Elektron Bebas

Beberapa teori tentang panas jenis zat padat yang telah dibahas dapat

dengan baik menjelaskan sifat-sfat panas jenis zat padat yang tergolong non

logam, akan tetapi untuk golongan logam teori tersebut terbatas karena teori yang

telah dijelaskan tersebut tidak mempertimbangkan keberadaan dari elektron bebas

dalam logam.

1. Teori Drude Tentang Elektron Dalam Logam

Drude (1900) mengandaikan bahwa dalam logam terdapat elektron bebas,

yang membentuk sistem gas elektron klasik, yang bergerak acak dalam kristal

dengan kecepatan random vo karena energi termal dan berubah arah geraknya

setelah bertumbukan dengan ion logam. Karena massanya yang jauh lebih besar,

maka ion logam tidak terpengaruh dalam tumbukan ini.

Kehadiran medan listrik ε dalam logam hanya mempengaruhi gerak

keseluruhan electron karena ion-ion tertata berjajar dan bervibrasi di sekitar titik

kisi sehingga tidak memiliki neto gerak translasi. Misalnya, terdapat medan listrik

ε dalam arah sumbu-X. Percepatan elektron yang timbul

dengan e dan m*, masing-masing adalah muatan dan massa efektif elektron. Jika

waktu rata-rata antara dua tumbukan elektron dan ion adalah τ , maka kecepatan

hanyut dalam selang waktu tersebut

Oleh karena itu rapat arus yang terjadi

dimana penjumlahan dilakukan terhadap semua elektron bebas setiap satuan

volume. Elektron bergerak secara acak, sehingga ∑vo=0. Oleh sebab itu menjadi

Karena hubungan Jx=σε, maka konduktivitas listrik menjadi

Pengukuran menunjukkan bahwa nilai rata-rata σ logam sekitar 5.107(Ωm)-1

dengan menganggap masa efektif m* sama dengan massa bebas mo=9,1.10-31kg,

maka didapatkan nilai τ berorde 10-14 s. Contoh analisa lain adalah konduktivitas

termal. Misalnya, sepanjang sumbu- X terdapat gradien suhu ∂T/∂x, maka akan

terjadi aliran energi persatuan luas perdetik (arus kalor) Qe. Berdasarkan

eksperimen arus kalor Qe tersebut sebanding dengan gradien suhu ∂T/∂x

Qe = -K ∂T/∂x

dengan K adalah konduktivitas termal. Dalam isolator, panas dialirkan

sepenuhnya oleh fonon. Sedangkan dalam logam dialirkan oleh fonon dan

elektron. Tetapi karena konsentrasi elektron dalam logam sangat besar, maka

konduktivitas termal fonon jauh lebih kecil daripada elektron, yakni Kfonon 10≅ -

2K elektron, sehingga konduktivitas fonon diabaikan.

Dari pendekatan teori kinetik gas diperoleh ungkapan konduktivitas termal

dimana CV, v dan masing-masing adalah kapasitas panas elektron persatuan

volume, kecepatan partikel rata-rata dan lintas bebas rata-rata partikel. Karena

CV = (3/2)nk, (1/2)mv2

= (3/2)kT dan l=vτ , maka konduktivitas menjadi

Perbandingan konduktivitas termal dan listrik adalah

Hal ini sesuai dengan penemuan empirik oleh Wiedemann-Frans (1853).

Kadangkadang perbandingan di atas dinyatakan sebagai bilangan Lorentz

Ternyata, hukum Wiedemann-Frans sesuai dengan pengamatan untuk suhu tinggi

(termasuk suhu kamar) dan suhu sangat rendah (beberapa K). Tetapi, untuk suhu

“intermediate”, K/σT bergantung pada suhu.

Dalam teori drude, lintas bebas rata-rata elektron bebas, l=τvo, tidak bergantung

suhu. Namun, karena vo~T1/2, maka keadaan mengharuskan

Hal ini didukung fakta eksperimen bahwa σ~T-1, sehingga dari ungkapan

konduktivitas listrik didapatkan

Ungkapan terakhir ini menunjukkan bahwa bila T naik, maka n menurun.

Hal ini tidak sesuai dengan fakta, dan menyebabkan teori Drude tidak memadai.

2. Model Elektron Bebas Klasik

Model elektron bebas klasik tentang logam mengambil asumsu sebagai

berikut:

a. Kristal digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positip

(yang membentuk kisi kristal) dan elektron yang bebas bergerak dalam

volume kristal.

b. Elektron bebas tersebut diperlakukan sebagai gas, yang masing-masing

bergerak secara acak dengan kecepatan termal (seperti molekul dalam gas

ideal – tidak ada tumbukan, kecuali terhadap permukaan batas).

c. Pengaruh medan potensial ion diabaikan, karena energi kinetik elektron

bebas sangat besar.

d. Elektron hanya bergerak dalam kristal karena adanya penghalang

potensial di permukaan batas.

Misalnya, setiap atom memberikan ZV elektron bebas, maka jumlah total

elektron tersebut perkilomol

Bila elektron berperilaku seperti dalam gas ideal, maka energi kinetik totalnya

sehingga kapasitas panas sumbangan elektron bebas

Kapasitas panas total dalam logam, termasuk sumbangan oleh fonon, adalah

Jadi, setidaknya kapasitas panas logam harus 50% lebih tinggi daripada

isolator. Tetapi, eksperimen menunjukkan bahwa untuk semua bahan padatan

(logam dan isolator) nilai CV mendekati 3R pada suhu tinggi. Pengukuran yang

akurat menunjukkan bahwa sumbangan elektron bebas terhadap kapasitas panas

total adalah reduksi harga klasik (3/2)R oleh factor 10-2. Oleh karena itu model

elektron bebas klasik tidak memberikan hasil ramalan Cv yang memadai.

Suseptibilitas magnetik χ mengkaitkan momen magnetik M dan kuat medan

magnetik H melalui ungkapan

Dalam hal ini hanya dibahas untuk bahan isotropik, sehingga χ skalar.

Pengaruh medan magnet luar H terhadap elektron bebas menyebabkan setiap

momen dipol μ, yang acak arahnya, memperoleh energi magnetik

Jika distribusi momen dipol elektron bebas memenuhi statistik Maxwell-

Boltzmann,

maka momen dipol rata-rata dalam arah medan memenuhi

Dimana θ adalah sudut antara µ dan H.

dengan L(x)=coth x – (1/x) = fungsi Langevin

Dengan menggunakan deret

maka untuk medan H tidak kuat, yakni µH<<kT momen dipol rata-rata tersebut

berharga

Jika jumlah momen dipol magnet adalah N, maka magnetisasinya

Dengan membandingkan persamaan-persamaan diperoleh suseptibilitas magnetik

Tetapi, eksperimen tidak menunjukkan adanya kebergantungan χ terhadap

T. Hal ini berarti model elektron bebas klasik tidak dapat menerangkan tentang

mengapa χ untuk paramagnet elektron tidak bergantung pada T.

3. Model Elektron Bebas Terkuantisasi

Untuk memperbaiki kegagalan model elektron bebas klasik

dalam menelaah sifat listrik dan magnet bahan, ditawarkan

model elektron bebas yang terkuantisasi. Model ini

menggunakan prinsip kuantisasi energi elektron dan prinsip eksklusi Pauli

untuk elektron yang melibatkan distribusi Fermi-Dirac. Model

elektron bebas, dimana pengaruh dari semua elektron bebas

yang lain dan semua ion positip direpresentasikan oleh potensial

V sama dengan nol sehingga gaya yang bekerja pada elektron

juga sama dengan nol, secara kuantum mengambil persamaan

Schrodinger

Harga k tidak dibatasi sehingga energi elektron tidak terkuantisasi.

Tetapi bila elektron bebas tersebut bergerak dalam suatu kubus dengan

rusuk L, maka haruslah dipenuhi

Dalam ruang k, setiap keadaan elektron direpresentasikan oleh volume

sebesar (2π/L)3, yaitu masing-masing untuk Δnx=Δny=Δnz=1. Semua

keadaan elektron yang berenergi Ek = ℏ2

2m0

¿) terletak pada permukaan

bola berjari-jari k yang memenuhi

Sedangkan semua keadaan elektron yang berenergi antara E dan

E+dE terletak dalam kulit bola dengan jari-jari antara k dan k+dk

dan volume 4πk2dk. Dengan demikian, jumlah keadaan electron

Apabila diperhitungkan dua spin elektron, maka jumlah tersebut

menjadi

Mengingat ungkapan E=ћ2k2/2mo, maka jumlah keadaan

elektron persatuan volume yang berenergi antara E dan E+dE

adalah

Prinsip Pauli menyatakan bahwa dalam satu sistem fisis tidak

boleh terdapat dua elektron atau lebih yang mempunyai

perangkat bilangan kuantum yang tepat sama. Prinsip larangan

ini dipenuhi oleh elektron yang mengikuti fungsi distribusi Fermi-

Dirac

Pada suhu T=0 K, energi Fermi diungkapkan dalam bentuk EF(0); dan

fungsi distribusi Fermi-Dirac

Dengan kata lain, pada suhu T=0 K semua tingkat energi E<EF(0) terisi

penuh elektron dan E>EF(0) kosong. Sedangkan pada suhu T>0 K berlaku

E < EF → f(E) < 1

E = EF → f(E) = 1/2

E > EF → f(E) > 0

Hal ini berarti pada T>0 K tingkat energi di atas EF sudah terisi sebagian

dan di bawah EF menjadi kosong sebagian.

Model elektron bebas terkuantisasi mengambil andaian sebagai berikut.

Kristal logam digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positip

(yang membentuk kisi kristal) dan elektron bebas yang bergerak dalam

volume kristal.

Elektron bebas tersebut memenuhi kaidah fisika kuantum, yaitu mempunyai

energi terkuantisasi dan mematuhi larangan Pauli, yang secara menyatu

dirangkum dalam ungkapan rapat elektron

dn = n(E) dE = f(E) g(E) dE

Pengaruh medan ion positip dapat diabaikan karena energi kinetik elektron

bebas sangat besar.

Pada permukaan batas antara logam dan vakum yang mengelilinginya

terdapat suatu potensial penghalang φ yang harus diloncati oleh elektron

bebas paling energetik pada suhu T=0 K (energi EF) untuk dapat

meninggalkan permukaan batas logam.

4. Sumbangan Elektron Bebas pada Harga Cv

Rapat elektron pada suhu T = 0 K

Dan rapat energi pada suhu T = 0 K

Untuk menyelesaikan bentuk integral diatas digunakan bentuk

integral

yang mempunyai bentuk asymtotik untuk yo besar dan berharga

positip

Diketahui bahwa ungkapan energi Fermi sebagai fungsi suhu

adalah

Karena bentuk [(πkT ¿2 ¿/ E f2(0)] sangat kecil dibandingkan dengan

satu, maka EF selalu dapat diganti dengan EF(0). Dengan

memakai bentuk persamaan yang ada di atas dan deret

binomial, maka rapat energi dapat dihitung dan hasilnya

Sehingga kapasitas panas elektron bebas

Apabila kapasitas panas elektron bebas model klasik (Cv)el , maka

kapasitas panas untuk 1 mol zat

Tampak bahwa sumbangan elektron bebas pada harga CV untuk kristal

diperkecil dengan faktor [π2kT/3EF] dari harga klasiknya. Untuk harga EF=5

eV dan T=300 K, maka hal ini sesuai dengan hasil pengukuran bahwa faktor

pengecil tersebut kira-kira berorde 10-2. Dapatlah disimpulkan bahwa

sumbangan elektron bebas pada harga CV suatu logam sangatlah kecil, terutama

pada suhu yang sangat tinggi. Tetapi sumbangan tersebut akan dominan pada

suhu yang cukup rendah. Pada suhu jauh di bawah suhu Debye θD dan suhu

Fermi TF, kapasitas panas suatu logam dapat ditulis sebagai jumlah sumbangan

elektron bebas dan fonon, yakni

CV = γ T + A T3

dimana γ dan A merupakan konstanta karakteristik bahan. Secara eksperimen

dapat dibuat grafik CV/T terhadap T2 sehingga γ dan A bisa ditentukan.