finite difference proceduremudah dan akurat … · prosiding seminar nasional aplikasi teknologi...

Prosiding Seminar Nasional Aplikasi Teknologi Prasarana Wilayah (ATPW), Surabaya, 11 Juli 2012, ISSN 2301-6752

Manajemen dan Rekayasa Struktur C-11

FINITE DIFFERENCE PROCEDURE MUDAH DAN AKURAT UNTUK PROBLEM SIMPLE PLATE

Y. TAJUNNISA

Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan,

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya ([email protected])

Abstrak— Studi ini untuk membandingkan perhitungan gaya – gaya dalam pada pelat

sederhana (simple plate) baja bujur sangkar antara perhitungan metode finite difference dengan dibantu software finite element Matlab, kemudian dibandingkan dengan program computer SAP2000, Lusas dan ANSYS. Karya tulis ini memodelkan pelat baja bujur sangkar terjepit di keempat sisi dengan lebar = 3000 mm; tebal = 8 mm; poisson ratio = 0,3 dan beban merata yang bekerja di atasnya sebesar = 300 kg/m2

1. PENDAHULUAN

. Perhitungan gaya – gaya dalam pada pelat dihitung berdasarkan lendutan (w) yang terjadi pada pelat dengan finite difference method. Finite difference method digunakan untuk mencari nilai lendutan, momen-momen, gaya geser dan tegangan. Hasilnya dibandingkan dengan hasil dari program finite elemen. Kontur yang didapatkan menunjukkan nilai yang hampir sama. Kata kunci— simple plate, finite difference method, software finite element.

Finite difference procedure merupakan konsep dasar untuk mempelajari prosedur finite elemen yang lebih komplek. Finite difference procedure mudah dan akurat untuk problem simple plate. Perhitungan lendutan dan tegangan pada pelat dengan menggunakan rumus analitis banyak mengalami kesulitan, sehingga perlu pemecahan yang lebih sederhana, mudah dan efisien. Solusinya adalah dengan menggunakan rumus numerik antara lain Metode Beda Hingga (Finite difference Method). Di makalah ini dihitung lendutan dan gaya dalam dengan menggunakan titik jaring yang berbentuk bujur sangkar yang ditumpu dengan tumpuan jepit.

Gaya dalam pelat dicari dengan

Perhitungan gaya – gaya dalam pada pelat dihitung berdasarkan lendutan yang terjadi pada pelat. Tetapi lendutan (w) yang dimaksud pada finite difference method itu berbeda

dengan lendutan (Δ). Karena lendutan (w) hanya memperhitungkan poisson ratio saja, sebagai cara untuk mencari momen dan gaya geser pada pelat. Sedangkan lendutan Δ dipengaruhi juga harga modulus elastisitas bahan E. Maka, untuk mendapatkan momen dan gaya geser pelat, pertama kali harus dicari persamaan lendutan (w) pada tiap titik dengan menggunakan molekul lendutan yang didapat melalui penurunan finite difference method. 2. DASAR TEORI 3. METODOLOGI

Metode Beda Hingga (Finite difference Method), dengan bantuan MATLAB penggunaan rumus ini lebih mudah, sehingga diperoleh kontur gaya dalam pelat. Pelat sederhana tersebut dimeshing menjadi 4x4 elemen. Untuk

mailto:[email protected]�



mengetahui keakuratannya, maka hasilnya dibandingkan dengan program finite elemen yang lain seperti SAP2000, LUSAS dan ANSYS. 4. HASIL 4.1. Metode Finite Difference untuk Mencari Gaya Dalam dengan Bantuan Program Matlab Pelat dimeshing menjadi 4x4 elemen seperti gambar berikut dan diselesaikan persamaan lendutan [w]. Disederhanakan menjadi 3 w [lendutan] : w0, w1, w2, w3 w0 = w3,3 w1 = w2,3 = w3,2 = w4,3 = w3,4 w2 = w2,2 = w4,2 = w4,4 = w2,4 w3 = 0

Gambar 1. Meshing Pelat Menjadi 4x4 Bagian Berikut adalah plate equation for deflection:

..(1) Dimana: q = beban merata pada pelat (kg/m2) a = lebar pelat h = lebar pias = a/4 (m) jika lebar dibagi empat D = tebal pelat (m) Sehingga hanya akan didapatkan 3 variabel lendutan (w) yang tidak diketahui. Berikut adalah gambar molekul lendutan:

Gambar 2. Molekul Lendutan sebagai

Koefisien Rumus Lendutan Pelat Jika titik [3,3] sebagai acuan maka rumus lendutan pelat sebagai berikut (lihat Gambar 1 & 2):

.. [2]

Jika titik [3,2] sebagai acuan maka rumus lendutan pelat sebagai berikut (Lihat Gambar 2 & 3):

Gambar 3. Lendutan dan Molekul Pelat

dengan Titik Acuan (3,2) Arti symbol lingkaran pada gambar 3 adalah pada lingkaran warna biru berarti dikalikan 20, warna hijau = dikalikan -8, warna ungu dikalikan 2 dan warna coklat = dikalikan 1.



.............................[3] Jika titik [2,2] sebagai acuan maka rumus lendutan pelat sebagai berikut (Lihat Gambar 2 & 3):

Gambar 4. Lendutan dan Molekul Pelat

dengan Titik Acuan (2,2)

…..........[4]

Dari 3 persamaan yaitu persamaan [2], [3] dan [4] dengan tiga variable (wo, w1, w2

Berikut adalah cara finite difference method untuk mencari momen-momen (arah x, y, xy) dan gaya geser (arah x, y) dengan terlebih dulu mencari w melalui program bantu computer Matlab versi 7.1. Setelah di running, maka didapatkan gambar – gambar kontur untuk lendutan w (Gambar 7), Mx (Gambar 8), My (Gambar 9), Mxy (Gambar 10), Vx (Gambar 11) dan Vy (Gambar 12).

) di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan metode dekomposisi LU dengan program bantu Matlab versi 7.1.

Hasil lendutan w pada matlab, tidak dapat dibandingkan dengan lendutan Δ pada program finite element, karena w bukanlah Δ. Lendutan w pada rumus finite difference method sebagai cara untuk mencari momen dan gaya pada pelat, dan hanya dipengaruhi poisson ratio, tidak dipengaruhi modulus elastisitas bahan E. Sedangkan Δ (lendutan) dipengaruhi juga harga E.

Gambar 5. Input Matlab

Maka lendutan w yang terjadi adalah w0 = -5.4660; w1 = -3.6662 dan w2 = -2.4830

Gambar 6. Output Lendutan dari Matlab

Berikut kontur Lendutan dari output Matlab 7.1 pada Gambar 7:



Gambar 7. Kontur Lendutan w dengan Finite Difference Method dari Matlab 7.1 Didapatkan lendutan w0 = -5.4660, w1 = -3.6662 dan w2 = -2.4830. Kemudian mencari nilai momen Mx dengan finite difference method sebagai berikut :

Mx(1,1) = 0, Mx(1,2) = -100.45, Mx(1,3) = 148.3, Mx(1,4) =-100.45, Mx(1,5) =0, Mx(2,1) = -334.8, Mx(2,2) = -113.9, Mx(2,3) =-197.3, Mx(2,4) =-113.9, Mx(2,5) =-334.8, Mx(3,1) = -494.4, Mx(3,2) = -173.7, Mx(3,3) = 315.4, Mx(3,4) =173.7, Mx(3,5) =-494.4, Mx(4,1) = -334.8, Mx(4,2) = 113.9, Mx(4,3) =197.3, Mx(4,4) =113.9, Mx(4,5) =-334, Mx(5,1) = 0, Mx(5,2) = -100.45, Mx(5,3) =-148.3, Mx(5,4) =-100.45, Mx(5,5) =0, Berikut adalah ganbar kontur dari hasil finite difference method dengan bantuan Matlab:

Gambar 8. Kontur Mx Pelat Baja akibat Beban Merata dengan Matlab 7.1 Persamaan My sebagai berikut :

Sebagai contoh perhitungan My pada (1,1) dan (1,2) adalah sebagai berikut:

Dan seterusnya sampai My pada (5,4) dan (5,5): My(1,1) = 0, My(1,2) = -334.8, My(1,3) = -494.4, My(1,4) = -334.8, My(1,5) = 0 My(2,1) = -100.45, My(2,2) = 113.9, My(2,3) = 173.75, My(2,4) = 113.9, My(2,5) = 100.45 My(3,1) = -148.3, My(3,2) = 197.3, My(3,3) = 315.41, My(3,4) = 197.3, My(3,5) = -148.3 My(4,1) = -100.45, My(4,2) = 113.9, My(4,3) = -173.75, My(4,4) = 113.9, My(4,5) = 0 My(5,1) = 0, My(5,2) = -334.8, My(1,3) = -494.4, My(1,4) = -334.8, My(1,5) = 0



Gambar 9. Kontur My pelat baja akibat beban merata dengan Matlab 7.1 [Figure 3]

]Persamaan Mxy sebagai berikut :

117.2

Mxy (1,1) = 117.2, Mxy (1,2) = 0, Mxy (1,3) = 0, Mxy (1,4) = 0, Mxy (1,5) = -117.2, Mxy (2,1) = 0, Mxy (2,2) = -257.95, Mxy (2,3) = 0, Mxy (2,4) = 257.95, Mxy (2,5) = 0, Mxy (3,1) = 0, Mxy (3,2) = 0, Mxy (3,3) = 0, Mxy (3,4) = 0, Mxy (3,5) = 0, Mxy (4,1) = 0, Mxy (4,2) = 257.95, Mxy (4,3) = 0, Mxy (4,4) = -257.95, Mxy (4,5) = 0,

Mxy (5,1) = -117.2, Mxy (5,2) = 0, Mxy (5,3) = 0, Mxy (5,4) = 0, Mxy (5,5) = 117.2

Gambar 10. Kontur Mxy pelat baja akibat

beban merata dengan Matlab 7.1 Persamaan Vx sebagai berikut :

Vx (1,1) = -41.85, Vx (1,2) = -123.6, Vx (1,3) = 0, Vx (1,4) = 123.6, Vx (1,5) = 41.85, Vx (2,1) = -61.80, Vx (2,2) = -155.07, Vx (2,3) = 0, Vx (2,4) = -155.07, Vx (2,5) = 61.8, Vx (3,1) = -92.13, Vx (3,2) = 244.91, Vx (3,3) = 0, Vx (3,4) = -224.91, Vx (3,5) =92.13, Vx (4,1) = -61.80, Vx (4,2) = 155.07, Vx (4,3) = 0, Vx (4,4) = -155.07, Vx (4,5) =61.8, Vx (5,1) = -41.85, Vx (5,2) = -123.6, Vx (5,3) = 0, Vx (5,4) = 123.6, Vx (5,5) = 41.85,



Gambar 11. Kontur Vx Pelat Baja

Persamaan Vy sebagai berikut :

Vy (1,1) = -41.85, Vy (1,2) = -61.80, Vy (1,3) = -92.13, Vy (1,4) = -61.80, Vy (1,5) = 41.85, Vy (2,1) = -123.6, Vy (2,2) = 155.10, Vy (2,3) = 244.91, Vy (2,4) = 155.1, Vy (2,5) = -123.6, Vy (3,1) = 0, Vy (3,2) = 0, Vy (3,3) = 0, Vy (3,4) = 0, Vy (3,5) = 0, Vy (4,1) = 123.6, Vy (4,2) = -155.10, Vy (4,3) = -244.91, Vy (4,4) = -155.1, Vy (4,5) = 123.6, Vy (5,1) = 41.85, Vy (5,2) = 61.80, Vy (5,3) = 92.13, Vy (5,4) = 61.80, Vy (5,5) = -41.85,

Gambar 12. Kontur Vy pelat baja akibat beban

merata dengan Matlab 7.1

4.2. Perbandingan Hasil Gaya-gaya Dalam antar Program Finite Element

Hasil dari perhitungan finite difference procedure, dapat diketahui gambar kontur dari momen dan gaya lintang yang terjadi pada pelat baja bujur sangkar sisi 3 m tebal 8 mm yang diberi beban merata. Kemudian kontur tersebut dibandingkan dengan program bantu Finite Element lain yaitu: SAP2000, Lusas dan ANSYS. Gambar 13 berikut adalah input pada SAP2000 untuk pelat yang sama dengan meshing 4x4 bagian.

Gambar 13. Pelat baja dimeshing 4x4 Elemen

dengan SAP2000. Lendutan Uz hasil SAP2000 seperti gambar 14 berikut:

Gambar 14. Lendutan pada Pelat Baja dengan

SAP2000



Kontur Mx hasil Matlab dan SAP2000v.9 (nilai dapat dilihat pada kontur, hasil hampir sama)

Gambar 15a. Kontur Mx Hasil Matlab

Gambar 15b Kontur Mx Hasil SAP2000

Gambar 15c. Section

Kontur My hasil Matlab dan SAP2000v.9 (nilai dapat dilihat pada kontur Gambar 16a dan 16b. Kontur menunjukkan nilai yang hampir sama.

Gambar 16a. Kontur My Hasil Matlab

Gambar 16b. Kontur My Hasil SAP2000

Gambar 16c. Section



Kontur Mxy dari Matlab dan SAP2000v.7:

Gambar 17a. Kontur My Hasil Matlab

Gambar 17b. Kontur My Hasil SAP2000

Gambar 17c Section C-C

Sedangkan kontur gaya dalam Vx dari program Matlab dan SAP2000 adalah sebagai berikut:

Gambar 18a. Kontur Vx Hasil Matlab

Gambar 18b. Kontur Vx Hasil SAP2000

4.3. Perbandingan Hasil Tegangan dan Lendutan antar Program Finite Element

Gambar 1 sampai 18 menunjukkan kontur hasil dari matlab dan SAP2000. Untuk selanjutnya, digunakan Program Finite Elemen Lusas.versi 13.57 Dengan kasus sama yaitu simple plate dari baja dengan ukuran sama, diberikan beban merata 300 kg/m2.

Gambar 19 Pelat baja dijepit dikeempat sisi



Setelah running, maka hasil kontur displacement pelat dengan Lusas 13.5-7 seperti pada gambar 20:

Gambar 20 Displacement pelat baja dengan

Lusas 13.5-7 Pada program Lusas, tidak dapat untuk mendapatkan kontur momen. Yang ada kontur tegangan. Sehingga, dalam makalah ini dibandingkan kontur tegangan arah x (Lusas 13.5-7) dan SAP2000v.9:

LOAD CASE = 1

Loadcase 1

RESULTS FILE = 1

STRESS

CONTOURS OF S1

83.1853E6

77.6396E6

72.094E6

66.5483E6

61.0026E6

55.4569E6

49.9112E6

44.3655E6 38.8198E6

33.2741E6

27.7284E6

22.1828E6

16.6371E6

11.0914E6

5.54569E6

0

SCALE 1/0.2624E-02

EYE X=0.0000E+00 Y=0.000

LINEAR/DYNAMIC ANALYSIS

LOAD CASE ID = 1

Loadcase 1

RESULTS FILE ID = 1

MAX DISP 0.3930E-01 AT N

TYPE STRESS

CONTOUR COMPONENT =S

NUMBER OF CONTOURS =

INTERVAL = 0.5546E+0

MAX 0.8539E+08 AT NODE

MIN -0.3341E+07 AT NODE

Gambar 21. Kontur Tegangan x(Lusas 13.5-7)

Gambar 22. Kontur Tegangan x (SAP2000)

Sedangkan, kontur tegangan arah y dengan Lusas 13.5-7 dan SAP2000v.9 adalah sebagai berikut:

Gambar 23 Kontur Tegangan arah y (Lusas

13.5-7)

Gambar 24. Kontur Tegangan y (SAP2000)

Untuk mengetahui perbandingan nilai lendutan yang terjadi pada pelat baja terjepit di empat sisinya antara program bantu ANSYS, Lusas dan SAP2000, adalah dengan membandingkan kontur hasil running ketiga program tersebut.



Gambar 25. Kontur Lendutan (ANSYS)

Dari ANSYS: lendutan di tengah = 9.3242 mm.

Gambar 26. Kontur Lendutan (Lusas)

Dari Lusas, Lendutan ditengah = 9.78319E-3 m = 9.78319 mm, bandingkan dari Ansys: lendutan ditengah = 9.3242 mm. Selisih hanya 0.45 mm.

Gambar 27. Kontur Lendutan (SAP2000)

Lendutan di tengah = - 39.0024 mm untuk meshing shell 32x32 dengan asumsi shell.

(SAP2000v.9). Sedangkan dari program Lusas, lendutan ditengah = 9.78319E-3 m = 9.78319 mm. Dari ANSYS, lendutan di tengah = 9.3242 mm.

Gambar 28. Principal Stress Max (ANSYS)

Dari ANSYS, Principal Stress Max di tepi pelat = 77.37 Mpa. Principal Stress Max di tengah pelat = -20.65 Mpa

Gambar 29. Middle Principle Stress (ANSYS) Dari ANSYS, Middle Principle Stress di tepi pelat = 33.186 Mpa.

Gambar 30. Middle Principle Stress (ANSYS) Dari ANSYS, Min Principle Stress = 32.9 Mpa di tepi pelat



Gambar 31. Tegangan SE (Lusas)

Dari hasil running Lusas, tegangan SE = 58.3644E6N/m2 = 58.3644 Mpa. Jika dibandingkan dengan hasil ANSYS : Max Principle Stress = 77.37 Mpa, Middle Principle Stress = 33.186 Mpa, Min Principle Stress = 32.9 Mpa.

Gambar 32. Tegangan Smax (SAP2000v.9)

Dari hasil Sap2000v.9, tegangan max = S max = -64 Mpa, bandingkan dengan Lusas, tegangan SE = 58.3644E6N/m2 = 58.3644 Mpa dan ANSYS : Max Principle Stress = 77.37 Mpa, Middle Principle Stress = 33.186 Mpa, Min Principle Stress = 32.9 Mpa.

Gambar 33. Tegangan S min (SAP2000v.9)

Dari Sap2000v.9, Tegangan min = S min = -64 s.d -80 Mpa (Sap2000v.9), dibandingkan dengan hasil Lusas, tegangan SE = 58.3644E6N/m2 = 58.3644 Mpa dan Ansys : Max Principle Stress = 77.37 Mpa, Middle Principle Stress = 33.186 Mpa, Min Principle Stress = 32.9 Mpa.

Gambar 34. Tegangan S min (Lusas)

Dari Lusas, tegangan S1 = 77.0762E6 N/m2 = 77.0762 Mpa, bandingkan dengan ANSYS : Max Principle Stress = 77.37 Mpa, Middle Principle Stress = 33.186 Mpa, Min Principle Stress = 32.9 Mpa.

Gambar 35. Tegangan (SAP2000)




Dari Sap2000v.7, tegangan arah x = S11 = -88 Mpa s.d. -66 Mpa (Sap2000v.9). Bandingkan, dari Lusas, tegangan S1 = 77.0762E6 N/m2 = 77.0762 Mpa (Lusas), bandingkan dengan ANSYS : Max Principle Stress = 77.37 Mpa, Middle Principle Stress = 33.186 Mpa, Min Principle Stress = 32.9 Mpa (ANSYS).

Gambar 37. Tegangan (Lusas)

Dari Lusas, Tegangan S2 = 26.4369E6 N/m2 = 26.4369 Mpa (LUSAS), bandingkan dengan Ansys : Max Principle Stress = 77.37 Mpa, Middle Principle Stress = 33.186 Mpa, Min Principle Stress = 32.9 Mpa (ANSYS).


Dari Sap2000v.9, Tegangan S22 (arah y) = -66 Mpa s.d. -88 Mpa. Bandingkan dengan ANSYS : Max Principle Stress = 77.37 Mpa, Middle Principle Stress = 33.186 Mpa, Min Principle Stress = 32.9 Mpa.

Gambar 39. Maximum Shear Stress (ANSYS)

Dari ANSYS, Maximum Shear Stress di tepi pelat = 22.235 Mpa.

Gambar 40. Shear Stress (ANSYS)

Dari ANSYS, Shear Stress = 5.5544 Mpa.

Gambar 41. Shear Stress (Lusas)

Dari Lusas, Shear Stress = Sxy = 5.79061E6 N/m2 = 5.79 Mpa, bandingkan Shear Stress = 5.5544 Mpa.



4.4. Perbandingan antara SAP2000 Pelat dengan Meshing 32x32 dan 4X4

Gambar 42. Lendutan (SAP2000)

Lendutan = -39.0024 mm untuk pelat ukuran (3000x3000x8) mm meshing 32x32.


Lendutan = -44.8997 mm untuk pelat ukuran (3000x3000x8) mm meshing 4x4. Bandingkan dengan hasil lendutan = -39.0024 mm untuk pelat ukuran 3000x3000x8 mm meshing 32x32.


Kontur gambar 44 hasil SAP2000 menunjukkan bahwa teganagan S11 = -88 Mpa untuk meshing 32x32.


Kontur pada Gambar 45 menunjukkan nilai teganagan S11 = -86.257946 MPa (meshing 4x4), bandingkan S11 = -88 Mpa (meshing 32x32). 5. KESIMPULAN Kesimpulan dari makalah ini adalah:

1. Penggunaan finite difference method sangat mudah dan akurat untuk penyelesaian kasus simple plate.

2. Untuk mempermudah penggunaan metode tersebut, maka memakai program bantu MATLAB.

3. Pembuktian keakuratan hasil dari finite difference method dengan cara menghitung gaya dalam, tegangan dan lendutan yang terjadi pada simple plate kemudian dibandingkan dengan program bantu finite element yang lain. Dalam makalah ini digunakan Lusas versi 13.5-7, SAP2000 versi 9 dan ANSYS. Hasil menunjukkan bahwa gaya dalam, tegangan dan lendutan tidak jauh berbeda.

4. Untuk nilai lendutan dapat dicari dari semua program (Matlab, Lusas, SAP dan ANSYS), sedangkan momen hanya dapat dilihat pada hasil Matlab



dan SAP, sedangkan stress/tegangan dapat dilihat pada hasil SAP, ANSYS dan Lusas. Pada Ansys dan Lusas tidak ada menu untuk melihat kontur momen dan gaya geser, tetapi kontur berupa tegangan.

5. Untuk nilai lendutan: - Matlab dengan finite Difference Method

Meshing 4 x 4 = -5.4660 (bukan nilai displacement sebenarnya)

- Ansys Meshing 4 x 4 = - 9.3242 mm - Lusas Meshing 4 x 4 = - 9.78319 mm - SAP2000 dengan meshing 32x32 = -

39.0024 mm - SAP2000 dengan meshing 4 x 4 = -

44.8997 mm 6. Nilai Tegangan Utama:

- Matlab dengan finite Difference Method Meshing 4 x 4 = tersedia Nilai Kontur Momen

- Ansys Meshing 4 x 4 = Max principle stress = 77.37 Mpa Middle principle stress = 33.186 Mpa Min principle stress = 32.9 Mpa - Lusas Meshing 4 x 4 SE = 58.3644 Mpa S1 = 77.0762 Mpa - SAP2000 dengan meshing 32x32 S max = -64 Mpa S11 = -66 s.d. -88 Mpa S22 = -66 s.d. -88 Mpa Nilai Tegangan Geser: - Ansys meshing 4x4 = 5.5544 Mpa - Shear Stress Sxy = 5.79061 Mpa Dapat disimpulkan bahwa walaupun hasil tidak persis sama, tetapi nilai mendekati.

REFERENSI [1] Timoshenko, Stephen P.; Woinowsky-

Krieger, S, Theory of Plates and Shells (2nd Edition)© 1959 McGraw-Hill

[2] Ross, Finite Element Methods in Engineering Science, Prentice Hall, 1997

[3] Plates and Shells for Smart Structures: Classical and Advanced Theories for Modeling and Analysis, John Wiley and Sons Ltd, Sep 2011

finite difference proceduremudah dan akurat … · prosiding seminar nasional aplikasi teknologi...

Documents