1

1

EKSPEKTASI DAN VARIANSI

TI2131 TEORI PROBABILITASMINGGU KE-7

2

Definisi Ekspektasi Matematis

Diberikan X sebuah variabel random dengan distribusi probabilitas f(x). Mean atau nilai (expected value) dari X adalah:

µ=E(X)=

jika X diskrit dan

µ=E(X)=

jika X kontinu

∑x

xxf )(

dxxxf )(∫∞

∞−

2

3

Contoh Ekspektasi Matematis

1.Berapa ekspektasi jumlah angka yang muncul dari pelemparan dua buah dadu?

2.Jika X merupakan variabel random yang menunjukkan jumlah hari perawatan seseorang dengan penyakit demam berdaran di sebuah rumah sakit, di mana Xmemiliki fungsi kepadatan sebagai berikut:

f(x)=

tentukan rata-rata waktu perawatan pasien-pasien demam berdarah di rumah sakit tersebut!

( ) lainnya untuk 0

,0

,4

323

>

⎪⎩

⎪⎨⎧

+x

x

4

Diberikan variabel random g(X) yang nilainya tergantung pada X. Jika X merupakan variabel random dengan distribusi probabilitas f(x), maka nilai harapan dari variabel random g(X) adalah:

µg(X) = E[g(X)] =

jika X adalah diskrit, danµg(X) = E[g(X)] =

jika X kontinu.

∑ )()( xfxg

∫∞

∞-

)()( dxxfxg

3

5

Curah hujan di suatu bulan tertentu bervariasi antara –1 sampai 2 desiliter dari curah hujan standar. Tetapkan X sebagai variabel random yang menunjukkan variasi curah hujan dari standar (dalam desiliter). Variabel random X ini memiliki pdf:

Jika g(X) = 3X + 3 merupakan fungsi yang menunjukkan hasil panen (dalam ton/hektar) yang dapat diperoleh pada saat curah hujan bervariasi sebesar X desiliter dari standar, tentukan ekspektasi hasil panen dalam jangka panjang.

⎪⎩

⎪⎨⎧

<<−=lainnya untuk0

213)(

2

xxxf

6

Ekspektasi Variabel Random Bivariat

Diberikan variabel random X dan Y dengan joint probability distribution f(x,y). Rataan atau nilai harapan dari variabel random g(X,Y) adalah:

µg(X,Y) = E[g(X,Y)] =

jika X dan Y adalah diskrit, dan

µg(X,Y) = E[g(X,Y)] =

jika X dan Y kontinu.

∑∑x x

yxfyxg ),(),(

dydxyxfyxg ),(),(-∫ ∫∞

∞−

∞

∞

4

7

Contoh Ekspektasi Bivariat

Tentukan ekspektasi dari fungsi g(X,Y) = Y/X, diberikan

f(x,y) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

<<<<+

lainnya untuk0

10,204

)31( 2

yxyx

8

Definisi Variansi

Diberikan X sebuah variabel random dengan distribusi probabilitas f(x) dan rataan µ. Variansi dari X adalah

σ2 = E[(X - µ)2] =

jika X adalah diskrit dan

σ2 = E[(X - µ)2] =

jika x kontinu. Akar kuadrat positif dari variansi, atau σ,disebut dengan deviasi standar.

∑ −x

xfx )()( 2µ

∫∞

∞

−-

2 )()( dxxfx µ

5

9

Teorema variansi

Variansi variabel random X adalah:

σ2 = E(X)2 − µ2

10

Contoh Perhitungan Variansi

1. Hitunglah variansi dari variabel random angka hasil pelemparan dadu!

2. Hitunglah dengan menggunakan teorema variansi!

6

11

Kovariansi Dua Variabel Random

Diberikan variabel random X dan Y dengan joint probability distribution f(x,y). Kovariansi dari X dan Yadalah:

σXY = E[(X−µX)(Y− µY)] =

jika X dan Y adalah diskrit, dan

σXY = E[(X−µX)(Y− µY)] =

jika X dan Y kontinu.

∑∑ −−x y

yx yxfyx ),())(( µµ

∫ ∫∞

∞

∞

∞

−−- -

),())(( dydxyxfyx yx µµ

12

Teorema Kovariansi

Kovariansi dari dua variabel random X dan Y dengan rataan µX dan µY, berturut-turut, diberikan oleh:

σXY = E(XY) − µX µY

7

13

Contoh Perhitungan Kovariansi

Fraksi pelari laki-laki X dan fraksi pelari perempuan Yyang bertanding pada suatu lomba digambarkan oleh joint distribution function:

f(x,y) =

Hitung kovariansi antara X dan Y!

lainnya untuk 010

,0,8 xy, xxy ≤≤≤≤

⎩⎨⎧

14

Definisi Korelasi

Diberikan variabel random X dan Y dengan kovariansi σXY dan deviasi standar berturut-turut σX dan σY. Koefisien korelasi antara X dan Y adalah:

ρXY = YX

XY

σσσ

8

15

Rumus-rumus Ekspektasi

E(aX+b) = aE(X) + b

E(b) = b

E(aX) = aE(X)

E[g(X) ± h(X)] = E[g(X)] ± E[h(X)]

E[g(X,Y) ± h(X,Y)] = E[g(X,Y)] ± E[h(X,Y)]

E[g(X) ± h(Y)] = E[g(X)] ± E[h(Y)]

E[X ± Y ] = E[g(X)] ± E[h(Y)]

E(XY) = E(X) E(Y)

16

Rumus-rumus Variansi

22222 σσσ aa XbaX ==+222 σσσ ==+ XbX

22222 σσσ aa XaX ==

XYYXbYaX abba σσσσ 222222 ++=+

22222YXbYaX ba σσσ +=+

22222YXbYaX ba σσσ +=−

22222

222... ...

2112211 nnn xnxxxaxaxa aaa σσσσ +++=+++