em.2

Ekom.2

09/19/14edhysutanto,stie bank bpd jateng1

Berbagai Teknik Optimasi dan Peralatan Manajemen Baru

Metode dlm menggambarkan Hubungan Ekonomi


1. Hubungan ekonomi dpt digambarkan dlm bentuk : Persamaan Mathematika, Tabel, Grafik.

2. Bila hub sgt sederhana cukup dengan grafik3. Bila hub sgt kompleks lebih baik dibuat persamaan secara

mathematika.4. Contoh : TR = 100Q – 10Q2

Contoh: Skedul penerimaan Total Perush


Q 100Q- 10 Q2 Penerimaan Total (TR)

0123456

100 (0) – 10 (0)2 100 (1) – 10 (1)2

100 (2) – 10 (2)2 100 (3) – 10 (3)2 100 (4) – 10 (4)2 100 (5) – 10 (5)2

100 (6) – 10 (6)2

090

160210240250240


Kurva penerimaan total menunjukkan penerimaan total (TR) perusahaan untuk setiap kuantitas perusahaan yang terjual (Q). Harap perhatikan bahwa TR naik sampai Q=5 kemudian turun.

Hubungan biaya total,rata2 & marginal


1. Hubungan antara konsep & ukrn total,rata2 dan marginal penting didlm analisis optimasi.

2. Hub ini sbtlnya pd dsrnya sama meskipun kita berbicara penerimaan, produksi,biaya & laba.

3. Muaranya adalah mengoptimalkan perusahaan.4. Contoh hub antara by total,rata2 & marginal perusahaan,

sbb :


Kuantitas (Q) Biaya Total (TC) Biaya rata-rata (AC)

Biaya Marjinal (MC)

0 $ 20 - -

1 140 $ 140 $ 120

2 160 80 20

3 180 60 20

4 240 60 60

5 480 96 240

Penjelasan :


1. TC = Total Cost2. AC = Average Cost3. Q = Quantum= juml barang4. MC = Marginal Cost.5. AC = TC/Q6. MC = ∆ TC / ∆ Q


Q (dalam juta

ton)

182 + 56Q TC(dalam Juta

Ton)

AC(dalam Juta

Ton)

MC(dalam Juta

Ton)

0 182 + 0 $ 182 - -

1 182 + 56 238 $ 238 $ 56

2 182 + 112 294 147 56

3 182 + 168 350 117 56

4 182 + 224 406 102 56

Analisa Optimasi


1. Analisa optimasi dpt dijelaskan dg mempelajari proses perush dlm menentukan tk output yg memaksimalkan laba total.

2. Dimulai dg mempergunakan Kurva penerimaan total dan biaya total .

3. π = TR- TC


AC secara kontinu turun dan MC konstan pada $ 56 juta untuk setiap tambahan 1 juta ton baja yang di produksi ( kemiringan kurva TC)

09/19/14edhysutanto,stie bank bpd jateng11 Perusahaan memaksimumkan keuntungan total pada Q =3, dimana perbedaan positif antara TR dan TC terbesar MR = MC dan fungsi π berada pada titik tertinggi.

Kalkulus diferensial: turunan dan aturan diferensial


1, Analisa optimasi dpt dilakukan lbh efisien dan tepat dg kalkulus diferensial, yg didasarkan pada konsep turunan.


Turunan TR terhadap Q mengukur limit ∆TR/∆Q, untuk ∆Q mendekati nol , secara geometris hal ini terdapat pada kemiringa kurva TR, atau MR, pada titik dimana kita ingin mencari turunannya . Bila TR = Y dan Q = X, turunan dari Y terhadap X, dY/dX = lim ∆X -> 0 ∆Y/∆X

Aturan-aturan diferensial


1, Diferensiasi adl proses menentukan turunan suatu fungsi (yi menemukan perubahan Y utk perubahan X, pd saat perubahan Y mendekati nol).

2. Aturan untuk fungsi konstanta: turunan atas fungsi konstan, Y = f (X) = a, adalah nol untuk semua nila (konstanta). Fungsinya adlh sbb:

Y = f (X) = a, dY/dX =0.


Contoh : Y = 2, dY/dX = 0.3. Aturan untuk fungsi pangkat: turunan dari fungsi pangkat, Y

= aXb , dimana a dan b adalah konstanta, sama dengan eksponen b dikali dengan koefisien a dikali variabel X pangkat b-1. Jadi untuk fungsi Y = a Xb , dY/dX = b. a. X (b-1) . Sbg contoh: Y =2X, dY/dX = 2. Bila Y = X2, dY/dX = 2X.


4 . Aturan untuk Penjumlahan dan pengurangan.U = g(X) dan V = h(X)Y = U +/- VdY/dX = dU/dx +/- dV/dX

Contoh : U = g (X) = 2X, dan V = h(X)= X2 , maka

Y = U + V = 2X + X2, dY/dX = 2+2X5. Atutan untuk Perkalian.

Y = U.V, dimana U=g(X) dan V=h(X),makadY/dX =U.dV/dX + V. dU/dX.


Contoh : U=2X2 dan V=3-2X,makadY/dX=2X2(dV/dX)+(3-2X)(dU/dx)

=2X2(-2)+(3-2X)(4X) = -4X2+12X-8X2 = 12X _ 12X2

6. Aturan Pembagian : Turunan dari pembagian 2 fungsi adalah sama dengan penyebut dikali dengan turunan dari pembilang,dikurangi pembilang dikali dg turunan penyebut,semua kmdn dibagi dg penyebut kuadrat.


Y= U/V, dimana U=g(X) dan V=h(X),

Sehingga dY/dX = V(dU/dX)- U(dV/dX) V2

Contoh : Y=(3-2X)/2x2 ,dmn U=3-2X dan V=2X2 ,maka dY/dX= 2X2(-2)-(3-2X)4X = (-4X2 -12X+8x2) (2X2)2 4X4

= 4X2-12X =4X(X-3) =X-3 4X4 4X(X3) X3


7. Aturan untuk Fungsi dari Fungsi (rantai): Jika Y=f(U) dan U=g(X), maka turunan dari Y terhadap X sama dengan turunan dari Y terhadap U dikali dengan turunan U terhadap X, Jadi bila Y=f(U) dan U=g(X), makadY/dX=dY/dU . dU/dX.

Contoh : Y=U3+10 dan U=2X2,makadY/dX=3U2 dan dU/dX=4X, Oki dY/dX=dY/dU.dU/dX=(3U2)4XSubtitusikan U (dmn U=2X2) kedlm fungsi diatas,


maka diperoleh: dY/dX=3(2X2)2(4X)=3(4X4)4X= 48X5.

Contoh lain: Y=(3X2+10)3 ,dmn U=3X2+10 dan Y=U3, maka dY/dX= 3U2 dan dU/dX=6X,Jadi dY/dX=dY/dU.dU/dX =(3U2)6X, substitusikan nilai U (yi 3X2+10) kedlm pers diatas,maka diperoleh: dY/dX=3(3X2+10)2(6X)

=3(9X4+60X2+100)(6X) =162X5+1.080X3+1.800X =2X(81X4+540X2+900)

09/19/14edhysutanto,stie bank bpd jateng21dY/dX (kemiringan) berubah untuk setip nilai X

negatif untuk X < 0 , nol untuk X = 0, dan positif untuk X > 0


Fungsi Turunan

1. Fungsi konstan Y = a

2. Fungsi Pangkat Y = aXb

3. Fungsi penjumlahan dan pengurangan Y = U ± V

4. Perkalian dua fungsi Y = U . V

5. Pembagian dua fungsi

6. Fungsi dari fungsi Y = f(U), dimana U = g(X)

0=dX

dY

)1(.. −= bXabdX

dY

dX

dV

dX

dU

dX

dY +=

dX

dUV

dX

dVU

dX

dY +=

2V

dXdV

UdXdU

V

dX

dY−

=

dX

dU

dU

dY

dX

dY ⋅=

X

UY =

Optimasi dengan kalkulus


1. Menentukan maksimum atau minimum dg kalkulus:a.Optimasi sering diperlukan utk menemukan nilai maks atau nilai minimal suatu fungsi.b. Suatu fungsi agar mencapai maks atau minimum, turunan dr fungsi tsb harus nol.TR=100Q-10Q2 , d(TR)/dQ=100-20Q,dg menetapkan d(TR/dQ)=0 maka 100-20Q=0, Oki Q=5.


2.Membedakan antr maks dan minimum: Turunan kedua:a. Bhw turunan (kemiringan) dari fungsi (kurva) adl nol baik pd ttk min or maks.b. Utk membedakan antr maks dan min, digunakan turunan kedua.c. Utk fungsi umum Y=f(X),turunan kedua d2Y/dX2

d. Turunan kedua adl turunan yg diperoleh dari turunan sebelumnya yg diturunkan kembali.

Optimasi Multivariat


1.Turunan Parsial:a. Dampak marginal diukur dengan turunan parsial yg ditunjukkan dg simbol δ bukan d dlm arti turunan.b. Contoh : π =f(X,Y)=80X-2X2-XY-3Y2+100Y

Terlebih dahulu: δ π/ δ X= 80-4X-Y, baru

δ π/ δ Y=-X-6Y+100Artinya δ π/ δ X:sejauh dampak marginal X terhadap π dan δ π/ δ Y: sejauh dampak marginal Y terhadap π.


2, Optimasi terkendala dg metode pengali Langrange.a. Bila pers kendala sgt rumit or tdk dpt dipecahkan dg mempergunakan satu variable kptsn sbg fungsi eksplisit var lain,teknik subtitusi utk memecahkan masalah optimasi terkendala dpt menyulitkan atau tdk mungkin.b,Dlm kasus in dpt dipergunakan metode pengali Langrange.c. Thp pertama dlm metode ini membentuk Fungsi Langrange.


d.Fungsi ini ditunjukkan oleh perush ditambah λ dikali fungsi tujuan yg dibuat sama dengan nol.e. Karena ini mengandung fungsi kendala yg dibuat sama dg nol,fungsi langrange dpt pula diperlakukan sbg masalah optimasi tanpa kendala dan pemecahannya akan selalu sama

dg masalah optimasi terkendala mula2.f. Utk itu tetapkan dulu fungsi kendalanya mis: X+Y=12 sama dg nol.


g. maka X+Y-12=0h. Kemudian mengalikan btk fungsi kendala dg dan menambahkan menambahkan dg fungsi keuntungan awal yg maks: π=80X-2X2-XY- 3Y2+100Y + λ (X+Y-12), maka

Lπ = 80X-2X2-XY-3Y2+100Y+ λ (X+Y-12)

Kemudian buat 3 turunan yi : δLπ /δX = 80 - 4X – Y + λ = 0 …… (1)

δLπ /δY = - X - 6Y + 100 + λ = 0……(2)

δLπ /δλ = X + Y - 12 = 0……………(3)

Dari pers (1) – (2) : 80 - 4X – Y + λ = 0 …… (1) - X - 6Y + 100 + λ = 0……..(2) - - 20 – 3X + 5Y = 0……..(4)

Pers (3) x3=> 3 (X + Y – 12) = 0 (5) + (4) : 3X + 3Y -36 = 0…….(5) - 20 – 3X + 5Y = 0 ……(4) + -8Y – 56 = 0 , sehingga diperoleh nilai

Y=7 & X=5, maka masukkan ke pers (2) ketemu λ = - 53,brp π = ?


Nilai λ mempunyai interpretasi ekonomi yg penting. Ini adalah dampak marginal pada solusi fungsi tujuan yag berhub

dg perubhn 1 unit dari kendala. Dalam masalah tsb hal ini berarti bahwa penurunan kendala

kapasitas output dari 12 menjadi 11 atau naik ke 13 unit akan ber-turut2 mengurangi atau menambah laba total perusahaan sebesar λ = 53. (satuan mata uang yg digunakan neg tsb)


Peralatan manajemen baru utk optimasi


1. Perbandingan (benchmarkin) berarti menemukan dg cara terbuka dan jujur,bgmn perush lain dpt mengerjakan sesuatu lbh baik shg perush kita menirunya.Perbdingan butuh: a. Pilih proses yg spesifik,b Kirim utusan.

2. Manajemen kualitas total, butuh 5 aturan:a. Eksekutif support penuhb. Program TQM jelas brkn laba dan nila +


c. Program tsb bisa jawab apa yg diinginkan perush.d. Program tsb berikan hasl keu & kompensasi dlm wkt singkat,e. Program tsb dpt ditiru perush.

em.2

Documents