyelesaian Masalah : Hitung momentum sebuah elektron yang bergerak dengan kelajuan 0,96c. ( massa elektron = 9,1x10-31 kg , c = 3x108 m/s ) Jawab : Mo = 9,1x10-31 kg Kelajuan elektron v=0,96c

Momentum relativistik elektron dihitung dengan :

= 9,4

2.3.3 Energi RelativistikMari kita tinjau pernyataan hukum II Newton yang telah sangat Anda kenal, yaitu = ma. Ini berarti jika kita memberi resultan gaya sangat besar pada suatu benda maka dapat diperoleh percepatan a benda sangat besar. Percepatan a berkaitan dengan kelajuan benda. Jadi, menurut hokum ini jika resultan terus-menerus diperbesar, maka percepatan yang dihasilkan dapat menyebabkan kelajuan benda melebihi kelajuan cahaya c. Menurut relativitas khusus ini tidak benar, sehingga untuk kecepatan yang mendekati kecepatan cahaya,pernyataan =ma tidak berlaku. Bentuk asli hukum II Newton berbunyi: momentum . gaya adalah laju perubahan

Kita telah menangani momentum secara relativistik sehingga kita yakin bahwa penanganan gaya secara relativistik adalah benar. Dalam definisi relativistik tentang massa dan momentum, Anda tinggal mengalikan definisi fisika klasik dengan tetapan transformasi , yaitu

Apakah cara seperti ini dapat Anda lakukan untuk energi kinetik klasik menjadi untuk energi kinetik relativistik?

Untuk menurunkan bentuk relativistik dari teorema usaha-energi, mari kita mulai dari definisi usaha yang dilakukan oleh suatu gaya F dan kemudian menggunakan21

rumus gaya relativistic. Anggap benda halnya bergerak pada sumbu X maka sesuai definisi usaha dalam bentuk integral

Karena

, maka persamaan menjadi

Untuk batas bawah p adalah 0 maka usaha W sama dengan energhi kinetik Ek , sehingga

Untuk massa diam benda adalah mo persamaan di atas menjadi :

Dengan menggukan subtitusi integral , yaitu memisalkan

=u

Sehingga ditentukan:

dan

v dv =

, integral pada ruas kanan dapat

Lebih mudah dihafalkan jika kita nyatakan persamaan di atas dalam bentuk

dengan :

22

Sehingga

Karena m= E=mc2 ( ada kesetaraan antara massa dan energi ) = =

2.3.4 Hukum Kekekalan Energi RelativistikJika sebuah benda dalam keadaan diam massa diam mo membelah secara spontan menjadi dua bagian massa diam masing-masing mo1 dan mo2 yang bergerak masing-masing dengan kelajuan v1 dan v2, maka berlaku hukum kekekalan energi relativistik, yaitu energi relativistik awal sama dengan energi relativistik awal. Untuk memahami pernyataan ini dengan baik, perhatikan contoh di bawah. Sebuah benda dalam keadaan diam ( massa diam mo membelah secara spontan menjadi 2 bagian yang bergerak dengan arah berlawanan . Bagian yang bermassa diam 3 kg bergerak dengan kelajuan 0,8c dan yang 5,20 kg dengan kelajuan 0,6c . Tentukanlah massa diam benda semula ! Pertama , kita hitung dengan

persamaan :

Kedua , kita hitung massa diam benda semula , mo dengan menggunakan hukum kekekalan energi relativistik . Energi relativistik awal sama dengan energi diam massa moc2 . Energi relativistik akhir adalah jumlah dari energi relativistik ( massa mo1 dan massa diam mo2 ) , yaitu Bagi kedua ruas dengan c2 , sehingga diperoleh

2.3.5 Contoh PenerapanAdakah zarah tak bermassa, yaitu massa diamnya nol namun menunjukkan sifat seperti zarah (partikel), yaitu memiliki besaran energi dan momentum? Dalam mekanika klasik, energi mekanik dinyatakan oleh sedangkan momentum dinyatakan oleh p = mv. Karena itu, mustahil bagi zarah tak bermassa (m = 0) untuk memiliki energi ataupun momentum.

23

Dalam mekanika relativistic zarah tak bermassa mungkin saja memiliki energi dan momentum asalkan zarah tersebut memenuhi syarat tertentu. Kita akan memeriksanya secara matematika murni dengan mengajukan dua kasus. Tetapi mari kita daftar dulu pernyataan untuk energi relativistic dan momentum relativistik. Kasus 1 : Jika mo = 0 dan v < c , maka :

Jadi, zarah tak bermasaa yang kelajuannya lebih kecil dari c tidak dapat memiliki energi dan momentum. Kasus 2: Jika mo = 0 dan v = c, maka :

24