Estadística para la toma de decisiones

ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

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Sesión No. 4

Nombre: Estadística descriptiva: Medidas numéricas. Parte II

Objetivo

Al término de la sesión el estudiante calculará las medidas de dispersión para

datos no agrupados, a través de la solución de ejercicios para practicar los

cálculos de rango, varianza, desviación estándar y coeficiente de correlación.

Contextualización

En esta sesión aprenderás a calcular las medidas estadísticas de dispersión y

concentración. A través de diferentes medidas de dispersión tales como el rango,

la varianza y la desviación estándar aprenderemos a interpretar el conjunto de

datos que se tiene para el estudio. Y con ello a interpretar la concentración de

datos que se tiene en la distribución.

Fuente: http://www.cetic.edu.ve/files/imagecache/imagen_CED/imagen_ficha/medidas_dispersion.gif

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Introducción al Tema

“Las medidas de tendencia central ofrecen una idea aproximada del

comportamiento de una serie estadística. No obstante, no resultan suficientes

para expresar sus características: una misma media puede provenir de valores

cercanos a la misma o resultar de la confluencia de datos estadísticos

enormemente dispares. Para conocer en qué grado las medidas de tendencia

central son representativas de la serie, se han de complementar con medidas de

dispersión como la varianza o la desviación típica.”1

1 (s.f.). Medidas de dispersión. Recuperado de: http://www.hiru.com/matematicas/medidas-de-dispersion

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Explicación Medidas de dispersión.

Además de las medidas de centralización y de posición, suele ser útil considerar

las medidas de dispersión, las cuales pueden definirse como los valores

numéricos cuyo objetivo es analizar el grado de separación de éstos de una

distribución estadística con respecto a las medidas de tendencia central

consideradas.

Ahora mostraremos el estudio de algunas medidas más usadas y sus fórmulas:

Rango: 𝑅 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

Rango intercuartílico: 𝐼𝑄𝑅 = 𝑄3 − 𝑄1

Varianza Poblacional: 𝜎2 = ∑(𝑥𝑖−𝜇)2

𝑁

Varianza muestral: 𝑠2 = ∑(𝑥𝑖−�̅�)2

𝑛−1

Desviación estándar muestral: 𝑠 = √𝑠2

Desviación estándar poblacional: 𝜎 = √𝜎2

Coeficiente de variación: 𝑐𝑣 = �𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎

� 𝑋100%

Ejemplo 1. Para la serie de números 27, 84, 9, 40, 49, 84, 70, 93. Calcular el

rango, varianza, desviación estándar y coeficiente de variación.

Rango: 𝑅 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 93 − 9 = 84

Para el cálculo de la varianza primeramente se calcula el promedio de los datos:

Media: �̅� = 27+84+9+40+49+84+70+938

= 57

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Varianza muestral:

𝑠2 = ∑(𝑥𝑖−�̅�)2

𝑛−1= (27−57)2+(84−57)2+(9−57)2+(40−57)2+(49−57)2+(84−57)2+(70−57)2+(93−57)2

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s2= 925.71

Desviación estándar.

Muestral: 𝑠 = √𝑠2 = √925.71 = 30.4255

Coeficiente de variación: 𝑐𝑣 = �𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎

�100% = �30.425557

� 100

CV = 53.38%

Ejemplo 2. Se tienen dos grupos universitarios de ocho personas y se desea

comparar dichos grupos en el número de errores obtenidos por cada uno de sus ocho integrantes; al aplicarles una prueba que consta de 20 reactivos.

Tabla 1

Grupo A Grupo B

5=x

5=x

5~ =x

5~ =x

5ˆ =x

5ˆ =x

Observe en la Tabla 1 que aparentemente no hay diferencia entre el Grupo A y

el Grupo B, pero si se observan detenidamente los datos iniciales que se

presentan en la Tabla 2 se observará que ambos grupos no son iguales.

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Tabla 2

Grupo A Grupo B

1 3

1 4

2 5

5 5

5 5

5 5

9 6

12 7

En la Tabla 2 se observa que los errores del Grupo A se dispersan más que los

del Grupo B, que parecen concentrarse alrededor del valor promedio (5).

¿Qué ocurre? ¿Por qué la medida de tendencia central, en este caso la media

aritmética, no nos da suficiente información acerca de estos resultados? Porque

es necesario contar con algo que señale la dispersión o desviación respecto a la

media aritmética; en otras palabras, conocer la densidad de los datos, es decir,

cuán concentrados se encuentran, cuán homogéneos son, o qué variados están

dichos datos.

Rango (R) Para el Grupo A es: R = 12 - 1 = 11 puntos de variación

Para el Grupo B es: R = 7 - 3 = 4 puntos de variación

Puntuación más baja

Puntuación más alta

Puntuación más baja

Puntuación más alta

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Grupo A Grupo B

xx − 2)( xx − xx − 2)( xx −

1 – 5 = – 4 (– 4)2 = 16 3 – 5 = – 2 (– 2)2 = 4

1 – 5 = – 4 (– 4)2 = 16 4 – 5 = – 1 (– 1)2 = 1

2 – 5 = – 3 (– 3)2 = 9 5 – 5 = 0 (0)2 = 0

5 – 5 = 0 (0)2 = 0 5 – 5 = 0 (0)2 = 0

5 – 5 = 0 (0)2 = 0 5 – 5 = 0 (0)2 = 0

5 – 5 = 0 (0)2 = 0 5 – 5 = 0 (0)2 = 0

9 – 5 = 4 (4)2 = 16 6 – 5 = 1 (1)2 = 1

12 – 5 = 7 (7)2 = 49 7 – 5 = 2 (2)2 = 4

106 10

Varianza del grupo A es: 15.14==−

=−

∑ −=7

10618

1061

)( 22

nxxs

Varianza del grupo B es: 1.42==−

=7

1018

102s

Desviación estándar del grupo A es: 3.89=== 14.152ss

Desviación estándar del grupo B es: 1.19== 42.1s Coeficiente de variación (CV)

El coeficiente de variación o de Pearson, expresa la proporción en la que la

media aritmética no es representativa del conjunto de datos de donde proviene.

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Coeficiente de variación para el Grupo A es:

77.8%=== )100(589.3)100(

xsCV

Es decir, se tiene un 77.8% de que la media no es representativa del Grupo A.

Coeficiente de variación para el Grupo B es:

23.8%=== )100(519.1)100(

xsCV

Es decir, se tiene un 23.8% de que la media no es representativa del Grupo B.

Confiabilidad de la media (CM)

Esta medida muestra la confiabilidad de la media, su fórmula: CM = 100% – CV

Confiabilidad de la media para el Grupo A es:

CM = 100% – CV = 100% – 77.8% = 22.2%.

Es decir, se tiene una confiabilidad del 22.2% de que la media es

representativa del Grupo A.

Confiabilidad de la media para el Grupo B es:

CM = 100% – 23.8% = 76.2%.

Es decir, se tiene una confiabilidad del 76.2% de que la media es

representativa del Grupo B.

(Mayor porcentaje es menos representativa la media)

(Menor porcentaje es más representativa la media)

(Menor porcentaje es menos confiable la media)

(Mayor porcentaje es más confiable la media)

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Medidas de concentración.

De acuerdo a lo que nos dice la Universidad Complutense de Madrid (2006):

Las medidas o índices de concentración tienen como objetivo fundamental

cuantificar el grado de desigualdad en el reparto o distribución de una magnitud

económica (rentas, negocio, beneficios, etc...), entre un número determinado de

“unidades” (individuos, familias, empresas, etc...).

La forma de la distribución de una magnitud, representada por una variable

estadística, ya se ha estudiado a través de diversas medidas de posición,

dispersión, asimetría y apuntamiento. Lo que ahora nos interesa es la mayor o

menor equidad en el reparto de la suma total observada de una magnitud entre

los integrantes del conjunto perceptor de dicha suma. Para ello, deberemos

recoger de cada elemento perteneciente al conjunto perceptor, la información

de la cuantía individual recibida en el reparto. La dificultad reside en que, en

muchas ocasiones, esa información viene agrupada en clases y, por tanto, el

estudio de la concentración no se podrá hacer con la precisión debida.

Es evidente que las dos situaciones extremas que podemos considerar,

respecto a la equidad en el reparto, son:

- Mínima concentración o máxima igualdad: cuando a todos los integrantes el

conjunto perceptor se les asigna la misma cantidad en el reparto del monto total.

- Máxima concentración o mínima igualdad: cuando un único perceptor

recibe la suma total a repartir y los demás no perciben nada.

Curva de Lorenz.

La curva de Lorenz o curva de concentración es una gráfica que se deduce a

partir de la información suministrada para el cálculo del índice de Gini y que, por

tanto, refleja la mayor o menor concentración en la distribución de una magnitud

Ejemplo:

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Fuente: http://4.bp.blogspot.com/_yRlfSW3MB1A/SHvmldARdOI/AAAAAAAAAvQ/-

3cDXNjqniM/s400/CurvaLorenz_CoeficienteGine.jpg

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Conclusión

En esta sesión aprendimos a calcular las medidas de dispersión para datos no

agrupados considerando que estas medidas son útiles, ya que se utilizan para

medir el grado de variabilidad que existe en la distribución o serie de datos.

En la siguiente sesión aprenderemos a calcular Probabilidades.

Fuente: http://nuneznjaimer.mex.tl/imagesnew2/0/0/0/1/1/7/3/8/8/6/loteria(1).jpg

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Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer

tu aprendizaje.

Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.

• Medidas de dispersión. http://brd.unid.edu.mx/medidas-de-dispersion-2/

• Medidas de dispersión. http://brd.unid.edu.mx/medidas-de-dispersion-3/

• Medidas de concentración. http://brd.unid.edu.mx/medidas-de-concentracion/

http://maestriapedagogia2013.files.wordpress.com/2013/05/hernandez-s-

2010-metodologia-de-la-investigacion.pdf

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, porque te permitirá

desarrollar los ejercicios con más éxito.

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Actividad de Aprendizaje Con lo aprendido en esta sesión acerca de Medidas de dispersión y

concentración, deberás realizar los siguientes ejercicios:

1.- Considere una muestra con valores 27,25, 0, 15, 30, 34, 28 y 25. Calcule el

rango, la varianza y la desviación estándar.

2.- A home theater in a box es la manera más sencilla y económica de tener

sonido envolvente en un centro de entretenimiento en casa. A continuación se

presenta una muestra de precios que corresponden a modelos con y sin

reproductor de DVD.

Modelo con Reproductor

DVD

Precio ($) Modelo sin reproductor

DVD

Precio ($)

Sony HT-1800DP 450 Pioneer HTP-230 300

Pioneer HTD-330DV 300 Sony HT-DDW750 300

Sony HT-C800DP 400 Kenwood HTB-306 360

Panasonic SC-HT900 500 RCA RT-2600 290

Panasonic SC-MTI 400 Kenwood HTB-206 300

a) Calcule el precio medio de los modelos de reproductor con DVD y el

precio medio de los modelos de reproductor sin DVD. ¿Cuánto es lo que

se paga de más por tener un reproductor de DVD en casa?

b) Calcule el rango, la varianza y la desviación estándar de las dos muestras.

¿Qué le dice esta información acerca de los precios de los modelos con y

sin reproductor de DVD?

Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la

plataforma. Recuerda que la actividad vale el 5% de la calificación final.

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Bibliografía • Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para

administración y economía. (10ª ed.). México: Editorial Cengage Learning.

ISBN: 970-686-278-1

• Hernández Sampieri Roberto, Fernández-Collado Carlos y Baptista Lucio

Pilar. (2010). Metodología de la investigación. México: McGraw-Hill.

• Levine, David M., Krehbiel, Timothy C. y Berenson, Mark L. (2012):

Estadística descriptiva. México: Pearson Educación

• Lind Douglas A., Marchal William G. y Wathen Samuel A. (2008):

Estadística aplicada a los negocios y la economía. México: McGraw-Hill.

Cibergrafía.

• (s.f.). Medidas de dispersión. Recuperado

de: http://www.hiru.com/matematicas/medidas-de-dispersion

• Universidad Complutense de Madrid (2006). Tema 7: Medidas de

concentración. Introducción a la econometría Recuperado

de: http://pendientedemigracion.ucm.es/info/eiop/licenciaturas/pdfs_econo

metria/tema_7_curso2006-07.pdf