finite difference ftcs laasonen crank-nicolson

Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret

KOMPUTASI PERPINDAHAN PANAS

Disusun Oleh :

Sidiq Adhi Darmawan

I0409049

JURUSAN TEKNIK MESIN FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2013


I. Pendahuluan

Dalam kehidupan sehari - hari banyak kita temui fenomena perpindahan panas dari

suatu material atau fluida yang mempunyai temperatur lebih tinggi ke material atau

fluida yang mempunyai temperatur yang lebih rendah

Perpindahan panas akan terjadi apabila ada perbedaan temperatur antara beberapa

benda, baik benda itu bersentuhan maupun tidak bersentuhan perpindahan panas akan

terjadi, dan perpindahan panas akan mengalir dari benda bertemperatur lebih tinggi ke

benda yang bertemperatur lebih rendah. Perpindahan panas ini dapat berlangsung

dalam tiga bentuk yang berbeda yaitu konduksi, konveksi dan radiasi.

Perpindahan panas konduksi, konveksi dan radiasi selalu terjadi di kehidupan

sehari – hari maupun di dunia kerja dalam berbagai cara yang berbeda – beda.

Meskipun perpindahan panas tersebut dalam betuk abstrak yang tidak terlihat namun

dapat selalu dirasakan oleh panca indera manusia.

Pada tinjauan komputasi, konsep – konsep yang bersifat abstrak seperti

perpindahan panas dapat di analisa kedalam bentuk nyata melalui pembuatan simulasi

atas kondisi tersebut. Komputasi merupakan solusi untuk memecahkan masalah –

masalah analitik yang kompleks menjadi perumusan numerik untuk penyelesaian secara

interaktif dengan bantuan komputer.

FORTRAN ( Formula Translation ) merupakan salah satu bahasa pemrograman

yang dapat digunakan untuk menggambarkan konsep – konsep abstrak perpindahan

panas agar dapat terlihat jelas mengenai fenomena yang terjadi pada perpindahan panas.

Fortran merupakan salah satu bahasa pemrograman tingkat tinggi (high level language)

yang berorientasi kepada suatu masalah tertentu, yang sangat cocok digunakan untuk

masalah yang berkaitan dengan bidang matematika dan teknik.

II. Landasan Teori

II. 1. Perpidahan Panas

Panas ( kalor ) merupakan salah satu bentuk energi. Energi dapat berpindah

dari suatu tempat ke tempat lain, dan dapat pula berubah bentuk, dari bentuk

energi satu ke energi lain.

Perpindahan panas merupakan berpindah energi kalor dari benda yang

bersuhu lebih tinggi ke benda yang bersuhu lebih rendah. Perpindahan panas

akan terjadi apabila ada perbedaan temperatur.


Perpindahan panas masih akan terus berlangsung sampai diperoleh suhu

kesetimbangan dengan lingkungan. Kecepatan perpindaha panas tergantung pada

perbedaan suhu antara kedua bahan, semakin besar perbedaan suhu antara

kedua bahan, maka semakin besar kecepatan pindah panas antara kedua

bahan tersebut. Perbedaan suhu antara sumber panas dan penerima panas

merupakan gaya tarik dalam pindah panas. Peningkatan perbedan suhu akan

meningkatkan gaya tarik sehingga meningkatkan kecepatan pindah panas.

Distribusi temperatur merupakan hal yang penting untuk mengetahui aliran

kalor. Distribusi temperatur dan perpindahan kalor merupakan sesuatu yang

menarik pada banyak penelitian dan aplikasi teknik, seperti dalam merancang

penukar kalor inti reaktor nuklir, system pemanas dan sistem pendingin ruangan,

serta sistem energi solar.

Dalam pembagiannya perpindahan kalor dibagi menjadi tiga mekanisme

perpindahan kalor yaitu : konduksi, konveksi dan radiasi.

Gambar 1. Perpindahan panas konduksi, konveksi dan radiasi.


II. 1. 1. Perpindahan Panas Konduksi

Perpindahan kalor konduksi adalah hantaran kalor yang tidak disertai

dengan perpindahan partikel perantaranya. Pada hantaran kalor ini yang

berpindah hanyalah energi, tanpa melibatkan partikel perantaranya. Salah satu

contoh yang paling terkenal adalah apabila sebuah logam pada ujung yang

disatu dipanaskan dalam waktu tertentu maka ujung yang lainnya akan ikut

memanas.

Gambar 2. Perpindahan panas konduksi

Perpindahan kalor di dalam zat padat dapat dijelaskan dengan teori atom.

Atom – atom dalam zat padat yang dipanaskan akan bergetar dengan kuat.

Atom – atom yang bergetar akan memindahkan sebagian energinya kepada

atom lain terdekat yang ditumbuknya. Kemudian atom didekatnya yang

ditumbuk dan mendapatkan kalor ini akan ikut bergetar dan menumbuk atom

lain didekatnya lagi, demikian seterusnya sehingga terjadi perpindahan kalor

dalam zat padat tersebut.

Laju perpindahan panas konduksi dinyatakan dengan persamaan :

𝑄 𝑘𝑜𝑛𝑑 =𝑄

𝑡= −𝑘.𝐴.

𝑑𝑇

𝑑𝑥

Dimana :

𝑄 = 𝑄

𝑡 = Laju perpindahan panas (W)

A = Luas penampang dimana panas mengalir (m2)

𝑑𝑇

𝑑𝑥 = Gradien suhu pada penampang, atau laju perubahan suhu T terhadap

jarak dalam arah aliran panas x

K = Konduktivitas thermal bahan (W/m oC)


II. 1. 2. Perpindahan Panas Konveksi

Bila ada fluida yang bergerak terhadap suatu permukaan, dan kedua

suhunya tidak sama, maka akan terjadi mekanisme perpindahan panas secara

konveksi. Semakin cepat gerakan fluida tersebut, maka semakin besar laju

perpindahan panas konveksinya. Bila fluida tidak bergerak, maka mekanisme

perpindahan panas akan menjadi mekanisme perpindahan panas konduksi

kembali. Pada perpindahan konveksi, pergerakan fluida berperan dalam laju

perpindahan kalor.

Gambar 3. Mekanisme perpindahan panas konveksi

Karena konveksi terjadi akibat adanya gerakan fluida, maka perpindahan

panas konveksi ada dua macam, yaitu konveksi natural (alami), dan konveksi

paksa.

a. Konveksi natural (natural convection)

Apabila pergerakan fluida dikontrol sebagai hasil dari perbedaan massa

jenis (densitas) yang disebabkan oleh perbedaan temperatur diantara

fluida. Contohnya yaitu terjadinya angin laut dan angin darat.

b. Konveksi paksa (forced convection)

Apabila pergerakan fluida disebabkan oleh mekanisme dari luar secara

paksa seperti oleh blower, atau fan.

Besarnya laju perpindahan panas konveksi dapat dirumuskan :

𝑄 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑘𝑠𝑖 =𝑄

𝑡= ℎ.𝐴.∆𝑇

Dimana :

h = koefisien konveksi ( Watt/m2.K ) 𝛥T = Perbedaan suhu ( K )

A = Luas permukaan konveksi ( m2 )


II. 1. 3. Perpindahan Panas Radiasi

Perpindahan panas radiasi merupakan perpindahan panas yang tanpa

memerlukan media perantara, mekanisme perpindahan panas karena adanya

radiasi elektromagenetik. Jadi radiasi adalah energi yang dipancarkan oleh

bahan tertentu dalam bentuk gelombang elektromagnetik (photon) sebagai hasil

dari perubahan konfigurasi elektron dari atom atau molekul.

Gambar 4. Contoh perpindahan panas radiasi

Laju radiasi besarnya dapat dirumuskan :

𝑄 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑠𝑖 =𝑄

𝑡= ɛ.𝐴.𝜎. (𝑇𝑠

4 − 𝑇𝑠𝑢𝑟4 )

Dimana :

ɛ = Emisivitas

𝜎 = Stefan-Botzmann Constant = 5.67 x 10-8

W/m2.K

4

A = Luas permukaan ( m2 )

Ts = Absolute temperature of surface ( K )

Tsurr = Surrounding temperature ( K )

II. 2. Metode Beda Hingga

Metode beda hingga digunakan sebagai pendekatan dalam menghitung

turunan numerik untuk menyelesaikan suatu pemodelan yang memiliki

bentuk persamaan diferensial. Metode beda hingga dapat diturunkan

dengan dua cara, yaitu dengan ekspansi deret Taylor dan dengan hampiran

polinom interpolasi.


Deret Taylor

Pendekatan beda hingga untuk turunan pertama

Pendekatan beda maju (forward difference)

Pendekatan beda mundur (backward difference)

Pendekatan beda tengah (central difference)

Pendekatan beda hingga untuk turunan kedua

Untuk turunan kedua pendekatan yang biasa dipakai adalah pendektan beda

tengah (central difference)

Adapun untuk penyelesaian persamaan konduksi 1D Unsteady pada kasus

perpindahan panas, metode yang dapat digunakan antara lain :

1. Metode FTCS (Forward in Time Central in Space)

2. Metode Laasonen

3. Metode Crank-Nicolson

3

33

2

22

!3

)(

!2

)()()()(

x

fx

x

fx

x

fxxfxxf

3

33

2

22

!3

)(

!2

)()()()(

x

fx

x

fx

x

fxxfxxf

1 !

)()()(

nn

nn

x

f

n

xxfxxf

)(1 xx

ff

x

f ii

)(1 xx

ff

x

f ii

211 )(2

xx

ff

x

f ii

2

2

x

f

2

2

11

2

2 2x

x

fff

x

f iii

x

f


II. 2. 1. Metode FTCS ( Forward in Time Central in Space)

Solusi FTCS termasuk ke dalam solusi - solusi stabil bersyarat dengan

syarat kestabilan .

Skema metode FTCS

Diskretisasi persamaan konduksi 1D dengan metode FTCS

Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda maju

Turunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengah

Sehingga :

2

2

x

T

t

T

xt

TT

t

Tnn

ii

1

2

2

1

2

2 21

xx

TTT

x

Tn

i

nnii

211

12

x

TTT

t

TT n

i

n

i

n

i

nnii

Dimana :

i = indeks ruang

n = indeks waktu

n

i

n

i

n

i

nn TTTx

tTT ii 112

1 2


II. 2. 2. Metode Laasonen

Skema metode Laasonen

Diskretisasi persamaan konduksi 1D dengan metode Laasonen



Sehingga :

Persamaan diatas disebut persamaan tridiagonal matriks

Dimana :

2

2

x

T

t

T

xt

TT

t

Tnn

ii

1

2

2

1

1

11

2

2 21

xx

TTT

x

Tn

i

nnii

n1n

1i

1n1n

1i ii TTTT

222

11

1

11

12

1

1

11

12

1

2

1

1

11

1

1

21

2

2

2

x

t

x

t

x

t

TTTTTx

t

TTTx

tTT

x

TTT

t

TT

nnn

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

nn

n

i

n

i

n

i

nn

ii

ii

ii

n

iT

i

i

i

i

d

x

tc

x

tb

x

ta

2

2

2

21

Dimana :

i = indeks ruang

n = indeks waktu

iiii dcba

1n

1i

1n1n

1i TTT i


a2 b

2 c

2

a3 b

3 c

3

a4 b

4 c

4

anx-2

bnx-2

cnx-2

anx-1

bnx-1

cnx-1

T1

T2

T3

T4

Tnx-

2

Tnx-

1

Tnx

=

d2

d3

d4

dnx-

2

dnx-

1

Persamaan Tridiagaonal matriks dapat dinyatakan dalam bentuk matriks

sebagai berikut :

T1 dan Tnx berada pada kondisi batas (boundary candition)

Untuk menyelesaikan persamaan tridiagonal matriks digunakan Algoritma

Thomas (dalam program komputer berupa Subroutine Tridi)

II. 2. 3. Metode Crank-Nicolson

Skema metode Crank - Nicolson

Diskretisasi persamaan konduksi 1D dengan metode Crank-Nicolson



2

2

x

T

t

T

Dimana :

i = indeks ruang

n = indeks waktu


Metode Crank-Nicoson terdiri dari dua langkah waktu yaitu :

Langkah waktu ( nn+1/2)

Diskretisasi turunan waktu

Diskretisasi turunan ruang

Langkah waktu ( n+1/2n+1)

Diskretisasi turunan waktu

Diskretisasi turunan ruang

Jika langkah waktu ( nn+1/2) dan ( n+1/2n+1) dijumlahkan menjadi :

_______________________________________ +

x

t

TT

t

Tnn

ii

2/

2/1

2

2

1

2

2 21

xx

TTT

x

Tn

i

nnii

211

2/12

2/ x

TTT

t

TT n

i

n

i

n

i

nnii

x

t

TT

t

Tnn

ii

2/

2/11

2

2

1

1

11

2

2 21

xx

TTT

x

Tn

i

nnii

21

1

11

1

2/112

2/ x

TTT

t

TT n

i

n

i

n

i

nnii

211

2/12

2/ x

TTT

t

TT n

i

n

i

n

i

nnii

21

1

11

1

2/112

2/ x

TTT

t

TT n

i

n

i

n

i

nnii

n

i

n

i

n

i TTTx

t

x

t

x

t

x

t

112

222

22

21

2

n

1n

1i

1n1n

1i

i

i

T

TTT

2

1

1

11

1

2

11

122

2/ x

TTT

x

TTT

t

TT n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

nnii


Dimana :

Persamaan tridiagonal matriks diselesaikan dengan Algoritma Thomas

III. Penyelesaian Soal Perpindahan Panas Konduksi 1D

Sebuah dinding besi 1 dimensi lebar 70 mm. Difusivitas thermal =0.000217 m2/s.

Mula-mula temperatur dinding besi (To) seragam 10ºC, kemudian dinding besi sebelah

kiri (T1) dipertahankan pada temperature 70ºC dan pada dinding besi kanan (T2)

dipertahankan pada temperatur 20ºC. Hitunglah distribusi temperatur pada dinding

setelah 0.1 dan 10 detik dengan menggunakan metode FTCS, Laasonen dan Crank -

Nicholson?

Penyelesaian

1. Langkah pertama membagi domain Nx = 36 grid

Nx = 36 grid

∆x = 7

36−1 = 0.002 m

∆t = 0.001

α = 0.000217 m2/s

Tmax = 0.1 sec dan 0.10 sec

2. Langkah kedua menentukan initial condition (IC)

Ti= 10oC

n

i

n

i

n

iii

ii

TTTx

td

x

tc

x

tb

x

ta

1122

22

222

12

n

iT

iiii dcba

1n

1i

1n1n

1i TTT i


3. Langkah ketiga menentukan kondisi batas (BC)

T1 = 70OC

TNX = 20OC

4. Langkah keempat menghitung Tin+1

dengan metode FTCS, Laasonen, Crank -

Nicholson menggunakan program fortran

III. A METODE FTCS ( Forward in Time Central in Space )

a. Progam Fortran


b. Hasil Eksekusi Metode FTCS

T = 0.1 detik T = 10 detik


III.B METODE LAASONEN

a. Program Metode Lassonen

Progam Laasonen pada saat T = 0.1 Detik


Progam Laasonen pada saat T = 10 Detik


b. Hasil Eksekusi Progam Metode Laasonen

Saat T = 0.1 Detik Saat T = 10 Detik


III.C Metode Crank-Nicolson

a. Progam Fortran Metode Crank-Nicolson


b. Hasil Eksekusi Metode Crank-Nicolson

Pada T = 0.1 Detik Pada T = 10 Detik


IV. Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan mengenai perpindahan panas konduksi 1 dimensi

unsteady di atas, dapat diambil berbagai kesimpulan sebagai berikut :

a. Perpindahan panas akan terjadi bila ada perbedaan temperatur, dan perpindahan

panas mengalir dari bagian yang bertempatur lebih tinggi ke bagian yang

bertemperatur lebih rendah.

b. Dengan menggunakan metode numeric pendekatan beda hingga dapat dengan

mudah menyelesaikan mensimulasikan persoalan perpindahan panas konduksi satu

dimensi dengan bantuan komputer

c. Apa beberapa metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan konduksi

1D unsteady, antara lain yaitu metode FTCS, metode Laasonen dan Crank –

Nicolson.

d. Skema FTCS stabil dengan syarat .

e. Metode Crank-Nicolson merupakan metode beda hingga yang memiliki kestabilan

tanpa syarat dan nilai error nya paling kecil dibandingkan dengan metode FTCS dan

Laasonen.

f. Penyelesaian permasalahan perpindahan panas konduksi 1 dimensi menggukan

komputasi dapat mempersingkat waktu.

V. Daftar Pustaka

Cengel, Yunus A.2003.Heat Transfer A Practical Approach 2nd edition. Mc Graw-. Hill

Companies Inc: New York.

Hoffman, Klaus A & Chiang, Steve T. 2000. Computational Fluid Dynamics 4th Vol 1.

Vicita: Texas.

Incropera, Frank P. & DeWitt, David P. 1996. Fundamental of Heat and Mass Transfer

4th Edition. John Wiley & Sons : United States of America

Universitas Pendidikan Ganesha,”


Sebuah plat besi mempunyai temperatur 27 oC dengan tebal plat 90 mm.

Kemudian plat tersebut di panaskan pada kedua sisinya masing – masing 100oC dan

45oC secara konstan. Apabila massa jenis besi = 7874 Kg/m

3, kalor jenis besi = 448

J/KgoC dan konduktifitas termal besi 78 W/m

oC. Hitunglah distribusi temperatur pada

besi tersebut selama a) 0,20 detik b) 20 detik. Gunakan metode FTCS, Metode

Laasonen dan Metode Crank-Nicolson.


III. 1. Metode FTCS ( Forward in Time Central in Space )

Plat Besi

100oC 45oC

90 mm

27oC

ρ = 7874 Kg/m3

Cp = 448 J/KgoC

k = 78 W/m oC


a) Program FTCS untuk t = 0,2 detik


Hasil Program FTCS untuk t = 0.2 detik


b) Program FTCS untuk t = 20 detik


Hasil Program FTCS untuk t = 20 detik


III. 2. Metode Laasonen


a) Program Laasonen untuk t = 0,2 detik


Hasil Program Laasonen untuk t = 0,2 detik


b) Program Laasonen untuk t = 20 detik


Hasil Program Laasonen untuk t = 20 detik


III. 3. Metode Crank-Nicolson


a) Program Crank – Nicolson untuk t = 0.2 detik


Hasil Program Crank – Nicolson untuk t = 0.2 detik

Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret b) Program Crank – Nicolson unyuk t = 20 detik


Hasil Program Crank – Nicolson untuk t = 20 detik

finite difference ftcs laasonen crank-nicolson

Documents