ESTIMASI FUNGSI DENSITAS GEMPA

 TEKTONIK DI JAWA­BALI

Oleh 

Pumma Purwani

M.0104048

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan

memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2009

ABSTRAK

Pumma   Purwani,   2009.  Estimasi   Fungsi   Densitas   Gempa   Tektonik   di   Jawa­Bali.   Fakultas 

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.

Gempa tektonik yang terjadi di Jawa­Bali akan memberikan dampak yang signifikan. Gempa 

yang   terjadi  mempunyai   fungsi   distribusi   yang  dapat  menggambarkan  karakteristiknya.  Salah   satu 

metode untuk mengestimasi fungsi distribusi adalah pendekatan kernel nonparametrik. 

Tujuan dalam skripsi   ini  adalah  menentukan   fungsi  distribusi  untuk  magnitude  dan  banyak 

kejadian gempa tektonik tiap bulan. Data yang digunakan untuk menentukan estimasi fungsi densitas 

adalah gempa tektonik yang mempunyai magnitude 5.0­6.9 sR dengan kedalaman  �  70 km dan banyak 

kejadian gempa tektonik tiap bulan.

Berdasarkan   pembahasan,   diperoleh   kesimpulan   bahwa   estimasi   fungsi   densitas     untuk 

magnitude     gempa   tektonik   antara   5.0­6.9   sR   dengan   kedalaman  ﾣ   70   km   adalah 

2598^

i=1

1 1 1 = exp

166,479612 2 0,2783942i

h

x Xf x

� �� �� �� �� �� �� �￥

, gempa tektonik yang terjadi di Jawa­Bali pada 

tahun 1964­2005 mempunyai nilai estimasi magnitude antara 5.0­5.5 Rs. Estimasi fungsi densitas untuk 

banyak kejadian gempa tektonik tiap bulan adalah 

2504^

i=1

1 1 1 = exp

147,192824 2 0,2880812i

h

x Xf x

� �� �� �� �� �� �� �￥

. Gempa tektonik setiap bulan yang terjadi di Jawa­Bali mempunyai frekuensi 0­26 kali.

Kata kunci : fungsi densitas, gempa tektonik.

ABSRACT

Pumma   Purwani,   2009.  Tectonic   Earthquake   Density   Function   Estimation   in   Java­Bali.   The 

Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.

The tectonic earthquake which was happened in Java­Bali would give a significant impact. The 

earthquake has a distribution function which describes earthquake characteristic.  One of method to 

estimate distribution function is kernel nonparametric approach. 

The aims of this research are to find density function of magnitude and to find earthquake’s 

frequency every month. In order to determine the estimation density  function,  the  data  which used 

are magnitude 5.0­6.9 Rs with the depth ﾣ  70 km and frequency of earthquake every month.

Based   on   discussion,   the   density   function   estimation   of   earthquake   magnitude   is 

2598^

i=1

1 1 1 = exp

166,479612 2 0,2783942i

h

x Xf x

� �� �� �� �� �� �� �￥

, the tectonic earthquakes happened in Java­Bali 

in 1964­2005 have magnitude estimation between 5.0­5.5 Rs. Density function estimator of frequency 

of   earthquake   every   month   is  

2504^

i=1

1 1 1 = exp

147,192824 2 0,2880812i

h

x Xf x

� �� �� �� �� �� �� �￥

.   The   tectonic 

earthquake every month happened in Java­Bali in 1964­2005 have frequency 0­26 times.

Key words : density function, tectonic earthquake.

PERSEMBAHAN

Karya sederhana ini penulis persembahkan untuk

• Bapak dan ibu tercinta

Sebagai wujud terima kasih atas doa, cinta dan dukungannya.

• Kakak­kakak dan keponakan

Yang selalu memberiku semangat

• Seseorang yang aku sayangi

Yang selalu memberiku dukungan

• Sahabat­sahabat sejati

Yang selalu memotivasi penulis untuk menjadi lebih baik.

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaaikum Wr. Wb.

Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah­Nya, sehingga 

penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Estimasi Fungsi Densitas Gempa Tektonik di Jawa­

Bali”.

Penulis menyadari bahwa tanpa bantuan dan dukungan dari semua pihak, maka penulis tidak 

mungkin dapat menyelesaikan skripsi dengan baik.  Pada kesempatan ini penulis menyampaikan rasa 

terima kasih dan penghargaan kepada 

1. Dra.   Respatiwulan,   M.   Si.,   Dosen   Pembimbing   I   yang   penuh   perhatian   dan   kesabaran 

membimbing dan mengarahkan penulis hingga terselesaikannya skripsi ini.

2. Dra.  Sri  Sulistijowati,  M.  Si.,  Dosen  Pembimbing   II   yang   telah  banyak  membantu  hingga 

terselesaikannya skripsi ini.

3. Dra. Sri Kuntari, M. Si., Pembimbing Akademik yang telah banyak memberi bimbingan dan 

pengarahan.

4. Tuning dan Rina, yang memberikan masukkan dan semangatnya.

5. Sahabat­sahabatku, Pipit, Saptini, Surya, Agung yang memberikkan semangat dan bantuannya 

sehingga skripsi dapat terselesaikan.

6. Seluruh teman angkatan 2004 dan semua pihak yang telah membantu terselesaikannya skripsi 

ini yang tidak dapat penulis tuliskan satu persatu.

Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat. Amin.

Wassalamu’alaaikum Wr. Wb.

Penulis

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ……………………..………………………………………... i

HALAMAN PENGESAHAN …………..…………………………………………. ii

ABSTRAK ………………………………………………………………..………... iii

ABSTRACT ………………………………………………………………………..  iv

MOTTO ………………………………………………………………………….…  v

PERSEMBAHAN ………………………………………………….………………  vi

KATA PENGANTAR ………………………………………..……………………  vii

DAFTAR ISI ……………………………………………..……………………….. viii

DAFTAR TABEL …………………………………………………………………  x

DAFTAR GAMBAR …………………………………………………………….... xi

DAFTAR SIMBOL DAN NOTASI …………………………….………………… xii

BAB  I   PENDAHULUAN ………………………………………………………. 1

1.1 Latar Belakang Masalah ................................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah ............................................................................. 3

1.3 Batasan Masalah …………………………………………………... 3

1.4 Tujuan ……………………………………………………………... 3

1.5 Manfaat ……………………………………………………………. 3

BAB  II   LANDASAN TEORI …………………………………………………… 4

2.1    Tinjauan Pustaka …………………………………………………... 4

2.1.1  Konsep Dasar Statistika …………………………………….. 4

2.1.2  Sifat­sifat Estimator ………………………………………… 6

2.1.3  Fungsi Kernel .......................................................................... 7

2.2    Kerangka Pemikiran ……………………………………………….. 8

BAB  III  METODE PENELITIAN ……………………………………………….. 9

BAB  IV  PEMBAHASAN ………………………………………………………. 10

4.1  Deskripsi Data …………………………………………………….. 10

4.2  Estimasi Densitas Kernel …………………………………………. 11

4.3  Estimator Densitas Kernel Magnitude ……………………………. 15

4.4  Estimator Densitas Kernel Banyak Kejadian Gempa Tiap Bulan ... 16

BAB  V  PENUTUP ……………………………………………………………… 18

5.1  Kesimpulan ………………………………………………………… 18

5.2  Saran ……………………………………………………………….. 18

DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………….. 19

LAMPIRAN ………………………………………………………………………. 20

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1. Nilai probabilitas magnitude …………………………………………… 16

Tabel 4.2. Nliai probabilitas untuk banyaj kejadian gempa tiap bulan ……………. 17

DAFTAR GAMBAR

Gambar 4.1. Plot magnitude gempa ……………………………………………….. 11

Gambar 4.2. Plot banyak kejadian gempa tiap bulan ……………………………… 11

Gambar 4.3. Estimasi densitas kernel Gaussian magnitude dengan h = 0.278394 ... 15

Gambar 4.4. Estimasi densitas kernel Gaussian banyak kejadian gempa dengan

         h = 0.288081 …………………………………………………………. 17

DAFTAR SIMBOL DAN NOTASI

: untuk setiap

: terdapat

S : ruang sampel

: ruang parameter

.P : peluang observasi

� : mendekati sama dengan

c : konstanta

� : anggota himpunan, elemen

: harga mutlak

: norma (norm)

￥ : sigma, operator penjumlahan

: phi

: xi, interval

n : jumlah data observasi berukuran n

X : variabel random

1 2, , , nX X XK : sampel random

x : titik estimasi

: mean

h : lebar interval (binwidth)

.f : fungsi densitas probabilitas

.F : fungsi distribusi kumulatif

^

.hf : estimator fungsi densitas dengan pengaruh lebar interval h 

.E : harga harapan

.Var : variansi

.MSE : mean squared error

.MISE : mean integrated squared error

.A MISE : asymptotic mean integrated squared error

.K : fungsi kernel

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Menurut  Hutagalung   [3],  panas  di   inti   bumi  merupakan   sumber   energi  yang  menyebabkan 

terjadinya  gunung berapi,   gempa  bumi  dan   retakan  atau  patahan  pada  bagian  batuan  yang  lemah. 

Retakan   ini   membuat   bumi   seolah­olah   terpisah   dan   berkelompok   membentuk   lempengan   yang 

mengapung di  atas  permukaan astenosfer.  Gempa bumi adalah proses pelepasan energi  panas  oleh 

batuan bumi yang mengalami regangan atau tekanan setelah mengalami akumulasi dalam jangka waktu 

tertentu. Semakin tinggi kekuatan batuan menahan regangan atau tekanan semakin besar pula energi 

yang dilepaskan.

Menurut  [7] magnitude gempa adalah parameter  gempa yang berhubungan dengan besarnya 

kekuatan   gempa   di   sumbernya.   Pengukuran   magnitude   gempa   yang   dilakukan   di   tempat   berbeda 

memberikan   nilai   sama   walaupun   gempa   yang   dirasakan   berbeda.   Skala   Richter   (sR)   yang 

dikembangkan oleh Charles Richter tahun 1935 digunakan sebagai ukuran kekuatan gempa.

Intensitas   merupakan   parameter   gempa   yang   diukur   berdasarkan   kerusakan   yang   terjadi. 

Intensitas gempa berbeda untuk setiap daerah walaupun pusat gempanya sama, Waluyo [8]. Hal ini 

berbeda dengan   magnitude, dimana ukuran magnitude gempa yang sama dari tempat yang berbeda 

mengakibatkan dampak yang berbeda juga.

Berdasarkan Lee dan Steward [5],  gempa dengan magnitude 5.0­6.9 sR dapat menyebabkan 

kerusakan dalam area yang luas ( �  160 km). Di sisi lain bila kedalaman fokus yang merupakan sumber 

gempa dari permukaan bumi adalah       ﾣ   70 km, terjadilah gempa dangkal yang menimbulkan efek 

goncangan lebih dahsyat dibandingkan dengan kedalaman fokus ﾣ  70 km.

Indonesia yang merupakan daerah aktif gempa berada disepanjang pertemuan lempeng tektonik 

Eurasia dengan Indo­Australia yang membentuk busur dari Sumatra, Jawa, Bali, Nusa Tenggara sampai 

Maluku dan lempeng Pasifik di bagian utara Irian. Menurut Lea [4] wilayah tersebut merupakan daerah 

pertemuan tiga lempeng tektonik yaitu lempeng tektonik Eurasia, lempeng Indo­Australia dan lempeng 

Pasifik. Karena gempa tektonik adalah gempa yang terjadi akibat pergeseran lempeng tektonik, wilayah 

tersebut merupakan daerah gempa tektonik.

Pulau   Jawa   dan   Bali   merupakan   pulau   yang   penting   bagi   negara   Indonesia.   Pulau   Jawa 

merupakan pulau yang mempunyai jumlah penduduk yang terbanyak dibandingkan pulau yang lain. 

Pulau Jawa juga merupakan pusat pemerintahan Indonesia. Candi Borobudur dan objek wisata terkenal 

lainnya terletak di pulau Jawa. Pulau Bali merupakan objek wisata terkenal lainnya. Dengan demikian, 

pulau Jawa­Bali merupakan pusat ekonomi yang berpenduduk relatif terbesar. Gempa bumi di pulau 

Jawa­Bali mengakibatkan kerugian yang cukup besar.

Gempa   bumi   yang   terjadi   di   Jawa­Bali   memerlukan   suatu   model   matematis   yang   dapat 

menggambarkan   karakteristik   gempa   tersebut.   Menurut   Hardle   [2],   karakteristik   dasar   dari   suatu 

variabel random dapat dilihat melalui fungsi densitas probabilitasnya. Dalam penelitian ini  variabel 

randomnya adalah magnitude dan banyak kejadian gempa tiap bulan. 

Fungsi   densitas   dapat   diestimasi   dengan   dua   metode,   yaitu   pendekatan   parametrik   dan 

pendekatan nonparametrik. Pendekatan nonparametrik dapat digunakan ketika data tidak memberikan 

cukup informasi tentang bentuk fungsi densitas yang sebenarnya. Estimasi densitas kernel merupakan 

salah satu metode pendekatan fungsi densitas nonparametrik. Pada penulisan skripsi ini akan dikaji 

ulang   tentang   estimasi   fungsi   densitas   melalui   kernel.   Selanjutnya   estimasi   fungsi   densitas   yang 

diperoleh akan diterapkan pada data magnitude gempa dan banyak kejadian gempa tiap bulan.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah di atas, maka rumusan masalahnya sebagai berikut.

(1) Bagaimana estimasi fungsi densitas magnitude gempa tektonik di Pulau Jawa­Bali dengan 

magnitude 5.0­6.9 sR dan kedalaman fokus ﾣ  70 km?

(2) Bagaimana estimasi fungsi densitas banyak kejadian gempa tektonik tiap bulan di Pulau 

Jawa­Bali?

1.3 Batasan Masalah

Dalam penulisan ini, estimasi densitas kernel diasumsikan bahwa fungsi densitas termuat dalam 

kelas fungsi yang mempunyai turunan. Kernel yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah kernel 

Gaussian. 

1.4 Tujuan 

Tujuan dari penulisan ini adalah menentukan fungsi densitas magnitude dan banyak kejadian 

gempa tektonik tiap bulan di Pulau Jawa­Bali.

1.5 Manfaat

Manfaat   yang   diharapkan   dari   penulisan   ini   adalah   menambah   wawasan   dan   pengetahuan 

tentang fungsi distribusi kernel dan penerapannya pada data gempa bumi yang terjadi di Jawa­Bali 

tahun 1964­2005.

BAB II

LANDASAN TEORI

Bab ini dibagi menjadi dua subbab, yaitu tinjauan pustaka dan kerangka pemikiran. Tinjauan 

pustaka   mengandung   beberapa   hasil   penelitian   yang   telah   dilakukan   oleh   peneliti   terdahulu   yang 

disajikan   dalam   bentuk   definisi,   teorema   dan   pengertian   yang   berhubungan   dengan   pembahasan. 

Kerangka pemikiran menggambarkan langkah dan arah penulisan dalam mencapai tujuan penulisan.

2.1 Tinjauan Pustaka

Skripsi ini memerlukan beberapa definisi, teorema dan pengertian yang berhubungan dengan 

pembahasan. Pembahasan didasarkan pada teori tentang konsep dasar statistika dan estimasi densitas 

kernel.

2.1.1 Konsep Dasar Statistika

Untuk menunjang materi dalam pembahasan diperlukan konsep dasar statistika mengenai ruang 

sampel, dan variabel random, fungsi densitas probabilitas yang diambil dari Bain and Engelhardt [1].

Definisi  2.1.  Himpunan dari   semua hasil   (outcome)  yang mungkin  dari   suatu  eksperimen disebut  

sebagai ruang sampel (sample space), dinotasiakan dengan S.

Ruang sampel dapat berupa ruang sampel diskrit, yaitu ruang sampel dengan jumlah elemen 

hingga atau elemen tak hingga terhitung dan ruang sampel kontinu, yaitu ruang sampel dengan elemen 

titik­titik dalam interval pada garis bilangan real.

Definisi 2.2.  Variabel random X adalah suatu fungsi yang memetakan setiap hasil yang mungkin e  

pada ruang sampel S dengan suatu bilangan real x, sedemikian hingga X (e) = x.

Variabel random dibedakan menjadi dua, yaitu variabel random diskrit dan variabel random 

kontinu.

Definisi 2.3. Jika himpunan semua nilai yang mungkin dari variabel random X merupakan himpunan 

berhingga  1, , nx xK  atau  1 2, ,x x K , maka X disebut variabel random diskrit. Fungsi

f x P X x , untuk  1 2, ,x x K

menyatakan   probabilitas   setiap   nilai   x   yang   mungkin   disebut   fungsi   densitas   probabilitas   diskrit  

(discrete probability function).

Jika f (x) merupakan fungsi densitas probabilitas diskrit maka mempunyai sifat  0f x ﾣ , untuk 

semua  ix ,  dan  1

i

ix

f x

￥.  Jika  f   (x)   merupakan   fungsi   densitas   probabilitas   kontinu   maka 

mempunyai sifat  0f x � , untuk semua x dan  1f x dx

�

ﾣ

�.

Definisi 2.4. Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function) dari variabel random diskrit  

X didefinisikan untuk setiap bilangan real x sebagai

F x P X x � .

Definisi  2.5.  Jika X suatu variabel random diskrit  dengan fungsi densitas probabilitas f   (x),  maka 

harga harapan (expected value) dari X didefinisikan sebagai

x

E X xf x￥.

Definisi 2.6.  Variabel random X disebut variabel kontinu jika terdapat fungsi f (x) yang merupakan  

fungsi densitas probabilitas dari X, sehingga fungsi distribusi kumulatifnya dapat dinyatakan dengan

BAB III

METODE PENELITIAN

Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi kasus. Studi kasus  dilakukan 

dengan mengumpulkan dan mempelajari referensi berupa artikel, buku, dan jurnal yang dapat 

mendukung pembahasan tentang estimasi fungsi densitas gempa kemudian menerapkannya pada 

masalah penentuan fungsi densitas gempa. Langkah­langkah yang diambil dalam mengestimasi fungsi 

BAB IV

PEMBAHASAN

Karakteristik   dari   suatu   variabel   random  X  dapat   diketahui   melalui   fungsi   densitas 

probabilitasnya.   Sampel   yang   diambil   secara   random   dari   suatu   populasi   dapat   dianalisis   melalui 

pendekatan   parametrik   dan   pendekatan   nonparametrik.   Pendekatan   parametrik   dilakukan   dengan 

memberikan   asumsi   bahwa   data   berdistribusi   tertentu.   Pendekatan   nonparametrik   dilakukan   tanpa 

memberikan   asumsi   bahwa   data   berdistribusi   tertentu.   Data   magnitude   gempa   akan   dianalisis 

menggunakan estimasi densitas kernel.

4.1 Deskripsi Data

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data gempa tektonik di Jawa­Bali pada tahun 

1964 sampai tahun 2005. Data diperoleh dari lab seismik, Departemen Geofisika dan Meteorologi ITB. 

Data   yang   diperoleh   meliputi   waktu   kejadian,   magnitude,   dan   kedalaman   gempa.   Magnitude 

diklasifikasikan   menjadi  micro   earthquake,  small   earthquake,  moderate   earthquake,   dan  major  

earthquake.  Kedalaman   gempa  dikelompokkan  menjadi  shallow  earthquake  dan  deep   earthquake. 

Shallow earthquake memberikan efek goncangan yang lebih dahsyat dibandingkan  deep earthquake,  

hal itu dikarenakan sumber gempa lebih dekat dengan permukaan bumi. Dalam penelitian ini diambil 

untuk magnitude 5.0­6.9 sR (moderate earthquake) dan kedalaman ﾣ  70 km (shallow eartquake). Plot 

data untuk magnitude 5.0­6.9 sR dan kedalaman  ﾣ   70 km dapat dilihat pada Gambar 4.1. Plot data 

untuk banyak gempa yang terjadi tiap bulan dapat dilihat pada Gambar 4.2.

Magnitude

6.60

6.50

6.30

6.20

6.10

6.00

5.90

5.80

5.70

5.60

5.50

5.40

5.30

5.20

5.10

5.00

Fre

ku

en

si

160

140

120

100

80

60

40

20

0

Gambar 4.1 Plot magnitude gempa

Banyak kejadian gempa tiap bulan

176

35

26

23

20

19

18

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Fre

kue

nsi

80

60

40

20

0

Gambar 4.2 Plot banyak kejadian gempa tiap bulan

4.2 Estimasi Densitas KernelMenurut   Hardle   [2],   estimasi   densitas   kernel   dapat   digunakan   untuk   mengestimasi   fungsi 

densitas probabilitas nonparametrik dari suatu variabel random. Estimasi densitas kernel untuk estimasi 

nilai densitas f (x) pada titik x adalah sebagai berikut

^

1

1 n

h ihi

f x K x Xn

￥.     (4.1)

Kernel K didefinisikan sebagai

1h

xK x K

h h�� ����.     (4.2)

Persamaan (4.2) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.1), sehingga diperoleh

^

1

1 ni

hi

x Xf x K

nh h

� � � �� �

￥    (4.3)

dimana K disebut fungsi kernel dan h adalah bandwith.

Teorema 4.1 (Hardle) Jika  ^

hf x  diberikan oleh persamaan (4.1) dan  iX  identik maka

^

,       0hE f x f x K s ds f x h� �� �� �� � �

.

Bukti :

^

1

1 n

h ihi

E f x E K x Xn

� � � �� �

￥

       hE K x X

       hK x u f u du ﾣ

       K s f x sh ds ﾣ .

Jika u x sh  dan  0h �  maka

^

hE f x f x K s ds f x� �� � �� � �

.

Teorema 4.2 (Hardle) Jika  ^

hf x  diberikan oleh persamaan (4.1) maka bias dinyatakan sebagai

2^

" 22 ,        0

2h

hBias f x f x K o h h� � ﾣ� �

� �     (4.4)

Bukti :

^

2 22                       ' "

2

hBias f x K s f x sh ds f x

h sK s f x shf x f x o h ds f x

� � � �� �

� � � �

� �

ﾣ

ﾣ

2

" 222

hf x f x K o h f x

2

" 222

hf x K o h

dimana  22 K s K s ds ﾣ  dan 

ix Xs

h

.

Dalam persamaan (4.4) diperoleh h kuadrat, sehingga untuk menurunkan nilai bias dipilih nilai h yang 

kecil.

Variansi estimasi densitas kernel dihitung untuk mendapatkan kestabilan estimasi.

Teorema 4.3 (Hardle) Jika  ^

hf x  diberikan oleh persamaan (4.1) maka variansi dinyatakan sebagai

^ 2

2

1 1hVar f x K f x o

nh nh� �� � � � � �

� � � �     (4.5)

Bukti : 

^

21

21

2

1

1                     =

1                     =

1                     =

n

h ihi

n

h ii

h i

h i h i

Var f x Var K x Xn

Var K x Xn

Var K x Xn

E K x X E K x Xn

� �� � � � � �� � � �

� � � �� � � �

￥

￥

          22

2

1 1 x uK f u du f x o h

n h h� �� � � �� �

� ���

          221 1

K s f x sh ds f x o hn h� � � �� ﾣ

          22

2

1 1K f x o h f x o h

n h� � � ��

Jika  hE K x X f x o h  dari persamaan (4.4) dan 

22 22

K s f x sh ds K s ds f x o h K f x o h � � .   Sehingga   untuk   nh � �  

diperoleh

^ 2

2

1 1hVar f x K f x o

nh nh� �� � � � � �

� � � �.

Variansi nilainya akan menurun jika dipilih nilai  h  yang besar. Variansi yang minimum dapat 

diperoleh dengan menaikkan nilai h. Hal ini kontradiksi dengan bias yang mempunyai nilai minimum 

jika nilai  h  kecil. Nilai  h  yang terlalu besar akan menyebabkan estimasi densitas yang terlalu mulus. 

Sedangkan nilai  h  yang  terlalu  kecil  akan  menyebabkan estimasi  densitas  yang  tidak  mulus.  Nilai 

minimum MSE terhadap  h  merupakan langkah untuk mengatasi permasalahan tersebut karena MSE 

merupakan jumlahan dari bias kuadrat dan variansi. Melalui pendekatan bias dan variansi dari  ^

hf x  

diperoleh

4^ 22 4

22

1 1"

4h

hMSE f x f x K f x K o h o

nh nh� � � �� � � � � �� �� � � � � �

dan

4^ 22 2 4

22 2

1 1"

4h

hMISE f x K K f o h o

nh nh� � � �� � � � � �� �� � � � � �

untuk  0h �  dan  nh � � .

Jika bagian yang berorder tinggi, yaitu   4 1

o h onh� � � �� � diabaikan, maka didefinisikan sebagai 

asymptotic mean squared error (A­MISE), yaitu

4^ 22 2

22 2

1"

4h

hA MISE f x K K f

nh� �� � � � �� �� � � � .

Bandwith   opth   dapat   diperoleh   dengan   menurunkan   A­MISE   terhadap   parameter  h,   sehingga 

didapatkan

4^ 22 2

22 2

1"

4h

hA MISE f x K K f

nhh h

� � � �� � � �� � � �� � � �� �� �� �� � � �ﾣ

ﾣ ﾣ

                                   22 23

22 2 2

1"K h K f

nh� � ﾣ � �

� �

karena   fungsi  f  kontinu  dan diferensiabel,  maka meminimumkan  

^

hA MISE f x

h

� �� �ﾣ� �� �� �� �

ﾣ   dilakukan 

dengan membuat nilai 

^

hA MISE f x

h

� �� �ﾣ� �� �� �� �

ﾣ  menjadi nol sehingga diperoleh

^

0hA MISE f x

h

� �� �ﾣ� �� �� �� �

ﾣ

     22 23

22 2 2

1" 0K h K f

nh� � � �

� �

22 2322 2 2

1"K h K f

nh� � � �

� �

  

2

2522

2 2

1

''

KnhK f

.

                  

12 5 12 5

2222

"opt

Kh n

f K n

� �� � ﾣ� �� � .

Bandwidth optimal digunakan untuk mengestimasi fungsi densitas data sehingga diperoleh estimator 

fungsi densitas kernel.

4.3 Estimator Densitas Kernel Magnitude

Estimator densitas kernel didefinisikan dalam persamaan (4.1). Nilai  opth  untuk data magnitude 

5.0­6.9 sR dan kedalaman fokus  �  70 km adalah 

15598 0,278394opth

.

Oleh karena itu dari persamaan (4.3) dapat dibentuk estimator densitas kernel magnitude 5.0­6.9 sR 

dan kedalaman fokus ﾣ  70 km sebagai berikut

598^

i=1

1166,479612 0,278394

ih

x Xf x K

� � � �� �

￥                (4.6)

Data diolah menggunakan software S­Plus 3.2 dengan langkah yang disajikan dalam lampiran. 

Estimasi densitas kernel dengan fungsi kernel Gaussian 

2121

2

x

K x e

� �� �� �

 pada data gempa tektonik di 

Pulau Jawa­Bali dengan magnitude 5.0­6.9 sR dan kedalaman fokus   �   70 km menghasilkan grafik 

estimasi densitas kernel pada Gambar 4.3.

Gambar 4.3. Estimasi Densitas Kernel Gaussian Magnitude dengan h = 0.278394.Dari Gambar 4.1, dapat dilihat bahwa data berkelompok pada magnitude 5.0­5.5 sR. Hal ini 

berarti bahwa sebagian besar gempa tektonik yang terjadi di pulau Jawa­Bali pada tahun 1964­2005 

mempunyai   estimasi   magnitude   sebesar   5.0­5.5   sR.   Estimasi   densitas   kernel   untuk   magnitude 

mempunyai nilai  MSE  sebesar  

^ ^

0.76587113hMSE f x� �� �� � . Kesimpulan tersebut didukung oleh nilai 

probabilitas pada interval tertentu.

Jumlah observasi yang berada dalam suatu interval  ,a b dihitung sebagai

^b

ha

P a x b f x dx ﾣ �.

Densitas juga menginformasikan letak observasi berkelompok maupun pada interval mana obsrevasi 

muncul dengan frekuensi relatif tertinggi.

    Tabel 4.1. Nilai frekuensi relatif magnitude

Interval (sR) Frekuensi relatif5.0­5.5  0.92702535.5­6.0  0.15114496.0­6.5  0.01448266.5­6.9  0.0018517

  Dari Tabel 4.1 nilai frekuensi relatif yang terbesar terletak di antara nilai magnitude 5.0­6.9 sR.

4.4 Estimator Densitas Kernel Banyak Kejadian Gempa Tiap Bulan

Estimator densitas kernel didefinisikan dalam persamaan (4.1). Nilai   opth   untuk data banyak 

kejadian gempa tiap bulan adalah 

15504 0,288081opth

.

Oleh karena itu dari persamaan (4.3) dapat dibentuk estimator densitas kernel banyak kejadian gempa 

tiap bulan sebagai berikut

504^

i=1

1=

145,192824 0,288081i

h

x Xf x K

� �� �� �

￥    (4.7)

Data diolah menggunakan software S­Plus 3.2 dengan langkah yang disajikan dalam lampiran. 

Estimasi densitas kernel dengan fungsi kernel Gaussian 

2121

2

x

K x e

� �� �� �

 pada data gempa tektonik 

di Pulau Jawa­Bali untuk data banyak kejadian gempa tiap bulan menghasilkan grafik estimasi densitas 

kernel pada Gambar 4.4.

Gambar 4.4. Estimasi Densitas Kernel Gaussian banyak kejadian gempa   dengan h = 0.288081.Dari Gambar 4.4 menunjukkan bahwa data berkelompok untuk banyak kejadian gempa antara 

0­26 kali. Hal ini berarti bahwa setiap bulannya pada tahun 1964­2005 di pulau Jawa­Bali terjadi gempa 

sebanyak 0­26 kali. Estimasi densitas kernel untuk banyak kejadian gempa tiap bulan mempunyai nilai 

MSE sebesar

^ ^

0.023011868hMSE f x� �� �� � .

Tabel 4.2. Nilai frekuensi relatif untuk banyak kejadian gempa tiap bulan

Interval frekuensi relatif0­0.29 0.08245110.71­1.29 0.19513421.71­2.29 0.15390872.71­3.29 0.1484119M M22.71­23.29 0.00549534425.71­26.29 0.00274767234.71­35.29 0.002747672175.71­176.29 0.002747672

Dari Tabel 4.2 terlihat bahwa semakin besar nilai intervalnya maka probabilitasnya semakin kecil dan 

mendekati nol. Sehingga dapat disimulkan bahwa setiap bulannya terjadi gempa sebanyak 0­26 kali

 densitas gempa adalah

1. menyeleksi data gempa yang mempunyai magnitude 5.0­6.9 sR dan kedalaman fokus  �  70 km,

2. menghitung banyak kejadian gempa tiap bulan,

3. estimasi fungsi densitas magnitude gempa dengan kernel Gaussian,

4. estimasi fungsi densitas banyak kejadian gempa tiap bulan dengan kernel Gaussian,

5. penarikan kesimpulan dan interpretasi dari estimasi fungsi distribusi yang diperoleh.

x

F x f t dt�

�.

Definisi  2.7.  Jika X suatu variabel random kontinu dengan fungsi densitas probabilitas  f(x),  maka  

harga harapan dari X didefinisikan sebagai

E X xf x dxﾣ

ﾣ

ﾣ.

Definisi 2.8. Variansi dari variabel random X adalah 

2Var X E X � � � �.

Teorema 2.1. Variansi dari variabel random X dinyatakan dengan

22 2 2Var X E X E X E X .

Variansi merupakan suatu ukuran dari keragaman atau penyebaran di dalam distribusi dari variabel  

random.

2.1.2 Sifat­sifat Estimator

Diberikan definisi tentang statistik, estimator tak bias, estimator bias, dan MSE.

Definisi   2.9.  Statistik   1 2, , , nT t X X X K   yang   digunakan   untuk   mengestimasi   nilai   dari    

disebut estimator dari     dan nilai  dari statistik   1 2, , , nt t x x x K   disebut estimasi dari   . 

Selanjutnya estimator T dinotasikan dengan  .

Definisi 2.10.  Misal     adalah ruang parameter. Estimator  ^

  dikatakan sebagai estimator tak bias  

dari   jika

^

E ������

untuk semua  � . Jika tidak demikian, ^

 dikatakan sebagai estimator bias dari  .

Definisi 2.11. Jika ^

 adalah estimator dari  , maka bias dinyatakan dengan 

^ ^

b E �� �� �� ���� ��

dan mean square error (MSE) dari ^

 dinyatakan dengan

 

2^ ^

MSE E �� � � �� � ��� � �.

Teorema 2.2 Jika ^

 adalah estimator dari  , maka

^ ^ 2

MSE Var b �� �� � ��� ��� ��� �� .

MSE merupakan jumlahan dari variansi dan bias kuadrat serta digunakan sebagai ukuran keakuratan 

suatu estimasi.

2.1.3 Estimasi Densitas Kernel

Menurut Menardi [6], estimator fungsi densitas kernel untuk estimasi nilai densitas  f x  pada 

titik x didefinisikan sebagai berikut

^

1

1 n

h ihi

f x K x Xn

￥  1

1 ni

i

x XK

nh h

� � � �� �

￥

dengan K disebut fungsi kernel dan h adalah bandwith.

Salah satu fungsi kernel yang sering digunakan adalah kernel Gaussian. Bentuk kernel Gaussian 

adalah sebagai berikut

21

212

x

K x e

� �� �� �

.

2.2 Kerangka Pemikiran

Karakteristik   dari   suatu   variabel   random  X  dapat   diketahui   melalui   fungsi   densitas 

probabilitasnya. Estimasi dari fungsi densitas yang tidak diketahui dapat dilakukan melalui pendekatan 

nonparametrik yaitu menggunakan kernel. Estimasi  fungsi densitas kernel tergantung pada pemilihan 

lebar jendela h dan fungsi kernel K. Estimasi  fungsi densitas yang diperoleh akan diterapkan pada data 

magnitude dan banyak kejadian gempa tektonik di Jawa­Bali.

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan uraian dalam pembahasan diperoleh kesimpulan tentang estimasi fungsi densitas 

magnitude dan banyak kejadian gempa tektonik tiap bulan di Jawa­Bali sebagai berikut. 

1. Estimator fungsi densitas kernel Gaussian untuk magnitude 5.0­6.9 sR dan kedalaman fokus  �  

70 km adalah 

DAFTAR PUSTAKA

[1]  Bain,  L.   J.   and  M.  Engelhardt,  Introduction   to  probability  and  mathematical   statistics,   2   ed., 

Duxbury Press Belmont, California, 1992.

[2] Hardle, W., Smoothing techniques with implementation in S, Springer­Verlag,  New York, 1990.

[3]   Hutagalung,   R.,  Prediksi   tentang   gempa­tsunami   di   Bali,   http://   www.   dbriptek.   ristek.   go. 

id/cgi/gempa, 2007.

[4]   Lea,  Menguak   misteri   gempa   di   pulau   Jawa,  www.technologyindonesia.com/   downlodphp?

file=Gempa, 2008.

[5]  Lee,  W.  H.  K.   and  S.  W.  Steward,  Principles  and  applications  of  microearthquake  networks, 

Academic Press, Inc., New York, 1981.

[6] Menardi, G.,  Variable kernel density function,  http://geovani.menardi.net/ variable   kernel density 

function.spontanee%202006_579_582.pdf, 2008.

[7] Waluyo, Gempa, Hand out kuliah, Geofisika, UGM, Jogjakarta, 2006.

[8] Richter magnitude scale, http://en.wikipedia.org/wiki Richter magnitude scale, 2008.

598^

i=1

1166,479612 0,278394

ih

x Xf x K

� � � �� �

￥.

Menurut  plot estimator fungsi densitas magnitude gempa tektonik yang terjadi di  Jawa­Bali 

pada tahun 1964­2005 mempunyai estimasi magnitude antara 5.0­5.5 sR.

2. Estimator fungsi densitas kernel Gaussian untuk banyak kejadian gempa tektonik tiap bulan 

adalah 

504^

i=1

1=

145,192824 0,288081i

h

x Xf x K

� �� �� �

￥.

Menurut plot estimator fungsi densitas untuk banyak kejadian gempa tiap bulan yang terjadi di 

Jawa­Bali pada tahun 1964­2005 mempunyai estimasi frekuensi terjadi gempa sebesar 0­26 kali 

tiap bulan.

5.2 Saran

Dalam   tulisan   ini   penulis   mengkaji   tentang   estimasi   fungsi   densitas   dengan   menggunakan 

kernel Gaussian. Kepada pembaca yang ingin mengembangkan estimasi densitas, penulis memberikan 

saran  menggunakan estimasi densitas kernel menyesuaikan (Adaptive Kernel Density Estimation) atau 

menggunakan histogram WARPing untuk membandingkan metode mana yang lebih baik.