Download - UKURAN PEMUSATAN DATA
UKURAN PEMUSATAN DATA UKURAN PEMUSATAN DATA
Oleh : Firmansyah, S.KomOleh : Firmansyah, S.Kom
MODUL
3
A. TEMA DAN TUJUAN KEGIATAN PEMBELAJARAN
A. TEMA DAN TUJUAN KEGIATAN PEMBELAJARAN
1. Tema : Ukuran Pemusatan Data
2. Fokus : Pembahasan Materi Pokok
1. Arti dan manfaat ukuran pemusatan data2. Rata-rata hitung, median dan modus3. Kuartil, desil dan persentil
3. Tujuan : Kegiatan Pembelajaran
1. Mahasiswa mampu memahami arti dan manfaat dari beberapa ukuran pemusatan data.
2. Mahasiswa mampu menggunakan rumus-rumus ukuran pemusatan data.
3. Mahasiswa mampu menghitung beberapa ukuran pemusatan data.
4. Mahasiswa mampu mengetahui jenis-jenis ukuran pemusatan data.
Ukuran Pemusatan DataUkuran Pemusatan Data
• Ukuran pemusatan adalah suatu ukuran yang menunjukkan dimana suatu data memusat atau suatu kumpulan pengamatan memusat (mengelompok)
• Ukuran pemusatan merupakan penyederhanaan data untuk mempermudah peneliti membuat interprestasi dan mengambil suatu keputusan.
• Ukuran pemusatan adalah suatu ukuran yang menunjukkan dimana suatu data memusat atau suatu kumpulan pengamatan memusat (mengelompok)
• Ukuran pemusatan merupakan penyederhanaan data untuk mempermudah peneliti membuat interprestasi dan mengambil suatu keputusan.
Ukuran Pemusatan DataUkuran Pemusatan DataLanjutan . . .
Ukuran pemusatan data meliputi:
Rata-Rata Hitung = Arithmetic Mean Modus Median Kuartil, Desil, Persentil
Lanjutan . . .
Ukuran pemusatan data meliputi:
Rata-Rata Hitung = Arithmetic Mean Modus Median Kuartil, Desil, Persentil
• Ukuran Statistik nantinya akan mencakup data :– Ungrouped Data
Data yang belum dikelompokkan)
–Grouped Data
Data yang telah dikelompokkan Tabel Distribusi Frekuensi
• Ukuran Statistik nantinya akan mencakup data :– Ungrouped Data
Data yang belum dikelompokkan)
–Grouped Data
Data yang telah dikelompokkan Tabel Distribusi Frekuensi
• Contoh Ungrouped Data
Data Nilai Statistika 10 orang mahasiswa
• Contoh Ungrouped Data
Data Nilai Statistika 10 orang mahasiswa
78 62 34 57 8978 62 34 57 89
67 55 75 73 5667 55 75 73 56
• Contoh Grouped Data
Data Nilai Statistika 100 orang mahasiswa
• Contoh Grouped Data
Data Nilai Statistika 100 orang mahasiswa
UKURAN PEMUSATANUKURAN PEMUSATAN
Rata-Rata Hitung• Notasi :
– μ : rata-rata hitung populasi– x : rata-rata hitung sampel
• Rata-Rata Hitung untuk Ungrouped Data
Rata-Rata Hitung• Notasi :
– μ : rata-rata hitung populasi– x : rata-rata hitung sampel
• Rata-Rata Hitung untuk Ungrouped Data
μ : rata-rata hitung populasiN : ukuran Populasix : rata-rata hitung sampeln : ukuran Sampelxi : data ke-i
μ : rata-rata hitung populasiN : ukuran Populasix : rata-rata hitung sampeln : ukuran Sampelxi : data ke-i
CONTOH 1 CONTOH 1 • Misalkan diketahui Di kota A hanya terdapat 6
PTS, masing-masing tercatat mempunyai banyak mahasiswa sebagai berikut :
850, 1100, 1150, 1250, 750, 900
Berapakah rata-rata banyak mahasiswa PTS di kota A?
• Rata-Rata Populasi atau Sampel ?
Jawab :
• Misalkan diketahui Di kota A hanya terdapat 6 PTS, masing-masing tercatat mempunyai banyak mahasiswa sebagai berikut :
850, 1100, 1150, 1250, 750, 900
Berapakah rata-rata banyak mahasiswa PTS di kota A?
• Rata-Rata Populasi atau Sampel ?
Jawab :
10006
60006
)900750125011501100850(
CONTOH 2CONTOH 2• Setiap 12 jam sekali bagian QC pabrik minuman
ringan memeriksa 6 kaleng contoh untuk diperiksa kadar gula sintetisnya (%). Berikut adalah data 6 kaleng minuman contoh yang diperiksa :
13.5 12.5 13 12 11.5 12.5
Jawab :
• Setiap 12 jam sekali bagian QC pabrik minuman ringan memeriksa 6 kaleng contoh untuk diperiksa kadar gula sintetisnya (%). Berikut adalah data 6 kaleng minuman contoh yang diperiksa :
13.5 12.5 13 12 11.5 12.5
Jawab :
5,12
6
756
)5,125,1112135,125,13(
x
x
x
Rata-Rata untuk Grouped Data• Nilainya merupakan pendekatan.• Biasanya berhubungan dengan rata-rata hitung
sampel
Rata-Rata untuk Grouped Data• Nilainya merupakan pendekatan.• Biasanya berhubungan dengan rata-rata hitung
sampel
x : rata-rata hitung sampeln : ukuran Sampelfi : frekuensi di kelas ke-ixi : Titik Tengah Kelas ke-i
CONTOH 3CONTOH 3
Perhatikan tabel diatas. Tentukan rata-rata hitungnya!
Jawab :
Perhatikan tabel diatas. Tentukan rata-rata hitungnya!
Jawab :
Kelas Titik Tengah Kelas (xi)
Frekuensi(fi)
fi.xi
16 – 23 19,5 10 195
24 – 31 27,5 17 467,5
32 – 39 35,5 7 248,5
40 – 47 43,5 10 435
48 – 55 51,5 3 154,5
56 – 63 59,5 3 178,5
Jumlah (∑) 50 1679
58,33
50
1679
x
x
METODE CODINGMETODE CODING• Metode Coding
Metode ini untuk mempermudah perhitungan, dengan penyederhanaan angka
• Metode Coding
Metode ini untuk mempermudah perhitungan, dengan penyederhanaan angka
M = Titik Tengah Kelas yang diberi kode 0 (ui=0)ui = Kodei (c) = Interval Kelas
PERHITUNGAN DENGAN METODE CODING
PERHITUNGAN DENGAN METODE CODING
• Langkah :1. Buat kolom, beri judul "ui“
2. Pilih salah satu kelas (sembarang), beri angka 0 pada kolom ui,(biasanya dipilih kelas dengan frekuensi tertinggi)
3. Isi kolom Ui diatas 0 dengan –1, -2, -3, dst, dan dibawah 0 dengan angka 1, 2, 3, dst.
4. Buat kolom fi * ui , isi dengan hasil perkalian antara frekuensi kelas dengan kode
• Langkah :1. Buat kolom, beri judul "ui“
2. Pilih salah satu kelas (sembarang), beri angka 0 pada kolom ui,(biasanya dipilih kelas dengan frekuensi tertinggi)
3. Isi kolom Ui diatas 0 dengan –1, -2, -3, dst, dan dibawah 0 dengan angka 1, 2, 3, dst.
4. Buat kolom fi * ui , isi dengan hasil perkalian antara frekuensi kelas dengan kode
CONTOH 4CONTOH 4
Tabel data file (dalam Kb)Tabel data file (dalam Kb)
58,33
08,65,27
50
3885,27
x
x
xJawab :
MODUSMODUS• Nilai yang paling sering muncul• Nilai yang frekuensinya paling tinggi• Bisa terjadi data dengan beberapa modus (multi-modus)
Contoh
Berat 5 orang bayi :
3.6 3.5 2.9 3.1 3.0 Tidak Ada Modus
• Bisa terjadi data tanpa modus
Contoh
Umur Mahasiswa (th) :
19 18 19 18 23 21 19 21 18 20 22 17
Modus : 18 dan 19
• Nilai yang paling sering muncul• Nilai yang frekuensinya paling tinggi• Bisa terjadi data dengan beberapa modus (multi-modus)
Contoh
Berat 5 orang bayi :
3.6 3.5 2.9 3.1 3.0 Tidak Ada Modus
• Bisa terjadi data tanpa modus
Contoh
Umur Mahasiswa (th) :
19 18 19 18 23 21 19 21 18 20 22 17
Modus : 18 dan 19
MODUS UNTUK UNGROUPED DATAMODUS UNTUK UNGROUPED DATA
Modus untuk Ungrouped Data• Contoh :
Sumbangan PMI warga Depok (Rp)
7500 8000 9000 8000
3000 5000 8000
• Modus : Rp. 8000
Modus untuk Ungrouped Data• Contoh :
Sumbangan PMI warga Depok (Rp)
7500 8000 9000 8000
3000 5000 8000
• Modus : Rp. 8000
MODUS UNTUK GROUPED DATAMODUS UNTUK GROUPED DATA
Modus untuk Grouped Data• Kelas Modus : Kelas di mana Modus berada• Kelas dengan frekuensi tertinggi
Modus untuk Grouped Data• Kelas Modus : Kelas di mana Modus berada• Kelas dengan frekuensi tertinggi
TBB = Tepi Batas Bawahd1 = Beda Frekuensi Kelas Modus dengan
Frekuensi Kelas sebelumnyad2 = Beda Frekuensi Kelas Modus dengan
Frekuensi Kelas sesudahnyai = interval kelasKelas Modus = kelas dengan frekuensi paling tinggi
MODUS UNTUK GROUPED DATAMODUS UNTUK GROUPED DATA
Kelas Modus = kelas ke-2 =24-31TBB Kelas Modus = = 23,5i = 8frek, kelas modus = f2 = 17frek, kelas sebelum kelas modus = f1 = 10frek, kelas sesudah kelas modus = f3 = 7d1 = 17-10 = 7d2 = 17-7 = 10
Jawab :
Kelas Frekuensi
16 – 23 10
24 – 31 17
32 – 39 7
40 – 47 10
48 – 55 3
56 – 63 3
Jumlah (∑) 50
27
79,26
29,35,23
107
785,23
Modus
MEDIANMEDIAN
Median Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 2 bagian yang sama besar
MEDIAN untuk Ungrouped Data• Letak Median Letak Median dalam gugus data yang
telah tersortir
Median Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 2 bagian yang sama besar
MEDIAN untuk Ungrouped Data• Letak Median Letak Median dalam gugus data yang
telah tersortir
n : banyak data
CONTOH 5 :CONTOH 5 :1. Tinggi Badan 5 mahasiswa (centimeter) :
175 178 160 173 178
Sorted : 160 173 175 178 178
n = 5 Letak Median = (5+1) / 2 = 3
Median = Data ke-3 = 175
2. Tinggi Badan 6 mahasiswa (centimeter) :
175 178 160 173 178 180
Sorted : 160 173 175 178 178 180
n = 6 Letak Median = (6+1) / 2 = 3,5
Median = (Data ke-3 + Data ke-4) / 2 = (175+178)/2 = 176.5
1. Tinggi Badan 5 mahasiswa (centimeter) :
175 178 160 173 178
Sorted : 160 173 175 178 178
n = 5 Letak Median = (5+1) / 2 = 3
Median = Data ke-3 = 175
2. Tinggi Badan 6 mahasiswa (centimeter) :
175 178 160 173 178 180
Sorted : 160 173 175 178 178 180
n = 6 Letak Median = (6+1) / 2 = 3,5
Median = (Data ke-3 + Data ke-4) / 2 = (175+178)/2 = 176.5
MEDIAN untuk Grouped DataMEDIAN untuk Grouped Data
• Kelas Median : Kelas di mana Median berada• Kelas Median didapatkan dengan membandingkan Letak
Median dengan Frekuensi Kumulatif
• Kelas Median : Kelas di mana Median berada• Kelas Median didapatkan dengan membandingkan Letak
Median dengan Frekuensi Kumulatif
di mana : TBB : Tepi Batas Bawahi : interval kelasfkm : Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Medianf M : Frekuensi kelas Median
MEDIAN UNTUK GROUPED DATA
MEDIAN UNTUK GROUPED DATA
Letak median = = 25Median = data ke-25 terletak dikelas 24-31Kelas Median = kelas ke-2 =24-31
TBB Kelas Median = = 23,5i = 8f M =17Frek kumulatif sebelum kelas median= 10
Jawab :
Kelas Frekuensi
16 – 23 10
24 – 31 17
32 – 39 7
40 – 47 10
48 – 55 3
56 – 63 3
Jumlah (∑) 50
6,305588,30
0588,75,238823,0*85,23
17
102
50
85,23
Median
KUARTILKUARTIL• Nilai yang membagi gugus data yang telah
tersortir (ascending) menjadi 4 bagian yang sama besar
• Kuartil Untuk Ungrouped Data
• Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 4 bagian yang sama besar
• Kuartil Untuk Ungrouped Data
CONTOH SOALCONTOH SOALBerikut ini adalah data upah dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah, yaitu
40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100
Cari nilai Q1, Q2, dan Q3.
Berikut ini adalah data upah dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah, yaitu
40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100
Cari nilai Q1, Q2, dan Q3.
PENYELESAIANPENYELESAIAN• Pertama-tama data diurutkan dahulu :
X1=30, X2=35, X3=40, X4=45, X5=50, X6=55, X7=60, X8=65, X9=70, X10=80, X11=85, X12=95, X13=100.
• Q1 = t(n + 1) 4 = 1(13 + 1)
4 = 3½
Nilai yang ke-3½, berarti rata-rata dari X3
dan X4 (40+45)/ 2 = 42.5
• Pertama-tama data diurutkan dahulu :X1=30, X2=35, X3=40, X4=45, X5=50, X6=55, X7=60, X8=65, X9=70, X10=80, X11=85, X12=95, X13=100.
• Q1 = t(n + 1) 4 = 1(13 + 1)
4 = 3½
Nilai yang ke-3½, berarti rata-rata dari X3
dan X4 (40+45)/ 2 = 42.5
Q2 = t(n + 1) 4 = 2(13 + 1)
4 = 7, nilai X7 = 60
Q3 = t(n + 1) 4 = 3(13 + 1)
4 = 10 ½, berarti rata-rata dari X10 dan X11
nilai Q3 = ½ (X10 + X11)
= ½ (80 + 85) = 82,5
Q2 = t(n + 1) 4 = 2(13 + 1)
4 = 7, nilai X7 = 60
Q3 = t(n + 1) 4 = 3(13 + 1)
4 = 10 ½, berarti rata-rata dari X10 dan X11
nilai Q3 = ½ (X10 + X11)
= ½ (80 + 85) = 82,5
Kuartil Untuk Grouped DataKuartil Untuk Grouped Data
Kuartil ke-q= TBB Kelas Kuartil ke-q + i
Dimana :q : 1, 2 dan 3TBB : Tepi Batas Bawahi : interval kelasfkm : Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Kuartilf Q : Frekuensi kelas Kuartil ke-q
Contoh Kuartil Untuk Grouped DataContoh Kuartil Untuk Grouped Data
Kelas Frekuensi Frek kumulatif
16 – 23 10 10
24 – 31 17 27
32 – 39 7 34
40 – 47 10 44
48 – 55 3 47
56 – 63 3 50
Jumlah (∑)
50 ------
Letak kuartil ke-3 = = 37,5Kuartil ke-3 = data ke-37,5terletak dikelas 40-47Kelas Kuartil ke-3 = 40-47
TBB Kelas kuartil ke -3 = 39,5i = 8f Q =10Frek kumulatif sebelum kelas kuartil = 34
Jawab :
3,428,25,39
10
5,3*85,39
10
345,3785,39
10
34450*3
85,393
Q
DESILDESIL• Desil Nilai yang membagi gugus data yang
telah tersortir (ascending) menjadi 10 bagian yang sama besar
• Desil Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 10 bagian yang sama besar
Desil ke-d = TBB Kelas Desil ke-d + i
Dimana :d : 1, 2, 3 . . . 9TBB : Tepi Batas Bawahi : interval kelasfkm : Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Desilf D : Frekuensi kelas Desil ke-d
Contoh Soal DesilContoh Soal Desil
Kelas Frekuensi Frek kumulatif
16 – 23 10 10
24 – 31 17 27
32 – 39 7 34
40 – 47 10 44
48 – 55 3 47
56 – 63 3 50
Jumlah (∑)
50 ------
Letak Desil ke-9 = = 45Desil ke-9 = data ke-45terletak dikelas 48-55Kelas Desil ke-9 = 48-55
TBB Kelas desil ke -9 = 47,5i = 8f D = 3Frek kumulatif sebelum kelas desil = 44
Jawab :
16,5066,25,473
1*85,47
3
444585,47
3
4410
50*9
85,479
D
PERSENTILPERSENTILPersentil Nilai yang membagi gugus data yang
telah tersortir (ascending) menjadi 100 bagian yang sama besar
Persentil Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi
100 bagian yang sama besar
Persentil ke-p = TBB Kelas Persentil ke-p + i
Dimana :p : 1, 2, 3 . . . 99TBB : Tepi Batas Bawahi : interval kelasfkm : Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Persentilf P : Frekuensi kelas Persentil ke-p
Contoh Soal PersentilContoh Soal Persentil
Kelas Frekuensi Frek kumulatif
16 – 23 10 10
24 – 31 17 27
32 – 39 7 34
40 – 47 10 44
48 – 55 3 47
56 – 63 3 50
Jumlah (∑)
50 ------
Letak Persentil ke-56 = = 28Persentil ke-56 = data ke-28terletak dikelas 32-39Kelas Persentil ke-56 = 32-39
TBB Kelas persentil ke -56 = 31,5i = 8f P = 7Frek kumulatif sebelum kelas persentil = 27
Jawab :
64,3214,15,31
7
1*85,31
7
272885,31
7
27100
50*56
85,3156
P
soal soal Dari data berikut :
38 67 85 95 96 76 125 150 158 120
38 36 47 49 89 70 120 80 85 93
43 120 70 67 91 111 25 74 50 100
Buatlah: Tabel Distribusi Frekuensi Hitung mean, median, modus (data berkelompok) Hitung Q3, D7, P82 (data berkelompok)
Dari data berikut :
38 67 85 95 96 76 125 150 158 120
38 36 47 49 89 70 120 80 85 93
43 120 70 67 91 111 25 74 50 100
Buatlah: Tabel Distribusi Frekuensi Hitung mean, median, modus (data berkelompok) Hitung Q3, D7, P82 (data berkelompok)