Solusi SPL dengan Metode Invers dan Aturan CramerKuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016
MZI
Fakultas InformatikaTelkom University
FIF Tel-U
September 2015
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 1 / 24
Acknowledgements
Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:
1 Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014, oleh Adiwijaya.2 Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres.3 Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri.
Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukanuntuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Andamemiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirimemail ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 2 / 24
Bahasan
1 Jenis-jenis SPL Berdasarkan Banyak Persamaan dan Variabel
2 Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
3 Solusi SPL dengan Aturan Cramer
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 3 / 24
Jenis-jenis SPL Berdasarkan Banyak Persamaan dan Variabel
Bahasan
1 Jenis-jenis SPL Berdasarkan Banyak Persamaan dan Variabel
2 Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
3 Solusi SPL dengan Aturan Cramer
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 4 / 24
Jenis-jenis SPL Berdasarkan Banyak Persamaan dan Variabel
SPL Underdetermined, Overdetermined, dan Determined
Pada pembahasan sebelumnya kita telah mempelajari suatu metode umum untukmencari solusi SPL dengan m persamaan dan n variabel, yaitu dengan metodeoperasi baris elementer dan eliminasi Gauss-Jordan. Berdasarkan perbandingannilai m (banyak persamaan) dan n (banyak variabel), SPL dapat dibagi menjaditiga kategori berikut:
1 SPL underdetermined, yaitu SPL yang variabelnya lebih banyak daripada
persamaannya, contohnya adalah SPLx+ y + z = 3
−x− 2y + z = 1 .2 SPL overdetermined, yaitu SPL yang variabelnya lebih sedikit daripada
persamaannya, contohnya adalah SPLx+ y = 32x− y = 72x+ 2y = 6
.
3 SPL determined, yaitu SPL yang variabel dan persamaannya sama banyak,
contohnya adalah SPLx+ y + z = 3−y + z = 1
x− 2y + 3z = 0.
Selain memakai OBE dan EGJ, SPL determined dengan solusi tunggal juga dapatdiselesaikan dengan metode invers matriks dan aturan Cramer.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 5 / 24
Jenis-jenis SPL Berdasarkan Banyak Persamaan dan Variabel
SPL Underdetermined, Overdetermined, dan Determined
Pada pembahasan sebelumnya kita telah mempelajari suatu metode umum untukmencari solusi SPL dengan m persamaan dan n variabel, yaitu dengan metodeoperasi baris elementer dan eliminasi Gauss-Jordan. Berdasarkan perbandingannilai m (banyak persamaan) dan n (banyak variabel), SPL dapat dibagi menjaditiga kategori berikut:
1 SPL underdetermined, yaitu SPL yang variabelnya lebih banyak daripada
persamaannya,
contohnya adalah SPLx+ y + z = 3
−x− 2y + z = 1 .2 SPL overdetermined, yaitu SPL yang variabelnya lebih sedikit daripada
persamaannya, contohnya adalah SPLx+ y = 32x− y = 72x+ 2y = 6
.
3 SPL determined, yaitu SPL yang variabel dan persamaannya sama banyak,
contohnya adalah SPLx+ y + z = 3−y + z = 1
x− 2y + 3z = 0.
Selain memakai OBE dan EGJ, SPL determined dengan solusi tunggal juga dapatdiselesaikan dengan metode invers matriks dan aturan Cramer.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 5 / 24
Jenis-jenis SPL Berdasarkan Banyak Persamaan dan Variabel
SPL Underdetermined, Overdetermined, dan Determined
Pada pembahasan sebelumnya kita telah mempelajari suatu metode umum untukmencari solusi SPL dengan m persamaan dan n variabel, yaitu dengan metodeoperasi baris elementer dan eliminasi Gauss-Jordan. Berdasarkan perbandingannilai m (banyak persamaan) dan n (banyak variabel), SPL dapat dibagi menjaditiga kategori berikut:
1 SPL underdetermined, yaitu SPL yang variabelnya lebih banyak daripada
persamaannya, contohnya adalah SPLx+ y + z = 3
−x− 2y + z = 1 .
2 SPL overdetermined, yaitu SPL yang variabelnya lebih sedikit daripada
persamaannya, contohnya adalah SPLx+ y = 32x− y = 72x+ 2y = 6
.
3 SPL determined, yaitu SPL yang variabel dan persamaannya sama banyak,
contohnya adalah SPLx+ y + z = 3−y + z = 1
x− 2y + 3z = 0.
Selain memakai OBE dan EGJ, SPL determined dengan solusi tunggal juga dapatdiselesaikan dengan metode invers matriks dan aturan Cramer.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 5 / 24
Jenis-jenis SPL Berdasarkan Banyak Persamaan dan Variabel
SPL Underdetermined, Overdetermined, dan Determined
Pada pembahasan sebelumnya kita telah mempelajari suatu metode umum untukmencari solusi SPL dengan m persamaan dan n variabel, yaitu dengan metodeoperasi baris elementer dan eliminasi Gauss-Jordan. Berdasarkan perbandingannilai m (banyak persamaan) dan n (banyak variabel), SPL dapat dibagi menjaditiga kategori berikut:
1 SPL underdetermined, yaitu SPL yang variabelnya lebih banyak daripada
persamaannya, contohnya adalah SPLx+ y + z = 3
−x− 2y + z = 1 .2 SPL overdetermined, yaitu SPL yang variabelnya lebih sedikit daripada
persamaannya,
contohnya adalah SPLx+ y = 32x− y = 72x+ 2y = 6
.
3 SPL determined, yaitu SPL yang variabel dan persamaannya sama banyak,
contohnya adalah SPLx+ y + z = 3−y + z = 1
x− 2y + 3z = 0.
Selain memakai OBE dan EGJ, SPL determined dengan solusi tunggal juga dapatdiselesaikan dengan metode invers matriks dan aturan Cramer.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 5 / 24
Jenis-jenis SPL Berdasarkan Banyak Persamaan dan Variabel
SPL Underdetermined, Overdetermined, dan Determined
Pada pembahasan sebelumnya kita telah mempelajari suatu metode umum untukmencari solusi SPL dengan m persamaan dan n variabel, yaitu dengan metodeoperasi baris elementer dan eliminasi Gauss-Jordan. Berdasarkan perbandingannilai m (banyak persamaan) dan n (banyak variabel), SPL dapat dibagi menjaditiga kategori berikut:
1 SPL underdetermined, yaitu SPL yang variabelnya lebih banyak daripada
persamaannya, contohnya adalah SPLx+ y + z = 3
−x− 2y + z = 1 .2 SPL overdetermined, yaitu SPL yang variabelnya lebih sedikit daripada
persamaannya, contohnya adalah SPLx+ y = 32x− y = 72x+ 2y = 6
.
3 SPL determined, yaitu SPL yang variabel dan persamaannya sama banyak,
contohnya adalah SPLx+ y + z = 3−y + z = 1
x− 2y + 3z = 0.
Selain memakai OBE dan EGJ, SPL determined dengan solusi tunggal juga dapatdiselesaikan dengan metode invers matriks dan aturan Cramer.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 5 / 24
Jenis-jenis SPL Berdasarkan Banyak Persamaan dan Variabel
SPL Underdetermined, Overdetermined, dan Determined
Pada pembahasan sebelumnya kita telah mempelajari suatu metode umum untukmencari solusi SPL dengan m persamaan dan n variabel, yaitu dengan metodeoperasi baris elementer dan eliminasi Gauss-Jordan. Berdasarkan perbandingannilai m (banyak persamaan) dan n (banyak variabel), SPL dapat dibagi menjaditiga kategori berikut:
1 SPL underdetermined, yaitu SPL yang variabelnya lebih banyak daripada
persamaannya, contohnya adalah SPLx+ y + z = 3
−x− 2y + z = 1 .2 SPL overdetermined, yaitu SPL yang variabelnya lebih sedikit daripada
persamaannya, contohnya adalah SPLx+ y = 32x− y = 72x+ 2y = 6
.
3 SPL determined, yaitu SPL yang variabel dan persamaannya sama banyak,
contohnya adalah SPLx+ y + z = 3−y + z = 1
x− 2y + 3z = 0.
Selain memakai OBE dan EGJ, SPL determined dengan solusi tunggal juga dapatdiselesaikan dengan metode invers matriks dan aturan Cramer.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 5 / 24
Jenis-jenis SPL Berdasarkan Banyak Persamaan dan Variabel
SPL Underdetermined, Overdetermined, dan Determined
Pada pembahasan sebelumnya kita telah mempelajari suatu metode umum untukmencari solusi SPL dengan m persamaan dan n variabel, yaitu dengan metodeoperasi baris elementer dan eliminasi Gauss-Jordan. Berdasarkan perbandingannilai m (banyak persamaan) dan n (banyak variabel), SPL dapat dibagi menjaditiga kategori berikut:
1 SPL underdetermined, yaitu SPL yang variabelnya lebih banyak daripada
persamaannya, contohnya adalah SPLx+ y + z = 3
−x− 2y + z = 1 .2 SPL overdetermined, yaitu SPL yang variabelnya lebih sedikit daripada
persamaannya, contohnya adalah SPLx+ y = 32x− y = 72x+ 2y = 6
.
3 SPL determined, yaitu SPL yang variabel dan persamaannya sama banyak,
contohnya adalah SPLx+ y + z = 3−y + z = 1
x− 2y + 3z = 0.
Selain memakai OBE dan EGJ, SPL determined dengan solusi tunggal juga dapatdiselesaikan dengan metode invers matriks dan aturan Cramer.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 5 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Bahasan
1 Jenis-jenis SPL Berdasarkan Banyak Persamaan dan Variabel
2 Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
3 Solusi SPL dengan Aturan Cramer
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 6 / 24
Matriks Koefisien dan Vektor Solusi
Apabila diberikan suatu SPL dengan n persamaan dan n variabel, maka kita selaludapat menyatakan SPL tersebut sebagai hasil kali matriks koefisien pada SPLdengan vektor solusi. Hal ini tentunya sudah pernah Anda lihat di sekolahmenengah.
Contoh
Diberikan SPLx+ y = 4x− y = 2 , maka SPL ini dapat ditulis sebagai
[1 11 −1
] [xy
]=
[42
]
Diberikan SPLx+ y + z = 3
y − z = 1x − z = 0
, maka SPL ini dapat ditulis sebagai
1 1 10 1 −11 0 −1
xyz
= 310
.
Matriks Koefisien dan Vektor Solusi
Apabila diberikan suatu SPL dengan n persamaan dan n variabel, maka kita selaludapat menyatakan SPL tersebut sebagai hasil kali matriks koefisien pada SPLdengan vektor solusi. Hal ini tentunya sudah pernah Anda lihat di sekolahmenengah.
Contoh
Diberikan SPLx+ y = 4x− y = 2 , maka SPL ini dapat ditulis sebagai[
1 11 −1
] [xy
]=
[42
]
Diberikan SPLx+ y + z = 3
y − z = 1x − z = 0
, maka SPL ini dapat ditulis sebagai
1 1 10 1 −11 0 −1
xyz
= 310
.
Matriks Koefisien dan Vektor Solusi
Apabila diberikan suatu SPL dengan n persamaan dan n variabel, maka kita selaludapat menyatakan SPL tersebut sebagai hasil kali matriks koefisien pada SPLdengan vektor solusi. Hal ini tentunya sudah pernah Anda lihat di sekolahmenengah.
Contoh
Diberikan SPLx+ y = 4x− y = 2 , maka SPL ini dapat ditulis sebagai[
1 11 −1
] [xy
]=
[42
]
Diberikan SPLx+ y + z = 3
y − z = 1x − z = 0
, maka SPL ini dapat ditulis sebagai
1 1 10 1 −11 0 −1
xyz
= 310
.
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Jika kita memiliki SPL dengan n persamaan dan n variabel (misalkan variabelnyaadalah x1, x2, . . .xn), maka kita dapat menyatakannya dalam bentuk perkalianmatriks-vektor, yaitu
A~x = ~b
dengan A adalah matriks koefisien, ~x disebut vektor solusi, dan ~b adalahkonstanta pada SPL. Karena persamaan dan variabel pada SPL sama banyaknya,maka A adalah matriks persegi. Ketika det (A) 6= 0, maka A memiliki invers,akibatnya jika kita mengalikan kedua ruas dari A~x = ~b dengan A−1, diperoleh
A~x = ~b
A−1A~x = A−1~b
I~x = A−1~b
~x = A−1~b
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 8 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Jika kita memiliki SPL dengan n persamaan dan n variabel (misalkan variabelnyaadalah x1, x2, . . .xn), maka kita dapat menyatakannya dalam bentuk perkalianmatriks-vektor, yaitu
A~x = ~b
dengan A adalah matriks koefisien, ~x disebut vektor solusi, dan ~b adalahkonstanta pada SPL.
Karena persamaan dan variabel pada SPL sama banyaknya,maka A adalah matriks persegi. Ketika det (A) 6= 0, maka A memiliki invers,akibatnya jika kita mengalikan kedua ruas dari A~x = ~b dengan A−1, diperoleh
A~x = ~b
A−1A~x = A−1~b
I~x = A−1~b
~x = A−1~b
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 8 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Jika kita memiliki SPL dengan n persamaan dan n variabel (misalkan variabelnyaadalah x1, x2, . . .xn), maka kita dapat menyatakannya dalam bentuk perkalianmatriks-vektor, yaitu
A~x = ~b
dengan A adalah matriks koefisien, ~x disebut vektor solusi, dan ~b adalahkonstanta pada SPL. Karena persamaan dan variabel pada SPL sama banyaknya,maka A adalah matriks persegi.
Ketika det (A) 6= 0, maka A memiliki invers,akibatnya jika kita mengalikan kedua ruas dari A~x = ~b dengan A−1, diperoleh
A~x = ~b
A−1A~x = A−1~b
I~x = A−1~b
~x = A−1~b
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 8 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Jika kita memiliki SPL dengan n persamaan dan n variabel (misalkan variabelnyaadalah x1, x2, . . .xn), maka kita dapat menyatakannya dalam bentuk perkalianmatriks-vektor, yaitu
A~x = ~b
dengan A adalah matriks koefisien, ~x disebut vektor solusi, dan ~b adalahkonstanta pada SPL. Karena persamaan dan variabel pada SPL sama banyaknya,maka A adalah matriks persegi. Ketika det (A) 6= 0, maka A memiliki invers,akibatnya jika kita mengalikan kedua ruas dari A~x = ~b dengan A−1, diperoleh
A~x = ~b
A−1A~x = A−1~b
I~x = A−1~b
~x = A−1~b
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 8 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Jika kita memiliki SPL dengan n persamaan dan n variabel (misalkan variabelnyaadalah x1, x2, . . .xn), maka kita dapat menyatakannya dalam bentuk perkalianmatriks-vektor, yaitu
A~x = ~b
dengan A adalah matriks koefisien, ~x disebut vektor solusi, dan ~b adalahkonstanta pada SPL. Karena persamaan dan variabel pada SPL sama banyaknya,maka A adalah matriks persegi. Ketika det (A) 6= 0, maka A memiliki invers,akibatnya jika kita mengalikan kedua ruas dari A~x = ~b dengan A−1, diperoleh
A~x = ~b
A−1A~x = A−1~b
I~x = A−1~b
~x = A−1~b
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 8 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Jika kita memiliki SPL dengan n persamaan dan n variabel (misalkan variabelnyaadalah x1, x2, . . .xn), maka kita dapat menyatakannya dalam bentuk perkalianmatriks-vektor, yaitu
A~x = ~b
dengan A adalah matriks koefisien, ~x disebut vektor solusi, dan ~b adalahkonstanta pada SPL. Karena persamaan dan variabel pada SPL sama banyaknya,maka A adalah matriks persegi. Ketika det (A) 6= 0, maka A memiliki invers,akibatnya jika kita mengalikan kedua ruas dari A~x = ~b dengan A−1, diperoleh
A~x = ~b
A−1A~x = A−1~b
I~x = A−1~b
~x = A−1~b
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 8 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Jika kita memiliki SPL dengan n persamaan dan n variabel (misalkan variabelnyaadalah x1, x2, . . .xn), maka kita dapat menyatakannya dalam bentuk perkalianmatriks-vektor, yaitu
A~x = ~b
dengan A adalah matriks koefisien, ~x disebut vektor solusi, dan ~b adalahkonstanta pada SPL. Karena persamaan dan variabel pada SPL sama banyaknya,maka A adalah matriks persegi. Ketika det (A) 6= 0, maka A memiliki invers,akibatnya jika kita mengalikan kedua ruas dari A~x = ~b dengan A−1, diperoleh
A~x = ~b
A−1A~x = A−1~b
I~x = A−1~b
~x = A−1~b
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 8 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Teorema Penting
TeoremaSuatu SPL n persamaan dan n variabel dituliskan dalam bentuk
A~x = ~b
memiliki solusi tunggal jika dan hanya jika A memiliki invers. Jika A−1 ada,maka solusi dari SPL di atas adalah
~x = A−1~b.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 9 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Contoh Penentuan Solusi SPL dengan Invers Matriks
Misalkan kita memiliki SPLx +z = 4x −y = −1
2y +z = 7. Maka SPL dapat ditulis
sebagai
1 0 11 −1 00 2 1
xyz
= 4−17
. Dalam hal ini matriks koefisien
adalah A =
1 0 11 −1 00 2 1
. Kita memiliki
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 0 11 −1 00 2 1
∣∣∣∣∣∣ =(1) (−1)1+1
∣∣∣∣ −1 02 1
∣∣∣∣+ (0) (−1)1+2 ∣∣∣∣ 1 00 1
∣∣∣∣+ (1) (−1)1+3 ∣∣∣∣ 1 −10 2
∣∣∣∣ = 1 6= 0.Jadi A mempunyai invers. A−1 dapat dicari dengan metode berikut:
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 10 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Contoh Penentuan Solusi SPL dengan Invers Matriks
Misalkan kita memiliki SPLx +z = 4x −y = −1
2y +z = 7. Maka SPL dapat ditulis
sebagai
1 0 11 −1 00 2 1
xyz
= 4−17
. Dalam hal ini matriks koefisien
adalah A =
1 0 11 −1 00 2 1
. Kita memiliki
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 0 11 −1 00 2 1
∣∣∣∣∣∣ =(1) (−1)1+1
∣∣∣∣ −1 02 1
∣∣∣∣+ (0) (−1)1+2 ∣∣∣∣ 1 00 1
∣∣∣∣+ (1) (−1)1+3 ∣∣∣∣ 1 −10 2
∣∣∣∣ = 1 6= 0.Jadi A mempunyai invers. A−1 dapat dicari dengan metode berikut:
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 10 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Contoh Penentuan Solusi SPL dengan Invers Matriks
Misalkan kita memiliki SPLx +z = 4x −y = −1
2y +z = 7. Maka SPL dapat ditulis
sebagai
1 0 11 −1 00 2 1
xyz
= 4−17
. Dalam hal ini matriks koefisien
adalah A =
1 0 11 −1 00 2 1
. Kita memiliki
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 0 11 −1 00 2 1
∣∣∣∣∣∣ =
(1) (−1)1+1∣∣∣∣ −1 02 1
∣∣∣∣+ (0) (−1)1+2 ∣∣∣∣ 1 00 1
∣∣∣∣+ (1) (−1)1+3 ∣∣∣∣ 1 −10 2
∣∣∣∣ = 1 6= 0.Jadi A mempunyai invers. A−1 dapat dicari dengan metode berikut:
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 10 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Contoh Penentuan Solusi SPL dengan Invers Matriks
Misalkan kita memiliki SPLx +z = 4x −y = −1
2y +z = 7. Maka SPL dapat ditulis
sebagai
1 0 11 −1 00 2 1
xyz
= 4−17
. Dalam hal ini matriks koefisien
adalah A =
1 0 11 −1 00 2 1
. Kita memiliki
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 0 11 −1 00 2 1
∣∣∣∣∣∣ =(1) (−1)1+1
∣∣∣∣ −1 02 1
∣∣∣∣+ (0) (−1)1+2 ∣∣∣∣ 1 00 1
∣∣∣∣+ (1) (−1)1+3 ∣∣∣∣ 1 −10 2
∣∣∣∣ = 1 6= 0.Jadi A mempunyai invers. A−1 dapat dicari dengan metode berikut:
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 10 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
0).
1 0 1 1 0 01 −1 0 0 1 00 2 1 0 0 1
1).
1 0 1 1 0 00 −1 −1 −1 1 00 2 1 0 0 1
(R2 ← R2 −R1)
2).
1 0 1 1 0 00 −1 −1 −1 1 00 0 −1 −2 2 1
(R3 ← R3 + 2R2)
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 11 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
0).
1 0 1 1 0 01 −1 0 0 1 00 2 1 0 0 1
1).
1 0 1 1 0 00 −1 −1 −1 1 00 2 1 0 0 1
(R2 ← R2 −R1)
2).
1 0 1 1 0 00 −1 −1 −1 1 00 0 −1 −2 2 1
(R3 ← R3 + 2R2)
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 11 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
0).
1 0 1 1 0 01 −1 0 0 1 00 2 1 0 0 1
1).
1 0 1 1 0 00 −1 −1 −1 1 00 2 1 0 0 1
(R2 ← R2 −R1)
2).
1 0 1 1 0 00 −1 −1 −1 1 00 0 −1 −2 2 1
(R3 ← R3 + 2R2)
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 11 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
3).
1 0 0 −1 2 10 −1 0 1 −1 −10 0 −1 −2 2 1
( R1 ← R1 +R3R2 ← R2 −R3
)
4).
1 0 0 −1 2 10 1 0 −1 1 10 0 1 2 −2 −1
( R2 ← −R2R3 ← −R3
)
Akibatnya A−1 =
−1 2 1−1 1 12 −2 −1
.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 12 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
3).
1 0 0 −1 2 10 −1 0 1 −1 −10 0 −1 −2 2 1
( R1 ← R1 +R3R2 ← R2 −R3
)
4).
1 0 0 −1 2 10 1 0 −1 1 10 0 1 2 −2 −1
( R2 ← −R2R3 ← −R3
)
Akibatnya A−1 =
−1 2 1−1 1 12 −2 −1
.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 12 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
3).
1 0 0 −1 2 10 −1 0 1 −1 −10 0 −1 −2 2 1
( R1 ← R1 +R3R2 ← R2 −R3
)
4).
1 0 0 −1 2 10 1 0 −1 1 10 0 1 2 −2 −1
( R2 ← −R2R3 ← −R3
)
Akibatnya A−1 =
−1 2 1−1 1 12 −2 −1
.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 12 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Untuk mencari ~x =
xyz
, maka ~x =
A−1~b, akibatnya
xyz
=
−1 2 1−1 1 12 −2 −1
4−17
=
−4− 2 + 7−4− 1 + 78 + 2− 7
= 123
Jadi diperoleh solusi SPL x = 1, x = 2, dan x = 3.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 13 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Untuk mencari ~x =
xyz
, maka ~x = A−1~b, akibatnya xyz
=
−1 2 1−1 1 12 −2 −1
4−17
=
−4− 2 + 7−4− 1 + 78 + 2− 7
= 123
Jadi diperoleh solusi SPL x = 1, x = 2, dan x = 3.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 13 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Untuk mencari ~x =
xyz
, maka ~x = A−1~b, akibatnya xyz
=
−1 2 1−1 1 12 −2 −1
4−17
=
−4− 2 + 7−4− 1 + 78 + 2− 7
= 123
Jadi diperoleh solusi SPL x = 1, x = 2, dan x = 3.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 13 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Untuk mencari ~x =
xyz
, maka ~x = A−1~b, akibatnya xyz
=
−1 2 1−1 1 12 −2 −1
4−17
=
−4− 2 + 7−4− 1 + 78 + 2− 7
= 123
Jadi diperoleh solusi SPL x = 1, x = 2, dan x = 3.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 13 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Latihan
Latihan berikut telah diberikan sebelumnya. Penentuan nilai b dapat dilakukandengan lebih mudah menggunakan metode determinan.
LatihanDiberikan SPL
−bx = 0(1− b) y +z = 0+y +(1− b) z = 0
Tentukan nilai b agar SPL homogen di atas memiliki tak hingga banyaknya solusi.Tuliskan semua kemungkinan solusi dari SPL tersebut.
Solusi:
SPL di atas dapat ditulis dalam bentuk −b 0 00 1− b 10 1 1− b
xyz
= 000
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 14 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Latihan
Latihan berikut telah diberikan sebelumnya. Penentuan nilai b dapat dilakukandengan lebih mudah menggunakan metode determinan.
LatihanDiberikan SPL
−bx = 0(1− b) y +z = 0+y +(1− b) z = 0
Tentukan nilai b agar SPL homogen di atas memiliki tak hingga banyaknya solusi.Tuliskan semua kemungkinan solusi dari SPL tersebut.
Solusi: SPL di atas dapat ditulis dalam bentuk −b 0 00 1− b 10 1 1− b
xyz
= 000
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 14 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Agar SPL memiliki tak hingga banyak solusi, maka
solusi SPL harus tidak tunggal(tidak trivial x = y = z = 0). Akibatnya matriks koefisien
A =
−b 0 00 1− b 10 1 1− b
harus tidak invertibel.
Kita memiliki |A| =
∣∣∣∣∣∣−b 0 00 1− b 10 1 1− b
∣∣∣∣∣∣ = (−b) (−1)1+1∣∣∣∣ 1− b 1
1 1− b
∣∣∣∣ =(−b)
((1− b)2 − 1
)= (−b)
(b2 − 2b
)= (−b) (b) (b− 2).
Matriks A tidak invertibel bila |A| = 0, hal ini berakibat (−b) (b) (b− 2) = 0,sehingga b = 0 atau b = 2.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 15 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Agar SPL memiliki tak hingga banyak solusi, maka solusi SPL harus tidak tunggal(tidak trivial x = y = z = 0). Akibatnya matriks koefisien
A =
−b 0 00 1− b 10 1 1− b
harus
tidak invertibel.
Kita memiliki |A| =
∣∣∣∣∣∣−b 0 00 1− b 10 1 1− b
∣∣∣∣∣∣ = (−b) (−1)1+1∣∣∣∣ 1− b 1
1 1− b
∣∣∣∣ =(−b)
((1− b)2 − 1
)= (−b)
(b2 − 2b
)= (−b) (b) (b− 2).
Matriks A tidak invertibel bila |A| = 0, hal ini berakibat (−b) (b) (b− 2) = 0,sehingga b = 0 atau b = 2.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 15 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Agar SPL memiliki tak hingga banyak solusi, maka solusi SPL harus tidak tunggal(tidak trivial x = y = z = 0). Akibatnya matriks koefisien
A =
−b 0 00 1− b 10 1 1− b
harus tidak invertibel.
Kita memiliki |A| =
∣∣∣∣∣∣−b 0 00 1− b 10 1 1− b
∣∣∣∣∣∣ =
(−b) (−1)1+1∣∣∣∣ 1− b 1
1 1− b
∣∣∣∣ =(−b)
((1− b)2 − 1
)= (−b)
(b2 − 2b
)= (−b) (b) (b− 2).
Matriks A tidak invertibel bila |A| = 0, hal ini berakibat (−b) (b) (b− 2) = 0,sehingga b = 0 atau b = 2.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 15 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Agar SPL memiliki tak hingga banyak solusi, maka solusi SPL harus tidak tunggal(tidak trivial x = y = z = 0). Akibatnya matriks koefisien
A =
−b 0 00 1− b 10 1 1− b
harus tidak invertibel.
Kita memiliki |A| =
∣∣∣∣∣∣−b 0 00 1− b 10 1 1− b
∣∣∣∣∣∣ = (−b) (−1)1+1∣∣∣∣ 1− b 1
1 1− b
∣∣∣∣ =
(−b)((1− b)2 − 1
)= (−b)
(b2 − 2b
)= (−b) (b) (b− 2).
Matriks A tidak invertibel bila |A| = 0, hal ini berakibat (−b) (b) (b− 2) = 0,sehingga b = 0 atau b = 2.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 15 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Agar SPL memiliki tak hingga banyak solusi, maka solusi SPL harus tidak tunggal(tidak trivial x = y = z = 0). Akibatnya matriks koefisien
A =
−b 0 00 1− b 10 1 1− b
harus tidak invertibel.
Kita memiliki |A| =
∣∣∣∣∣∣−b 0 00 1− b 10 1 1− b
∣∣∣∣∣∣ = (−b) (−1)1+1∣∣∣∣ 1− b 1
1 1− b
∣∣∣∣ =(−b)
((1− b)2 − 1
)= (−b)
(b2 − 2b
)= (−b) (b) (b− 2).
Matriks A tidak invertibel bila |A| =
0, hal ini berakibat (−b) (b) (b− 2) = 0,sehingga b = 0 atau b = 2.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 15 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Agar SPL memiliki tak hingga banyak solusi, maka solusi SPL harus tidak tunggal(tidak trivial x = y = z = 0). Akibatnya matriks koefisien
A =
−b 0 00 1− b 10 1 1− b
harus tidak invertibel.
Kita memiliki |A| =
∣∣∣∣∣∣−b 0 00 1− b 10 1 1− b
∣∣∣∣∣∣ = (−b) (−1)1+1∣∣∣∣ 1− b 1
1 1− b
∣∣∣∣ =(−b)
((1− b)2 − 1
)= (−b)
(b2 − 2b
)= (−b) (b) (b− 2).
Matriks A tidak invertibel bila |A| = 0, hal ini berakibat (−b) (b) (b− 2) = 0,sehingga b =
0 atau b = 2.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 15 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Agar SPL memiliki tak hingga banyak solusi, maka solusi SPL harus tidak tunggal(tidak trivial x = y = z = 0). Akibatnya matriks koefisien
A =
−b 0 00 1− b 10 1 1− b
harus tidak invertibel.
Kita memiliki |A| =
∣∣∣∣∣∣−b 0 00 1− b 10 1 1− b
∣∣∣∣∣∣ = (−b) (−1)1+1∣∣∣∣ 1− b 1
1 1− b
∣∣∣∣ =(−b)
((1− b)2 − 1
)= (−b)
(b2 − 2b
)= (−b) (b) (b− 2).
Matriks A tidak invertibel bila |A| = 0, hal ini berakibat (−b) (b) (b− 2) = 0,sehingga b = 0 atau b =
2.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 15 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Agar SPL memiliki tak hingga banyak solusi, maka solusi SPL harus tidak tunggal(tidak trivial x = y = z = 0). Akibatnya matriks koefisien
A =
−b 0 00 1− b 10 1 1− b
harus tidak invertibel.
Kita memiliki |A| =
∣∣∣∣∣∣−b 0 00 1− b 10 1 1− b
∣∣∣∣∣∣ = (−b) (−1)1+1∣∣∣∣ 1− b 1
1 1− b
∣∣∣∣ =(−b)
((1− b)2 − 1
)= (−b)
(b2 − 2b
)= (−b) (b) (b− 2).
Matriks A tidak invertibel bila |A| = 0, hal ini berakibat (−b) (b) (b− 2) = 0,sehingga b = 0 atau b = 2.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 15 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Bila b = 0, diperoleh matriks
0 0 0 00 1 1 00 0 0 0
, dengan OBE diperoleh 0 1 1 00 0 0 00 0 0 0
(R1 ↔ R2). Akibatnya diperoleh y + z = 0. Misalkan z = t
dengan t ∈ R, maka nilai y = −t. Karena nilai x tidak bergantung pada y dan z,maka misalkan x = s dengan s ∈ R. Akibatnya solusi SPL adalah x = s, y = −t,dan z = t, dengan s, t ∈ R. Dalam bentuk tupel,solusi SPL adalah (s,−t, t), dengan t ∈ R .
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 16 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Bila b = 0, diperoleh matriks
0 0 0 00 1 1 00 0 0 0
, dengan OBE diperoleh
0 1 1 00 0 0 00 0 0 0
(R1 ↔ R2). Akibatnya diperoleh y + z = 0. Misalkan z = t
dengan t ∈ R, maka nilai y = −t. Karena nilai x tidak bergantung pada y dan z,maka misalkan x = s dengan s ∈ R. Akibatnya solusi SPL adalah x = s, y = −t,dan z = t, dengan s, t ∈ R. Dalam bentuk tupel,solusi SPL adalah (s,−t, t), dengan t ∈ R .
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 16 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Bila b = 0, diperoleh matriks
0 0 0 00 1 1 00 0 0 0
, dengan OBE diperoleh 0 1 1 00 0 0 00 0 0 0
(R1 ↔ R2). Akibatnya diperoleh
y + z = 0. Misalkan z = t
dengan t ∈ R, maka nilai y = −t. Karena nilai x tidak bergantung pada y dan z,maka misalkan x = s dengan s ∈ R. Akibatnya solusi SPL adalah x = s, y = −t,dan z = t, dengan s, t ∈ R. Dalam bentuk tupel,solusi SPL adalah (s,−t, t), dengan t ∈ R .
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 16 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Bila b = 0, diperoleh matriks
0 0 0 00 1 1 00 0 0 0
, dengan OBE diperoleh 0 1 1 00 0 0 00 0 0 0
(R1 ↔ R2). Akibatnya diperoleh y + z = 0.
Misalkan z = t
dengan t ∈ R, maka nilai y = −t. Karena nilai x tidak bergantung pada y dan z,maka misalkan x = s dengan s ∈ R. Akibatnya solusi SPL adalah x = s, y = −t,dan z = t, dengan s, t ∈ R. Dalam bentuk tupel,solusi SPL adalah (s,−t, t), dengan t ∈ R .
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 16 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Bila b = 0, diperoleh matriks
0 0 0 00 1 1 00 0 0 0
, dengan OBE diperoleh 0 1 1 00 0 0 00 0 0 0
(R1 ↔ R2). Akibatnya diperoleh y + z = 0. Misalkan z = t
dengan t ∈ R, maka nilai y = −t.
Karena nilai x tidak bergantung pada y dan z,maka misalkan x = s dengan s ∈ R. Akibatnya solusi SPL adalah x = s, y = −t,dan z = t, dengan s, t ∈ R. Dalam bentuk tupel,solusi SPL adalah (s,−t, t), dengan t ∈ R .
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 16 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Bila b = 0, diperoleh matriks
0 0 0 00 1 1 00 0 0 0
, dengan OBE diperoleh 0 1 1 00 0 0 00 0 0 0
(R1 ↔ R2). Akibatnya diperoleh y + z = 0. Misalkan z = t
dengan t ∈ R, maka nilai y = −t. Karena nilai x tidak bergantung pada y dan z,maka misalkan x = s dengan s ∈ R.
Akibatnya solusi SPL adalah x = s, y = −t,dan z = t, dengan s, t ∈ R. Dalam bentuk tupel,solusi SPL adalah (s,−t, t), dengan t ∈ R .
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 16 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Bila b = 0, diperoleh matriks
0 0 0 00 1 1 00 0 0 0
, dengan OBE diperoleh 0 1 1 00 0 0 00 0 0 0
(R1 ↔ R2). Akibatnya diperoleh y + z = 0. Misalkan z = t
dengan t ∈ R, maka nilai y = −t. Karena nilai x tidak bergantung pada y dan z,maka misalkan x = s dengan s ∈ R. Akibatnya solusi SPL adalah x = s, y = −t,dan z = t, dengan s, t ∈ R.
Dalam bentuk tupel,solusi SPL adalah (s,−t, t), dengan t ∈ R .
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 16 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Bila b = 0, diperoleh matriks
0 0 0 00 1 1 00 0 0 0
, dengan OBE diperoleh 0 1 1 00 0 0 00 0 0 0
(R1 ↔ R2). Akibatnya diperoleh y + z = 0. Misalkan z = t
dengan t ∈ R, maka nilai y = −t. Karena nilai x tidak bergantung pada y dan z,maka misalkan x = s dengan s ∈ R. Akibatnya solusi SPL adalah x = s, y = −t,dan z = t, dengan s, t ∈ R. Dalam bentuk tupel,solusi SPL adalah (s,−t, t), dengan t ∈ R .
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 16 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Bila b = 2, diperoleh matriks
2 0 0 00 −1 1 00 2 −2 0
, dengan OBE diperoleh 1 0 0 00 −1 1 00 0 0 0
( R1 ← 12R1
R3 ← R3 + 2R2
) 1 0 0 00 1 −1 00 0 0 0
(R2 ← −R2).Akibatnya diperoleh x = 0 dan y − z = 0. Misalkan z = t dengan t ∈ R, makanilai y = t. Akibatnya solusi SPL adalah x = 0, y = t, dan z = t, dengan t ∈ R.Dalam bentuk tupel, solusi SPL adalah (0, t, t), dengan t ∈ R .
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 17 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Bila b = 2, diperoleh matriks
2 0 0 00 −1 1 00 2 −2 0
, dengan OBE diperoleh
1 0 0 00 −1 1 00 0 0 0
( R1 ← 12R1
R3 ← R3 + 2R2
) 1 0 0 00 1 −1 00 0 0 0
(R2 ← −R2).Akibatnya diperoleh x = 0 dan y − z = 0. Misalkan z = t dengan t ∈ R, makanilai y = t. Akibatnya solusi SPL adalah x = 0, y = t, dan z = t, dengan t ∈ R.Dalam bentuk tupel, solusi SPL adalah (0, t, t), dengan t ∈ R .
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 17 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Bila b = 2, diperoleh matriks
2 0 0 00 −1 1 00 2 −2 0
, dengan OBE diperoleh 1 0 0 00 −1 1 00 0 0 0
( R1 ← 12R1
R3 ← R3 + 2R2
) 1 0 0 00 1 −1 00 0 0 0
(R2 ← −R2).
Akibatnya diperoleh x = 0 dan y − z = 0. Misalkan z = t dengan t ∈ R, makanilai y = t. Akibatnya solusi SPL adalah x = 0, y = t, dan z = t, dengan t ∈ R.Dalam bentuk tupel, solusi SPL adalah (0, t, t), dengan t ∈ R .
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 17 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Bila b = 2, diperoleh matriks
2 0 0 00 −1 1 00 2 −2 0
, dengan OBE diperoleh 1 0 0 00 −1 1 00 0 0 0
( R1 ← 12R1
R3 ← R3 + 2R2
) 1 0 0 00 1 −1 00 0 0 0
(R2 ← −R2).Akibatnya diperoleh x = 0 dan y − z = 0.
Misalkan z = t dengan t ∈ R, makanilai y = t. Akibatnya solusi SPL adalah x = 0, y = t, dan z = t, dengan t ∈ R.Dalam bentuk tupel, solusi SPL adalah (0, t, t), dengan t ∈ R .
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 17 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Bila b = 2, diperoleh matriks
2 0 0 00 −1 1 00 2 −2 0
, dengan OBE diperoleh 1 0 0 00 −1 1 00 0 0 0
( R1 ← 12R1
R3 ← R3 + 2R2
) 1 0 0 00 1 −1 00 0 0 0
(R2 ← −R2).Akibatnya diperoleh x = 0 dan y − z = 0. Misalkan z = t dengan t ∈ R, makanilai y = t.
Akibatnya solusi SPL adalah x = 0, y = t, dan z = t, dengan t ∈ R.Dalam bentuk tupel, solusi SPL adalah (0, t, t), dengan t ∈ R .
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 17 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Bila b = 2, diperoleh matriks
2 0 0 00 −1 1 00 2 −2 0
, dengan OBE diperoleh 1 0 0 00 −1 1 00 0 0 0
( R1 ← 12R1
R3 ← R3 + 2R2
) 1 0 0 00 1 −1 00 0 0 0
(R2 ← −R2).Akibatnya diperoleh x = 0 dan y − z = 0. Misalkan z = t dengan t ∈ R, makanilai y = t. Akibatnya solusi SPL adalah x = 0, y = t, dan z = t, dengan t ∈ R.
Dalam bentuk tupel, solusi SPL adalah (0, t, t), dengan t ∈ R .
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 17 / 24
Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
Bila b = 2, diperoleh matriks
2 0 0 00 −1 1 00 2 −2 0
, dengan OBE diperoleh 1 0 0 00 −1 1 00 0 0 0
( R1 ← 12R1
R3 ← R3 + 2R2
) 1 0 0 00 1 −1 00 0 0 0
(R2 ← −R2).Akibatnya diperoleh x = 0 dan y − z = 0. Misalkan z = t dengan t ∈ R, makanilai y = t. Akibatnya solusi SPL adalah x = 0, y = t, dan z = t, dengan t ∈ R.Dalam bentuk tupel, solusi SPL adalah (0, t, t), dengan t ∈ R .
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 17 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
Bahasan
1 Jenis-jenis SPL Berdasarkan Banyak Persamaan dan Variabel
2 Solusi SPL dengan Metode Invers Matriks
3 Solusi SPL dengan Aturan Cramer
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 18 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
Aturan Cramer
Aturan Cramer (Gabriel Cramer, 1704-1752)
Jika SPL A~x = ~b merupakan SPL dengan n persamaan dan n variabel dengansyarat det (A) 6= 0, maka SPL tersebut memiliki solusi tunggal. Lebih jauh, jika~x = (x1, x2, . . . , xn) adalah solusi tunggal tersebut, maka
x1 =det (A1)
det (A), x2 =
det (A2)
det (A), . . . , xn =
det (An)
det (A),
dengan Ai adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti kolom ke-i pada Adengan entri matriks
~b =
b1b2...bn
.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 19 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
Aturan Cramer untuk SPL 2 Persamaan 2 Variabel
Kita akan memakai aturan Cramer untuk mencari solusi SPLx+ y = 4x− y = 2
. SPL
dapat ditulis sebagai
[1 11 −1
] [xy
]=
[42
].
Matriks A =
[1 11 −1
], Ax =
[4 12 −1
], Ay =
[1 41 2
]. Solusi x dan y
dapat dicari sebagai berikut
x = det(Ax)det(A) =
∣∣∣∣∣∣ 4 12 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 11 −1
∣∣∣∣∣∣= −6−2 = 3. y =
det(Ay)det(A) =
∣∣∣∣∣∣ 1 41 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 11 −1
∣∣∣∣∣∣= −2−2 = 1.
Jadi diperoleh x = 3 dan y = 1.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 20 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
Aturan Cramer untuk SPL 2 Persamaan 2 Variabel
Kita akan memakai aturan Cramer untuk mencari solusi SPLx+ y = 4x− y = 2
. SPL
dapat ditulis sebagai [1 11 −1
] [xy
]=
[42
].
Matriks A =
[1 11 −1
], Ax =
[4 12 −1
], Ay =
[1 41 2
]. Solusi x dan y
dapat dicari sebagai berikut
x = det(Ax)det(A) =
∣∣∣∣∣∣ 4 12 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 11 −1
∣∣∣∣∣∣= −6−2 = 3. y =
det(Ay)det(A) =
∣∣∣∣∣∣ 1 41 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 11 −1
∣∣∣∣∣∣= −2−2 = 1.
Jadi diperoleh x = 3 dan y = 1.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 20 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
Aturan Cramer untuk SPL 2 Persamaan 2 Variabel
Kita akan memakai aturan Cramer untuk mencari solusi SPLx+ y = 4x− y = 2
. SPL
dapat ditulis sebagai [1 11 −1
] [xy
]=
[42
].
Matriks A =
[1 11 −1
], Ax =
[4 12 −1
], Ay =
[1 41 2
]. Solusi x dan y
dapat dicari sebagai berikut
x = det(Ax)det(A) =
∣∣∣∣∣∣ 4 12 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 11 −1
∣∣∣∣∣∣= −6−2 = 3. y =
det(Ay)det(A) =
∣∣∣∣∣∣ 1 41 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 11 −1
∣∣∣∣∣∣= −2−2 = 1.
Jadi diperoleh x = 3 dan y = 1.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 20 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
Aturan Cramer untuk SPL 2 Persamaan 2 Variabel
Kita akan memakai aturan Cramer untuk mencari solusi SPLx+ y = 4x− y = 2
. SPL
dapat ditulis sebagai [1 11 −1
] [xy
]=
[42
].
Matriks A =
[1 11 −1
], Ax =
[4 12 −1
], Ay =
[1 41 2
]. Solusi x dan y
dapat dicari sebagai berikut
x = det(Ax)det(A) =
∣∣∣∣∣∣ 4 12 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 11 −1
∣∣∣∣∣∣= −6−2 = 3. y =
det(Ay)det(A) =
∣∣∣∣∣∣ 1 41 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 11 −1
∣∣∣∣∣∣= −2−2 = 1.
Jadi diperoleh x = 3 dan y = 1.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 20 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
Aturan Cramer untuk SPL 2 Persamaan 2 Variabel
Kita akan memakai aturan Cramer untuk mencari solusi SPLx+ y = 4x− y = 2
. SPL
dapat ditulis sebagai [1 11 −1
] [xy
]=
[42
].
Matriks A =
[1 11 −1
], Ax =
[4 12 −1
], Ay =
[1 41 2
]. Solusi x dan y
dapat dicari sebagai berikut
x =
det(Ax)det(A) =
∣∣∣∣∣∣ 4 12 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 11 −1
∣∣∣∣∣∣= −6−2 = 3. y =
det(Ay)det(A) =
∣∣∣∣∣∣ 1 41 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 11 −1
∣∣∣∣∣∣= −2−2 = 1.
Jadi diperoleh x = 3 dan y = 1.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 20 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
Aturan Cramer untuk SPL 2 Persamaan 2 Variabel
Kita akan memakai aturan Cramer untuk mencari solusi SPLx+ y = 4x− y = 2
. SPL
dapat ditulis sebagai [1 11 −1
] [xy
]=
[42
].
Matriks A =
[1 11 −1
], Ax =
[4 12 −1
], Ay =
[1 41 2
]. Solusi x dan y
dapat dicari sebagai berikut
x = det(Ax)det(A) =
∣∣∣∣∣∣ 4 12 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 11 −1
∣∣∣∣∣∣= −6−2 = 3. y =
det(Ay)det(A) =
∣∣∣∣∣∣ 1 41 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 11 −1
∣∣∣∣∣∣= −2−2 = 1.
Jadi diperoleh x = 3 dan y = 1.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 20 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
Aturan Cramer untuk SPL 2 Persamaan 2 Variabel
Kita akan memakai aturan Cramer untuk mencari solusi SPLx+ y = 4x− y = 2
. SPL
dapat ditulis sebagai [1 11 −1
] [xy
]=
[42
].
Matriks A =
[1 11 −1
], Ax =
[4 12 −1
], Ay =
[1 41 2
]. Solusi x dan y
dapat dicari sebagai berikut
x = det(Ax)det(A) =
∣∣∣∣∣∣ 4 12 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 11 −1
∣∣∣∣∣∣= −6−2 = 3. y =
det(Ay)det(A) =
∣∣∣∣∣∣ 1 41 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 11 −1
∣∣∣∣∣∣= −2−2 = 1.
Jadi diperoleh x = 3 dan y = 1.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 20 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
Aturan Cramer untuk SPL 3 Persamaan dan 3 Variabel
Kita akan menggunakan aturan Cramer untuk mencari solusi dari SPL berikut
x1 +2x3 = 6−3x1 +4x2 +6x3 = 30−x1 −2x2 +3x3 = 8
SPL di atas dinyatakan dalam bentuk A~x = ~b dengan A =
1 0 2−3 4 6−1 −2 3
,~b =
6308
, dan ~x = x1x2x3
.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 21 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
Aturan Cramer untuk SPL 3 Persamaan dan 3 Variabel
Kita akan menggunakan aturan Cramer untuk mencari solusi dari SPL berikut
x1 +2x3 = 6−3x1 +4x2 +6x3 = 30−x1 −2x2 +3x3 = 8
SPL di atas dinyatakan dalam bentuk A~x = ~b dengan A =
1 0 2−3 4 6−1 −2 3
,~b =
6308
, dan ~x = x1x2x3
.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 21 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
Aturan Cramer untuk SPL 3 Persamaan dan 3 Variabel
Kita akan menggunakan aturan Cramer untuk mencari solusi dari SPL berikut
x1 +2x3 = 6−3x1 +4x2 +6x3 = 30−x1 −2x2 +3x3 = 8
SPL di atas dinyatakan dalam bentuk A~x = ~b dengan A =
1 0 2−3 4 6−1 −2 3
,~b =
6308
, dan ~x =
x1x2x3
.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 21 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
Aturan Cramer untuk SPL 3 Persamaan dan 3 Variabel
Kita akan menggunakan aturan Cramer untuk mencari solusi dari SPL berikut
x1 +2x3 = 6−3x1 +4x2 +6x3 = 30−x1 −2x2 +3x3 = 8
SPL di atas dinyatakan dalam bentuk A~x = ~b dengan A =
1 0 2−3 4 6−1 −2 3
,~b =
6308
, dan ~x = x1x2x3
.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 21 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
A =
1 0 2−3 4 6−1 −2 3
, A1 =
6 0 230 4 68 −2 3
, A2 =
1 6 2−3 30 6−1 8 3
,A3 =
1 0 6−3 4 30−1 −2 8
. Akibatnyax1 =
det (A1)
det (A)=−4044
=−1011
, x2 =det (A2)
det (A)=72
44=18
11, dan
x3 =det (A3)
det (A)=152
44=38
11.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 22 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
A =
1 0 2−3 4 6−1 −2 3
, A1 =
6 0 230 4 68 −2 3
, A2 =
1 6 2−3 30 6−1 8 3
,A3 =
1 0 6−3 4 30−1 −2 8
. Akibatnyax1 =
det (A1)
det (A)=−4044
=−1011
, x2 =det (A2)
det (A)=72
44=18
11, dan
x3 =det (A3)
det (A)=152
44=38
11.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 22 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
A =
1 0 2−3 4 6−1 −2 3
, A1 =
6 0 230 4 68 −2 3
, A2 =
1 6 2−3 30 6−1 8 3
,A3 =
1 0 6−3 4 30−1 −2 8
. Akibatnyax1 =
det (A1)
det (A)=−4044
=−1011
, x2 =det (A2)
det (A)=72
44=18
11, dan
x3 =det (A3)
det (A)=152
44=38
11.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 22 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
A =
1 0 2−3 4 6−1 −2 3
, A1 =
6 0 230 4 68 −2 3
, A2 =
1 6 2−3 30 6−1 8 3
,A3 =
1 0 6−3 4 30−1 −2 8
. Akibatnyax1 =
det (A1)
det (A)=−4044
=−1011
, x2 =det (A2)
det (A)=72
44=18
11, dan
x3 =det (A3)
det (A)=152
44=38
11.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 22 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
A =
1 0 2−3 4 6−1 −2 3
, A1 =
6 0 230 4 68 −2 3
, A2 =
1 6 2−3 30 6−1 8 3
,A3 =
1 0 6−3 4 30−1 −2 8
. Akibatnyax1 =
det (A1)
det (A)=−4044
=−1011
, x2 =
det (A2)
det (A)=72
44=18
11, dan
x3 =det (A3)
det (A)=152
44=38
11.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 22 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
A =
1 0 2−3 4 6−1 −2 3
, A1 =
6 0 230 4 68 −2 3
, A2 =
1 6 2−3 30 6−1 8 3
,A3 =
1 0 6−3 4 30−1 −2 8
. Akibatnyax1 =
det (A1)
det (A)=−4044
=−1011
, x2 =det (A2)
det (A)=72
44=18
11, dan
x3 =
det (A3)
det (A)=152
44=38
11.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 22 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
A =
1 0 2−3 4 6−1 −2 3
, A1 =
6 0 230 4 68 −2 3
, A2 =
1 6 2−3 30 6−1 8 3
,A3 =
1 0 6−3 4 30−1 −2 8
. Akibatnyax1 =
det (A1)
det (A)=−4044
=−1011
, x2 =det (A2)
det (A)=72
44=18
11, dan
x3 =det (A3)
det (A)=152
44=38
11.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 22 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
Latihan: Solusi SPL dengan Aturan Cramer
LatihanTentukan solusi SPL
a +c = 4a −b = −1
2b +c = 7
dengan aturan Cramer.
Solusi:
SPL dapat ditulis dalam bentuk A~x = ~b, dengan A =
1 0 11 −1 00 2 1
,~x =
abc
, dan ~b = 4−17
.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 23 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
Latihan: Solusi SPL dengan Aturan Cramer
LatihanTentukan solusi SPL
a +c = 4a −b = −1
2b +c = 7
dengan aturan Cramer.
Solusi: SPL dapat ditulis dalam bentuk A~x = ~b, dengan A =
1 0 11 −1 00 2 1
,~x =
abc
, dan ~b = 4−17
.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 23 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
Latihan: Solusi SPL dengan Aturan Cramer
LatihanTentukan solusi SPL
a +c = 4a −b = −1
2b +c = 7
dengan aturan Cramer.
Solusi: SPL dapat ditulis dalam bentuk A~x = ~b, dengan A =
1 0 11 −1 00 2 1
,~x =
abc
, dan ~b = 4−17
.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 23 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
Latihan: Solusi SPL dengan Aturan Cramer
LatihanTentukan solusi SPL
a +c = 4a −b = −1
2b +c = 7
dengan aturan Cramer.
Solusi: SPL dapat ditulis dalam bentuk A~x = ~b, dengan A =
1 0 11 −1 00 2 1
,~x =
abc
, dan ~b =
4−17
.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 23 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
Latihan: Solusi SPL dengan Aturan Cramer
LatihanTentukan solusi SPL
a +c = 4a −b = −1
2b +c = 7
dengan aturan Cramer.
Solusi: SPL dapat ditulis dalam bentuk A~x = ~b, dengan A =
1 0 11 −1 00 2 1
,~x =
abc
, dan ~b = 4−17
.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 23 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
A =
1 0 11 −1 00 2 1
, Aa =
4 0 1−1 −1 07 2 1
, Ab =
1 4 11 −1 00 7 1
,Ac =
1 0 41 −1 −10 2 7
. Akibatnya
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 0 11 −1 00 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 1, |Aa| =
∣∣∣∣∣∣4 0 1−1 −1 07 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 1,|Ab| =
∣∣∣∣∣∣1 4 11 −1 00 7 1
∣∣∣∣∣∣ = 2, |Ac| =
∣∣∣∣∣∣1 0 41 −1 −10 2 7
∣∣∣∣∣∣ = 3a = |Aa|
|A| = 1, b =|Ab||A| = 2, c =
|Ac||A| = 3.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 24 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
A =
1 0 11 −1 00 2 1
, Aa =
4 0 1−1 −1 07 2 1
, Ab =
1 4 11 −1 00 7 1
,Ac =
1 0 41 −1 −10 2 7
. Akibatnya
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 0 11 −1 00 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 1, |Aa| =
∣∣∣∣∣∣4 0 1−1 −1 07 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 1,|Ab| =
∣∣∣∣∣∣1 4 11 −1 00 7 1
∣∣∣∣∣∣ = 2, |Ac| =
∣∣∣∣∣∣1 0 41 −1 −10 2 7
∣∣∣∣∣∣ = 3a = |Aa|
|A| = 1, b =|Ab||A| = 2, c =
|Ac||A| = 3.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 24 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
A =
1 0 11 −1 00 2 1
, Aa =
4 0 1−1 −1 07 2 1
, Ab =
1 4 11 −1 00 7 1
,Ac =
1 0 41 −1 −10 2 7
. Akibatnya
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 0 11 −1 00 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 1, |Aa| =
∣∣∣∣∣∣4 0 1−1 −1 07 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 1,|Ab| =
∣∣∣∣∣∣1 4 11 −1 00 7 1
∣∣∣∣∣∣ = 2, |Ac| =
∣∣∣∣∣∣1 0 41 −1 −10 2 7
∣∣∣∣∣∣ = 3a = |Aa|
|A| = 1, b =|Ab||A| = 2, c =
|Ac||A| = 3.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 24 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
A =
1 0 11 −1 00 2 1
, Aa =
4 0 1−1 −1 07 2 1
, Ab =
1 4 11 −1 00 7 1
,Ac =
1 0 41 −1 −10 2 7
. Akibatnya
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 0 11 −1 00 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 1, |Aa| =
∣∣∣∣∣∣4 0 1−1 −1 07 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 1,|Ab| =
∣∣∣∣∣∣1 4 11 −1 00 7 1
∣∣∣∣∣∣ = 2, |Ac| =
∣∣∣∣∣∣1 0 41 −1 −10 2 7
∣∣∣∣∣∣ = 3a = |Aa|
|A| = 1, b =|Ab||A| = 2, c =
|Ac||A| = 3.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 24 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
A =
1 0 11 −1 00 2 1
, Aa =
4 0 1−1 −1 07 2 1
, Ab =
1 4 11 −1 00 7 1
,Ac =
1 0 41 −1 −10 2 7
. Akibatnya
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 0 11 −1 00 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 1, |Aa| =
∣∣∣∣∣∣4 0 1−1 −1 07 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 1,|Ab| =
∣∣∣∣∣∣1 4 11 −1 00 7 1
∣∣∣∣∣∣ = 2, |Ac| =
∣∣∣∣∣∣1 0 41 −1 −10 2 7
∣∣∣∣∣∣ = 3a = |Aa|
|A| = 1, b =|Ab||A| = 2, c =
|Ac||A| = 3.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 24 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
A =
1 0 11 −1 00 2 1
, Aa =
4 0 1−1 −1 07 2 1
, Ab =
1 4 11 −1 00 7 1
,Ac =
1 0 41 −1 −10 2 7
. Akibatnya
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 0 11 −1 00 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 1, |Aa| =
∣∣∣∣∣∣4 0 1−1 −1 07 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 1,|Ab| =
∣∣∣∣∣∣1 4 11 −1 00 7 1
∣∣∣∣∣∣ = 2, |Ac| =
∣∣∣∣∣∣1 0 41 −1 −10 2 7
∣∣∣∣∣∣ = 3a = |Aa|
|A| = 1, b =|Ab||A| = 2, c =
|Ac||A| = 3.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 24 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
A =
1 0 11 −1 00 2 1
, Aa =
4 0 1−1 −1 07 2 1
, Ab =
1 4 11 −1 00 7 1
,Ac =
1 0 41 −1 −10 2 7
. Akibatnya
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 0 11 −1 00 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 1, |Aa| =
∣∣∣∣∣∣4 0 1−1 −1 07 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 1,|Ab| =
∣∣∣∣∣∣1 4 11 −1 00 7 1
∣∣∣∣∣∣ = 2, |Ac| =
∣∣∣∣∣∣1 0 41 −1 −10 2 7
∣∣∣∣∣∣ = 3a = |Aa|
|A| = 1, b =|Ab||A| = 2, c =
|Ac||A| = 3.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 24 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
A =
1 0 11 −1 00 2 1
, Aa =
4 0 1−1 −1 07 2 1
, Ab =
1 4 11 −1 00 7 1
,Ac =
1 0 41 −1 −10 2 7
. Akibatnya
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 0 11 −1 00 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 1, |Aa| =
∣∣∣∣∣∣4 0 1−1 −1 07 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 1,|Ab| =
∣∣∣∣∣∣1 4 11 −1 00 7 1
∣∣∣∣∣∣ = 2, |Ac| =
∣∣∣∣∣∣1 0 41 −1 −10 2 7
∣∣∣∣∣∣ = 3a =
|Aa||A| = 1, b =
|Ab||A| = 2, c =
|Ac||A| = 3.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 24 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
A =
1 0 11 −1 00 2 1
, Aa =
4 0 1−1 −1 07 2 1
, Ab =
1 4 11 −1 00 7 1
,Ac =
1 0 41 −1 −10 2 7
. Akibatnya
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 0 11 −1 00 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 1, |Aa| =
∣∣∣∣∣∣4 0 1−1 −1 07 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 1,|Ab| =
∣∣∣∣∣∣1 4 11 −1 00 7 1
∣∣∣∣∣∣ = 2, |Ac| =
∣∣∣∣∣∣1 0 41 −1 −10 2 7
∣∣∣∣∣∣ = 3a = |Aa|
|A| = 1, b =
|Ab||A| = 2, c =
|Ac||A| = 3.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 24 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
A =
1 0 11 −1 00 2 1
, Aa =
4 0 1−1 −1 07 2 1
, Ab =
1 4 11 −1 00 7 1
,Ac =
1 0 41 −1 −10 2 7
. Akibatnya
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 0 11 −1 00 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 1, |Aa| =
∣∣∣∣∣∣4 0 1−1 −1 07 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 1,|Ab| =
∣∣∣∣∣∣1 4 11 −1 00 7 1
∣∣∣∣∣∣ = 2, |Ac| =
∣∣∣∣∣∣1 0 41 −1 −10 2 7
∣∣∣∣∣∣ = 3a = |Aa|
|A| = 1, b =|Ab||A| = 2, c =
|Ac||A| = 3.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 24 / 24
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
A =
1 0 11 −1 00 2 1
, Aa =
4 0 1−1 −1 07 2 1
, Ab =
1 4 11 −1 00 7 1
,Ac =
1 0 41 −1 −10 2 7
. Akibatnya
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 0 11 −1 00 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 1, |Aa| =
∣∣∣∣∣∣4 0 1−1 −1 07 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 1,|Ab| =
∣∣∣∣∣∣1 4 11 −1 00 7 1
∣∣∣∣∣∣ = 2, |Ac| =
∣∣∣∣∣∣1 0 41 −1 −10 2 7
∣∣∣∣∣∣ = 3a = |Aa|
|A| = 1, b =|Ab||A| = 2, c =
|Ac||A| = 3.
MZI (FIF Tel-U) Solusi SPL n × n September 2015 24 / 24