Matematika Sains

Pendidikan Sains Pps Unesa 2013

Diferensial

Fungsi Aljabar

Fungsi Eksponen dan Logaritma

Fungsi Trigonometri

Grafik Fungsi

Aplikasi

Turunan

Aturan Rantai

A. Definisi Turunan

Turunan dapat digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung kurva,

kecepatan dan percepatan gerak benda, serta kasus maksimum/minimum.

Misalkan diketahui fungsi y = f(x). Jika variable x bertambah besar Δx (dibaca:

“delta x”) maka variabel y (dibaca: “delta y”. Hal ini dapat ditulis

y = f(x)

y + Δy = f(x + Δx)

Jadi, Δy timbul karena adanya perubahan sebesar Δx pada x. Jika kedua ruas

dibagi Δx, diperoleh :

Δ𝑦

Δ𝑥=

𝑓 𝑥 + Δ𝑥 −𝑓(𝑥)

Δ𝑥

Δ𝑦

Δ𝑥 dinamakan hasil bagi perbedaan yang mencerminkan tingkat perubahan

rata-rata variabel y terhadap variabel x.

Turunan suatu fungsi f(x) didefiniikan:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓′ 𝑥 = lim

ℎ→0

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ

Contoh:

Tentukan turunan pertama fungsi f(x) = 𝑥2 + 1

Jawab: 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓′ 𝑥 = lim

ℎ→0

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ

= limℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)2−𝑓(𝑥2+ 1)

ℎ

= limℎ→0

𝑥2+2𝑥ℎ+ℎ2 +1− 𝑥2− 1)

ℎ

= limℎ→0

2𝑥ℎ+ℎ2

ℎ

= limℎ→0

2𝑥 + ℎ = 2𝑥

Misalkan diberikan fungsi f(x) = c, f(x) = x, f(x), = 𝑥2, f(x) = 𝑥3, f(x) = 𝑥4, dan f(x) = 𝑥𝑛.

Dengan menggunakan rumus 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓′ 𝑥 = lim

ℎ→0

𝑓 𝑥 +ℎ −𝑓(𝑥)

ℎ , maka

akan diperleh turunan fungsi f(x) = c adalah 𝑓′ 𝑥 = 0, turunan fungsi

f(x) = 𝑥2 adalah 𝑓′ 𝑥 = 2x, turunan fungsi f(x) = 𝑥3adalah 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2, dan seterusnya.

Secara umum, fungsi f(x) = 𝑥𝑛, dengan n bilangan bulat, turunannya

dapat ditentukan dengan:

𝑓′ 𝑥 = limℎ→0

(𝑥+ℎ)2− 𝑥𝑛

ℎ

B. Turunan Fungsi Aljabar

Menurut teorema Binomial, untuk dan y bilangan real dan n bilangan

asli, berlaku:

(𝑥 + 𝑦)𝑛= ∁0 𝑛 𝑥𝑛 + ∁1

𝑛 𝑥𝑛−1𝑦 + ∁2𝑛 𝑥𝑛−2𝑦2 + ……. + ∁𝑛

𝑛 𝑦𝑛

𝑓′ 𝑥 = limℎ→0

(𝑥+ℎ)2− 𝑥𝑛

ℎ

= limℎ→0

𝑥𝑛+ ∁1𝑛 𝑥𝑛−1ℎ + …….+ ℎ𝑛− 𝑥𝑛

ℎ

= limℎ→0

∁0 𝑛 𝑥𝑛+ ∁1

𝑛 𝑥𝑛−1ℎ + …….+ ℎ𝑛− 𝑥𝑛

ℎ

= limℎ→0

∁1𝑛 𝑥𝑛−1ℎ + …….+ ℎ𝑛

ℎ

= ∁1𝑛 𝑥𝑛−1

= 𝑛𝑥𝑛−1

Dengan demikian, apabila f(x) maka telah terbukti 𝑓′ 𝑥 = 𝑛𝑥𝑛−1.

Dengan cara yang sama, jika f(x) = 𝑎𝑥𝑛, maka dapat dibuktikan bahwa turunan f(x) adalah 𝑓′ 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛−1. Selanjutnya, rumus ini berlaku pula unutuk n bilangan rasional dan dapat dikatakan sebagai berikut:

“jika n bilangan rasional, c konstanta, u(x) dan v(x) fungsi- fungsi diferensiabel dengan turunannya masing-masing 𝑢′ 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑣′ 𝑥 , sedangkan 𝑓′ 𝑥 turunan dari f(x).”

maka berlaku sebagai berikut:

• Jika f(x) = c maka turunannya adalah 𝑓′ 𝑥 = 0

• Jika f(x) = 𝑥𝑛 maka turunannya adalah 𝑓′ 𝑥 = 𝑛𝑥𝑛−1

• Jika f(x) = 𝑎𝑥𝑛 maka turunannya adalah 𝑓′ 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛−1

Contoh soal:

1. Tentuka turunan dari f(x)= 6𝑥4

Jawab:

f(x)= 6𝑥4, maka dalam hal ini a = 6 n = 4

Jadi, f'(x)= 6(4𝑥4−1) = 24𝑥3

2. Tentukan turunan dari f(x) = 1

𝑥

Jawab:

f(x) = 1

𝑥 = 𝑥−1, dalam hal ini, n = -1

Jadi, 𝑓′ 𝑥 = −𝑥−1−1= −𝑥−2 atau 𝑓′ 𝑥 = −1

𝑥2

3. Tentukan turunan dari f(x) = 𝑥

Jawab:

Dengan menggunakn definisi turunan, diperoleh:

𝑓′ 𝑥 = limℎ→0

𝑥+ℎ − 𝑥

ℎ

= limℎ→0

𝑥+ℎ − 𝑥

ℎ x

𝑥+ℎ − 𝑥

𝑥+ℎ − 𝑥

= limℎ→0

𝑥+ℎ− 𝑥

ℎ ( 𝑥+ℎ − 𝑥 )

= limℎ→0

1

𝑥+ℎ − 𝑥 =

1

2𝑥

1

2 −1 =

1

2𝑥−

1

2

C. Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan fungsi trigonometri diperoleh dengan mencari limit

limℎ→0

𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)

ℎ, untuk f(x) merupakan fungsi trigonometri. Dan beberapa

fungsi trigonometri khusus yaitu:

limℎ→0

sin ℎ

ℎ= 1 dan lim

ℎ→0

1−cos ℎ

ℎ= 0

a. Untuk mencari turunan f 𝑥 = sin 𝑥 dengan menggunakan limit

limℎ→0

𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)

ℎ, diperoleh:

𝑓′ 𝑥 = limℎ→0

𝑠𝑖𝑛 𝑥 + ℎ − 𝑠𝑖𝑛(𝑥)

ℎ

= limℎ→0

sin 𝑥 cos ℎ+cos 𝑥 sin ℎ− sin 𝑥

ℎ

= limℎ→0

− 𝑠𝑖𝑛 𝑥.1−cos ℎ

ℎ+ cos 𝑥

sin ℎ

ℎ

= − sin 𝑥 [lim ℎ→0

1 − cos ℎ

ℎ] + cos 𝑥 [lim

ℎ→0

sin ℎ

ℎ]

= sin 𝑥. 0 + cos 𝑥. 1 = cos 𝑥

b. Untuk mencari turunan f 𝑥 = cos 𝑥 dengan menggunakan limit

limℎ→0

𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)

ℎ, diperoleh:

𝑓′ 𝑥 = limℎ→0

𝑐𝑜𝑠 𝑥+ℎ −𝑐𝑜𝑠(𝑥)

ℎ

= limℎ→0

cos 𝑥 cos ℎ+sin 𝑥 sin ℎ− cos 𝑥

ℎ

= limℎ→0

− 𝑐𝑜𝑠 𝑥.1−cos ℎ

ℎ− sin 𝑥

sin ℎ

ℎ

= − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 [lim ℎ→0

1−cos ℎ

ℎ] − sin 𝑥 [lim

ℎ→0

sin ℎ

ℎ]

= −cos 𝑥. 0 − sin 𝑥. 1 = −sin 𝑥

D. Turunan dengan Aturan Rantai

Prinsip menentukan turunan dengan aturan rantai adalah:

1. Mengubah fungsi yang akan diturunkan kedalam fungsi bentuk dasar seperti xn

2. Fungsi-fungsi dasar tersebut diurunkan seperti aturan sebelumnya.

Misalnya terdapat fungsi y = f ( u )x))

Turunan fungsi y dapat ditentukan dengan:

Misalkan terdapat Fungsi y = f ( u (v(x)))

Turunan fungsi y dapat ditentukan dengan:

dx

dux

du

dy

dx

dy

dx

dvx

dv

dux

du

dy

dx

dy

Contoh:

Tentukan turunan fungsi

Jawab :

Misalkan . Dengan demikian

Untuk maka

Karena maka

Jadi

2)23( xy

23 xu2uy

2uy udu

dy2

23 xu 3dx

du

218)3)(23(232 xxuxdx

dux

du

dy

dx

dy

1. Turunan Fungsi Eksponen (𝒚 = 𝒆𝒙) Turunan suatu fungsi dapat ditentukan dengan menggunakan limit. Berdasarkan pengertian itu, turunan fungsi 𝑦 = 𝑓 𝑥

adalah 𝑦′ =limℎ→0

𝑓 𝑥+ℎ −𝐹(ℎ)

ℎ

Oleh karena itu ,misalnya 𝑦 = 𝑒𝑥 maka

𝑓′ 𝑥 = limℎ→0

𝑒𝑥+ℎ − 𝑒𝑟

= limℎ→0

𝑒𝑥 ×𝑒𝑥−𝑒𝑥

ℎ

= limℎ→0

𝑒𝑥(𝑒ℎ−1)

ℎ

= 𝑒𝑥 lim ℎ→0

𝑒ℎ−1

ℎ (ingat : lim

ℎ→0

𝑒ℎ−1

ℎ= 1

= 𝑒𝑥 × 1 = 𝑒𝑥

E. Turunan Fungsi Eksponen dan Logaritma

Berdasarkan uraian di atas, dapat disim[ulkan sebagai berikut. Jika 𝑦 = 𝑒𝑥 maka 𝑦 = 𝑒𝑥

Dengan menggunakan dalil rantai, misalnya 𝑢 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 , kalian dapat menentukan bahwa turunan dari fungsi 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥+𝑏 adalah sebagai berikut.

Jika 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥+𝑏 maka 𝑦′ = 𝑎𝑥𝑎𝑥+𝑏

Contoh :

Tentukan turunan dan fungsi berikut.

a. 𝑦 = 𝑒5𝑥

b. 𝑦 = 𝑒−𝑥+3

c. 𝑦 = 𝑒cos 𝑥

Jawab:

a. 𝑦 = 𝑒5𝑥 maka 𝑦′ = 5𝑒5𝑥

b. 𝑦 = 𝑒−𝑥+3maka 𝑦′ = −𝑒−𝑥+3

c. 𝑦 = 𝑒cos 𝑥 maka 𝑦′ = − sin 𝑥 𝑒cos 𝑥

2. Turunan Logaritma Natural (In x)

Logaritma, yaitu jika 𝑦 = 𝑎log 𝑥 maka 𝑥 = 𝑎𝑦. Apakah logaritma dengan basis atau bilangan pokok 𝑒. Logaritma natural biasanya dinotasikan “In” sehingga 𝑒log 𝑥 = In 𝑥

Oleh karena itu , dapat didefinisikan sebagai berikut.

In 𝑥 = 𝑦 𝑥 = 𝑒𝑦

Turunan dari fungsi tersebut? Misalnya 𝑦 = in 𝑥, maka 𝑥 = 𝑒𝑦. Turunan 𝑒𝑦

terhadap variable 𝑦 akan diperoleh 𝑑𝑒𝑦

𝑑𝑦. Karena 𝑒𝑦= 𝑥 maka

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥

Maka, diperoleh 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1𝑑𝑦

𝑑𝑥

=1

𝑥

Jadi, dapat disimpulkan:

Jika 𝑦 =In 𝑥 maka 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

𝑥

Secara umum, dapat ditentukan turunan 𝑦 = In 𝑢, dengan 𝑢 = 𝑓(𝑥) adalah sebagai berikut.

Jika 𝑦 = In 𝑢 dengan 𝑢 = 𝑓 𝑥 , maka 𝑦′ =𝑢′

𝑢′

Contoh:

Tentukan turunan fungsi berikut:

a. 𝑦 = 2 In 𝑥

b. 𝑦 = In (𝑘𝑥 + 𝑐)

Jawab:

a. 𝑦 = In 𝑥 maka 𝑦′ = 2 ×1

𝑥=

2

𝑥

b. 𝑦 = I 𝑘𝑥 + 𝑐

Misal 𝑢 = 𝑘𝑥 + 𝑐 maka 𝑢′= 𝑘 sehingga 𝑦′ =𝑢′

𝑢′=

𝑘

𝑘𝑥+𝑐

Langkah-langkah yang perlukan dalam menggambar grafik suatu fungsi f(x):

1. Menentukan titik potong f(x) dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu X dan sumbu Y).

2. Menentukan titik-titik stasioner atau titik ekstrem dan jenisnya.

3. Menentukan titik-titik sembarang dalam fungsi untuk memperhalus grafik.

Contoh:

Sketsalah grafik fungsi f(x)= 2x3 – x4.

Jawab:

Langkah 1:

Titik potong dengan sumbu X, syaratnya f(x)=0

F(x) = 2x3 – x4 = x3 (2-x) = 0. Karena = x3 (2-x) = 0, x=0 atau x = 2.

Dengan demikian, titik potong dengan sumbu X adalah (0,0) dan (2,0).

Titik potong dengan sumbu Y, syaratnya x = 0.

Nilai f(0) = 0. Dengan demikian, titik potong dengan sumbu Y adalah (0,0).

F. Grafik Fungsi

Langkah 2: Setelah menentukan titik-titik potong grafik dengan sumbu-sumbu koordinat, kita tentukan titik-titik ekstremnya.

Diketahui f(x) = 2x3 – x4 f’(x) = 6x2 – 4x3 = 2x2(3-2x) = 0 x = 0 atau x = 3

2.

a. Untuk x = 0

Untuk x < 0 maka f’(x) > 0. Akibatnya, untuk x < 0, fungsi f(x) naik.

Untuk 0 < x < 3

2 maka f’(x) > 0. Akibatnya, untuk 0 < x <

3

2 , fungsi f(x)

naik. Dengan demikian, x = 0 merupakan nilai x dimana terdapat titik belok.

b.Untuk x = 3

2

Untuk 0 < x < 3

2 maka f’(x) > 0. Akibatnya, untuk 0 < x <

3

2, fungsi f(x) naik.

Untuk x > 3

2 , maka f’(x) < 0, untuk x >

3

2 , fungsi f(x) turun.

Dari a) dan b) dapat kita lukiskan arah (gradien) grafik itu, seperti Gambar 8.16 (a).

+ + + + + + - - -

𝑓′ 𝑥 3

2

0

Dengan demikian, x = 3

2 merupakan nilai x dimana terdapat titik balik maksimum

dan x = 0 merupakan titik belok. Jadi sketsa grafiknya dapat kita lukis seperti Gambar 8.16 (b).

a.

b.

1. Pengawasan industri penangkapan ikan.

Seorang ahli biologi perikanan mempelajari akibat dari penangkapan ikan pada populasi air tawar. Populasi ikan dalam suatu danau awalnya berjumlah 1 juta dan kecepatan pertumbuhannya 4% per tahun. Peraturan memperbolehkan untuk menangkap ikan sebanyak 80000 ikan per tahun. Dengan syarat ini berapakah ukuran populasi ikan di masa yang akan datang.

Penyelesaian:

Jika yn adalah ukuran populasi ikan pada akhir tahun ke n maka masalah nilai awal yang menggambarkan populasi ikan di masa yang akan datang:

yn+1 – yn = 0.04yn – 80000, yo = 1000000.

perubahan populasi ikan (yn+1 – yn)

pertumbuhan alami (0.04yn)

penangkapan ikan (80000)

ukuran populasi (1000000)

G. Aplikasi Turunan

dalam Biologi

Solusi dari persamaan ini adalah: yn = 1000000 (1.04)n – 2000000 [(1.04)n - 1]. = 1000000 (1.04)n + 2000000 -2000000(1.04)n. = 2000000 – 1000000(1.04)n = 1000000 [ 2 – (1.04)n]. Jadi solusinya adalah: yn = 1000000 [ 2 – (1.04)n]. Aplikasi dalam bidang biologi ini dapat dirangkum sebagai berikut: Jika suatu populasi biologi tumbuh dengan kecepatan kper periode waktu dan jika populasi berkurang secara periodik sejumlah d maka persamaan diferensi yang menggambarkan ukuran populasi pada akhir periode ke n (yn) adalah: yn+1 = (1 + k) yn – d . dengan solusinya: yn = yo (1+k)n – d/k [ (1+k)n – 1 ]. (n = 0, 1, 2, 3, … )

2. Aliran Darah Pada waktu kita meninjau aliran darah melalui pembuluh darah, seperti urat darah halus atau arteri, kita dapat mengambil bentuk pembuluh darah itu berupa tabung silinder dengan jari-jari R dan panjang l. Karena gesekan pada dinding tabung, maka berapakah kecepatan aliran darah jika salah satu arteri manusia diketahui viskositas darah = 0,027, jari-jari pembuluh darah arteri = 0,008 cm, panjang pembuluh darah arteri = 2 cm, dan selisih tekanan di antara kedua ujung pembuluh darah = 4000 dyne/cm2, jaraknya = 0,002 cm serta berapah gradien kecepatannya? Penyelesaian: Diketahui: ŋ = 0,027, R = 0,008 cm, l = 2 cm, dan P = 4000 dyne/cm2, r = 0,002 cm Ditanya: v dan gradien kecepatannya?

Jawab:

V = 𝑃

4ŋ𝐼 (𝑅2 − 𝑟2)

V = 4000

4 0,027 2 (0,000064 − 𝑟2)

≈ 1,85 x 104(6,4 x10−5 − 𝑟2)

Pada r = 0,002 cm darah mengalir pada kecepatan sebesar:

V (0,002) = 1,85 x 104(6,4 x10−5 x 4 x 10−6) 𝑐𝑚

𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘

= 1,11 cm/detik

Gradien kecepatan pada titik tersebut adalah

𝑑𝑣

𝑑𝑟 r = 0,002 =

4000 (0,002)

2 0,027 2 = -74 (cm/detik)/cm

Untuk mendapatkan perasaan bahwa apakah persamaan ini bermakna, mari kita ubah satuan dari cm menjadi μm (1 cm = 10.000 μm). Kemudian jari-jari arteri adalah 80 μm. Kecepatan di sumbu pusat adalah 11.850 μm/detik, yang berkurang menjadi 11.110 μm/detik

pada jarak r = 20 μm. Kenyataan bahwa 𝑑𝑣

𝑑𝑟 ≈ -74 (μm/detik)/μm

berarti bahwa pada waktu r = 20 μm kecepatan berkurang pada laju sekitar 74 μm/detik untuk setiap mikrometer jauhnya kita beranjak menjauhi pusat.