estimasi parameter model mixture...

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

i

ESTIMASI PARAMETER MODEL MIXTURE AUTOREGRESSIVE (MAR)

MENGGUNAKAN ALGORITMA EKSPEKTASI MAKSIMISASI (EM)

oleh

MIKA ASRINI

M0108094

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan

memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA

2013


commit to user

ii

SKRIPSI

ESTIMASI PARAMETER MODEL MIXTURE AUTOREGRESSIVE (MAR)

MENGGUNAKAN ALGORITMA EKSPEKTASI MAKSIMISASI (EM)

yang disiapkan dan disusun oleh

MIKA ASRINI

M 0108094

dibimbing oleh

Pembimbing I,

Winita Sulandari, M.Si.

NIP. 19780814 200501 2 002

Pembimbing II,

Drs. Santoso B. W., M.Si.

NIP. 19620203 199103 1 001

telah dipertahankan di depan Dewan Penguji

pada hari Jumat, tanggal 27 September 2013

dan dinyatakan telah memenuhi syarat.

Anggota Tim Penguji Tanda Tangan

1. Dr. Sri Subanti, M.Si. 1. …………………

NIP. 19581031 198601 2 001

2. Dra. Mania Roswitha, M.Si. 2. …………………

NIP. 19520628 198303 2 001

Surakarta, 4 Oktober 2013

Disahkan oleh

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Dekan,

Prof. Ir. Ari Handono Ramelan, M.Sc., (Hons)., Ph.D.

NIP. 19610223 198601 1 001

Ketua Jurusan Matematika,

Irwan Susanto, S.Si., DEA

NIP. 19710511 199512 1 001


commit to user

iii

ABSTRAK

Mika Asrini, 2013. ESTIMASI PARAMETER MODEL MIXTURE

AUTOREGRESSIVE (MAR) MENGGUNAKAN ALGORITMA

EKSPEKTASI MAKSIMISASI (EM). Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.

Model mixture autoregressive (MAR) merupakan model gabungan beberapa

komponen Gaussian autoregressive (AR). Model MAR mampu memodelkan

data runtun waktu yang nonlinier dan cenderung bersifat multimodal. Multimodal

merupakan pengamatan jika digambarkan memiliki lebih dari satu puncak dalam

histogram. Model MAR dapat dibentuk dengan mengestimasi nilai setiap

parameter. Model MAR adalah model gabungan yang mengakibatkan

parameternya tidak bisa diestimasi menggunakan maksimum likelihood secara

langsung. Parameter model MAR dapat diestimasi menggunakan algoritma

ekspektasi maksimisasi (EM) yang memiliki dua tahap yaitu tahap ekspektasi dan

tahap maksimisasi.

Tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji kembali dan menurunkan ulang

berkaitan dengan estimasi parameter pada model MAR menggunakan algoritma

EM. Contoh kasus yang diterapkan pada penelitian ini adalah data produksi

jagung nasional.

Hasil penelitian menunjukan bahwa proses estimasi parameter model MAR

diawali dengan identifikasi model dan inisiasi parameter. Identifikasi model

merupakan tahap penentuan komponen dan orde menggunakan histogram dan plot

autokorelasi parsial. Pada tahap inisiasi parameter, nilai awal parameter

ditentukan secara sembarang. Tahap inti dari estimasi parameter model MAR yaitu

tahap ekspektasi dan maksimisasi yang meliputi penghitungan ekspektasi data

hilang, penentuan fungsi log likelihood data lengkap, dan penentuan estimator

parameter dengan memaksimalkan fungsi tersebut. Identifikasi model pada contoh

kasus produksi jagung nasional memberikan dua alternatif model yaitu model

MAR dengan dua komponen dan tiga komponen. Berdasarkan pada penghitungan

Bayes Information Criterion (BIC), model MAR dua komponen lebih sesuai dari

tiga komponen.

Kata kunci: mixture autoregressive, algoritma EM, Produksi Jagung Nasional, BIC


commit to user

iv

ABSTRACT

Mika Asrini, 2013. PARAMETER ESTIMATION OF MIXTURE

AUTOREGRESSIVE (MAR) MODEL USING THE EXPECTATION

MAXIMIZATION (EM) ALGORITHM. Faculty of Mathematics and Natural

Sciences. Sebelas Maret University.

Mixture autoregressive (MAR) Model is a mixture of komponen Gaussian

autoregressive (AR). The mixture model is capable for modelling of nonlinear

time series with multimodality conditional. MAR model can be established by

estimating the value of each parameter. MAR model is a combined model that

resulted in the parameters can not be estimated using maximum likelihood

directly. MAR model parameters can be estimated using the expectation

maximization (EM) algorithm which has two phases are expectation and

maximization stage.

The objectives of this study is to examine the lower back and re-estimate

parameters of MAR model using EM algorithm. The case in applied to this

research is national maize production.

The aim of this study is to process of parameter estimation of MAR model

starts with the model identification and parameter initiation. Model identification

is the stage of determining component and order using histogram and partial

autocorrelation plot. The parameter initiation stage, initial parameter values are

determined arbitrarily. The parameter estimation main stages of the MAR model

are expectation and maximization which includes calculation of missing data

expectation, determination of complete data log likelihood function, and

determination of parameter estimator by maximizing the function. The model

identification of the case to national maize production data gives two alternative

models those are MAR models with two components and three components.

Based on the Bayes Information Criterion (BIC) calculation, MAR model with

two components is more appropriate than three components.

Key words: : mixture autoregressive, EM algorithm, national maize production, BIC

.


commit to user

v

MOTO

Seseorang yang beruntung adalah seseorang yang tidak pernah berhenti untuk

berdo’a dan berusaha.

Semangat adalah gunung berapi yang dipuncaknya rumput keragu-raguan tidak

dapat tumbuh.

(Kahlil Gibran)


commit to user

vi

PERSEMBAHAN

Karya ini saya persembahkan kepada:

Mama dan Ayah tersayang yang tak henti-hentinya memberiku doa,

kasih sayang, dan dukungan (baik moril maupun materiil) selama ini.

Mas Dony dan dek Rahman tercinta, terima kasih atas doa dan

dukungannya.


commit to user

vii

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas limpahan

rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

Keberhasilan dalam penyusunan skripsi ini tidak terlepas dari bantuan banyak

pihak. Penulis menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah

memberikan dukungan, bimbingan, petunjuk dan juga saran selama penyusunan

skripsi ini, antara lain kepada

1. Ibu Winita Sulandari, M.Si. yang telah memberikan saran, arahan,

dukungan semangat dan bimbingan dalam penulisan skripsi ini.

2. Bapak Drs. Santoso B.W., M.Si. yang telah dengan sabar, memberikan

bimbingan dalam penulisan skripsi ini.

3. Semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini.

Penulis menyadari sebagai manusia tidak luput dari kekurangan dan

kekhilafan sehingga saran-saran dan kritik yang membangun bagi kesempurnaan

skripsi ini. Semoga skripsi ini bermanfaat.

Surakarta, September 2013

Penulis


commit to user

viii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ……………………………………………………… i

HALAMAN PENGESAHAN ………………………………………….…. ii

ABSTRAK ………………………………………………………………… iii

ABSTRACT ……………………………………………………………..…. iv

MOTO …………..….…………………………….………………….……. v

PERSEMBAHAN …..……………………………………………….……. vi

KATA PENGANTAR ……………………………………………….……. vii

DAFTAR ISI ……………………………………………………….……… viii

DAFTAR TABEL ………………………………………………….……… x

DAFTAR GAMBAR ……………………………………………………… xi

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL ………………………………….…… xii

BAB I PENDAHULUAN …………………………………………….…… 1

1.1. Latar Belakang Masalah ……………………………………..…… 1

1.2. Perumusan Masalah ………………………………………………. 2

1.3. Tujuan Penelitian …………………………………………...…….. 2

1.4. Manfaat Penelitian ………………………………………...……… 3

BAB II LANDASAN TEORI ………………………………………..……. 4

2.1. Tinjauan Pustaka …………………………………………….……. 4

2.1.1 Autoregressive (AR) ……..………………………………… 5

2.1.2 Fungsi Autokorelasi (ACF) ……………………………….. 5

2.1.3 Fungsi Autokorelasi pasial (PACF)…..……………………. 6

2.1.4 Metode Maksimum Likelihood ……………………………. 6

2.1.5 Algoritma Ekspektasi Maksimisasi (EM) …………………. 7

2.1.6 Bayes Information Criterion (BIC) ………………………... 8

2.2. Kerangka Pemikiran ………………………………………….…… 9

BAB III METODE PENELITIAN …………………………………...……. 11

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ……………………………...…… 12

4.1. Model Mixture Autoregressive (MAR)… …………………………. 12


commit to user

ix

4.2. Estimasi Parameter Model MAR ………………………...….…….. 14

4.3. Contoh Kasus ………………………………………………..…….. 22

4.3.1 Model MAR (2:1,1) …………………………………………. 25

4.3.2 Model MAR (3:1,1,1) ……………………………………….. 27

4.3.3 Pemilihan Model Terbaik……………………………….…… 30

BAB V PENUTUP ………………………………………………….…….. 35

5.1. Kesimpulan ………………………………………………….……. 35

5.2. Saran ………………………………………………………..…….. 35

DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………..……. 36

LAMPIRAN …………………………………………………………....…. 37


commit to user

x

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 4.1. Data Produksi Jagung Nasional…….………………………….. 22

Tabel 4.2. Nilai Parameter dan Nilai BIC Model MAR (2;1,1) dan

MAR (3;1,1,1) …………………..……………………………… 33


commit to user

xi

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 4.1. Data Produksi Jagung Nasional……………………..……. 22

Gambar 4.2. Autokorelasi Untuk Produksi Jagung Nasional………...… 23

Gambar 4.3. Produksi Jagung Nasional Diferensiasi 1.………….….…. 23

Gambar 4.4. Histogram Data Produksi Jagung Nasional..……….….…. 24

Gambar 4.5. Autokorelasi Parsial Untuk Produksi Jagung Nasional .…. 24


commit to user

xii

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL

| | : harga mutlak

∑ : sigma, operator penjumlahan

: koefisien AR, dengan

: backward shift operator

: mean atau rata-rata populasi

: eror random ke-t

: fungsi autokovarian pada lag-k

: fungsi autokorelasi pada lag-k

: fungsi autokorelasi parsial

: parameter rata-rata bergerak

: Ekspektasi data hilang komponen ke-k waktu ke-t

: proporsi masing-masing komponen gabungan ke

: deviasi standar masing-masing komponen ke

: koefisien model MAR masing – masing komponen orde ke 0,

1, ….,

: distribusi kumulatif normal standar

: orde AR komponen ke-

: orde AR maksimal dari keseluruhan komponen

: data runtun waktu terobservasi waktu ke-t

: data hilang waktu ke-t

: data lengkap

estimasi parameter model mixture...

Documents