fisica para subir

8/6/2019 Fisica Para Subir

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INTRODUCCION A LA FISICA

Luis Rodrguez Valencia1Departamento de Fsica

Universidad de Santiago de Chile

27 de marzo de 2003

1email: [email protected]


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II


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Contenidos

1. Espacio tiempo 11.1. Conceptos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Unidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Teoras en fsica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Sistemas de referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5. Escalas de tiempos y longitudes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6. Descripcin del movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6.1. Movimiento unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . 71.6.2. Desplazamientos en el espacio. . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7. Vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7.1. Notacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7.2. Multiplicacin de un vector. por un escalar. . . . . . . 121.7.3. Vectores unitarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7.4. Vectores unitarios cartesianos. . . . . . . . . . . . . . . 131.7.5. Componentes cartesianas de un vector. . . . . . . . . . 131.7.6. Vector nulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7.7. Algunas propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7.8. Resta de vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7.9. Producto escalar de vectores. . . . . . . . . . . . . . . 141.7.10. Otras propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8. Velocidad y aceleracin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8.1. Vector posicin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8.2. Vector velocidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8.3. Vector aceleracin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8.4. Velocidades absolutas y relativas. . . . . . . . . . . . . 16

1.9. Trayectoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.10. Transformacin de Galileo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18


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IV CONTENIDOS

1.11. La velocidad de la luz en el vaco. . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.11.1. Concepto de simultaneidad. . . . . . . . . . . . . . . . 191.11.2. Un modelo de reloj. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.11.3. La transformacin de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . 231.11.4. Cantidad de movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.11.5. El efecto Doppler para la luz. . . . . . . . . . . . . . . 261.11.6. El efecto Doppler para otras seales. . . . . . . . . . . 27

1.12. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2. Desarrollo del mtodo cient co. 332.1. Introduccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2. Modelos del Cosmos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.1. Modelo de Ptolomeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.2. Modelo de Coprnico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2.3. Mejores modelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2.4. Johannes Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.5. Las leyes de Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2.6. Sir Isaac Newton. La uni cacin de la Fsica y la As-

tronoma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3. La difusin de mtodo cient co. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3.1. La edad clsica de la Ciencia. . . . . . . . . . . . . . . 442.4. El mtodo cient co. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.5. Los cambios actuales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.5.1. Hitos en la historia de la Fsica Moderna . . . . . . . . 46

3. Gravitacin. 513.1. Desarrollo de la teora gravitacional. . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1.1. Ley inversa al cuadrado de la distancia. . . . . . . . . . 543.1.2. Velocidad de escape. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1.3. Peso y masa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1.4. Interaccin entre los cuerpos celestiales. . . . . . . . . . 563.1.5. Teora potencial. (Usted puede omitir esto) . . . . . . . 573.1.6. Medidas absolutas de la gravedad. . . . . . . . . . . . . 59

3.1.7. Medidas relativas de la gravedad. . . . . . . . . . . . . 603.1.8. La Teora gravitacional y otros aspectos de la Fsica. . 603.1.9. Teoras del campo de gravitacin. . . . . . . . . . . . . 613.1.10. Los campos gravitacionales y la teora general de rela-

tividad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62


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CONTENIDOS V

3.1.11. Los caminos de partculas y luz. . . . . . . . . . . . . . 64

3.1.12. Estudio experimental de la gravitacin. . . . . . . . . . 643.1.13. Datos actuales de las rbitas planetarias. . . . . . . . . 66

4. Cada libre y movimiento de proyectiles. 694.1. Aceleracin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2. Componentes cartesianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2.1. Condiciones iniciales particulares. . . . . . . . . . . . . 714.2.2. Ecuacin de la trayectoria. . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2.3. Parbola de seguridad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2.4. Alcance mximo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5. La evolucin de las estrellas. 795.0.5. Introduccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.0.6. Las cuatro fuerzas fundamentales. . . . . . . . . . . . . 795.0.7. Equilibrio de un gas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.0.8. Slidos y lquidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.0.9. La fuerza gravitacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.0.10. Estados extremos de la materia. . . . . . . . . . . . . . 81

5.1. Formacin de una estrella. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.1.1. Agona de una estrella. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6. El Universo y su evolucin. 956.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.2. La expansin del Universo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.3. Propiedades generales del espacio tiempo. . . . . . . . . . . . 98

6.3.1. Diagramas espacio tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . 986.4. Horizonte observable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.4.1. El efecto Doppler csmico. . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.4.2. Radiacin de fondo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.5. El modelo estndar del Big Bang. . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.6. Partculas elementales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.7. Los grandes periodos del Universo. . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.7.1. Cosmologa cuntica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.7.2. La era hadrnica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.7.3. La era leptnica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.7.4. La era radiativa y la ncleo sntesis. . . . . . . . . . . . 1076.7.5. La era estelar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108


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VI CONTENIDOS

7. Matemticas. 109

7.1. Algunas funciones importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.1.1. La funcin exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.1.2. El logaritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.1.3. El nmero e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.2. Sumatorias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.2.1. Sumatorias notables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.3. Gr cos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.3.1. Correlacin lineal :y = Ax + B (la lnea recta). . . . . 1157.3.2. Decaimiento conb < 0 (o crecimiento sib > 0) expo-

nencial :y = yoebx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.3.3. Modelo potenciay = AxB . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.3.4. Modelo con dos exponenciales:y = Aebx + Cedx . . . . . 119

7.4. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.5. Derivadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.6. Diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.7. Integrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.7.1. El rea bajo una curva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.7.2. La integral de nida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.7.3. Relacin con la derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.7.4. Resultado nal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.7.5. La integral inde nida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.8. Elementos de clculo numrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.8.1. Mtodo de Newton para el clculo de una raz. . . . . . 1297.8.2. Mtodo iterativo para determinar una raz def (x) = x. 1317.8.3. Mtodo de la secante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.8.4. Derivada numrica con dos puntos. . . . . . . . . . . . 1337.8.5. Derivada con ms puntos. . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.8.6. Un ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.9. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

8. Elementos de probabilidades 1398.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

8.2. Tmelo con calma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1408.3. Cosas concretas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

8.3.1. Lanzar un dado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.3.2. Lanzar un dardo a un blanco. . . . . . . . . . . . . . . 141


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CONTENIDOS VII

8.3.3. Lanzar dos dados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

8.4. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.4.1. Poblacin o Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.4.2. Eventos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.4.3. Eventos compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.4.4. Probabilidad, caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . 142

8.5. Sacar cuentas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468.5.1. Concepto bsico de multiplicacin. . . . . . . . . . . . 1478.5.2. Permutaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1478.5.3. Combinaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

8.6. Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

8.6.1. Distribucin binomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

8.6.2. Caso continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.6.3. Valor esperado, varianza y desviacin estndar . . . . 1568.6.4. Funciones de variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . 1588.6.5. Funcin distribucin del promedio . . . . . . . . . . . . 1598.6.6. Muestras pequeas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1648.6.7. Ms sobre funciones distribucin (f d) . . . . . . . . . . 165

8.7. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

9. Estadstica de datos 1739.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1739.2. Estadgrafos muestrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1749.3. Distribuciones de frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1759.4. Mtodo de mnimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

9.4.1. Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1789.4.2. Coe ciente de correlacin lineal de Pearson . . . . . . . 1809.4.3. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

10.Modelos lineales. 185

10.1. Introduccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18510.2. Modelo lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18610.2.1. Estimacin del parmetro. . . . . . . . . . . . . . . . 18910.2.2. Intervalos de con anza para y . . . . . . . . . . . . 18910.2.3. Valores particulares det p. . . . . . . . . . . . . . . . . 190


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VIII CONTENIDOS

11.Mtodo experimental 193

11.1. Medicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19311.2. Valor verdadero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19411.3. Estandarizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19611.4. Valores de algunas constantes fundamentales . . . . . . . . . . 19811.5. Las unidades bsicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19811.6. Introduccin a errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

11.6.1. Lmites de las mediciones. . . . . . . . . . . . . . . . . 19911.7. Errores aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

11.7.1. Error de una medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20211.7.2. Estimacin de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

11.8. Sobre algunas caractersticas de los aparatos de medicin. . . . 20411.9. Propagacin de errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

11.9.1. Funcin distribucin de la suma . . . . . . . . . . . . . 206

11.9.2. Funciones distribucin de dos variables . . . . . . . . . 20711.10.Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

11.10.1.Ejemplos de simulacin numrica . . . . . . . . . . . . 214

12.Mtodos numricos 21512.1. Generacin de nmeros random . . . . . . . . . . . . . . . . . 21512.2. Generacin deN (0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21512.3. Distribucin del promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21612.4. Distribucin t Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21612.5. Integracin numrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

12.5.1. Mtodo del punto medio: . . . . . . . . . . . . . . . . . 21612.5.2. Mtodo del Trapecio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21712.5.3. Cotas de error: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21712.5.4. Mtodo de Simpson: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21712.5.5. Cota de error para mtodo de Simpson: . . . . . . . . . 217

12.6. Aproximaciones lineales y cuadrticas. . . . . . . . . . . . . . 21712.6.1. Diferencial: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

12.6.2. Aproximacin lineal: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21812.6.3. Aproximacin cuadrtica: . . . . . . . . . . . . . . . . 21812.7. Ajuste de curvas por polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . 21912.8. Mtodo de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

12.8.1. Mtodo de Newton-Raphson. . . . . . . . . . . . . . . 221


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CONTENIDOS IX

12.9. Serie de Taylor y Maclaurin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

12.9.1. Serie importantes de Maclaurin. . . . . . . . . . . . . . 22412.10.Ecuaciones diferenciales ordinarias. . . . . . . . . . . . . . . . 22412.10.1.Mtodo de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22412.10.2.Mtodo de Runge-Kutta. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22512.10.3.Mtodos predictor corrector. . . . . . . . . . . . . . . . 22512.10.4.Mtodo de Milne: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22512.10.5.Mtodo de Adams. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22512.10.6.Ecuaciones de orden mayor. . . . . . . . . . . . . . . . 226

12.11.Derivacin numrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

13.Apndice 22713.1. A) La distribucin exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22713.2. B) El proceso de Poisson. Detalles. . . . . . . . . . . . . . . . 22813.3. C) Algunos detalles matemticos. . . . . . . . . . . . . . . . . 23013.4. D) La distribucin binomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

13.4.1. El valor esperado dem. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23313.4.2. La varianza dem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23313.4.3. Lmite paran grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23413.4.4. Caminata al azar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235


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X CONTENIDOS


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ndice de guras

1.1. Movimiento unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Aquiles y la tortuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Desplazamiento equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4. Suma de vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5. Multiplicacin por escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6. Resta de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7. Movimiento relativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8. Simultaneidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.9. Reloj espejos paralelos av . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.10. Reloj espejos perpendiculares av . . . . . . . . . . . . . . . . 221.11. Colisin elstica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.12. Efecto Doppler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.13. Doppler seales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1. Modelo de Ptolomeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2. Tycho Brahe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3. Movimiento aparente de Marte. . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4. Johanes Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5. Isaac Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1. parbola de disparo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2. Parbola de seguridad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3. Alcance mximo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.1. El ncleo atmico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.2. Atomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.3. Molcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.4. presin ejercida por un gas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83


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XII NDICE DE FIGURAS

5.5. Orbitales solapndose. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.6. Plasma de Fermi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.7. Principio de exclusin de Pauli. . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.8. Interaccin dbil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.9. Sobre un milln de toneladas por cc. . . . . . . . . . . . . . . 855.10. Mar de neutrones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.11. Evolucin de las estrellas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.12. Estrella neutrnica o pulsar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.13. Supernova 1987A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.14. Sistema binario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.1. Lneas de Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.2. Conos de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.3. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.1. Correlacin lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.2. Decaimiento exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.3. Modelo potencia, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.4. En papel log-log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.5. Dos exponenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.6. Tangente y derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.7. Area bajo la curva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.8. Elemento de rea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.9. Mtodo de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.10. Iterar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.11. Mtodo de la secante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.12. Tabla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.13. Con errores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.14. Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.15. Logstica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8.1. Conferencia de Solvay de 1927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1408.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

8.3. Distribucin binomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498.4. Aleatorios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.5. Distribucin de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1558.6. Area menor quez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1618.7. Area entre1 y 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161


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NDICE DE FIGURAS XIII

9.1. histograma de frecuencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

9.2. Variaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17911.1. medida con un pie de metro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195


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XIV NDICE DE FIGURAS


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Captulo 1

Espacio tiempo

1.1. Conceptos.Los conceptos de espacio y tiempo son centrales en todas las teoras de

la Fsica. Aunque no se haya explicado an de que se trata una teora de laFsica, adelantemos que ellas tratan con cantidades fsicas.

Existen conceptos fsicos, algunos primarios y otros derivados de los an-teriores, los cuales, aunque sean de nidos en forma vaga, dan origen a lascantidades Fsicas cuando se establece un mtodo para asignarle un valornumrico al concepto. Este proceso, llamado de nicin operacional de unacantidad fsica, elimina las ambigedades presentes en la de nicin del con-cepto, pues al seguir ese procedimiento, todos estaremos de acuerdo en elvalor numrico de la cantidad fsica. Como explicaremos ms adelante ello esrelativo a la unidad de medida de la respectiva cantidad fsica.

Claramente este es el caso respecto a los conceptos de espacio y tiem-po. Tenemos nociones intuitivas, difcilmente expresables sin ser circulares(basadas en ellas mismas) y difcilmente coincidentes.

El tiempo tiene que ver con aspectos tales como: el fenmeno A ocurreantes o despus que el fenmeno B, o quizs simultneamente. O bien queun proceso dur ms o menos que otro. La cantidad fsicatiempo se de neoperacionalmente estableciendo valores numricos ya sea relacionados con laocurrencia de los sucesos, o con la duracin de un proceso. Tal procedimientodebe involucrar un mtodo experimental bien de nido.

Similarmente ocurre lo mismo con el concepto de espacio. Tenemos clara


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2 Espacio tiempo

intuicin del signi cado de estar cerca o lejos. De la proximidad o la lejana.

Del mismo modo la cantidad fsica bsica, relacionada con el concepto deespacio, ladistancia , debe ser de nida operacionalmente, terminndose all las ambigedades que pudieran existir.

De esto trata el captulo sobre mtodos experimentales. Sin embargo que-remos decir algo ms aqu. Si tal proceso no es posible (la de nicin opera-cional), no es posible tratar en fsica con ese concepto.

Nota 1.1 Si usted ha ledo algo sobre mecnica cuntica. esta nota puedeser de su inters. La concepcin de la existencia de un valor verdadero (exac-to) puede ser discutida por quienes mal interpretan la mecnica cuntica(juicio del autor). La asignacin de un nmero debe ser posible, al menosen principio, exacta. Es decir no se aceptan cantidades fsicas de nidas conincerteza. Esto parece contradictorio con la existencia de errores en los pro-cesos de medicin o bien con incertezas predichas por la mecnica cuntica.No es as. Creemos en la existencia de lo que se denomina valor verdaderotanto en las cantidades fsicas del mundo microscpico como en las del mundomacroscpico. Otro problema es determinar ese valor. La teora de erroresclsica trata justamente de eso, y precisamente bajo la hiptesis de que existeun valor verdadero. Por otro lado, las incerteza intrnsecas de la mecnicacuntica no tienen que ver con el proceso de medicin (el cual puede y enla teora es exacto) sino que tiene que ver con la perdida de la capacidad deprediccin de los resultados que ocurren en el futuro. La prdida del determi-nismo. As, podemos no saber que resultado de la energa va a resultar si lamedimos, pero podemos medirla en forma exacta. Si no fuera as la preguntaes qu diablos es la energa?

En Fsica clsica por hiptesis el tiempo transcurre de la misma formapara todos los observadores, independientemente de su estado de movimiento,es decir el tiempo es una cantidad fsica absoluta. Sin embargo es necesariodecir, que tal concepcin ha cambiado. Desde la aceptacin de la teora de larelatividad, el tiempo es una cantidad fsica relativa al estado de movimientodel observador. O sea si para un observador el lapso de tiempo que transcurreentre dos eventos que ocurren en un determinado sistema de referencia es undeterminado valor, ese valor es diferente para otros observadores. De hechoel observador que est en el sistema de referencia donde ocurren los eventos,es quien determina el menor valor para el intervalo de tiempo.


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1.2 Unidades. 3

1.2. Unidades.La cantidades fsicas reciben valores numricos relativos a la unidad de

ella. As, la unidad de tiempo, el segundo en el sistema internacional deunidades (SI) se de ne como

Definicion 1.2.1 Un segundo es el tiempo que requiere un tomo de Cesio133 para realizar 9.192.631.770 vibraciones, correspondientes a la transicin entre dos niveles hiper nos de su estado fundamental.

La unidad de tiempo ha experimentado diversos cambios durante la his-toria de la fsica, pero siempre se ha utilizado algn sistema que efecta algn

movimiento peridico, o sea que (hipotticamente) se repite cada cierto lapsoigual de tiempo.Similarmente se utiliza el metro como unidad de medida de longitudes,

cuya de nicin actual es

Definicion 1.2.2 El metro se de ne como la distancia recorrida por la luz en el vaco en un intervalo de tiempo de 1/ 299,792,458 segundos.

1.3. Teoras en fsica.

An cuando este es un tema complejo, aventuramos una respuesta a laspreguntas qu es una teora fsica?, o qu es una ley fsica? en una formaadecuada a un curso introductorio a la fsica. La fsica se preocupa de losfenmenos naturales, reconociendo los conceptos pertinentes y derivando deellos cantidades fsicas adecuadas, las cuales son representadas por ciertossmbolos. Las leyes fsicas constituyen relaciones matemticas entre algunosde esos smbolos, las cuales pueden ser deducidas matemticamente de otrasleyes fsicas, o bien ser postuladas por cualquier razn. Sin embargo, ellastienen que satisfacer un requisito bsico: las leyes fsicas son vlidas si exis-te comprobacin experimental, directa o indirecta, de ellas. A veces ocurreque una ley fsica falla en ciertas situaciones ya sea experimentales o en laocurrencia de ciertos fenmenos. Aqu, pueden ocurrir diversas cosas. Porejemplo (a) se restringe el uso de ellas excluyendo a las situaciones dondefalla o (b) se modi ca de modo de dar cuenta adecuada de los nuevos fen-menos. Algunas veces, la falla conduce a la elaboracin de una nueva teora,de donde se pueda deducir la ley correcta.


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4 Espacio tiempo

Por otro lado, cuando tenemos unas pocas leyes, a veces denominadas

principios, de los cuales se pueda deducir, por mtodos puramente matem-ticos todo un conjunto de leyes que abarquen la totalidad de los fenmenosde un cierto mbito, se dice entonces que tenemos una teora fsica. Un ejem-plo es la teora clsica de la mecnica, donde de tres leyes o principios (deNewton), se pueden deducir todas las leyes que regulan el comportamientomecnico de los cuerpos. Sin embargo como se estableci durante este siglo(siglo 20), las deducciones de esa teora son incorrectas al menos en dos m-bitos, cuando las velocidades involucradas son cercanas a la velocidad de laluz o cuando las dimensiones de los cuerpos estn en la escala del mundo at-mico. Aqu se han seguido los dos caminos. Se han elaborado teoras nuevasque dan cuenta correctamente de los fenmenos nuevos (Mecnica relativista,Mecnica cuntica.), pero tambin se sigue utilizando la mecnica clsica enel mbito donde ella conduce a resultados correctos.

Es necesario adems decir que dentro de una teora caben ciertas hip-tesis que realmente no tienen el rango de leyes deducibles de los principiosbsicos, y cuya validez descansa en las comprobaciones experimentales de lasdeducciones que siguen de su uso. Por ejemplo la llamada ley de gravitacinuniversal de Newton, donde se establece que los cuerpos se atraen en formaproporcional al producto de sus masas y en forma inversa al cuadrado de ladistancia.

Por ltimo, en una teora tienen cabida smbolos que no representan can-

tidades fsicas, pero que tiene por ltimo la

nalidad de hacer prediccionesrelativas a cantidades fsicas. Es el caso de la mecnica cuntica. donde seutiliza el concepto de funcin de onda , o estado del sistema , que no cons-tituyen cantidades fsicas. Puede tambin ese ser el caso en la teora de laspartculas elementales donde se usan algunos conceptos que quizs no seanobservables, pero son tiles en la construccin de la teora.

1.4. Sistemas de referencia.Para la construccin de muchas teoras, sobre todo en aquellas que requie-

ran del concepto de posicin, se requiere especi car un sistema de referenciarespecto al cual la posicin queda de nida. En algunas teoras, el tiempoes tambin relativo, siendo necesario en esos casos sistemas de referenciade espacio y tiempo. Ciertas teoras requieren de sistema privilegiados dereferencia. La mecnica clsica es formulada en sistemas inerciales de re-


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1.5 Escalas de tiempos y longitudes. 5

ferencia . Para Newton, el sistema natural de referencia lo constituyen las

estrellas.En la formulacin de la teora clsica de la mecnica, se supone la existen-

cia de al menos un sistema privilegiado de referencia, unSistema inercial de referencia . Por de nicin, unsistema inercial de referencia es aquel (hipot-tico) sistema relativo al cual una partcula libre tiene velocidad constante o enparticular nula (velocidad se de ne luego). Como consecuencia de la trans-formacin de Galileo, ver ms adelante, todo sistema que se traslade convelocidad constante respecto a uno inercial de referencia, es tambin sistemainercial de referencia. La existencia de uno por lo menos, sera materia de va-lidacin experimental, con las obvias di cultades que ello presenta. Se acepta

que al menos aproximadamente, el marco de las estrellas

jas, lo es. Esta esuna materia hoy en da de acuerdo internacional. En efecto en Agosto de 1997,la Unin Astronmica Internacional (IAU) decidi que a partir del primero deEnero de 1998, el IAU sistema de referencia celestial sea el sistema (ICRS), enreemplazo del sistema FK5. Hay abundantes referencias en la WEB, por ejem-plo en http://hpiers.obspm.fr/webiers/general/syframes/icrsf/ICRS.html.

Otro punto, nal en esta discusin es relativo a la geometra. Aun cuandono hay discusin en qu matemtica usar en la formulacin de una teorafsica, hay diversas geometras, todas formuladas axiomticamente y en con-secuencia posibles de utilizar. Qu geometra es adecuada para la descripcin

fsica del espacio? En fsica clsica la geometra Euclidiana ha probado seradecuada. Sin embargo, y este es un tema complejo, en la formulacin de larelatividad general, otras geometras son adecuadas. (como ejemplo de unadiferencia que se produce al usar diversas geometras es: rectas paralelas pue-den o no cortarse en uno o ms puntos. O bien la suma de los ngulos de untringulo puede ser o no 180o)

1.5. Escalas de tiempos y longitudes.TABLA Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo en segun-

dos.


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6 Espacio tiempo

Edad del universo 5 1017

Edad de la Tierra 1, 3 1017

Un ao 3, 2 107Un da 8, 6 104Tiempo entre latidos normales del corazn 8 101Periodo de las ondas sonoras audibles 1 103Periodo de las ondas de radio tpicas 1 106Periodo de vibracin de un tomo en un slido1 1013Periodo de las ondas de luz visible 2 1015Duracin de una colisin nuclear 1 1022Tiempo en el que la luz cruza un protn 3, 3 1024

TABLA Valores aproximados de algunas longitudes en metros.

Distancia de la Tierra al quasar ms conocido 1,4 1026Distancia de la Tierra a las galaxias ms remotas conocidas 4 1025Distancia de la Tierra a la galaxia grande, ms cercana (M 31)2 1022Distancia del Sol a la estrella ms cercana (Prxima Centauri)4 1016Un ao luz 9,46 1015Radio medio de la rbita de la Tierra 1,5 1011

Distancia media de la Tierra a la Luna 3,8 108Distancia del ecuador al Polo Norte 1 107Radio medio de la Tierra 6,4 106Altitud tpica de los satlites arti ciales alrededor de la Tierra 2 105Tamao tpico de las partculas de polvo ms pequeas 1 104Tamao de las clulas de la mayora de los seres vivientes 1 105Dimetro de un tomo de hidrgeno 1 1010Dimetro de un ncleo atmico 1 1014

1.6. Descripcin del movimiento.El hombre ha estado consciente del movimiento, el paso de un cuerpo de

un lugar a otro en un determinado lapso de tiempo desde que tiene uso derazn. Sin embargo la descripcin del movimiento aunque hoy parece simple,


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1.6 Descripcin del movimiento. 7

x

tO

x

t

Figura 1.1: Movimiento unidimensional

asombr al hombre por siglos. De hecho no fue hasta el trabajo de Gali-leo (Galileo Galilei, italiano, 1564-1642) que el hombre empez a describiradecuadamente el movimiento de los cuerpos. Para ilustrar el estado de lascosas en los tiempos remotos, basta recordar la clebre paradoja de Zenode Aquiles y la tortuga. De acuerdo a Zeno, Aquiles nunca podra alcanzaruna tortuga porque para hacerlo primero tendra que alcanzar el punto dedonde la tortuga parti. Sin embargo al alcanzarlo, la tortuga se habra mo-vido alguna cantidad, estando de nuevo las cosas igual que al empezar. Esteproceso debera ser entonces repetido un nmero in nito de veces de modoque Aquiles nunca alcanzara la tortuga.

Para la descripcin del movimiento, Galileo debi asignar nmeros paramedir los conceptos de posicin y tiempo, cuestin no fcil aquellos tiempos,por la ausencia de instrumentos adecuados para ello.

1.6.1. Movimiento unidimensional.Para el movimiento de un cuerpo en una lnea recta, la posicin del cuerpo

puede ser indicada por una variable numricax llamada su posicin respecto aalgn origen en esa recta. Esa variable indica la distancia del cuerpo al origenexpresada en alguna unidad de medida, hoy en da esa unidad es el metro.Se dice que el cuerpo se mueve si dicha variable, denominada coordenadade posicin, vara con el transcurso de tiempo. Considere por ejemplo queun cuerpo se mueve de modo que su coordenada de posicinx vara con eltiempo de acuerdo al gr co siguiente ( g.1.1)

La curva de forma parablica nos indica donde est el cuerpo sobre el ejeX en cada tiempo, en particular nos dice que el cuerpo estuvo en el origen


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8 Espacio tiempo

O cuando el tiempo es cero.

Velocidad media.

La raznv =

x t

se de ne como la velocidad media en el intervalo de tiempo t. Tal raznsera constante independiente del intervalo de tiempo si la curva que describeel movimiento fuera una recta, es decir six variara linealmente con el tiempo.

Ejemplo 1.6.1 Suponga que un cuerpo se mueve de modo que

x = 2 t + t2,

calcule la velocidad media en el intervalo de tiempo entre t y t + t.

Solucin.

x = x(t + t) x(t) = 2( t + t) + ( t + t)2 2t t2= 2 t + 2 t t + ( t)2

luegov = x

t= 2 + 2 t + t,

que se observa depende del tiempot y del intervalo de tiempo t.

N

Velocidad instantnea.

La velocidad instantnea se de ne por el lmite (la derivada)

v = l m t0 x t =

dxdt .

Con respecto a la gr ca x(t) la velocidad instantnea es la pendiente o seala tangente del ngulo de inclinacin que hace la tangente a la curva, con eleje del tiempo.


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1.6 Descripcin del movimiento. 9

x

tO

A

T

a

b

ca'

b'

Figura 1.2: Aquiles y la tortuga

Movimientos con velocidad constante.

La velocidadv permanece constante lo cual quiere decir que la posicindel cuerpo vara linealmente con el tiempo de la forma

x(t) = x(0) + vt,

siendox(0) la posicin del cuerpo ent = 0 . Mediante este tipo de gr cos esfcil comprender una solucin geomtrica a la paradoja de Zeno. Supongamos

que la tortuga (T) y Aquiles (A) se mueven con velocidad constante, demanera que sus gr cas ( g.1.2) sern las rectas indicadas por (A) y (T)respectivamente. Como por hiptesis Aquiles tiene mayor velocidad que latortuga, entonces su lnea recta tiene mayor pendiente. Adems se ilustrael hecho que la tortuga parte ent = 0 y Aquiles ms tarde en(a). Comose explic, cuando Aquiles alcance al punto(a0), la tortuga se ha movido a(b0) y se tiene una situacin anloga a la de la partida. Sin embargo, y elgr co lo muestra con claridad, todos esos procesos (un nmero in nito deellos) toman un tiempo nito, pues cuando las dos rectas se cruzan, Aquilesha alcanzado a la tortuga. Como puede comprenderse, la descripcin delmovimiento mediante variables de posicin y tiempo que varan en formacontinua se hace absolutamente necesario. La solucin de la paradoja deZeno as como de muchas otras tienen que ver con el continuo de valores deuna variable. As por ejemplo un intervalo de tiempo de un segundo puedeser dividido en un conjunto in nito de intervalos, pero a pesar de tenerse unnmero in nito, la suma de todos esos tiempos es justamente un segundo.


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10 Espacio tiempo

Como ejemplo

1 = 12 + 14 + 18 + 116 +

1.6.2. Desplazamientos en el espacio.Las ideas anteriores se generalizan a los movimientos en el espacio. Si se

utiliza un sistema cartesiano de referencia, la posicin de un punto respectoa ese sistema de referencia se de ne por el conjunto de sus coordenadascartesianas(x,y,z ).

Definicion 1.6.1 Se dice que un punto se mueve respecto a un sistema de

referencia, si sus coordenadas varan con el tiempo.

Definicion 1.6.2 Un desplazamiento se de ne como cualquier cambio de posicin de un punto en el espacio

Este concepto bsico de desplazamiento es en principio ms elementalque el concepto de movimiento de un punto, puesto que no tiene relacin contiempos. Si un punto pasa de una posicinA a otra posicinB , de dice queel punto se ha desplazado deA a B . De su de nicin de desprende que undesplazamiento tiene tres caractersticas

Su magnitud, que se de ne como la distancia entre el punto inicial y elpunto nal.

Su direccin, correspondiente a la direccin de la rectaAB . (rectasparalelas tienen la misma direccin)

Su sentido, deA haciaB . As el sentido del desplazamiento deB haciaA es contrario al desplazamiento deA hacia B.

Adems, desplazamientos sucesivos se combinan (o se suman) de acuerdoa la regla del tringulo, indicada en la gura siguiente, donde el desplaza-miento A B seguido del desplazamientoB C es equivalente a undesplazamientoA C .Eso queda absolutamente claro de la gura (1.3) que de ne la regla decombinacin triangular de desplazamientos. Esta regla se generaliza en laseccin siguiente para dar origen al concepto de vector.


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1.7 Vectores. 11

A

B

C

Figura 1.3: Desplazamiento equivalente

1.7. Vectores.Los vectores son objetos que tienen las caractersticas de los desplaza-

mientos, es decir que tienen magnitud, direccin, sentido, y tales que la com-binacin (llamada suma vectorial) de dos de ellos, se obtiene de acuerdo ala regla del tringulo indicada en la gura anterior. Obviamente un ejemplode vectores son los desplazamientos. Otro ejemplo de vectores en Fsica, loconstituyen las fuerzas que se aplican a los cuerpos. Ellas poseen las trescaractersticas bsicas, magnitud direccin y sentido. La cuestin de que silas fuerzas se combinan de acuerdo a la regla de suma vectorial, puede yes establecida experimentalmente. Es decir debe establecerse que aplicar dosfuerzas dadas sobre un cuerpo es fsicamente equivalente a aplicar una fuer-za, llamada fuerza resultante que tiene la magnitud, direccin y sentido dadapor la regla de adicin vectorial.

Debemos sealar que no es su ciente que un objeto tenga magnitud, di-reccin, sentido para ser considerado un vector. Deben necesariamente com-binarse como tales. Las rotaciones de los cuerpos, en torno a la direccin deun eje, en un sentido u otro, y de cierta magnitud (el ngulo), no son vectoresporque no se combinan como los desplazamientos.

1.7.1. Notacin.Los vectores, cualquiera sea su naturaleza, los denotaremos con letras

con echas:a, B , f y la combinacin o suma vectorial de ellos con el smbolousual de suma+ , es decir

c = a + b,


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12 Espacio tiempo

ab

a+b

Figura 1.4: Suma de vectores.

indica la suma, o combinacin, o resultante de los dos vectoresa y b. Na-turalmente solo podremos sumar vectores del mismo tipo: desplazamientos,fuerzas, otros ( g.??).

La magnitud de un vector.a la denotaremos por

| a| .

1.7.2. Multiplicacin de un vector. por un escalar.Si a es un vector y es un escalar (nmero real) de nimos

a

como el vector paralelo al vectora, de magnitud|| veces la magnitud dea,y del mismo sentido del vectora si > 0 y de sentido contrario si < 0.( g.1.5)

1.7.3. Vectores unitarios.Al vector paralelo y del mismo sentido que el vectora, pero de magnitud

unidad lo denotaremos pora.

Entonces obviamente tenemos la siguiente importante relacin

a = | a| a.


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1.7 Vectores. 13

a

a

aa = aa

Figura 1.5: Multiplicacin por escalar

1.7.4. Vectores unitarios cartesianos.

Los vectores de magnitud unidad, paralelos y en el sentido positivo de losejes cartesianos, los denotaremos por

, ,k

1.7.5. Componentes cartesianas de un vector.Todo vector A (en tres dimensiones), puede ser escrito como

A = Ax + Ay + Az k,

dondeAx , Ay, Az se denominan componentes cartesianas del vector.

1.7.6. Vector nulo.

Un vector de magnitud cero, se denomina vector nulo y lo indicaremospor 0, y a veces simplemente por0.


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14 Espacio tiempo

1.7.7. Algunas propiedades.Pueden establecerse algunas propiedades bsicas

a + b = b + a,( a + b) + c = a + ( b + c),(1) a + a = 0,

a + 0 = a, 0 = 0.

Al vector(1) a lo denotaremos simplementea.

1.7.8. Resta de vectores.Se de ne al vector diferencia

a b = a + ( 1) b.

a b

a+b

- ba -b

Figura 1.6: Resta de vectores

1.7.9. Producto escalar de vectores.Dados dos vectoresa, y b, se de ne el producto escalar de ellos al nmero

reala b = | a| bcos ,

siendo el ngulo que forman las direcciones de ellos.


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1.8 Velocidad y aceleracin. 15

1.7.10. Otras propiedades.Puede establecerse que

| a| = q a2x + a2y + a2z ,a b = axbx + ayby + azbz ,

a b = ( ax bx ) + ( ay by) + ( az bz)k.

1.8. Velocidad y aceleracin.

1.8.1. Vector posicin.Si la posicin de un punto en tiempot es el puntoP, se de ne el vector

posicin del punto al vector desde el origen al puntoP, es decir

r(t) = OP = x + y + zk.

1.8.2. Vector velocidad.El vectorv(t), velocidad del punto en tiempot se de ne por

v(t) = l m t0

r(t + t) r(t) t

=dr(t)

dt

=dxdt

+dydt

+dzdt

k.

Es decir el vector velocidad es un vector cuyas componentes cartesianas son

vx

=dx

dt,

vy =dydt

,

vz =dzdt

.


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16 Espacio tiempo

1.8.3. Vector aceleracin.El vectora(t), aceleracin del punto en tiempot se de ne por

a(t) = l m t0

v(t + t) v(t) t

=dv(t)

dt,

=dvxdt

+dvydt

+dvzdt

k.

Es decir el vector aceleracin es un vector cuyas componentes cartesianas son

ax =dvxdt

,

ay = dvydt ,

az =dvzdt

.

1.8.4. Velocidades absolutas y relativas.El estado de movimiento o reposo es un concepto relativo. En la descrip-

cin del movimiento cualquier sistema de referencia puede ser considerado enreposo. Si elegimos arbitrariamente un sistema de referenciaS 0 como estandoen reposo, entonces se acostumbra a llamar las velocidades y aceleraciones

respecto a ese sistema como velocidades y aceleraciones absolutas. Si existeotro sistemaS que se mueva respecto al primero, las velocidades y aceleracio-nes respecto al segundo sistema se suelen llamar velocidades y aceleracionesrelativas. En un tratamiento simpli cado, supongamos que el segundo sistemade referenciaS se traslada sin rotaciones respecto al primero como se indicaen la gura (1.7), entonces, en fsica clsica, vale la llamada transformacinde Galileo

r = OA + r0,y en consecuencia, si se deriva respecto al tiempo se obtiene

vabs = vA + vrel ,

es decir, la velocidad absoluta se obtiene agregando a la velocidad relativa,la velocidad del sistema mvil. Como se explica ms adelante, esta transfor-macin no es vlida para velocidades cercanas a la velocidad de la luz.


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1.9 Trayectoria. 17

r

r '

SS 0

O

A

Figura 1.7: Movimiento relativo.

1.9. Trayectoria.Se de ne la trayectoria del punto, como el lugar geomtrico de las posi-

ciones ocupadas por el punto para todo tiempo. La llamada ecuacin para-mtrica de la trayectoria (con parmetro tiempo) es

x = x(t),y = y(t),z = z(t).

Ejemplo 1.9.1 Por ejemplox = A cos t,y = B sin t,z = pt,.

con A, B, , y p constantes, representa un trayectoria llamada hlice.

En dos dimensiones, la ecuacin cartesiana de la trayectoria es

y = y(x).

Ejemplo 1.9.2 Por ejemplo

y = x 5x2,representa un trayectoria parablica.


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18 Espacio tiempo

En tres dimensiones, la ecuacin cartesiana de la trayectoria puede ser

escrita en trminos del parmetroz (por ejemplo)x = x(z),y = y(z).

Ejemplo 1.9.3 Como ejemplo la ecuacin de una hlice puede ser igual-mente escrita como

x = A cos p

z,

y = B sin p

z.

1.10. Transformacin de Galileo.La transformacin de Galileo que relaciona velocidades relativas entre

sistemas que se trasladan uno respecto al otro con velocidad constantev,por simplicidad a lo largo del ejeOX , supone que el tiempo es universal yestablece que

x0 = x vt,o bien en trminos de velocidades

u0 = u v.

1.11. La velocidad de la luz en el vaco.Como se ha sealado, la velocidad de la luz en el vaco ha sido establecida

con extraordinaria precisin, y se acepta hoy en da que ella es exactamentede magnitud

c = 299,792,458 (m/s ),

dejando las incertezas experimentales a la de nicin del metro. Sorprenden-temente, se descubri que este valor es independiente de la velocidad delobservador, o de la fuente emisora luminosa, en agrante contradiccin conla transformacin de Galileo. Esto trajo dramticas consecuencias para lafsica, en particular para los conceptos de simultaneidad y de tiempo.


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1.11 La velocidad de la luz en el vaco. 19

1.11.1. Concepto de simultaneidad.El hecho notable sealado en la seccin anterior, en manos de Albert Eins-

tein, conduce de manera natural a una revisin del concepto de simultaneidady del tiempo. Aunque este tema pertenece a la llamada teora de la relativi-dad, se presentan aqu algunos conceptos que no requieren de matemticasmuy complejas y que son muy interesantes. Si suceden dos eventos o sucesosen un mismo punto del espacio, es simple idear mtodos fsicos para decidircual ocurri primero, o cual ocurre despus, o si ocurren simultneamente,sin ser necesario usar relojes. Por ejemplo, si se encienden dos ampolletasAy B , tome una foto cuando se encienda la primera. Bueno, la foto registrarcul est encendida y por lo tanto ella se encendi primero. Sin embargo,

cuando los sucesos ocurren en diferentes puntos del espacio la cosa no es tansimple, pues habr que considerar la velocidad con que la informacin nosllega. Si la velocidad de la luz dependiera del estado de movimiento de lafuente luminosa, ello complicara aun ms las cosas. Afortunadamente (ono?) la velocidad de la luz es independiente del sistema de referencia o delmovimiento de la fuente emisora. Imagine que se quiere de nir cuando dossucesosA y B que ocurren en diferentes lugares son simultneos o si o no loson. Para ello coloque observadores en esos lugares y que emitan una sealluminosa al otro cuando ocurra el evento. Un tercer observador se coloca enel punto medioC.

Definicion 1.11.1 Si las dos seales luminosas llegan simultneamente al observador C en el punto medio (un hecho absoluto), entonces se dice que los eventos A y B ocurrieron simultneamente.

Esta de nicin, muy natural e intuitiva, sin embargo tiene consecuenciassorprendentes, en particular conduce a que el concepto de simultaneidad esun concepto relativo (No absoluto). En efecto, considere el experimento si-guiente. Una barra, sistemaS 0, se mueve respecto a un sistema de referenciaS con velocidadv a lo largo de la barra. Se encienden dos ampolletas simul-tneamente respecto aS 0 en sus extremos, en consecuencia las dos sealesluminosas llegan simultneamente al punto medio. Veamos sin embargo queobservaS. La gura (1.8) ilustra lo observado porS consecuente con el he-cho que el coincide en que las seales llegan simultneamente al punto medio.Para l, la seal proveniente deA ha viajado ms distancia que la que partide B , por lo tanto debe haber salido antes. De la gura, si llamamosL allargo de la barra en movimiento, podemos sacar algo ms. En efecto se tiene


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20 Espacio tiempo

A Bt1

t2

t 3

Figura 1.8: Simultaneidad

que

c(t3 t1) =L2

+ v(t3 t1),c(t3 t2) =

L2 v(t3 t2),

de donde se obtienet2 t1 =

Lvc2 v2

.

Esta expresin indica cuantitativamente del hecho que el eventoA ocurri

en t1 antes que el eventoB que ocurri ent2. Aunque ser demostrado msadelanteL depende de la velocidad de la forma

L = L0r 1 v2c2 ,por lo que el resultado puede escribirse

t2 t1 =v/c 2

q 1

v2c2

L0.

Ejemplo 1.11.1 Una aplicacin de lo anterior es la siguiente. Imagine que todo el eje O0X 0mvil, es un largo tubo uorescente que se enciende enteroen t0 = 0 , cuando los orgenes coinciden. Cmo se ve el encendido desde el sistema respecto al cual el tubo se mueve?


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Solucin. De acuerdo al anlisis anterior el punto que coincide conx = 0

se enciende ent = 0 . El punto que est en una posicinx se encender enun tiempot =

xvc2 v2

.

de modo que se ve una seal viajando a la derecha con velocidad

u =xt

=c2 v2

v,

mayor quec a menos que12 5 12c < v < c.

N

1.11.2. Un modelo de reloj.Un modelo simple de reloj, un sistema que tiene una vibracin peridica,

consiste en dos espejos paralelos separados una distanciad0 entre los cualesest rebotando una seal luminosa. Para el dueo del reloj, la duracin deun tick, ir de un espejo al otro y volver demora un tiempo

=2d0c

.

Sin embargo, si ese mismo reloj es observado en movimiento, la luz, propa-gndose con la misma velocidad debe recorrer una distancia ms larga, comose ilustra en la gura siguienteDe la gura (1.9), mediante el teorema de

vt

ct do

Figura 1.9: Reloj espejos paralelos av

Pitgoras se tienec2t2 = d20 + v

2t2,


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22 Espacio tiempo

x=ct

t

d

2

x=vt

t 1

x

t

Figura 1.10: Reloj espejos perpendiculares av

de modo que el tiempo, en ir y regresar, el periodo del reloj ser

T = 2 t =2d0

c2 v2=

2d0/c

q 1 v2c2.

Si el reloj se mueve con los espejos perpendiculares a la velocidad, gura(1.10)un anlisis conduce a un resultado similar, pero que requiere una hip-tesis adicional. La gura ilustra la ocurrencia de los eventos, salida, rebote yregreso del haz luminoso.

Para calcular el tiempo de ida,t1, tenemos que

ct1 = d + vt1,

y para el de regresot2 t1 tenemos quec(t2 t1) = d v(t2 t1),

de dondet1 =

dc v

,

t2 t1 =d

c + v,


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y por lo tanto, el tiempo total se obtiene sumando

T = t2 =2dc

c2 v2= 2d/c

1 v2

c2.

Luego, el reloj tiene el mismo periodo para ambos movimientos si

2d0/c

q 1 v2c2=

2d/c1 v

2

c2,

lo que requiere que

d = d0

r 1

v2

c2,

o sea las longitudes paralelas al movimiento deben contraerse. Esto es efec-tivamente as, como veremos ms adelante.

1.11.3. La transformacin de Lorentz.Permitiendo entonces que el tiempo es relativo al sistema de coordenadas,

la transformacin que reemplaza a la de Galileo, cuando el movimiento delos sistemas es a lo largo del ejex, compatible con que la rapidez de la luzes absoluta, es la llamada transformacin de Lorentz

x0 = (x

vt),y0 = y,z0 = z,

t0 = (t vxc2

),

siendo =

1

q 1 v2c2.

La transformacin inversa puede mostrarse es

x = (x0

+ vt0

),y = y0,z = z0,

t = (t0 +vx0

c2),


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24 Espacio tiempo

De all puede deducirse la correspondiente transformacin de componentes

de velocidades relativasu y u0

, que resultan seru0x =

ux v1 vu xc2

,

u0y =uyq 1 v2c21 vu xc2 ,

u0z =uzq 1 v2c21 vu xc2 .

Si adems sumamos los cuadrados tenemos que

(u0x )2 + ( u0y)

2 + ( u0z )2 = c2

c2u2x + c2u2y + c2u2z 2c2vux + c2v2 u2yv2 u2zv2(c2 vux )

2 ,

y siu2x + u2y + u2z = c2 entonces

(u0x )2 + ( u0y)

2 + ( u0z)2 = c2

c4 2c2vux + u2xv2(c2 vux )

2 = c2,

comprobando el hecho que la rapidez de la luz es invariable. No como suele

decirse ms ligeramente que la velocidad de la luz es invariante. De hecho, lavelocidad de la luz cambia de direccin de sistema en sistema.

1.11.4. Cantidad de movimiento.Si un cuerpo de masam tiene velocidadu respecto al sistemaS , la can-

tidad de movimiento respecto a ese sistema la de nimos por

p = m(u) u,

siendo m(u) la masa de la partcula, la cual supondremos podra ser unafuncin de la rapidez de la partcula. Mediante algunos argumentos podemosobtener la dependencia dem en la rapidez. Supongamos una colisin entredos esferas elsticas iguales, de modo que en dos sistemas de referencia lacolisin sea observada como en las dos guras siguientes (1.11). All se ilustrala colisin observada en un sistema de referencia donde un partcula tiene


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W

V

U

V

V

U

W/

Figura 1.11: Colisin elstica.

rapidezW y la otra velocidad en dos componentesu y v. Si esa colisin esobservada desde un sistema qque se propaga hacia la derecha con velocidadde magnitudv, la ytansformacin de Lorentz de velocidades permite calcularlas componentes de velocidades relativas a este sistema que resultan serU,V y W .

El sistema en movimiento tiene precisamente velocidadv y = 1 /q 1 v2c2 .En la parte derecha de la gura estn indicadas las respectivas velocidadesrelativas obtenidas utilizando la mencionada transformacin de Lorentz develocidades. Aceptaremos que en una colisin se conserva la cantidad demovimiento vista de todos los sistemas de referencia. Por simetra, la com-ponentex de la cantidad de movimiento es evidentemente conservada desdeambos puntos de vista. Conservacin de cantidad de movimiento en la direc-cin perpendicular al movimiento en ambos sistemas impone los siguientesrequisitos

m( u2 + v2)u = m(W )W,m(u )u = m s v2 + W

2 W

.

De aqu se desprende que W

= u

y entonces la primera se reduce am( u2 + v2)u = um (u )


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26 Espacio tiempo

A B

t1 t2

x1 x2

Figura 1.12: Efecto Doppler.

o binm( u2 + v2) = m (u )

y tomandou = 0 se tiene

m(v) =1

q 1 v2c2m(0). (1.1)

Ejercicio 1.11.1 Demuestre que la expresin (1.1) satisface ( ??), es decir que

1

q 1 u2 + v2c2=

1

q 1 v2c21

s 1 1c2

u2

1v 2c 2

.

1.11.5. El efecto Doppler para la luz.Considere que desde un sistema mvil se lanzan pulsos luminosos hacia el

origen del sistema jo, separados en tiempoT 0 , desde el origen del sistemamvil, como se indica en la gura (1.12), eventosA y B

De ese modo se tienex01 = x02 = 0 , t02 t01 = T 0, y mediante la transfor-macin inversa de Lorentz se obtienex1 = vt 01,t1 = t 01,

y

x2 = vt 02,t2 = t 02,


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A B

t1 t2

x1 x2

Figura 1.13: Doppler seales.

entonces los tiempos de llegada, tomando en cuenta lo que deben recorrer lospulsos son

T 1 = t1 +x1c

= t 01 +vt 01

c= t 01(1 +

vc

),

T 2 = t2 +x2c

= t 02 +vt 02

c= t 02(1 +

vc

),

es decir los pulsos llegan al origen separados un tiempo

T = T 2 T 1 = T 0(1 +

vc

) =(1 + vc )

q 1 v

2

c2

T 0,

o bienT = T 2 T 1 = T

0(1 +vc

) = p (1 +vc )

p 1 vc

T 0.

Si analizamos las frecuencias a la cual los pulsos se emiten y se reciben(f = 1 /T ) tenemos

f = p (1 vc )

p 1 +vc

f 0

1.11.6. El efecto Doppler para otras seales.Si la velocidad de propagacin de los pulsos es menor quec, con mnimas

modi caciones respecto a la seccin anterior obtenemosIgualmente se tienex01 = x02 = 0 , t02 t01 = T 0, y mediante la transforma-cin inversa de Lorentz se obtiene lo mismo anterior. Entonces los tiempos de


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28 Espacio tiempo

llegada, tomando en cuenta lo que deben recorrer los pulsos con una velocidad

uT 1 = t1 +

x1u

= t 01 +vt 01

u= t 01(1 +

vu

),

T 2 = t2 +x2u

= t 02 +vt 02

u= t 02(1 +

vu

),

es decir los pulsos llegan al origen separados un tiempo

T = T 2 T 1 = T 0(1 +vu

) =(1 + vu )

q 1 v2c2T 0.

Pero, en magnitud

u =u0 v1 vu

0

c2,

vu

=v(1 vu

0

c2 )u0v

,

Entonces reemplazando y considerando las frecuencias a la cual los pulsos seemiten y se reciben (f = 1 /T ) tenemos

f = q 1 v2c2u0

v2 u 0c2

(u0v)f 0,

o bienf =

1

q 1 v2c2(1

vu0

)f 0

siendou0 > v, para el caso en que la fuente se aleja del observador. Ademsu0 es la velocidad con que la seal sale de la fuente, respecto a ella.

1.12. Problemas.Ejercicio 1.12.1 Una partcula se deja caer desde lo alto de una torre de modo que su altura y vara con el tiempo t de la forma

y = 50 5t2.Determine la trayectoria que es observada desde un automvil que se aleja por el eje horizontal x con rapidez de 20 m/s.


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1.12 Problemas. 29

Ejercicio 1.12.2 Si la posicin de un mvil sobre un eje x vara de la forma

x = 2 t t3,determine la velocidad media en el intervalo de tiempo entre t y t + t.

Ejercicio 1.12.3 Respecto al ejercicio anterior, determine la velocidad ins-tantnea en tiempo t tomando el lmite t 0.Ejercicio 1.12.4 Una partcula se mueve de modo que su posicin en el plano xy est determinada de acuerdo a

x = 2 + ty = 3 t2.

Encuentre un sistema de referencia donde la partcula sea observada movin-dose en lnea recta.

Ejercicio 1.12.5 Dos partculas se mueven con velocidades constantes da-das por

v1 = 2 + 3 + 5 k,v2 = + 2 + 3 k.

Determine el ngulo que forman esas velocidades entre s.

Ejercicio 1.12.6 Un cohete se aleja radialmente de la Tierra con velocidad constante de 1000 m/s en el plano ecuatorial. Considerando que la Tierra rota en torno de su eje dando una vuelta completa por da, determine la forma de la trayectoria observada por los habitantes de la Tierra.

Ejercicio 1.12.7 Si una tortuga parte 100 m adelante de Aquiles y avanza a razn de 0,1 m/s, en cuanto tiempo Aquiles alcanza la tortuga si corre a 10 m/s.

Ejercicio 1.12.8 Considere un tringulo rectngulo de catetos de longitu-des iniciales 3 m y 5 m. Si el cateto ms corto crece a razn de 0,5 m/s,mantenindose la forma del tringulo, determine la razn a la cual crece la hipotenusa.


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30 Espacio tiempo

Ejercicio 1.12.9 Considere una esfera de radio inicial R = 1 m. Si el

radio crece a razn constante de 1 m/s, determine la razn a la cual crece el volumen por unidad de tiempo.

Ejercicio 1.12.10 Un cohete abandona la Tierra a una rapidez de 0,8csiendo c la velocidad de la luz. Cunto toma al segundero del reloj a bordoen dar una vuelta completa, determinado por observadores en la Tierra?

Ejercicio 1.12.11 Una partcula elemental tiene un tiempo de vida media de 107 s cuando est en reposo. Cuanto puede viajar a una velocidad de 0,99c desde que fue creada?

Ejercicio 1.12.12 Explique porqu el punto luminoso en la pantalla de un televisor puede verse movindose ms rpido que la luz.

Ejercicio 1.12.13 Un hombre en la Luna, observa a dos naves que se acer-can a l desde direcciones opuestas, cada una con una rapidez de 0,8c y 0,9crespectivamente. Cul es la velocidad relativa de una nave respecto a la otra?

Ejercicio 1.12.14 Demuestre que si u y u0 indican velocidades relativas a sistemas que se trasladan respecto al eje x entonces

u u0 = u2x uxv + u2yq 1

v2

c2 + u2zq 1 v

2

c2

1 vu xc2Ejercicio 1.12.15 Demuestre que

(u0x )2 + ( u0y)

2 + ( u0z)2 = c2

(c2 v2)(u2x + u2y + u2z) 2c2vux + c2v2 + u2xv2(c2 vux )

2 ,

Ejercicio 1.12.16 Demuestre que

r 1 (u0)2

c2= q 1

u2c2

q 1 v2c2

1 vu xc2

,

es decir la cantidad q 1 u2c2 transforma de la misma manera que uy.


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1.12 Problemas. 31

Ejercicio 1.12.17 Considere la velocidad de la luz, en direccin especi ca-

da por los ngulos y de modo que uy = c sin cos ,uz = c sin sin ux = c cos

Demuestre entonces que el ngulo que hace c con c0 est dado por

cos() =c c0

c2= 1

sin2 (1 q 1 v2c2 )1 v cos cindependiente del ngulo que la velocidad de la luz hace con el eje y o z.(Este es un clculo algebraico, pero realmente nadie observa ese ngulo, pues corresponden a velocidades en diferentes sistemas)

Ejercicio 1.12.18 Determine la velocidad con que se aleja una estrella si una determinada lnea espectral est corrida un 10 % en frecuencia respectoa su valor en reposo.

Ejercicio 1.12.19 Sobre la transformacin de Lorentz. Es posible deducir la transformacin de Lorentz si se hacen algunas suposiciones muy simples.

Primero que la relacin entre coordenadas y tiempos en dos sistemas es lineal,es decir

x0 = x + t,t0 = x + t.

Segundo haga referencia al movimiento de los orgenes. Es decir si x0 = 0 ,entonces x = vt. Si x = 0 , entonces x0 = vt0. Tercero si un objeto se mueve con la velocidad de la luz en un sistema, entonces se mueve con la velocidad de la luz en el otro, es decir si x = ct, entonces x0 = ct0. Por ltimo, la transformacin inversa debe tener la misma forma, excepto por el signo de

la velocidad relativa entre los dos sistemas.


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32 Espacio tiempo


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Captulo 2

Desarrollo del mtodocient co.

2.1. Introduccin.Aristteles pensaba que las substancias que constituan la Tierra eran

diferentes de las substancias existentes en los Cielos. El tambin crea que ladinmica, la rama de la Fsica que describe los movimientos, estaba deter-

minada esencialmente por la naturaleza de la substancia que se mova. As,limitndonos a lo esencial, Aristteles tena la creencia de que una piedra caahacia el suelo porque eran substancias similares. En trminos de sus cuatroelementos bsicos, la piedra era esencialmente tierra . De la misma formael humo se elevaba porque era principalmente aire (y algo de fuego ) ypor lo tanto el humo deseaba estar cerca del aire y lejos de la tierra y del agua . Por similares argumentos l pensaba que los cielos estaban formadospor la ms perfecta de las substancias, la quinta esencia, la cual posea por sunaturaleza la tendencia de efectuar un movimiento perfecto, es decir circular.El tambin pensaba que los objetos en la Tierra se movan mientras fueranempujados, de modo que ellos se detenan apenas se eliminaban las fuerzasaplicadas. Uno de los problemas que tuvo Aristteles fue explicar porqu una echa lanzada mediante un arco, continuaba volando an despus de que lacuerda terminaba su contacto con la echa. Algunas explicaciones fueron es-bozadas, por ejemplo que la echa en su vuelo produca un vaco detrs. Elaire se precipitaba en ese vaco empujando adems a la echa.


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34 Desarrollo del mtodo cient co.

Esto es un esbozo de lo que eran las creencias antes del desarrollo del

mtodo cient co.Una de las cuestiones que origina el desarrollo de la ciencia y del mtodocient co es la explicacin del movimiento de los objetos que se ven en elCielo. Hoy da, producto de una enorme cantidad de observaciones, las cosasparecen estar claras. Sin embargo antes la informacin disponible era muyescasa. Excepto quizs por estimaciones sobre la Luna y el Sol, los hombresde antes no tenan idea de las distancias y de los tamaos de los objetoscelestiales. No debera causar extraeza entonces que los Griegos apoyaronla idea, con mucho sentido comn, de que la tierra debera estar estacionaria(en reposo), y en base a esa hiptesis haba que disear un mtodo parapredecir las posiciones de los astros. La versin nal de este modelo fuediseada por Ptolomeo de Alejandra, modelo que es conocido en nuestrostiempos como el modelo de Ptolomeo.

2.2. Modelos del Cosmos.2.2.1. Modelo de Ptolomeo.

Este era un intrincado modelo, donde la Tierra permaneca en reposo ensu centro, mientras los otros objetos del Cielo se movan en torno a la Tierra,

en crculos o combinaciones de movimientos circulares, la nica curva perfectapara los griegos y por lo tanto la nica posible. Todo esto estaba encerradopor una gigantesca esfera de cristal sobre la cual estn las estrellas jas,esfera que dara una vuelta completa por da. As por ejemplo, un planetadescriba un pequeo crculo en torno a un punto que a su vez describa uncrculo mayor en torno a la Tierra, ver gura (2.1)

As se poda explicar satisfactoriamente para los datos disponibles en esetiempo, como los planetas tenan velocidades variables incluso invirtiendo sumovimiento. Entonces era posible hacer clculos hacia el futuro o hacia elpasado, coincidiendo con las observaciones acumuladas durante cientos deaos. Este modelo tuvo vigencia durante alrededor de 1400 aos, un granperiodo de tiempo comparado con la rapidez de los cambios actuales. Estono debe considerarse una aceptacin ciega de una hiptesis. Ella descansabaen las comprobaciones experimentales de sus predicciones. De hecho fue ne-cesario un re namiento de las tcnicas de observacin para detectar fallas enel modelo de Ptolomeo. En este aspecto fue fundamental el trabajo obser-


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2.2 Modelos del Cosmos. 35

Figura 2.1: Modelo de Ptolomeo.

Figura 2.2: Tycho Brahe

vacional realizado por Tycho Brahe, astrnomo dans (Dic. 14, 1546, Oct.24, 1601), cuyo trabajo en el desarrollo de instrumentos astronmicos y enlas determinaciones de las posiciones de los astros fue crucial.

Tycho Brahe fue el ms grande de los observadores en astronoma antesde la invencin del telescopio. Bajo el auspicio del rey de Dinamarca l cons-truy y oper el observatorio de Uraniborg, que constaba de innumerablesinstrumentos de su propio diseo. En particular, Brahe compil extensosdatos sobre la rbita de Marte, que ms tarde probara ser crucial para laformulacin de las leyes correctas del movimiento de los planetas por partede Kepler.

Las crticas al modelo de Ptolomeo las inici Coprnico, quien basndosedirectamente en trabajos de Tycho Brahe puso de mani esto las discrepanciasdel modelo con la observacin, discrepancias no muy grandes pero que deban


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Sol

Tierra Marte

posicin aparente deMarte en el fondo delas estrellas

Figura 2.3: Movimiento aparente de Marte.

ser justi cadas.

2.2.2. Modelo de Coprnico.Debido a las diferencias observadas, caban dos posibilidades, hacerle co-

rrecciones a las rbitas del modelo de Ptolomeo hacindolas ms intrincadas,o adoptar otro modelo. Coprnico propuso que la Tierra, y los planetas semovan en rbitas circulares en torno al Sol, explicando as muchos de loshechos observados con ms simplicidad. Por ejemplo el aparente movimientodel Sol entre las estrellas se explica debido al movimiento de la Tierra. Elmovimiento aparente de los planetas, en particular el movimiento retrgrado,

se explica con simplicidad como lo ilustra la gura (2.3).Por ejemplo se observa como el planeta Marte se ve avanzar o a veces

retroceder en el fondo de las estrellas jas. Sin embargo Coprnico encontrque las posiciones predichas con su modelo para los astros no eran signi ca-tivamente mejores que las predichas por el modelo de Ptolomeo.

2.2.3. Mejores modelos.Aqu nos encontramos frente a dos hiptesis que daban cuenta ms o me-

nos igual de los hechos observados. Las creencias imperantes en aquellos das,sobre todo ideas religiosas, favorecan la hiptesis de una tierra en reposo,ocupando el lugar central en el Universo. Adems la Mecnica Clsica no es-taba lo su cientemente desarrollada como para contestar muchas preguntas.

Entonces ocurri que las mediciones por si solas no permitieron dilucidarentre los dos modelos, de Coprnico y de Ptolomeo. Tycho insista en una


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Tierra inmvil. Coprnico persuadi a Tycho para colocar el centro de revo-

lucin de todos los otros planetas en el Sol. Para ello tena que abandonar lasesferas cristalinas Aristotlicas puesto que chocaran entre si. Tycho tambincuestion la doctrina Aristotlica de perfeccin celestial, cuando, en los aos1570, un cometa y una nueva estrella aparecieron. Tycho mostr que ambosestaban sobre la esfera de la Luna. Quizs las crticas ms serias fueron lashechas por Galileo, despus de su invencin del telescopio

En una rpida sucesin de acontecimientos, Galileo anunci que habamontaas en la Luna, satlites que rodean Jpiter, y manchas en el Sol.Es ms, que la Va Lctea est compuesta de innumerables estrellas cuyaexistencia nadie haba sospechado hasta que Galileo las observ. Aqu lacrtica golpeaba las races mismas del sistema Aristotlico del mundo.

Al mismo tiempo que Galileo investigaba los cielos con su telescopio, enAlemania Johannes Kepler estaba investigndolo con su mente.

Las observaciones muy precisas de Tycho le permitieron a Kepler des-cubrir que Marte y los otros planetas, no se movan en crculos sino quedescribiendo elipses, con el Sol en uno de sus focos. El cosmos de Keplerera anti-Aristotlico, y quizs por ello l escribi sus descubrimientos en pro-sa latina casi indescifrable en una serie de trabajos que no tuvieron muchacirculacin.

2.2.4. Johannes Kepler.El siguiente paso en la historia de la astronoma fue debido a la intuicin

terica de Johannes Kepler (1571-1630), un astrnomo Alemn quien fuea Praga como asistente de Brahe. Kepler y Brahe no se llevaban bien. Alparecer Brahe pensaba que Kepler podra eclipsarlo de ser el ms grande delos astrnomos de esos das, por lo cual slo le permiti a Kepler examinarparte de su enorme caudal de datos observacionales. El le propuso a Keplerla tarea de entender la rbita de Marte que pareca muy complicada, con laesperanza de que gastara su tiempo en eso, permitindole a l trabajar ensu teora del sistema Solar. Como una irona, fueron los datos de la rbitade Marte los que le permitieron a Kepler formular las leyes correctas delmovimiento de los planetas, sobrepasando lejos los logros de Brahe.En retrospectiva la razn de que la rbita de Marte pareciera tan compli-cada fue que Coprnico colocaba el Sol en el centro del sistema solar, pueshaba errado en su creencia de que las rbitas de los planetas eran crculos.Kepler pudo nalmente concluir que las rbitas de los planetas no eran los


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Figura 2.4: Johanes Kepler

crculos exigidos por Aristteles, sino crculos aplanados, que los gemetrasllaman elipses. Sin embargo las rbitas son apenas elpticas, y para los da-tos disponibles en ese tiempo, era precisamente la rbita de Marte quienmostraba ser ms elptica.

2.2.5. Las leyes de Kepler.Los descubrimientos de Kepler pueden resumirse en tres hechos, conocidos

hoy en da como las tres leyes de Kepler:

Cada planeta se mueve en una rbita elptica en torno del Sol, el cualocupa uno de sus focos.

La lnea que conecta el Sol con cada planeta, barre reas iguales enintervalos iguales de tiempo.

Los cuadrados de los tiempos requeridos por cada planeta para daruna vuelta completa en torno al Sol, son proporcionales al cubo de sudistancia promedio al Sol.

Lo que Galileo y Kepler no podan dar, aunque lo intentaron, eran res-puestas a las preguntas Aristotlicas como las siguientes: Si la Tierra giraen torno de su eje, entonces por qu no salen volando los objetos? Y quhace que los objetos dejados caer de lo alto de las torres no se desven ha-cia el oeste dado que la tierra gira debajo de ellos? Y cmo es posible quela Tierra, en espacio vaco, viaje en torno del Solya sea en crculos o en


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elipsessin algo que la empuje? Las mejores respuestas vinieron de parte de

Galileo, quin analiz los problemas de la rotacin de la Tierra y su revolu-cin mediante anlisis lgico. Los cuerpos no salen volando la Tierra porquela tierra no gira demasiado rpido, as los cuerpos, tienen una tendencia pe-quea a salir volando. Los cuerpos dejados caer desde las torres, caen a labase de ellas porque ellos (antes de ser soltados) comparten con la torre larotacin de la Tierra. Asimismo Galileo dedujo lo que acontece cuando otromovimiento se agrega. As Galileo dedujo que una pelota dejada caer de lacima de un mstil de una nave en movimiento caera directamente a la basedel mstil. Si la pelota fuera permitida a seguir sin roce en vuelo horizontal,continuara movindose para siempre. De hecho Galileo concluy que los pla-netas, una vez puestos en movimiento circular, continuaran as para siempre.Por consiguiente, las rbitas circulares de Coprnico existen. Galileo nuncaacept las elipses de Kepler; hacerlo habra signi cado abandonar su solucinal problema de Coprnico.

Kepler comprendi que haba un problema real con el movimiento plane-tario. l busc resolverlo mediante la existencia de alguna fuerza que parecaser csmica en naturaleza, en su creencia el magnetismo.

La Tierra haba sido descrita como un gigantesco imn por William Gil-bert en 1600. Kepler se aferr a ese hecho. Una fuerza magntica, dijo Kepler,eman del Sol y empuj los planetas alrededor en sus rbitas, pero l nuncapudo cuanti car esto idea bastante vaga y poco satisfactoria.

A

nales del primer cuarto del siglo 17 el pensamiento Aristotlico sobreel cosmos estaba rpidamente teniendo n, pero no apareca ningn sistemasatisfactorio para ocupar su lugar. Como resultado exista escepticismo: Lanueva losofa pone todo en duda . Era esta situacin la que favoreci eldesarrollo de las ideas de Ren Descartes.

La materia y movimiento fueron tomados por Descartes para explicartodos los procesos naturales por medio de los modelos mecnicos, aunque ladvirti que ese tales modelos probablemente no eran la naturaleza misma.Ellos proporcionan meramente las historias probables , cuestin qu parecamejor que ninguna explicacin en absoluto.

Armado con materia y movimiento, Descartes atac los problemas del sis-tema de Coprnico. Cuerpos una vez en movimiento, Descartes argument,permanecen en movimiento en una lnea recta a menos que y hasta que ellosse desven de esta lnea por el impacto de otro cuerpo. Todo cambio de unmovimiento es el resultado de cosas que impactan. La pelota soltada desdelo alto de un mstil, cae al pie del mstil porque, a menos que sea golpeado


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Figura 2.5: Isaac Newtonpor otro cuerpo, contina movindose con la nave. Los planetas se muevenalrededor del Sol porque ellos son desviados por una materia sutil que llenatodo el espacio (qu ser?). Podan as construirse modelos similares paraconsiderar todos los fenmenos; el sistema Aristotlico podra ser reempla-zado por el Cartesiano. Exista sin embargo un problema mayor, y eso bastpara derrumbar al Cartesianismo en esos tiempos. La materia Cartesiana ymovimiento no tenan ningn propsito. Ni la losofa de Descartes parecanecesitar la participacin activa de una deidad. El cosmos Cartesiano, comolo dijo Voltaire despus, era como un reloj que al cual le haban dado cuerdaen la creacin y que continuaba haciendo tictac por siempre.

2.2.6. Sir Isaac Newton. La uni cacin de la Fsica yla Astronoma.

El 17 siglo era un tiempo de intenso sentimiento religioso, y en ningunaparte era ese sentimiento ms intenso que en Gran Bretaa. All un hom-bre joven devoto, Isaac Newton, nalmente sienta las bases de la MecnicaClsica.

Newton era a la vez un experimentalista y un genio matemtico, una com-binacin que le permiti defender el sistema de Coprnico mediante unasnuevas mecnicas . Su mtodo era simplemente: de los fenmenos de los mo-vimientos investigar las fuerzas naturales, y entonces de estas fuerzas deducirotros fenmenos del movimiento . El genio de Newton lo gui en la eleccinde fenmenos a ser investigado, y su creacin de una herramienta matemtica


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fundamentalel clculo (simultneamente inventado por Gottfried Leibniz).

El resultado fu su gigantesca obra, Philosophiae Naturalis Principia Mathe-matica (Principios Matemticos de Filosofa Natural, normalmente llamadosPrincipia simplemente que aparecieron en 1687.

Aqu se asentaban unas nuevas fsicas que aplicaron igualmente bien alos cuerpos terrestres y a los celestiales. Coprnico, Kepler, y Galileo erantodos justi cados por el anlisis de Newton de las fuerzas. Descartes fuabsolutamente derrotado.

As con sus tres leyes (de Newton) de movimiento y su principio de gra-vitacin universal le bast a Newton para explicar el nuevo cosmos. Newtoncrey sin embargo que eso era con la ayuda de Dios. La Gravedad, es ac-cin divina directa, como lo son todo las fuerzas. El espacio absoluto, paraNewton, era esencial, porque el espacio era el el sensorium de Dios , y lamorada divina la cual, necesariamente, debe ser el ltimo sistema de coorde-nadas. (Estas ideas muestran con claridad que Newton formul sus leyes dela Mecnica en un sistema privilegiado de referencia, sistemas que hoy en dase conocen como Sistemas inerciales de Referencia .) Finalmente, el anlisisde Newton de las perturbaciones mutuas de los planetas causado por suscampos gravitacionales individuales lo hicieron predecir el derrumbamientonatural del sistema solar, a menos que Dios actuara para corregir las cosas.

La gran sntesis de Newton.

Kepler propuso sus tres leyes del movimiento de los planetas basndose enlas regularidades que encontr en los datos de Brahe. Estas leyes se suponaaplicaban slo al movimiento de los planetas, no teniendo relacin alguna conotros movimientos en el Universo. Adems eran completamente empricas,ellas daban buenos resultados, pero nadie saba la razn de porqu ellas

funcionaban.Newton cambi todo eso. Primero l demostr que los movimientos detodos los cuerpos podan ser descritos mediante tres leyes. Luego demostrque las tres leyes de Kepler no eran ms que casos especiales de sus leyes sila fuerza es de un tipo especial, la que hoy llamamos fuerza gravitacional.


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2.3. La difusin de mtodo cient co.La publicacin del Principia marca la culminacin del movimiento inicia-

do por Coprnico y, como tal, siempre ha perdurado como el smbolo de larevolucin cient ca.

Existan, sin embargo, crticas similares en otros mbitos del conocimientonatural. En el mismo ao que Newton publicaba su gran volumen, aparecaun libro igualmente importante en anatoma. Andreas Vesalius Del fabricade corporis de humani ( En el Tejido del Cuerpo Humano , llam el Delfabrica), aparece un examen crtico de la anatoma de Galeno en la queVesalius utiliz sus propios estudios para corregir muchos de los errores deGaleno.

Vesalius, como Newton, puso nfasis en los fenmenos observados, es de-cir, la descripcin exacta de hechos naturales. Esto culmin con el descubri-miento de la circulacin de la sangre por William Harvey cuyo trabajo fupublicado como Exercitatio Anatomica De Motu el et de Cordis Sanguinisen Animalibus (Un Ejercicio Anatmico Acerca del Movimiento del Corazny Sangre en Animales ) .

ste era el como el Principia en siologa donde se estableci la anatomay la siologa como ciencias con derecho propio. Harvey mostr que esosfenmenos orgnicos podran estudiarse experimentalmente y que algunosprocesos orgnicos podan reducirse a sistemas mecnicos. El corazn y el

sistema vascular podran ser considerados como una bomba y un sistema decaeras y que podan entenderse sin el recurso a espritus o otras fuerzas nosusceptibles al anlisis.

En otras ciencias el esfuerzo por sistematizar no tuvo tanto xito. Enqumica, por ejemplo, el trabajo de los alquimistas modernos medievales ha-ban conducido a nuevas substancias importantes y procesos, como los cidosminerales y destilacin, pero presentaron sus teoras en un lenguaje msticocasi incomprensible. Robert Boyle en Inglaterra intent disipar la maleza in-telectual insistiendo en las descripciones claras, en la reproducibilidad de losexperimentos, y concepciones mecnicas de los procesos qumicos. La qumi-ca, sin embargo, no estaba todava madura para la revolucin.

Nuevos instrumentos como el microscopio y el telescopio multiplicaronlos mundos con los que el hombre tena que ver. Los viajes por el Mundodevolvieron un diluvio de nuevos especmenes botnicos y zoolgicos queagobiaron esquemas clasi cadores antiguos. Lo mejor que poda hacerse eradescribir estas cosas nuevas con precisin y esperar que algn da alguien


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2.3 La difusin de mtodo cient co. 43

pudiera ajustarlas de una manera coherente.

El diluvio creciente de informacin puso tensiones pesadas en las institu-ciones viejas y tradicionales. La informacin tuvo que ser extendida ampliay rpidamente. Ni el genio aislado de Newton pudo comprender un mundoen el que la nueva informacin estaba producindose ms rpidamente de loque cualquier persona poda asimilar. Los lsofos naturales tenan que estarseguro de sus datos, y con ese fue requirieron la con rmacin independientey crtica de sus descubrimientos. Se crearon nuevos medios para lograr estos nes. Las sociedades cient cas empiezan en Italia en los primeros aos delsiglo 17 y culminan en las dos grandes sociedades cient cas nacionales quemarcan el cenit de la revolucin cient ca: la Sociedad Real de Londres parala Promocin de Conocimiento Natural, creado por carta constitucional realen 1662, y las Acadmie des Ciencias de Pars, formadas en 1666.

En estas sociedades y otras como ellas por el mundo, los lsofos natura-les podran discutir, y podran criticar nuevos descubrimientos y las teorasantiguas. Para mantener una base rme en estas discusiones, las sociedadesempezaron a publicar trabajos cient cos (papers). Las Transacciones Filo-s cas de la Sociedad Real que empezaron como una aventura privada desu secretaria fueron el primer peridico cient co profesional. Fue copiadopronto por el Mmoires de la academia francesa que gan igual importan-cia y prestigio. La antigua prctica de ocultar los nuevos descubrimientos en jerga comn, el idioma oscuro, o incluso los anagramas gradualmente dieron

lugar al ideal de comprensin universal. Se inventaron nuevos cnones parainformar y para que los experimentos y descubrimientos pudieran ser repro-ducidos por otros. Esto requiri nueva precisin en el idioma o lenguaje paracompartir mtodos experimentales u observacionales. El fracaso de otros parareproducir resultados lanzaba serias dudas en los informes originales. As secrearon las herramientas para un ataque frontal a los secretos de naturaleza.

Incluso con la revolucin cient ca comenzando, mucho permaneca porser hecho. De nuevo, fu Newton quien mostr la manera. El Principia basta-ba para el mundo de macroscpico. Las tres leyes de Newton de movimientoy el principio de gravitacin universal eran todo lo necesario para analizar lasrelaciones mecnicas de cuerpos ordinarios, y el clculo como la herramientasmatemtica esencial. Para el mundo microscpico, Newton proporcion dosmtodos.

Primero, donde las leyes simples de accin ya haban sido determinadasde la observacin, como la relacin de volumen y presin de un gas (la ley deBoyle, pv = k), Newton supuso fuerzas entre partculas que le permitieron


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derivar esa ley.

l us estas fuerzas entonces para predecir otros fenmenos, en este casola velocidad del sonido en el aire la cual poda medirse y contrastarse con laprediccin.

Segundo, el mtodo de Newton hizo posible el descubrimiento de que lasleyes de accin del mundo macroscpico. podran considerarse como el efec-to de fuerzas microscpi

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