Download - Met num 7
![Page 1: Met num 7](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081813/55a34ca91a28ab496e8b473a/html5/thumbnails/1.jpg)
56
5. 5 Metode Dekomposisi LU
Pada metode merupakan hasil dari pengembangan dari metode sebelumnya dengan
beberapa manipulasi matriks aljabar.
5. 5. 1 Metode Dekomposisi LU Naif
Persamaan yang dipecahkan dalam bentuk notasi matriks :
[A] {X} = {C} (5. 5. 2)
yang dapat disusun
[A] {X} – {C} = 0 (5. 5. 3)
Jika persamaan (5. 5. 2) dapat dinyatakan ulang sebagai sistem segitiga atas dengan angka
1 pada diagonal :
4
3
2
1
34
2423
141312
x
x
x
x
1000
u100
uu10
uuu1
=
4
3
2
1
d
d
d
d
(5. 5. 4)
atau dalam bentuk matriks dapat disusun kembali
[U] {X} – {D} = 0 (5. 5. 5)
Misalkan terdapat matriks diagonal bawah :
44342414
332313
2212
11
llll
0lll
00ll
000l
(5. 5. 6)
Persamaan (5. 5. 3) jika dikalikan dengan (5. 5. 6) maka,
[L]{[U] {X} – {D}} = [A] {X} – {C} (5. 5. 7)
Jika persamaan ini berlkau maka,
[L] [U] = [A] (5. 5. 8)
dan
[L] {D} = {C} (5. 5. 9)
Persamaan (5. 5. 8) diacu sebagai persamaan LU dekomposisi dari [A]. Dari persamaan ini
dapat diperoleh penyelesaian dengan prosedur subtitusi dua langkah dengan menggunakan
[L] dan [U].
Satu cara untuk membuktikan rumusan ini adalah membuat metode Gauss dalam
bentuk dekomposisi LU, untuk mempermudah pengertian dapat ditunjukan illustrasi dari
metode ini.
![Page 2: Met num 7](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081813/55a34ca91a28ab496e8b473a/html5/thumbnails/2.jpg)
57
Contoh 5. 5. 10
Gunakan teknik Gauss – Jordan untuk menyelesaikan persamaan
3x1 – 0.1x2 – 0.2 x3 = 7.85 (5. 3. 13)
0.1x1 + 7x2 – 0.3 x3 = – 19.3 (5. 3. 14)
0.3x1 – 0.2x2 + 10 x3 = 71.4 (5. 3. 15)
Penyelesaian
Dengan menyatakan dalam bentuk matriks,
[A] =
102.03.0
3.071.0
2.01.03
setelah eliminasi maju, diperoleh matriks segitiga atas,
[U] =
0120.1000
293333.000333.70
2.01.03
faktor – faktor yang dipakai untuk memperoleh matriks segitiga atas dapat dibuat menjadi
suatu matriks segitiga bawah. Sehingga elemen-elemen a21 dan a31 dihilangkan dengan
menggunakan,
f21 = 3
1.0 = 0. 0333333 f31 =
3
3.0 = 0. 100000
dan akhirnya elemen f32 dihilangkan dengan menggunakan faktor,
f32 = 00333.7
2.0 = - 0. 0271300
[ A ] { X } = { C }
(a) Dekomposisi
[ U ] [ L ]
[ L ] { D } = { C }
(b) Maju
{ D }
Pensubtitusian
[ U ] { X }={ D }
(c) Mundur
{ X }
![Page 3: Met num 7](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081813/55a34ca91a28ab496e8b473a/html5/thumbnails/3.jpg)
58
Jadi matriks segitiga bawah, adalah
[L] =
10271300.0100000.0
010333333.0
001
sehingga dekomposisi LU adalah,
[A] = [L] [U] =
10271300.0100000.0
010333333.0
001
0120.1000
293333.000333.70
2.01.03
dimana hasilnya dapat diperiksa dengan,
[L] [U] =
99996.92.03.0
3.070999999.0
2.01.03
102.03.0
3.071.0
2.01.03
5. 5. 2 Metode Dekomposisi Crout
Salah satu cara yang paling efektif diantara metode – metode perbaikan ini disebut
dekomposisi crout yang merupakan suatu algoritma yang efisien untuk memecah [A] atas
[L] dan [U], metode ini dikenal juga sebagai metode reduksi (metode reduksi Cholesky
atau metode Dolittle).
Misalkan matriks 3 x 3 berikut :
A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
L =
1ll
01l
001
3231
21 U =
33
2322
131211
u00
uu0
uuu
Karena LU = A, maka hasil perkalian L dan U dapat ditulis,
LU =
3323321331223212311331
2313212212211121
131211
uululululul
uuluulul
uuu
= A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Sehingga,
u11 = a11, u12 = a12, u13 = a13 baris pertama U
l21u11 = a21 l21 = 11
21
u
a dan l31u13 = a31 l31 =
11
31
u
a kolom pertama L
![Page 4: Met num 7](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081813/55a34ca91a28ab496e8b473a/html5/thumbnails/4.jpg)
59
l21u12 + u22 = a22 u22 = a22 – l21u12 baris pertama U
l21u13 + u23 = a23 u23 = a23 – l21u13 baris pertama U
l31u12 + l32u22 = a23 l32 = 22
123132
u
ula kolom kedua L
l31u13 + l32u23 + u33 = a33 u33 = a33 – (l31u13 + l32u23) baris Ketiga U