kuliah ke-12 ekspektasi

Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 11

EKSPEKTASIEKSPEKTASI

Ekspektasi dari variabel random merupakan konsep yang terpenting dalam mempelajari teori peluang dan statistika. Konsep ini telah meng”akar” dalam perjudian, karena penjudi ingin mengetahui apa yang mereka “harapkan “ untuk menang dalam setiap permainan.

Ekspektasi dari variabel random X ditulis E (X),lambang E disebut Operator Ekspektasi

Beberapa istilah ekspektasi, aslinya adalah :Expectation; The Mean; The Average; The Expected Value; Arithmetic Mean; Mathematical Expection.( );

( )( ) ;

i ii

x px jikaX vrd

E Xxf x dx jikaX vrk


MOMEN DAN VARIANSIMOMEN DAN VARIANSI

Momen ke n dari variabel random X didefinisikan sebagai berikut :

Variansi, terjemahan dari variance, kadang kadang disebut ragam. Variansi dari variabel random X, ditulis Var (X) atau 2

X, yang didefinisikan Var (X) = E { X – E (X)}2 . Apibila dijabarkan, diperoleh : Var (X)= E (X2)- { E (X) }2

( );

( )( ) ;

i

ni

in

n

x px jikaX vrd

E Xx f x dx jikaX vrk

2

2

( ) ( ),

( )( ) ( ) ;

i ii

x px jikaX vrd

Var Xx f x dx jikaX vrk


FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAN FUNGSI FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAN FUNGSI KARAKTERISTIKKARAKTERISTIK

1. Fungsi pembangkit momen, terjemahan dari moment generating functions, diberi lambang : MX (t) atau (t)MX (t) = (t) ≜ E (etX)

2. Fungsi karakteristik (characteristic function) diberikan lambang : x()

( );

( )( ) ;

itxi

i

Xtx

e px X vrd

M tx f x dx X vrk

( );

( )( ) ;

ij xi

i

Xj x

e px X vrd

e f x dx X vrk


EKSPEKTASI LANJUTANEKSPEKTASI LANJUTAN

Jika X variabel random, maka Y = g (X) juga merupakan variabel random

Beberapa sifat : Jika a dan b konstanta, maka :1. E (aX + b) = a E (X) + b

Dengan mengambil nilai a = 0, maka E (b) = b2. Var (aX + b) = a2 Var X

Var (k) = ? E (k) = ?

( k adalah konstanta )

( ) ( );

( ) ( )( ) ( ) ;

i ii

gx px X vrd

E Y E gXgx f x dx X vrk


Contoh soalContoh soal

1. Diberikan VRD X dengan E (X1. Diberikan VRD X dengan E (Xkk) = 0,8 k = 1, 2 …) = 0,8 k = 1, 2 …

Tentukan : a. MGF dari VR X tersebutTentukan : a. MGF dari VR X tersebut

. (0) (1) ?X X

b p dan p

Solusi :Solusi : ( ) ( )tX tx

X Xx

M t E e e p x≜

Maclaurin :Maclaurin :

21 11 ( ) .... ( ) ...

2! !

( ) ( )

tX k

tX

X

e tX tX tXk

M t E e


22

22

2

1

1 ... ...2! !

1 ( ) ( ) ... ( )2! !

1 0,8 ... ... ...2! !

1 0,8!

kk

kk

k

k

t tE tX X X

k

t ttE X E X E x

k

t tt

k

t

k


1

( ) 1 0,8 ,!

k

Xk

tM t atau

k

0

0,2 0,8!

k

k

t

k

( ) 0,2 0,8 t

XM t e

( ) ( )tX tx

X Xx

M t E e e p x (0) 0 0,2

Xp P X ≜ (1) 1 0,8

Xp P X ≜


2

, dimana :Jika Y aX b a dan b real maka

VarY Var aX b E aX b aE X b

Jadi : Var (aX + b) = a2 Var X

22 ( )E a X E X

2= a Var X

22 ( )a E X E X


Beberapa kasus :Beberapa kasus :

a = 1 a = 1 Y = X + b Y = X + b

E (Y) = E (X + b) = E (X) + b E (Y) = E (X + b) = E (X) + b Y Y = = XX + b + b

Var Y = Var X Var Y = Var X dengan lain perkataan Var (b) = dengan lain perkataan Var (b) = 00

b = 0 b = 0 Y Y = = XX atau E(Y) = E(X) atau E(Y) = E(X)

2 2

Y Xatau Var Y Var X


Selanjutnya bagaimana dengan Var (aX + bY) =?Selanjutnya bagaimana dengan Var (aX + bY) =?

2

2

2

2 22 2

2 2

( )

( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

2 ,

Var aX bY E aX bY E aX bY

E aX bY aE X bE Y

E a X E X b Y E Y

E a X E X b Y E Y ab X E X Y E y

a Var X b VarY ab Cov X Y

Jika a = 1 = b maka Var (X + Y) = Var X + Var Y + 2 Cov (X, Y)Jika a = 1 = b maka Var (X + Y) = Var X + Var Y + 2 Cov (X, Y)

Definisi : Cov (X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y)]Definisi : Cov (X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y)]


Contoh soalContoh soal

Diberikan pdf dari VRK X :Diberikan pdf dari VRK X :

; 1( )

0 ;X

x xf x

x lainnya

Pertanyaan Pertanyaan Tentukan :Tentukan :

a.a. XX b.b. Var XVar Xc.c. ( )

XF x


PenyelesaianPenyelesaian

-1 1 x

f (x)

( ) ( )X E X x f x dx

≜

1 0 1

1 0 1

.0 ( ) ( ) . 0x dx x x dx x x dx x dx

0 1

0 12 2 3 31 13 31 0

1 0

0X x dx x dx x x


22 2( ) ( )X

Var X E X E X

12 2 2

1

( ) ( )E X x f x dx x x dx

≜

0 10 13 3 4

1 01 0

1 1

4 4x dx x dx x x

41 1 10 ( 1)

4 4 2


2

2

12 2

12 2

0 ; 1

; 1 0( )

; 0 1

1 ; 1

x

X x

x

xF x

x

x

Grafiknya?


Korelasi antara X dan Y dinyatakan oleh :Korelasi antara X dan Y dinyatakan oleh :

Correlation (korelasi)Correlation (korelasi)

,,

X Y

Cov X YX Y

, yang disebut koefisien korelasi, yang disebut koefisien korelasi

Sifats :Sifats :

1.1. (X, Y) = (X, Y) = (Y, X) (Y, X)

2.2. -1 -1 1 1

3.3. (X, X) = 1 ; (X, X) = 1 ; (X,- X) = -1(X,- X) = -1

Bagaimana dengan Cov (X,X) ?Bagaimana dengan Cov (X,X) ?


Soal-soalSoal-soal

1. Variabel Random X mempunyai pdf ;1. Variabel Random X mempunyai pdf ;

2( ) ; 0 0( )

0 ;X

k x x xf x

x lainnya

Pertanyaan :Pertanyaan :a.a. Tentukan k Tentukan k b.b. E (X) dan Var XE (X) dan Var Xc.c. Fungsi distribusi dari X berikut gambarnyaFungsi distribusi dari X berikut gambarnya


2. Seperti soal no 1 apabila VR X mempunyai pdf :2. Seperti soal no 1 apabila VR X mempunyai pdf :

2 ; 0 1( )

0 ;X

x xf x

x lainnya

Soal-soalSoal-soal

3. Probability density function (pdf) dari suatu variable random X diketahui sebagai berikut :

; 1( )

;

a bx O xf x

O untukxlainnya

Jika E (X) = ½ , maka tentukan nilai dari a dan b

kuliah ke-12 ekspektasi

Documents