desain didaktis konsep fungsi komposisi pada siswa sma kelas...

i

DESAIN DIDAKTIS KONSEP FUNGSI KOMPOSISI PADA

SISWA SMA KELAS X

Skripsi

Diajukan kepada Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan

Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Mencapai Gelar Sarjana Pendidikan

Disusun oleh:

ZAHRINA EGA SYAHRANI

NIM.1113017000023

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH

JAKARTA

2020

i

ABSTRAK

Zahrina Ega Syahrani (NIM: 1113017000023). Desain Didaktis Konsep Fungsi

Komposisi pada Siswa SMA Kelas X. Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan

Universitas Islam Negeri (UIN) Syarif Hidayatullah Jakarta, Januari 2020.

Tujuan dari Penelitian ini adalah mengidentifikasi hambatan epistimologis siswa

yang difokuskan dengan indikator Kastolan pada pembelajaran fungsi terutama

pada materi fungsi komposisi dan mengatasinya dengan mengembangkan desain

pembelajaran matematika di SMA. Penelitian ini dilaksanakan di SMAN 5

Tangerang Selatan. Metode penelitian yang dilakukan adalah Didactical Design

Research (DDR). Metode ini penelitian ini dilakukan dalam tiga tahap, yaitu

analisis sebelum pembelajaran (prospektif), pada saat pembelajaran

(metapedadidaktik) dan setelah pembelajaran (retrosfektif). Berdasarkan hasil studi

pendahuluan, dari 71 siswa yang mengikuti tes identifikasi learning obstacle,

44,52% dari total siswa tersebut mengalami hambatan epistimologis pada materi

fungsi komposisi. Untuk mengatasi hambatan epistimologis siswa pada konsep

fungsi komposisi diperlukan rancangan pembelajaran yang dikembangkan

berdasarkan analisis kesulitan belajar siswa, repersonalisasi, dan rekontekstualisasi

sehingga menghasilkan desain didaktis hipotesis yang terdiri dari Hypothetical

Learning Trajectory (HLT) yang memuat berbagai aktifitas siswa berupa situasi

didaktis dan penugasan serta prediksi respon berikut dengan antisipasinya serta

menghasilkan Lembar Kerja Siswa (LKS). Hasil penelitian menunjukkan bahwa

desain didaktis yang diberikan dapat mengatasi kesulitan siswa, hal tersebut dapat

terlihat dari efektifnya antisipasi yang diberikan untuk mengatasi kesulitan-

kesulitan siswa saat pembelajaran

Kata Kunci : Didactical Design Research (DDR), Hambatan Epistimologis,

Fungsi Komposisi, Hypothetical Learning Trajectory (HLT)

ii

ABSTRACT

Zahrina Ega Syahrani (NIM: 1113017000023). Didactical Design of

Function Composition Concept in Tenth Grade Senior High School. Thesis of

Mathematics Education at Faculty of Tarbiyah and Teacher Training of State

Islamic University Syarif Hidayatullah (UIN) Jakarta, January 2020.

The purpose of this study is to identify the epistemological obstacle focused to

Kastolan indicator in the function especially function composition and overcome

them by developing mathematical learning designs in high school. This research

was held at SMAN 5 Tangerang Selatan. The research method is Didactical

Design Research (DDR). This method is consists of three stages, namely analysis

before learning (prospective analysis), during learning (metapedadactic), and

after learning (prospective). Based on the results of the pre research, 44,52% of

71 students who took the identification of student obstacle testhad

epistimological obstcales on the concept of function composition. To overcome

the epistemological obstacles in the concept of function composition, are needed

learning design that are developed based of student’s learning obstacle,

repersonalization, and recontextualization, so that it results the Hypothetical

Learning Trajectory (HLT) which composed the various student activities and

predictions of student responses follows with the anticipation, and result the

Generates Student Worksheet. The results of the study show that the design can

be used to overcome student difficulties, it can be seen from the effectiveness of

anticipation given to overcome student difficulties during learning.

Keywords: Didactical Design Research (DDR), Epistemological Obstacle,

Function Composition, Hypothetical Learning Trajectory (HLT)

iii

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT, karena berkat rahmat-Nya penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini. Shalawat dan salam semoga selalu tercurah kepada

junjungan Nabi Muhammad SAW, keluarga, sahabat, serta umatnya.

Skripsi ini disusun sebagai syarat memperoleh gelar sarjana pendidikan

pada program studi pendidikan matematika. Penulis menyadari masih terdapat

berbagai kesulitan dan hambatan yang dihadapi. Berkat doa dan dukungan dari

berbagai pihak, Alhamdulillah penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Oleh

karena itu, penulis mengucapkan terimakasih kepada :

1. Dr. Sururin M.Ag., Dekan Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan UIN

Syarif Hidayatullah Jakarta.

2. Dr. Gelar Dwirahayu, M.Pd., Ketua Jurusan Pendidikan Matematika

Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.

3. Gusni Satriawati, M.Pd., Sekretaris Jurusan Pendidikan Matematika

Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.

4. Dr. Lia Kurniawati, M.Pd, selaku Dosen Pembimbing I yang telah berkenan

meluangkan waktunya untuk membimbing, memotivasi, dan memberikan

semangat selama proses penulisan skripsi. Semoga Ibu selalu diberikan

kesehatan dan kemudahan dari Allah SWT.

5. Ramdani Miftah, M.Pd., selaku Dosen Pembimbing II yang telah berkenan

meluangkan waktunya untuk membimbing, memotivasi, dan memberikan

semangat selama proses penulisan skripsi. Semoga Bapak selalu diberikan

kesehatan dan kemudahan dari Allah SWT.

6. Dr. Kadir, M.Pd, selaku Dosen Pembimbing Akademik yang telah

memberikan dukungan, arahan, dan perhatian mulai dari penulis menjadi

mahasiswa baru hingga selesainya penulisan skripsi. Semoga Bapak selalu

diberikan kesehatan dan kemudahan dari Allah SWT.

7. Seluruh Dosen Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Ilmu Tarbiyah dan

Keguruan UIN Syarif Hidayatullah Jakarta yang telah memberikan ilmu

iv

selama penulis berada di bangku perkuliahan. Semoga ilmu yang bapak dan

Ibu berikan mendapat keberkahan-Nya.

8. Staf Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan UIN Syarif Hidayatullah Jakarta

yang telah memberikan kemudahan dalam proses administrasi.

9. Bapak Kepala Sekolah, Bapak Wakasek Kurikulum, dan Ibu Mata Pelajaran

Matematika Peminatan kelas X SMAN 5 Tangerang Selatan yang telah

mengizinkan peneliti dalam melakukan observasi, sehingga mempermudah

peneliti dalam memperoleh data. Semoga Bapak dan Ibu diberikan

kesehatan dan dalam lindungan-Nya

10. Teristimewa dan terkasih untuk Ayahanda Joko Syahrianto, Ibunda Siti

Makbulah yang telah mendukung secara moril dan materil, memotivasi,

memberi arahan, dan mendukung penulis dalam menyelesaikan skripsi.

Semoga Allah SWT selalu memberikan kesehatan, kemudahan, serta

kebahagiaan teruntuk Ayahanda, Ibunda.

11. Saudara kandung penulis, Ahmad Auzan Varian Syahputra dan Azzam

Hakam Ghifari yang telah menyemangati dan selalu mengingatkan penulis

dalam menyelesaikan skripsi. Semoga Allah SWT selalu memberikan

kesehatan, kemudahan dalam meyelesaikan studi, serta kebahagiaan.

12. Keluarga besar H. Mamat yang selalu memberikan dukungan, motivasi dan

do’a, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi. Semoga amal baik ini

dapat diterima oleh Allah SWT.

13. Sahabat selama perkuliahan, Durotus Soliha yang tak pernah lelah

mendengarkan keluh kesah penulis dari awal menjadi mahasiswa baru

hingga selesai penulisan skripsi.

14. Sahabat terkasih dan teman seperjuangan skripsi Iffat Sahar dan Annisa Nur

Amalina yang selalu mendampingi penulis selama proses penyusunan

skripsi. Semoga kebaikan ananda sekalian diterima oleh Allah SWT.

15. Teman seperjuangan Jurusan Pendidikan Matematika angkatan 2013 yang

selalu memotivasi, bertukar informasi dan ilmu yang dimiliki.

v

16. Teman-teman angkatan 2014, Mae dan Ines yang senantiasa memberikan

dukungan dan waktunya, semoga kebaikan ananda sekalian diterima oleh

Allah SWT.

17. Teman seperjuangan PPKT MTsN 3 Jakarta Pepin, Isma, Uyun, Lia, Ipi,

Faiq, Ayu, Dilah, Wida, Maul dan Abu yang selalu menyemangati,

memotivasi, dan memberikan dukungan selama 4 bulan PPKT. Semoga

selalu dalam lindungan-Nya.

18. Sahabat sedari kecil Anya Kurniadi Putri yang selalu menyemangati,

memotivasi, dan memberikan dukungan moril. Semoga selalu dalam

lindungan-Nya.

Ucapan terima kasih yang ditunjukkan kepada semua pihak yang namanya

tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Semoga Allah selalu melimpahkan

rahmat-Nya dan memberikan perlindungan baik dunia maupun akhirat. Aamin

Aamiin ya rabbal’alamin.

Akhir kata penulis memohon maaf atas segala kesalahan dalam penulisan

skripsi ini. Kritik dan saran dari siapapun yang membaca skripsi ini akan penulis

terima dengan hati yang lapang. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat

memberikan manfaat bagi banyak orang khususnya bagi yang membaca.

Jakarta, Januari 2020

Penulis

vi

DAFTAR ISI

ABSTRAK ....................................................................................................... i

ABSTRACT ....................................................................................................... ii

KATA PENGANTAR ..................................................................................... iii

DAFTAR ISI .................................................................................................... vi

DAFTAR TABEL ............................................................................................ viii

DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... ix

DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................... xiii

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................ 1

A. Latar Belakang ..................................................................................... 1

B. Identifikasi Masalah ............................................................................. 8

C. Pembatasan Masalah ............................................................................ 8

D. Rumusan Masalah ................................................................................ 8

E. Tujuan Penelitian ................................................................................. 8

F. Manfaat Penelitian ............................................................................... 9

BAB II KAJIAN TEORI .................................................................................. 10

A. Konsep Materi Fungsi .......................................................................... 10

B. Learning Obstacle ................................................................................ 14

C. Didactical Design Research (DDR) ..................................................... 20

D. Teori-teori Belajar yang Terkait........................................................... 22

E. Penelitian yang Relevan ....................................................................... 27

F. Kerangka Berpikir ................................................................................ 28

BAB III METODOLOGI PENELITIAN......................................................... 31

A. Tempat dan Waktu Penelitian .............................................................. 31

B. Subjek Penelitian .................................................................................. 31

C. Metode Penelitian................................................................................. 31

D. Teknik Pengumpulan Data ................................................................... 33

E. Teknik Analisis Data ............................................................................ 34

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN ................................. 35

A. Analisis Prospektif ............................................................................... 35

1. Analisis Learning Obstacle Materi Fungsi Komposisi .................. 35

vii

2. Repersonalisasi dan Rekontektualisasi .......................................... 61

3. Pengembangan Desain Didaktis ..................................................... 68

B. Analisis Metapedadidaktik ................................................................... 82

C. Analisis Retrosfektif............................................................................. 104

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ........................................................... 115

A. Kesimpulan .......................................................................................... 115

B. Saran ..................................................................................................... 116

DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 118

viii

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Tingkat Kesulitan Materi Komposisi Fungsi ................................... 18

Tabel 4.1 Persentase Hambatan Belajar Siswa Materi Fungsi Komposisi ...... 36

Tabel 4.2 Persentase Hamabatan Belajar Siswa pada Materi Fungsi Komposisi

dari Setiap Jenis Hambatan .............................................................................. 38

Tabel 4.3 Jenis Hambatan Beserta Keterangan yang dialami Siswa pada Materi

Fungsi Komposisi............................................................................................. 39

Tabel 4.4 Tabel Hasil Observasi Metapedadidaktik ........................................ 99

Tabel 4.5 HLT Awal dan HLT yang Direvisi .................................................. 111

ix

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Diagram Panah ............................................................................. 11

Gambar 2.2 Diagram Panah ............................................................................. 12

Gambar 2.3 Fungsi Komposisi ......................................................................... 14

Gambar 2.4 Definisi Fungsi Komposisi ........................................................... 14

Gambar 2.5 Kesulitan Siswa dalam Memahami Konsep Fungsi ..................... 16

Gambar 2.6 Kesulitan Siswa dalam Menentukan Komposisi Fungsi .............. 17

Gambar 2.7 Kesulitan dalam Menentukan Fungsi Lain apabila Diketahui Fungsi

Komposisi ........................................................................................................ 17

Gambar 2.8 Segitiga Kansanen yang Telah diperbaiki oleh Didi Suryadi ...... 21

Gambar 2.9 Skema Prosedur Penelitian ........................................................... 30

Gambar 4.1 Contoh siswa yang mengalami hambatan konseptual pada soal nomor

1B ..................................................................................................................... 42

Gambar 4.2 Contoh siswa yang tidak mengalami hambatan konseptual pada soal

nomor 1B .......................................................................................................... 42

Gambar 4.3 Contoh Siswa yang Mengalami Hambatan Teknik Operasional pada

Soal Nomor 1B ................................................................................................. 43


Soal Nomor 1C ................................................................................................. 44

Gambar 4.5 Tabel untuk Menguji Pemahaman Konsep Fungsi Komposisi pada

Siswa ................................................................................................................ 45

Gambar 4.6 Contoh Siswa yang Mengalami Hambatan Konseptual pada Soal

Nomor 1D......................................................................................................... 45

Gambar 4.7 Instrumen Learning Obstacle Nomor 2 ....................................... 46

Gambar 4.8 Contoh Siswa yang Mengalami Hambatan Konseptual pada Soal

Nomor 2 ........................................................................................................... 46


Nomor 2 ........................................................................................................... 47

Gambar 4.10 Contoh Siswa yang Mengalami Hambatan Prosedural pada Soal

Nomor 3 ........................................................................................................... 49

x

Gambar 4.11 Siswa yang Memiliki Hambatan Teknik Operasional pada Soal

Nomor 3 ........................................................................................................... 50

Gambar 4.12 Siswa yang Tidak Memiliki Hambatan Teknik Operasional pada

Soal Nomor 3 ................................................................................................... 50

Gambar 4.13 Instrumen Learning Obstacle Nomor 4 ..................................... 51

Gambar 4.14 Siswa yang Memiliki Hambatan Konseptual pada Soal Nomor

4 ........................................................................................................................ 52

Gambar 4.15 Siswa yang Tidak Memiliki Hambatan Konseptual pada Soal Nomor

4a ...................................................................................................................... 52

Gambar 4.16 Siswa yang Memiliki Hambatan Prosedural pada Soal Nomor

4 ........................................................................................................................ 53


5 ........................................................................................................................ 54


Nomor 5 ........................................................................................................... 54


5 ........................................................................................................................ 55


Nomor 5 ........................................................................................................... 56


6 ........................................................................................................................ 56


Nomor 6 ........................................................................................................... 57

Gambar 4.23 Instrumen Learning Obstacle Nomor 7B ................................... 58


7B ..................................................................................................................... 59

Gambar 4.25 Peta Konsep Fungsi Komposisi.................................................. 62

Gambar 4.26 Penyajian Masalah Fungsi Komposisi pada Buku ..................... 63

Gambar 4.27 Penyajian Sifat Komutatif, Identitas dan Asosiatif pada Buku .. 64

Gambar 4.28 Alur Pembelajaran Materi Fungsi Komposisi ............................ 65

Gambar 4.29 Bagan Indikator Pencapaian Kompetensi dari Pertemuan 1-4 ... 70

xi

Gambar 4.30 Masalah Mengenai Konsep Fungsi ............................................ 71

Gambar 4.31 Diagram Panah untuk Membentuk Konsep Fungsi Komposisi . 71

Gambar 4.32 Tabel Mengenai Bentuk Fungsi Komposisi ............................... 72

Gambar 4.33 Tabel yang Disajikan pada Tugas II ........................................... 73

Gambar 4.34 Bentuk Tabel yang Disajikan pada Tugas I ............................... 75

Gambar 4.35 Contoh Diagram Panah Fungsi Komposisi yang Sesuai

Aturan ............................................................................................................... 76

Gambar 4.36 Diagram Panah Fungsi f(x), g(x), h(x) dan I(x) ......................... 76

Gambar 4.37 Langkah-Langkah Menentukan Keberlakuan Sifat Komutatif .. 77

Gambar 4.38 Langkah-Langkah Menentukan Keberlakuan Sifat Identitas ..... 77

Gambar 4.39 Langkah-Langkah Menentukan Keberlakuan Sifat Asosiatif .... 78

Gambar 4.40 Pengertian dan Diagram Panah Fungsi Komposisi .................... 78

Gambar 4.41 Soal Kontekstual Berkaitan dengan Materi Fungsi Komposisi . 79

Gambar 4.42 Penulisan Permisalan Fungsi f(x) dan fungsi g(x) ..................... 80

Gambar 4.43 Ciri-Ciri Variabel, Koefisien dan Konstanta pada LKS ............. 80

Gambar 4.44 Tabel Pengelompokkan Variabel, Koefisien dan Konstanta ...... 81

Gambar 4.45 Kotak Permisalan Fungsi f(x) dan g(x) ...................................... 82

Gambar 4.46 Kotak Definisi dan Kegunaan Fungsi Komposisi ...................... 82

Gambar 4.47 Hasil Pengerjaan Siswa yang Telah Diberi Antisipasi Tambahan

untuk Mencari Fungsi g(x) ............................................................................... 89


pada Soal Mencari Fungsi f(x) ......................................................................... 91

Gambar 4.49 Hasil Pengerjaan Siswa yang Telah Diberi Antisipasi pada Fungsi

(fogoh)(x) ......................................................................................................... 93

Gambar 4.50 Contoh Fungsi Komposisi yang Dijadikan Antisipasi ............... 94


pada Sifat Asosiatif .......................................................................................... 95

Gambar 4.52 Kotak Pengingat Kegunaan Fungsi f(x) dan g(x)....................... 97

Gambar 4.53 Jawaban Siswa yang telah Diberi Antisipasi pada Soal Menentukan

Jumlah Euro dan Rupiah .................................................................................. 97

xii

Gambar 4.54 Jawaban Siswa yang telah Diberi Antisipasi untuk Menentukan

Fungsi Dollar ke Rupiah .................................................................................. 98

Gambar 4.55 Revisi LKS Pertemuan Pertama ................................................. 105

Gambar 4.56 Revisi LKS Pertemuan Kedua untuk Mencari Fungsi f(x) ........ 108

Gambar 4.57 Revisi Lembar Kerja Siswa pada Sifat Asosiatif ....................... 109

xiii

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1 Kisi-kisi Soal Identifikasi Learning Obstacle Fungsi Komposisi 118

Lampiran 2 Penyelesaian Soal Identifikasi Learning Obstacle ....................... 125

Lampiran 3 Desain Pembelajaran .................................................................... 129

Lampiran 4 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran ............................................. 149

Lampiran 5 Lembar Kerja Siswa ..................................................................... 162

Lampiran 6 Lembar Observasi Metapedadidaktik ........................................... 184

Lampiran 7 Rekapitulasi Lembar Observasi Metapedadidaktik ...................... 202

Lampiran 8 Desain Pembelajaran Revisi ......................................................... 203

Lampiran 9 Lembar Kerja Siswa Revisi .......................................................... 227

Lampiran 10 Dokumentasi ............................................................................... 243

Lampiran 11 Surat Keterangan Izin Penelitian ................................................ 244

Lampiran 12 Uji Referensi ............................................................................... 245

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Belajar merupakan suatu kegiatan penting yang akan dilakukan oleh manusia

seumur hidup. Belajar akan mengubah taraf hidup manusia menjadi lebik baik, baik

secara stastus sosial maupun tingkat kewibawaan mereka dalam komunitasnya.

Menurut Kimble (1961: 6) belajar adalah perubahan yang relatif permanen di dalam

behavioral potentionality (potensi behavioral) sebagai akibat dari reinforce

practice (praktik yang diperkuat). Senada dengan hal tersebut, Mayer (1982: 1040)

menyebutkan bahwa belajar adalah menyangkut adanya perubahan perilaku yang

relatif permanen pada pengetahuan atau perilaku seseorang karena pengalaman.1

Ciri hasil belajar adalah perubahan, seseorang dikatakan sudah belajar apabila

perilakunya menunjukkan perubahan, dari awalnya tidak tahu menjadi tahu, dari

tidak bisa menjadi bisa, dari tidak mampu menjadi mampu, dari tidak terampil

menjadi terampil.2 Secara keseluruhan dapat diartikan bahwa perubahan perilaku

yang dialami manusia didasarkan oleh pengalamannya dalam menemui berbagai

macam masalah dan bagaimana caranya untuk menyelesaikan masalah tersebut.

Hal tesebut berkaitan erat dengan cara manusia berpikir. Dengan belajar manusia

dapat mengubah atau meningkatkan cara berpikirnya masing-masing dan begitu

juga sebaliknya, manusia tidak dapat dikatakan belajar apabila tidak terjadi

perubahan perilaku atau perubahan pola pikir.

Mengubah pola pikir dan perilaku seseorang menjadi lebih baik dengan proses

pembelajaran dibutuhkan waktu yang lama dan proses yang panjang. Dibutuhkan

metode pembelajaran dan bahan ajar yang tepat agar proses belajar dapat berjalan

dengan sebagaimana mestinya dan tujuan pembelajaran dapat tercapai seefisien

mungkin. Berdasarkan hasil observasi yang penulis lakukan , kenyataan yang ada

di lapangan menunjukan, masih banyak siswa siswi yang tidak belajar dengan

maksimal. Siswa hanya menghafal tanpa mengetahui makna konsep secara utuh

1 Karwono dan Heni Mularsih, Belajar dan Pembelajaran, (Depok: Rajawali Pers, 2017)

hal. 13 2 ibid

2

sehingga memori tidak tersimpan pada memori jangka panjang, sehingga siswa

mudah melupakan konsep yang telah dipelajari. Guru memiliki peran yang penting

untuk menuntun dan mengarahkan siswa membangun konsepnya sendiri dan

menjadikan pembelajaran yang bermakna.

Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang memiliki peran

penting bagi kehidupan manusia. Hampir segala aspek yang akan kita temui selalu

bersinggungan dengan konsep matematika. Contohnya seperti cara mendapatkan

keuntungan maksimum dengan menggunakan konsep program linier, bentuk

bangunan dengan konsep bangun ruang, menghitung luas tanah dengan konsep

bangun datar, dan masih banyak lagi. Matematika juga dapat membuat pola pikir

seseorang menjadi lebih logis, terperinci dan sistematis. Berdasarkan uraian

tersebut, dapat disimpulkan bahwa matematika merupakan salah satu mata

pelajaran penting yang memiliki manfaat yang besar bagi kehidupan sehari-hari.

Hal tersebut menyebabkan matematika wajib untuk dipelajari sehingga mau tidak

mau, suka tidak suka semua siswa harus mempelajarinya.

Permendiknas no. 22 tahun 2006 dipaparkan bahwa mata pelajaran

matematika bertujuan agar peserta didik memiliki kemampuan sebagai berikut:1 (1)

Memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antarkonsep dan

mengaplikasikan konsep atau algoritma, secara luwes, akurat, efisien, dan tepat,

dalam pemecahan masalah. (2) Menggunakan penalaran pada pola dan sifat,

melakukan manipulasi matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti,

atau menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika. (3) Memecahkan masalah

yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model matematika,

menyelesaikan model dan menafsirkan solusi yang diperoleh. (4)

Mengomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media lain untuk

memperjelas keadaan atau masalah. (5) Memiliki sikap menghargai kegunaan

matematika dalam kehidupan, yaitu memiliki rasa ingin tahu, perhatian, dan minat

dalam mempelajari matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam pemecahan

masalah.

1Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Republik Indonesia No. 22 tahun 2006 tentang

Standar Isi Untuk Satuan Pendidikan Dasar dan Menengah

3

Pemaparan dari Permendiknas No. 22 Tahun 2006 merupakan pemaparan

mengenai tujuan dari pembelajaran matematika secara garis besar, namun untuk

lebih terperincinya setiap materi pada pelajaran matematika yang akan dipelajari

oleh siswa memiliki tujuan pembelajaran dan cara untuk mencapai tujuan yang

berbeda-beda pula. Tujuan pembelajaran yang lebih terperinci pada setiap

materinya adalah sesuatu yang biasa kita kenal dengan sebutan KD (Kompetensi

Dasar). Terdapat empat kompetensi yang mencakup tujuan kurikulum, yaitu

kompetensi sikap spiritual, sikap sosial, pengetahuan, dan keterampilan.

Kompetensi yang ditekankan untuk meningkatkan kemampuan berpikir siswa

adalah kompetensi 3 tentang pengetahuan dan kompetensi 4 tentang keterampilan.

Adapun kompetensi pengetahuan dan kompetensi keterampilan sebagai berikut:2

1. Kompetensi Inti 3 (Pengetahuan)

Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengatahuan faktual, konseptual,

prosedural berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi,

seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan,

kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta

menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai

dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

2. Kompetensi Inti 4 (Keterampilan)

Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak

terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri,

dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.

Kompetensi yang lebih terperinci dari kompetensi inti adalah kompetensi

dasar. Kompetensi dasar memaparkan lebih detail mengenai standar kemampuan

apa saja yang harus dikuasi oleh siswa berdasarkan mata pelajaran dan materi yang

akan dipelajari. Berikut adalah kompetensi dasar pada pelajaran matematika wajib

kelas X tentang materi fungsi komposisi:3

2 Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia Nomor 24 Tahun 2016

Tentang Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar 3 Ibid, hal. 59

4

1. Kompetensi Dasar 3.6

Menjelaskan operasi komposisi pada fungsi dan operasi invers pada fungsi

invers serta sifat-sifatnya serta menentukan eksistensinya

2. Kompetensi Dasar 4.6

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan operasi komposisi dan operasi

invers suatu fungsi

Berdasarkan prinsip metodologis, prinsip prikologis, prinsip logis, dan prinsip

tujuan, maka taksonomi disusun menjadi suatu tingkatan yang menunjukkan tingkat

kesulitan. Bloom dalam ranah kognitif yang telah direvisi oleh Anderson dan

Krathwohl mengkategorikan taksonomi pada ranah kognitif menjadi enam

tingkatan, yaitu (1) mengingat (remember), (2) memahami/mengerti (remember),

(3) menerapkan (apply), (4) menganalisis (analyze), (5) mengevaluasi (evaluate),

dan (6) menciptakan (create).4 Apabila dikaitkan antara kompetensi dasar pada

materi fungsi komposisi dengan taksonomi bloom, maka kompetensi tertinggi yang

ingin dicapai terdapat pada C4 atau menganalisis.

Kenyataan dilapangan menunjukan bahwa siswa masih banyak mengalami

kesulitan pada tingkatan C2. Fajar Sri dalam penelitiannya yang berjudul

“Kesulitan Siswa pada Materi Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers di Kelas XII

SMA Negeri 1 Darussalam” menyatakan bahwa kesulitan siswa pada materi fungsi

adalah sebagai berikut:

1. Siswa kesulitan dalam menentukan persamaan yang merupakan fungsi dan yang

bukan fungsi

2. Siswa kesulitan dalam menentukan komposisi fungsi dari dua buah fungsi

3. Siswa kesulitan dalam menentukan suatu fungsi apabila diketahui komposisi

fungsi dan salah satu fungsi yang lain

Sejalan dengan Fajar Sri, Nawal Ika Susanti dan Siswi Yulaida dalam

penelitiannya yang berjudul “Analisis Kesulitan Siswa dalam Pemahaman Materi

Fungsi Komposisi Siswa Kelas XI Semester 2 MAN Pesanggrahan Tahun Pelajaran

4 Imam Gunawan dan Anggarini Retno P “Taksonomi Bloom – Revisi Ranah Kognitif:

Kerangka Landasan untuk Pembelajaran, Pengajaran, dan Penilaian”, Jurnal Pendidikan Dasar

dan Pembelajaran. Vol. 2. No. 2. 2012, hal. 105.

5

2014-2015” menyatakan kesulitan yang dialami siswa dikarenakan siswa belum

memahami konsep fungsi secara utuh.

Terdapat tujuh butir indikator mengenai konsep pada materi fungsi. Nawal

Ika Susanti dan Siswi Yulaida telah mengelompokkan tingkat kesukaran dari tiap-

tiap indikator yang telah dijabarkan. Indikator tersebut dikategorikan berdasarkan

hasil dari pengujian instumen. Terdapat satu indikator dengan kategori tingkat

kesukaran yang sangat tinggi, satu indikator yang lainnya yang memiliki tingkat

kesukaran yang tinggi, dan lima indikator dengan tingkat kesukaran yang sedang.

Berdasarkan penginterpretasian dari indikator yang telah diuji dapat dilihat bahwa

tidak ada satupun indikator dengan tingkat kesukaran yang rendah yang berarti

bahwa siswa masih kesulitan untuk menyelesaikan masalah mengenai konsep pada

materi fungsi.

Nawal Ika Susanti dan Siswi Yulaida juga mengatakan bahwa faktor-faktor

yang menyebabkan kesulitan siswa dalam pemahaman materi fungsi komposisi

berasal dari faktor intern dan faktor ekstern sebagai berikut penyebab kesulitan

siswa yang berasal dari faktor intern adalah bakat siswa. Penyebab kesulitan siswa

yang berasal dari faktor ekstern adalah pada kualitas guru yang meliputi penguasaan

materi yang belum pas dengan keadaan siswa melihat siswa kurang bakat dalam

matematika, kejelasan menerangkan, dan pada metode yang digunakan dalam

proses pembelajaran serta terletak pada teman bergaul, dimana hal ini dilakukan

teman sekelas yang mengganggu waktu belajar berlangsung.5

Berdasarkan pemaparan mengenai faktor-faktor penyebab kesulitan yang

dialami siswa yang telah dipaparkan oleh peneliti sebelumnya, maka dapat ditarik

kesimpulan bahwa selain faktor intern, faktor ekstern juga memiliki pengaruh yang

besar terhadap pencapaian siswa dalam memahami konsep fungsi. Guru tidak

memiliki peran yang besar dalam merubah faktor intern seperti minat, bakat dan

lain-lain yang dapat menghambat proses belajar siswa dikelas, tetapi sebaliknya

guru memiliki peran yang sangat besar untuk meminimalisir faktor-faktor ekstern

5 Nawal Ika Susanti dan Siswi Yulaida, “Analisis Kesulitan Siswa dalam Pemahaman

Materi Fungsi Komposisi Siswa Kelas XI Semester 2 MAN Pesanggaran Tahun Pelajaran 2014-

2015”, Pancaran Pendidikan. Vol. 4 No. 4, 2015, hal. 110.

6

penyebab kesulitan siswa. Untuk itu, guru dituntut kekreativitasannya dalam

memilih atau bahkan menciptakan metode pembelajaran yang menyenangkan bagi

siswa.

Selain metode pembelajaran, bahan ajar juga menjadi salah satu penunjang

dalam keberhasilan siswa di kelas. Hal tersebut dikarenakan bahan ajar adalah

media untuk guru menyajikan matrei yang akan disampaikan. Hambatan belajar

yang dialami siswa dapat diminimalisir dengan menggunakan bahan ajar yang

tepat. Lembar Kerja Siswa (LKS) yang sering kita temui, pada dasarnya hanya

berisikan rangkuman materi yang minim dan contoh soal yang rumit sehingga

memungkinkan timbulnya hambatan belajar (learning obstacle).

Salah satu bahan ajar yang sering digunakan adalah buku Matematika Edisi

Revisi 2017 yang diterbitkan langsung oleh Kementrian Pendidikan dan

Kebudayaan Republik Indonesia pada tahun 2017. Terdapat beberapa kekurangan

yang dapat ditemukan khususnya pada materi fungsi komposisi. Disajikan sebuah

permasalahan mengenai hasil tukar uang Dollar ke Ringgit dan Rupiah. Soal yang

disajikan sudah sangat berkaitan dengan kehidupan sehari-hari dan sisi positifnya

hal tersebut dapat memunculkan kesadaran siswa terhadap seberapa penting dan

bergunanya materi yang sedang diajarkan, namun pernyataan yang disajikan kurang

menjurus pada persoalan komposisi fungsi. Peserta didik hanya diminta mencari

hasil tukar uang Dollar ke Ringgit dan Ringgit ke Rupiah, dan tidak ada pertanyaan

untuk mengubah Dollar langsung ke Rupiah. Selain itu, untuk penguatan konsep

yang disajikan pada bahan ajar tersebut terlalu banyak simbol sehingga sulit untuk

dipahami oleh peserta didik yang baru mengenal konsep fungsi komposisi

Desain didaktis merupakan rancangan pembelajaran berupa bahan ajar yang

dibuat berdasarkan penelitian learning obstacle pada pembelajaran matematika

yang telah muncul sebelumnya. Desain didaktis dirancang dengan tujuan untuk

mengatasi atau mengurangi learning obstacle yang muncul, agar siswa mampu

memahami konsep suatu materi dalam matematika secara utuh.6 Bahan ajar yang

6 Lusi Siti Aisah dan Kusnandi dan Kartika Yulianti, Desain Didaktis Konsep Luas

Permukaan Dan Volume Prism a Dalam Pembelajaran Matematika SMP. Jurnal Matematika Dan

Pendidikan Matematika . Vol. 1, No. 1, Feb 2016, Hal. 16

7

dibuat secara spesifik langsung mengarah pada hambatan belajar yang dialami

siswa sehingga hambatan belajar yang dialami dapat teratasi. Apabila bahan ajar

yang digunakan tidak dapat memberikan hasil yang diharapkan, maka bahan ajar

tersebut dapat diteliti ulang dan dapat disusun kembali agar dapat mengatasi

hambatan belajar yang dialami oleh siswa tersebut.

Secara garis besar, desain didaktis terdiri dari tiga tahap dalam menyusun dan

menciptakan bahan ajar berdasarkan hambatan belajar, yaitu pada saat sebelum

proses pembelajaran, pada saat proses pembalajaran dan pada saat sesudah proses

pembelajaran. Tahap yang pertama yaitu tahap analisis situasi diaktis sebelum

pembelajaran. Pada tahap ini, guru terlebih dahulu memilih materi apa yang akan

dijadikan sebagai bahan penelitian. Materi tersebut lalu dianalisis dan untuk

dibuatkan instrumen berdasarkan indikator untuk menguji learning obstacle.

Setelah dilakukan uji instrumen, penulis dapat menganalisis dan mengelompokkan

learning obstacle untuk merancang bahan ajar.

Tahap kedua yaitu Analisis Metapedadidaktik. Hal-hal yang dilakukan pada

saat tahap ini yaitu mengimplementasikan bahan ajar yang telah didesain

berdasarkan learning obstacle. Pada tahap ini, mulai terjadinya hubungan

pedagogis dan hubungan didaktis antara siswa, metari dan guru. Guru dapat

menganalisis dan mengantisipasi hubungan didaktis yang terjadi antara siswa

dengan materi.

Tahap ketiga adalah tahap Analisis Retrosfektif yakni analisis yang

mengaitkan hasil analisis situasi didaktis hipotesis dengan hasil analisis

metapedadidaktik.7 Pada tahap ini peneliti menganalisis apakah desain bahan ajar

yang telah dirancang pada tahap pertama dapat memberikan pengaruh terhadap

pemahaman siswa atau malah sebaliknya. Apabila perubahan pada pemahaman

siswa tidak sesuai dengan apa yang diinginkan atau malah dapat menimbulkan

miskonsepsi, maka desain bahan ajar akan direvisi.

7 Didi Suryadi, “Didactical Design Research (DDR) dalam Pengembangan Pembelajaran

Matematika”. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP

Siliwangi Bandung. Vol. 1, 2013, hal. 12

8

Berdasarkan persoalan-persoalan dan berbagai hambatan belajar (learning

obstacle) yang telah dikemukakan maka peneliti berkeinginan untuk membuat

desain didaktis pada materi fungsi menggunakan operasi komposisi dan invers

dengan bertujuan untuk meminimalisir segala macam kesalahpahaman konsep yang

mengakibatkan timbulnya hambatan-hambatan belajar (learning obstacle) siswa

pada materi ini. Sehingga peneliti pada penulisan skripsi ini memberikan judul

“Desain Didaktis Konsep Fungsi pada Siswa SMA Kelas X”.

B. Identifikasi Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan diatas, maka identifikasi

masalah yang dapat ditemukan adalah bagaimana hasil desain bahan ajar yang akan

dirancang sehingga siswa dapat memahami secara utuh konsep pada materi

komposisi fungsi sesuai dengan Kompetensi Dasar yang telah ditentukan.

C. Pembatasan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah yang telah dipaparkan, maka dilakukan

pembatasan masalah dalam penelitian ini sebagai berikut :

1. Pokok bahasan yang diteliti adalah konsep pada materi fungsi dengan

menggunakan operasi komposisi di SMA

2. Penyusunan desain didaktis materi fungsi SMA dibuat berdasarkan learning

obstacle tipe epistemologis yang ditemukan.

D. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang, maka rumusan dari masalah yang akan diteliti

adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana learning obstacle terkait dengan konsep pada materi fungsi

komposisi SMA?

2. Bagaimana desain didaktis pada konsep fungsi komposisi?

3. Bagaimana revisi desain didaktis pada konsep fungsi komposisi?

4. Bagaimana efektivitas dari desain didaktis yang telah dirancang?

E. Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk:

1. Menyusun desain didaktis awal konsep fungsi komposisi SMA dengan tujuan

untuk meminimalisir hambatan belajar (learning obstacle)

9

2. Mengetahui keefektifan desain didaktis awal konsep fungsi komposisi yang

telah disusun

F. Manfaat Penelitian

Melalui penelitian ini, maka manfaat yang dapat diberikan adalah sebagai

berikut:

1. Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat menjadi salah satu alternatif atau

referensi guru untuk digunakan oleh guru dalam proses pembelajaran pada

materi fungsi di SMA

2. Diharapkan penelitian ini dapat dijadikan acuan oleh peneliti lain untuk

mengembangkan desain didaktis pada materi fungsi di SMA sehingga akan

tercipta proses pembelajaran yang lebih baik dan lebih efektif

10

BAB II

KAJIAN TEORI

A. Konsep Materi Fungsi

1. Relasi

Banyak permasalahan manusia dapat diselesaikan dengan menggunakan

simbol-simbol matematika. Sehingga mempermudah manusia untuk

menyelesaikan permasalahan tersebut. Sebagai contoh, sekelompok anak memiliki

hobi yang berbeda-beda maka terjadilah hubungan atau relasi antara anak-anak

tersebut dengan hobi yang disukainya.1

Begitu pula, saat dilakukan kegiatan sosial donor darah. Setiap orang yang

akan jadi pendonor diminta untuk menyebutkan jenis golongan darahnya, apakah

golongan darahnya A, B, AB atau O. Jika suatu saat dibutuhkan golongan darah A,

maka dapat diambil darah pendonor itu sesuai golongan darah yang sama. Dalam

hal ini, terjadi hubungan antara golongan darah pendonor dengan penerima donor

darah.2

Sebelum mendefinisikan apa itu relasi, maka perhatikanlah pernyataan-

pernyataan di bawah ini:3

Ayah menyukai sate padang

Ibu menyukai pempek

Adik menyukai kerak telor

Saya menyukai sate padang

Dengan memperhatikan pernyataan di atas, hubungan apakah yang dapat

disimpulkan antara anggota keluarga dengan jenis-jenis makanan? Ternyata, terjadi

hubungan makanan kesukaan antara anggota keluarga dengan jenis-jenis makanan.

Jadi, berdasarkan uraian contoh diatas dapat dibuat definisi relasi sebagai

berikut.

1 Sutrisna dan Slamet Waluyo, Konsep dan Penerapan Matematika SMA/MA/SMK/MAK,

(Jakarta: PT Bumi Aksara, 2016) hal. 115 2 Ibid. 3 Ibid. hal. 116

11

2. Konsep Fungsi

Misalkan usia Rani dan Hana adalah 17 tahun, sedangkan usia Fandi adalah

18 tahun. Jika Rani, Hana dan Fandi dianggap sebagai anggota himpunan A,

sedangkan 17 tahun dan 18 tahun merupakan anggota himpunan B maka A = {Rani,

Hana, Fandi} dan B = {17 tahun, 18 tahun}. 1

Apabila relasi himpunan A dan himpunan B dinyatakan dalam bentuk

diagram panah, maka:2

A B

Gambar 2.1

Diagram Panah

Perhatikan pula permasalahan berikut ini.

Toni melakukan perjalanan dari Jakarta ke Bandung, untuk mengunjungi

kerabatnya. Ia mengendarai sebuah mobil. Mobilnya melaju dengan kecepatan

tetap50 km/jam sehingga jarak tempuh mobil yang dikendarai Toni dapat diketahui

dengan mudah. Pada 1 jam pertama jarak tempuh perjalanannya 50 km. Setelah 2

jam, jarak tempuh perjalanannya menjadi 100 km. Setelah 3 jam, jarak tempuh

perjalanannya menjadi 150 km. 3

1 Ibid. hal. 121 2 Ibid. 3 Ibid.

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pasangan

anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota

himpunan B

Rani ●

Hana ●

Fandi ●

● 17 tahun

● 18 tahun

12

Dari permasalahan di atas apabia anggota himpunan A menyatakan waktu

sedangkan anggota himpunan B menyatakan jarak, maka A = {1 jam, 2 jam, 3 jam}

dan B = {50 km, 100 km, 150 km}.4

Himpunan A dan himpunan B dapat dihubungkan dengan kata “menempuh

jarak”. Sehingga, relasinya dapat digambarkan dalam bentuk diagram panah seperti

Gambar 2.2.

A B

Gambar 2.2

Diagram Panah

Coba amati Gambar 2.1 dan bandingkan dengan Gambar 2.2! Apakah ada

kesamaan? Ternyata setelah diamati maka didapatkan kesamaan hal-hal sebagai

berikut:

Setiap anggota A mempunyai pasangan di anggota B.

Setiap anggota A hanya mempunyai satu pasangan di B.

Relasi dari himpunan A ke B yang bersifat demikian disebut fungsi atau

pemetaan dari himpunan A ke B.

Jadi, dari Gambar 2.1 dan Gambar 2.2, dapat diketahui bahwa untuk

mendefinisikan suatu fungsi diperlukan dua buah himpunan, misalnya himpunan A

dan B, serta suatu relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat

satu anggota B. Jadi suatu fungsi didefinisikan sebagai berikut.5

4 Ibid. 5 Ibid.

● 50 km

● 100 km

● 150 km

1 jam ●

2 jam ●

3 jam ●

Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu

relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat

satu anggota B

13

3. Konsep Komposisi Fungsi

Tahukah bagaimana proses pembuatan kain? Bagaimana tahap-tahap

pembuatannya? Pada awalnya, kapas diolah menjadi benang, kemudian diolah lagi

menjadi kain. Jika produksi kapas menurun (berkurang) atau meningkat

(bertambah) apakah pengaruhnya terhadap produksi kain?6

Amati pula permasalahan berikut!

Misalkan pada suatu daerah di pulau Sumatera, populasi manusia

mempengaruhi populasi harimau. Hal ini juga mempengaruhi populasi rusa di

daerah itu. Ketika populasi manusia meningkat, populasi harimau pun berkurang

karena harimau cenderung menghindari manusia. penurunan populasi harimau

menyebabkan peningkatan populasi rusa karena rusa dimakan oleh harimau. Apa

yang akan terjadi pada populasi rusa jika populasi manusia menurun?7

Apabila diamati pada kedua permasalahan terkait komposisi fungsi terdapat

tiga buah objek yang nialinya atau jumlahnya saling berkaitan. Keterkaitan antara

objek pertama dengan objek kedua menghasilkan sebuah fungsi, begitu juga

keterkaitan antara objek kedua dan objek ketiga dapat menghasilkan fungsi. Melalui

operasi komposisi pada kedua fungsi, dapat menggabungkan kedua fungsi sehingga

mendapatkan fungsi yang baru. Apabila dikaitkan dengan permasalahan pada kain

dan populasi rusa, maka melalui fungsi komposisi dapat langsung diketahui

keterkaitan antara jumlah kapas dengan jumlah kain dan keterkaitan antara jumlah

populasi manusia dengan populasi rusa.

Komposisi fungsi dapat diilustrasikan sebagai berikut.8

6 Ibid. hal. 149 7 Ibid. 8 Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan Indonesia, Matematika SMA/MA/SMK/MAK

Kelas X, (Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan, 2017) hal. 87

14

Gambar 2.3

Diagram Panah Fungsi Komposisi

Berdasarkan hasil penjabaran di atas, maka dapat didefinisikan fungsi

komposisi sebagi berikut:9

Gambar 2.4

Definisi Fungsi Komposisi

B. Learning Obstacle

Pelajaran matematika merupakan salah satu pelajaran wajib untuk setiap

jurusan dan setiap jenjang satuan pendidikan di sekolah-sekolah di Indonesia.

Mengingat seberapa besar manfaat dari mata pelajaran ini, seharusnya murid-murid

dapat lebih menyukai pelajaran ini. Namun, pada kenyataannya masih banyak siswa

di kelas yang menghindari pelajaran matematika dikarenakan pelajaran ini

dianggap cukup sulit,membosankan dan rumit. Setiap bab pada pelajaran

9 Ibid, hal. 88

15

matematika memiliki hambatan belajar yang berbeda-beda. Hambatan belajar ini

biasa disebut dengan Learning Obstacle.

Brousseau (2002) menyatakan bahwa pada praktiknya, siswa secara alamiah

mungkin mengalami situasi yang disebut sebagai kesulitan belajar (learning

obstacle). Penyebab kesulitan belajar siswa ada 3 faktor yaitu: hambatan ontogeni

(kesiapan mental belajar), didaktis (akibat pengajaran guru), dan epistemologi

(pada pengetahuan siswa yang memiliki konteks aplikasi terbatas) (Suryadi,

2013).10 Berdasarkan faktor-faktor yang menyebabkan timbulnya hambatan belajar

(learning obstacle) yang telah dipaparkan oleh Brousseau maka dapat kita ketahui

apabila ketiga faktor tersebut memiliki hubungan yang erat satu sama lain dalam

proses pembalajaran. Guru dapat membuat bahan ajar dengan tujuan untuk

memudahkan siswa memahami konsep sehingga hambatan belajar (learning

obstacle) yang dialami siswa dapat diminimalisir atau bahkan dihilangkan.

Tidak berbeda jauh dengan Brousseau, Cornu (1991) membagi hambatan

belajar (learning obstacle) menjadi empat macam, yaitu: hambatan kognitif

(cognitive obstacle), hambatan genetis dan psikologis, hambatan didaktis dan

hambatan epistemologi11

Menurut Cornu, hambatan kognitif terjadi ketika siswa mengalami kesulitan

dalam proses belajar. Hambatan genetis dan psikologis terjadi sebagai akibat dari

perkembangan pribadi siswa. Hambatan didaktis terjadi karena sisfat pengajaran

dari guru, dan hambatan epistemologi terjadi karena sifat konsep matematika

sendiri.12

Hambatan belajar yang telah dikemukakan oleh Brousseau dan Cornu tidak

jauh berbeda, hanya saja hambatan yang dikemukakan oleh Brousseau berupa

hambatan ontogeni (kesiapan mental belajar) dipaparkan menjadi lebih rinci oleh

10 Endang Dedy dan Encum Sumiaty, Desain Didaktis Bahan Ajar Matematika SMP

Berbasis Learning Obstacle dan Learning Trajectory. Jurnal Review Pembelajaran Matematika.

Vol. 2, No. 1, Juni 2016, Hal. 70 11 Euis, Hambatan Epistimologis(Epistimological Obstacle) Dalam Persamaan Kuadrat

Pada Siswa MA, Internasional Seminar and the Fourth Nasional Conference On Mathematical

Education, Yogyakarta, 21-23 Juli 2011, hal. 793. 12 Ibid.

16

Cornu menjadi dua macam yaitu hambatan kognitif dan hambatan genetis

psikologis.

Seperti yang telah dikatakan oleh penulis sebelumnya, untuk setiap materi

pada pembelajaran matematika memiliki hambatan belajar yang berbeda-beda.

Khusus untuk materi fungsi menggunakan operasi komposisi dan invers pada Siswa

Menengah Pertama penulis telah menemukan beberapa penelitian terkait tingkat

kesukaran pada materi ini.

Penelitian pertama yang dilakukan oleh Sri pada tahun 2015 dengan judul

“Kesulitan Siswa pada Materi Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers di Kelas XII

SMA Negeri 1 Darussalam”. Dipaparkan bahwa berikut adalah berbagai macam

kesulitan beserta besar persentase tingkat kesulitannya:13

1. Kesulitan siswa dalam memahami konsep fungsi dengan tingkat kesulitan

konsep sebesar 64,71%. Berikut merupakan contoh yang diambil dari salah

objek penelitian untuk menentukan apakah suatu persamaan tersebut

merupakan fungsi atau bukan.

Gambar 2.5

Kesulitan Siswa dalam Memahami Konsep Fungsi

2. Kesulitan siswa dalam menentukan komposisi fungsi dengan tingkat kesulitan

konsep sebesar 35,29%. Berikut merupakan contoh yang diambil dari salah satu

objek penelitian untuk menentukan (fog)(x) jika diketahui f(x) dan g(x)

13 Fajar Sri, Skripsi: “Kesulitan Siswa pada Materi Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

di Kelas XII SMA Negeri 1 Darussalam” (Banda Aceh: Universitas Syiah Kuala, 2015), hal. 36

17

Gambar 2.6

Kesulitan Siswa dalam Menentukan Komposisi Fungsi

3. Kesulitan siswa dalam menentukan suatu fungsi jika diketahui komposisi fungsi

dengan fungsi lain dengan tingkat kesulitan prinsip sebesar 88,24%. Berikut

merupakan contoh yang diambil dari salah satu objek penelitian untuk

menentukan f(x) jika diketahui (fog)(x) dan g(x)

Gambar 2.7

Kesulitan dalam Menentukan Fungsi Lain apabila Diketahui Fungsi

Komposisi

Penelitian kedua yang dilakukan oleh Nawal Ika Susanti dan Siswi Yulaida

yang dilakukan pada tahun 2015. Penelitian tersebut diberi judul “Analisis

Kesulitan Siswa dalam Pemahaman Materi Fungsi Komposisi Siswa Kelas XI

Semester 2 MAN Pesanggaran Tahun Pelajaran 2014-2015”. Tabel 2.1 adalah

pemaparan tingkat kesulitan materi komposisi fungsi beserta interpretasinya:14

14 Nawal Ika Susanti dan Siswi Yulaida, “Analisis Kesulitan Siswa dalam Pemahaman

Materi Fungsi Komposisi Siswa Kelas XI Semester 2 MAN Pesanggaran Tahun Pelajaran 2014-

2015”, Pancaran Pendidikan. Vol. 4 No. 4, 2015, hal. 104.

18

Tabel 2.1

Tingkat Kesulitan Materi Komposisi Fungsi

No Standar Kompetensi Indikator

Persentase

Tingkat

Kesukaran

Interpretasi

1

Mengidentifikasi fungsi-fungsi

baik yang dapat atau yang

tidak dapat dikomposisikan

melalui contoh

Menandai dan

mengidentifikasi konsep 42 % Sedang

Mengidentifikasi konsep

terhadap soal sesuai

rumus

74% Tinggi

2

Melakukan latihan soal fungsi

komposisi yang bervariasi

menggunakan aturan

komposisi dari beberapa

fungsi

Mengidentifikasi rumus

fungsi komposisi 62% Sedang

Mengidentifikasi konsep

yang diberikan dan

mengenal kondisi yang

dibutuhhkan suatu

konsep

47% Sedang

3 Menyimpulkan syarat

komposisi fungsi

Membandingkan konsep

dengan sifat fungsi

komposisi

80% Sangat

Tinggi

4

Menyelidiki dan definisi

komposisi fungsi melalui

contoh

Menggunakan rumus

fungsi komposisi dalam

soal

58% Sedang

Menterjemahkan konsep

kedalam soal fungsi

komposisi

66% Sedang

Berdasarkan analisis kedua karya ilmiah mengenai materi fungsi komposisi ,

dapat dilihat bahwa siswa masih menghadapi berbagai macam kesulitan belajar

pada materi fungsi. Terlihat bahwa cara penyelesaiannya yang masih terlihat

seadanya sehingga menjadikan tingkat persentasi kesulitan yang cukup besar pada

masing-masing indikator.

Berdasarkan dua penelitian sebelumnya, hambatan belajar yang ditemui lebih

mengarah kepada jenis Hambatan Epistemologis atau hambatan pada pengetahuan

siswa itu sendiri. Maka pada penelitian kali ini, peneliti hanya akan fokus kepada

19

jenis Hambatan Epistemologis yang dialami oleh siswa dan bagaimana cara untuk

meminimalisir hambatan-hambatan tersebut.

Hambatan Epistemologis terbagi atas beberapa macam, yaitu epitemologis

konseptual, prosedural dan teknik. Kesalahan konseptual adalah kesalahan yang

dilakukan siswa dalam menafsirkan istilah, sifat, fakta, konsep dan prinsip.

Kesalahan prosedural merupakan kesalahan dalam menyusun simbol, langkah,

peraturan, yang hierarkis dan sistematis dalam menyelesaikan suatu masalah.

Kesalahan teknis merupakan kesalahan dalam penulisan variable dan kesalahan

memahami soal.15

Kesalahan konseptual, prosedural dan teknik dikelompokan berdasarkan

indikator untuk dapat memudahkan identifikasi pada kesalahan-kesalahan tertentu

yang dialami siswa. Berikut merupakan indikator dari macam-macam hambatan

epistemologis berdasarkan indikator kesalahan Kastolan, yaitu:16

1. Hambatan konseptual:

a. Salah dalam menentukan rumus, teorema atau definisi untuk menjawab suatu

masalah

b. Penggunaan rumus, teorema atau definisi yang tidak sesuai dengan kondisi

prasyarat berlakunya

c. Tidak menuliskan rumus, teorema atau definisi untuk menyelesaikan suatu

masalah

2. Hambatan prosedural:

a. Ketidaksesuaian langkah penyelesaian soal yang diperintahkan dengan

penyelesaian soal yang dilakukan siswa

b. Siswa tidak dapat menyelesaikan soal sampai pada bentuk paling sederhana

sehingga perlu dilakukan langkah-langkah lanjutan

3. Hambatan teknik operasional

a. Siswa melakukan kesalahan dalam menghitung nilai dari suatu operasi hitung

b. Siswa melakukan kesalahan dalam penulisan

15 Annisa Silistyaningsih dan Ellya Rakhmawati, “Analsis Kesalahan Siswa Menurut

Kastolan dalam Pemecahan Masalah Matematika”. Seminar Matematika dan Pendidikan

Matematika UNY, 2017, hal. 128 16 Ibid.

20

Penelitian kali ini hanya akan berfokus pada hambatan epistemologis.

Hambatan epistemologis yang telah didapatkan akan dikelompokan pada berbagai

macam hambatan berdasarkan indikator dari macam-macam kesalahan yang telah

dikemukakan oleh Kastolan.

C. Didactical Design Research (DDR)

Desain Didaktis merupakan rancangan pembelajaran berupa bahan ajar yang

dibuat berdasarkan penelitian learning obstacle pada pembelajaran matematika

yang telah muncul sebelumnya. Desain didaktis dirancang dengan tujuan untuk

mengatasi atau mengurangi learning obstacle yang muncul, agar siswa mampu

memahami konsep suatu materi dalam matematika secara utuh.17 Desain

pembelajaran yang dibuat secara khusus mengacu kepada hambatan belajar siswa

dan juga mengacu kepada teori-teori pembelajaran yang telah dikemukakan oleh

para ahli sehingga menjadi dasar yang kuat untuk mengurangi atau bahkan

menghilangkan hambatan belajar yang dialami oleh siswa tersebut.

Dua aspek mendasar dalam proses pembelajaran matematika yaitu hubungan

siswa-materi dan hubungan guru-siswa, ternyata dapat menciptakan suatu situasi

didaktis maupun pedagogis yang tidak sederhana bahkan seringkali terjadi sangat

kompleks. Hubungan Guru-Siswa-Materi digambarkan oleh Kansanen (2003)

sebagai sebuah Segitiga Didaktik yang menggambarkan hubungan didaktis (HD)

antara siswa dan materi, serta hubungan pedagogis (HP) antara guru dan siswa.18

Hubungan didaktis (HD) dengan hubungan pedagogis (HP) merupakan suatu hal

yang harus dipahami secara utuh dan tidak dapat dipisahkan. Seorang guru pada

saat merancang sebuah situasi didaktis, sekaligus juga perlu memikirkan prediksi

respons siswa atas situasi tersebut serta antisipasinya sehingga tercipta situasi

didaktis baru. Antisipasi tersebut tidak hanya menyangkut hubungan siswa-materi,

akan tetapi juga hubungan guru-siswa baik secara individu maupun kelompok atau

17 Lusi Siti Aisah dan Kusnandi dan Kartika Yulianti, “Desain Didaktis Konsep Luas

Permukaan dan Volume Prisma dalam Pembelajaran Matematika SMP”. Jurnal Matematika dan

Pendidikan Matematika. Vol. 1 No. 1 Feb 2016, hal. 16 18 Didi Suryadi, “Didactical Design Research (DDR) dalam Pengembangan Pembelajaran


Siliwangi Bandung. Vol. 1, 2013, hal. 4

21

kelas.19 Maka berikut adalah pengilustrasian pada gambar segitiga didaktis

Kansanen yang telah dimodifikasi oleh Didi Suryadi:

Gambar 2.8

Segitiga Kansanen yang Telah diperbaiki oleh Didi Suryadi

Peran seorang guru adalah untuk menciptakan dan merancang situasi didaktis

di kelas. Selain itu, guru juga harus dapat memprediksi berbagai macam respon

siswa yang mungkin dapat terjadi. Mengingat begitu banyak dan kompleksnya

kemungkinan dari berbagai macam respon yang diberikan siswa, maka guru

tersebut haruslah menguasi dengan baik materi yang akan diajarkan. Melalui

bebagai macam respon siswa, guru dapat menentukan dan menilai berbagai macam

hambatan belajar (Learning Obstacle) yang dimiliki siswa.

Penelitian Disain Didaktis pada dasarnya terdiri atas tiga tahapan yaitu: (1)

analisis situasi didaktis sebelum pembelajaran yang wujudnya berupa Disain

Didaktis Hipotetis termasuk Antisipasi Didaktik dan Pedagogis (ADP), (2) analisis

metapedadidaktik, dan (3) analisis retrosfektif yakni analisis yang mengaitkan hasil

analisis situasi didaktis hipotetis dengan hasil analisis metapedadidaktik. Dari

ketiga tahapan ini akan diperoleh Disain Didaktis Empirik yang tidak tertutup

kemungkinan untuk terus disempurnakan melalui tiga tahapan DDR tersebut.20

19 Ibid., hal. 5 20 Ibid, hal. 12

22

D. Teori-teori Belajar yang Terkait

Teori-teori belajar yang mendukung yang dapat dijadikan rujukan dalam

penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Teori Belajar Ausubel

Ausubel juga berpendapat pembelajaran berdasarkan hafalan (rote learning)

tidak banyak membantu siswa dalam memperoleh pengetahuan, pembelajaran oleh

guru harus sedemikian rupa sehingga membangun pemahaman dalam struktur

kognitifnya, pembelajaran haruslah bermakna (meaningful learning) bagi siswa

untuk menyelesaikan problem-problem kehidupannya.21 Berbeda dengan

menghafal, apabila siswa memahami materi maka pembelajaran akan lebih

bermakna dan siswa akan dapat mengingat konsep yang telah diajarkan.

Teori ini dapat dijadikan acuan terhadap pembuatan desain bahan ajar

sehingga tercipta bahan ajar yang efisien dan ideal. Bahan ajar yang dirancang

haruslah dapat membentuk dan menuntun siswa terhadap pemahaman konsep

secara menyeluruh. Melalui bahan ajar yang telah dirancang nanti, siswa tidak akan

belajar matematika hanya melalui hafalan, sehingga konsep yang telah

dipelajarinya akan disimpan dalam memori jangka panjang dan akan berguna bagi

kehidupannya sehari-hari.

2. Teori Belajar Piaget

Menurut Piaget, terdapat tiga tahapan proses belajar siswa antara lain sebagai

berikut:22

a. Asimilasi

Asimilasi merupakan proses pengintegrasian informasi baru ke struktur

kognitif yang telah ada sebelumya. Proses ini terjadi secara kontinu selama proses

perkembangan intelektual anak

b. Akomodasi

Akomodasi merupakan proses penyesuaian struktur kognitif ke dalam situasi

baru. Proses akomodasi terjadi untuk mengubah struktur kognitif yang telah ada

21 Suyono dan Hariyanto, Belajar dan Pembelajaran (Bandung: PT Remija Rosdakarya,

2016), hal. 100. 22 Evelin Siregar dan Hartini Nara, Teori Belajar dan Pembelajaran, (Bogor: Ghalia

Indonesia. Cet ke-2, 2010), hal. 32

23

agar sesuai dengan stimulus yang baru didapat. Proses asimilasi dan akomodasi

terjadi secara bersama-sama sehingga menyebabkan terjadinya proses adaptasi dan

perkembangan struktur intelektual.

c. Equilibrasi (penyeimbang)

Equilibrasi adalah penyusun kesinambungan antara asimilasi dan akomodasi.

Maksudnya ialah setiap individu yang ingin beradaptasi dengan lingkungannya

harus mencapai keseimbangan antara aktivitas individu atau (internal) terhadap

lingkungannya (eksternal).

Terdapat tiga proses pada teori pembelajaran Piaget. Apabila seorang siswa

menemui fenomena atau konsep pembelajaran yang baru maka akan terjadi

ketidakseimbangan (disequilibrasi) terhadap struktur kognitif yang telah dimiliki

oleh siswa tersebut. Siswa harus melewati proses Asimilasi dan Akomodasi yang

artinya siswa tersebut harus mengintegrasi dan menyesuikan sehingga tercipta

struktur kognitif yang baru untuk menyelesaikan dan memahami situasi yang baru

ditemuinya. Siswa yang telah melewati proses Asimilasi dan Akomodasi maka akan

mencapai keseimbangan (equilibrium) pada struktur kognitif yang baru.

Bahan ajar yang sesuai dengan Teori Piaget adalah bahan ajar yang

memunculkan hal baru yang belum diketahui siswa sebelumnya. Bahan ajar ini

akan menciptakan disequilibrium pada struktur kognitif siswa sehingga akan

menciptakan motivasi siswa untuk mengintegrasi dan memodifikasi struktur

kognitif yang telah dimiliki dengan struktur kognitif yang baru dan yang lebih

sempurna.

3. Teori Belajar Bruner

Dasar dari teori Bruner adalah ungkapan Piaget yang menyatakan bahwa anak

harus berperan secara aktif saat belajar di kelas. Konsepnya adalah belajar dengan

menemukan (discovery learning), siswa mengorganisasikan bahan pelajaran yang

dipelajarinya dengan suatu bentuk akhir yang sesuai dengan tingkat kemajuan

berpikir anak.23

23 Suyono dan Hariyanto, Op. Cit., hal. 88

24

Berdasarkan hasil-hasil eksperimen dan observasi yang dilakukan oleh Bruner

dan Kenney, pada tahun 1963 kedua pakar tersebut mengemukakan empat

teorema/dalil-dalil berkaitan dengan pengajaran matematika yang masing-masing

mereka sebut sebagai ”teorema atau dalil”. Keempat dalil tersebut adalah 24:

a. Dalil konstruksi/Penyusunan (Contruction Theorem)

Di dalam teorema kontruksi dikatakan bahwa cara yang terbaik bagi

seseorang siswa untuk mempelajari sesuatu atau prinsip dalam Matematika adalah

dengan mengkontruksi atau melakukan penyusunan sebagai sebuah representasi

dari konsep atau prinsip tersebut. Dalam proses perumusan dan mengkonstruksi

atau penyusunan ide-ide, apabila disertai dengan bantuan benda-benda konkret

mereka lebih mudah mengingat ide-ide tersebut. Jadi, akan lebih mudah jika siswa

melakukan kegiatan yang konkret dalam pembelajaran konsep matematika.

b. Dalil Notasi (Notation Theorem)

Menurut apa yang dikatakan dalam terorema notasi, representasi dari sesuatu

materi matematika akan lebih mudah dipahami oleh siswa apabila di dalam

representasi itu digunakan notasi yang sesuai dengan tingkat perkembangan

kognitif siswa. Pada tahap awal notasi ini sederhana, diikuti dengan notasi

berikutnya yang lebih kompleks. Tingkat kesulitan notasi ini bergantung pada

perkembangan anak.

c. Dalil Kekontrasan dan Variasi (Contrast and Variation Theorem)

Di dalam teorema kekontrasan dan variasi dikemukakan bahwa sesuatu

konsep matematika akan lebih mudah dipahami oleh siswa apabila konsep itu

dikontraskan dengan konsep-konsep yang lain, sehingga perbedaan antara konsep

itu dengan konsep-konsep yang lain menjadi jelas. Sebagai contoh, pemahaman

siswa tentang konsep bilangan prima akan menjadi lebih baik bila bilangan prima

dibandingkan dengan bilangan yang bukan prima, menjadi jelas. Dalam teorema ini

juga disebutkan bahwa pemahaman siswa tentang sesuatu konsep matematika juga

akan menjadi lebih baik apabila konsepitu dijelaskan dengan menggunakan

berbagai contoh yang bervariasi.Misalnya, dalam pembelajaran konsep

24Siti Hawa, Pengembangan Pembelajaran Matematika SD.(Jakarta : Dirjen Dikti

Depdiknas, 2008) hal. 1-9

25

persegipanjang, ada persegipanjang yang posisinya bervariasi (ada yang dua sisinya

behadapan terletak horisontal dan dua sisi yang lain vertikal, ada yang posisinya

miring, dan sebagainya). Hal inilah yang membuat pemahaman siswa lebih kuat.

d. Dalil Konektivitas atau Pengaitan (Connectivity Theorem)

Di dalam teorema konektivitas disebutkan bahwa setiap konsep, setiap

prinsip, dan setiap ketrampilan dalam matematika berhubungan dengan konsep-

konsep, prinsip-prinsip, dan ketrampilan-ketrampilan yang lain. Dengan

memahami hubungan antara bagian yang satu dengan bagian yang lain dari

matematika, pemahaman siswa terhadap struktur dan isi matematika menjadi lebih

utuh. Serta siswa lebih memahami materi yang sedang dipelajari dalam matematika

yang memiliki banyak hubungan atau keterkaitan dengan pelajaran atau dengan hal-

hal yang lain.

Berdasarkan empat macam dalil yang dikemukakan oleh Bruner dan Kenney,

maka keempat dalil tersebut memiliki kontribusinya masing-masing untuk menjadi

patokan dalam pembuatan bahan ajar. Bahan ajar yang dirancang haruslah mampu

merangsang pemikiran siswa menjadi aktif dan dapat menyusun sendiri konsep

yang akan dipahaminya, sedangkan guru hanya menjadi perantara dan berperan

pasif pada proses pembelajaran, hal ini sejalan dengan Dalil Konstruksi. Dalil notasi

berpendapat bahwa representasi dari pembelajaran matematika akan lebih mudah

dipahami apabila digunakan notasi yang sesuai dengan tingkat kognitif siswa.

Materi fungsi sangat erat kaitannya dengan notasi maka sebagian dari penjabaran

pada bahan ajar akan menggunakan notasi yang sesuai agar dapat mempersingkat

penulisan dan dapat membuat siswa memahami materi dengan lebih mudah. Bahan

ajar tersebut juga dapat mendorong siswa untuk memberikan contoh yang

merupakan fungsi komposisi dan yang bukan fungsi komposisi sesuai dengan Dalil

Kekontrasan. Selain itu, bahan ajar tersebut juga dapat mengaitkan konsep dengan

hal lain contohnya dengan masalah pada kehidupan sehari-hari agar sesuai dengan

Dalil Konektivitas.

4. Teori Belajar Vygotsky

Vygotsky lebih suka menyatakan pembelajarannya sebagai pembelajaran

kognisi sosial (social cognition). Pembelajaran kognisi sosial meyakini bahwa

26

kebudayaan merupakan penentu utama bagi pengembangan individu.25

Perkembangan pembelajaran anak dapat dikatakan bergantung kepada budaya yang

telah dijalani atau sedang dijalaninya. Seperti budaya yang ada pada lingkungan

keluarganya dimana dia berkembang.

a. Konsep Zone of Proximal Development (ZPD)

ZPD adalah suatu area dimana seorang anak merasa sulit mengerjakan tugas

secara sendirian, tetapi akan menjadi mudah jika dikerjakan dengan bantuan dan

bimbingan orang dewasa atau anak yang lebih terampil.26 Secara formal Vygotsky

mendefinisikan ZPD sebagai “jarak antara tingkat perkembangan aktual, yang

ditentukan melalui pemecahan masalah yang dapat diselesaikan secara individu,

dengan tingkat perkembangan potensial, yang ditentukan melalui suatu pemecahan

masalah di bawah bimbingan orang dewasa, atau dengan cara berkolaborasi dengan

teman sebaya”.27Dalam hal ini, peran guru dan teman sebaya (sudah terlatih) bukan

hanya sekedar menjadi pemberi atau pentransfer materi, tetapi juga menjadi

fasilitator,motivator dan mediator.

b. Scaffolding

Proses atau cara memberikan bantuan yang diberikan oleh orang dewasa atau

teman sebaya yang lebih berkompeten (capable peer), agar siswa beranjak dari

zona aktual menuju zona potensial disebut sebagai scaffolding.28Secara ringkas

dapat dikatakan bahwa scafolding adalah bantuan seperlunya yang diberikan oleh

guru kepada siswa yang kemudian secara bertahap dikurangi, akhirnya siswa dapat

berdiri sendiri dalam melakukan aktivitas belajar.29 Sehingga semakin lama siswa

bisa secara mandiri mengerjakan sesuatu yang pada awalnya sulit untuk mereka

pahami sendiri.

Teori Vygotsky lebih menekankan kepada proses pembelejaran dan bukan

menekankan pada desain bahan ajar yang akan dirancang. Konsep pembelejaran

25Suyono dan Hariyanto, Op.cit, hal.109 26Karwono dan Heni Mularsih, Belajar dan Pembelajaran, (Depok: Rajawali Pers, 2017),

hal. 91 27Suyono dan Hariyanto, Op. cit, hal. 113 28Suyono dan Hariyanto, Op.cit, hal.113 29Akbar Suta Widjaja dan Jarnawi Afgani, Konsep Dasar Pembelajaran Matematika.2014.

hal.4

27

yang digunakan adalah ZPD (Zone Proximal Development) dan Scaffolding. ZPD

merupakan situasi antara actual development dengan situasi potencial development.

Tidak semua siswa berada pada situasi actual development yang artinya tidak

semua siswa dapat menyelesaikan suatu masalah tanpa diberikan petunjuk atau

stimulus dari guru atau dari teman sebayanya. Berdasarkan hal tersebut, maka

proses pembelajaran yang tepat digunakan untuk situasi tersebut adalah dengan

menggunakan model pembelajaran kooperatif dimana siswa dapat saling bertukar

pikiran untuk dapat menyelesaikan masalah yang diberikan.

Konsep pemebelajarang kedua yang disaran adalah scaffolding. Konsep ini

menuntun guru untuk memberikan banyak petunjuk dan stimulus pada awal proses

pembelajaran dan mengurangi stimulus sedikit demi sedikit agar siswa dapat

berpikir secara mandiri.

E. Penelitian yang Relevan

Hasil penelitian yang relevan pada penelitian kali ini adalah:

1. Hasil Penelitian Lusi Siti Aisah, Kusnandi dan Kartika Yulianti dengan judul

“Desain Didaktis Konsep Luas Permukaan dan Volume Prisma dalam

Pembelajaran Matematika SMP” penelitian ini dilaksanakan di Bandung

menghasilkan desain didaktis berdasarkan empat jenis learning obstacle.

2. Hasil Penelitian Endang Dedy dan Encum Sumiaty dengan judul “Desain

Didaktis Bahan Ajar Matematika SMP Berbasis Learning Obstacle dan

Learning Trajectory” penelitian ini dilaksanakan di Bandung menghasilkan

desain didaktis berdasarkan tiga jenis learning obstacle.

3. Hasil penelitian Nawal Ika Susanti dan Siswi Yulaida dengan judul “Analisis

Kesulitan Siswa dalam Pemahaman Materi Fungsi Komposisi Siswa Kelas XI

Semester 2 MAN Pesanggaran Tahun Pelajaran 2014-2015” penelitian ini

dilaksanakan di Banyuwangi menghasilkan analisis interpretasi dari setiap

indikator pada materi fungsi komposisi

4. Hasil penelitian Fajar Sri dengan judul “Kesulitan Siswa pada Materi

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers di Kelas XII SMA Negeri 1 Darussalam”

penelitian ini dilaksanakan di Banda Aceh menghasilkan jenis-jenis kesulitan

yang dialami siswa pada materi fungsi Komposisi

28

F. Kerangka Berpikir

Matematika merupakan salah satu cabang ilmu yang memiliki peranan

penting dalam kehidupan sehari-hari, oleh karena itu matematika merupakan salah

satu ilmu yang akan dipelajari dari jenjang pendidikan paling dasar sampai ke

jenjang pendidikan paling tinggi sekalipun. Tujuan pembelajaran matematika

adalah untuk membantu siswa menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari

karena matematika melatih siswa untuk berpikir sistematis, kritis dan logis. Salah

satu materi yang penting untuk dipelajari adalah fungsi komposisi.

Fungsi komposisi dapat membantu siswa menyelesaikan dua buah kejadian

yang saling berkaitan dan mempengaruhi sattu sama lain. Namun sayangnya, tidak

semua siswa mengetahui dengan baik kegunaan dari materi tersebut. Berdasarkan

penelitian-penelitian sebelumnya, salah satunya adalah penelitian yang dilakukan

oleh Nawal Ika Susanti dan Siswi Yulaida, telah dijabarkan tujuh macam indikator

yang telah dianalisis tingkat kesukarannya berdasarkan kemampuan siswa yang

diteliti. Hasil dilapangan menunjukan bahwa tingkat kesukaran yang dialami siswa

berdasarkan kemampuan yang diuji bervariasi antara sedang sampai ke tingkat

sangat sulit. Tidak ada satupun indikator yang dianggap benar-benar mudah oleh

siswa. Hal ini terjadi dikarenakan siswa memiliki hambatan belajar pada materi

komposisi fungsi.

Hambatan belajar atau yang biasa dikenal sebagai Learning Obstacle muncul

karena tiga faktor seperti yang telah dikemukakan oleh Brousseau, yaitu hambatan

ontogeni (kesiapan mental belajar), didaktis (akibat pengajaran guru), dan

epistemologi (pada pengetahuan siswa yang memiliki konteks aplikasi terbatas).

Hambatan belajar yang dialami siswa dapat dikurangi atau bahkan dihilangkan

apabila guru dapat menyampaikan materi dengan tepat dan dengan menggunakan

bahan ajar yang tepat pula.

Desain didaktis atau Didactical Design Research (DDR) adalah suatu metode

penelitian yang difokuskan berdasarkan hambatan belajar yang dialami siswa.

Menggunakan hambatan belajar yang telah diteliti, guru merancang bahan ajar yang

sesuai dan diharapkan dapat meminimalisir atau bahkan menghilangkan hambatan

29

belajar yang dialami siswa. Selain itu, dalam merancang penyusunan bahan ajar

harus berdasarkan teori belajar yang telah dikemukakan oleh para ahli, sehingga

bahan ajar yang dirancang memiliki bahan acuan penyusunan yang valid dan diakui

keakuratannya. Maka dari itu, penting bagi guru untuk mengetahui banyak teori dan

metode pembelelajaran serta kelebihan dan kekurangannya sehingga dapat

digunakan dengan tepat dalam situasi yang tepat pula.

Penelitian Disain Didaktis pada dasarnya terdiri atas tiga tahapan yaitu: (1)

analisis situasi didaktis sebelum pembelajaran yang wujudnya berupa Disain

Didaktis Hipotetis termasuk Antisipasi Didaktik dan Pedagogis (ADP), (2) analisis


analisis situasi didaktis hipotetis dengan hasil analisis metapedadidaktik. Dari

ketiga tahapan ini akan diperoleh Disain Didaktis Empirik yang tidak tertutup

kemungkinan untuk terus disempurnakan melalui tiga tahapan DDR tersebut.30


Matematika”. Op.cit., hal. 12

30

Gambar 2.9

Skema Prosedur Penelitian

Penyusunan TKR (Tes Kemampuan

Responden)

Dan Panduan

wawancara

Hasil :

Learning Obstacle

Prediksi respon siswa

dan antisipasinya

Antisipasi guru (di

luar prediksi)

Hasil :

1. Analisis Learning Obstacle

2. Efektivitas Desain Didaktis

STUDI LITERATUR

PENGEMBANGAN

INSTRUMEN

PENGUMPULAN

DATA

ANALISIS SITUASI

DIDAKTIS

DESAIN DIDAKTIS

Bahan ajar

IMPLEMENTASI

DESAIN DIDAKTIS

ANALISIS

RETROSFEKTIF

DESAIN DIDAKTIS

REVISI

Melaksanakan TKR

akhir

Melaksanakan TKR

awal dan wawancara

Berupa :

LKS

Analisis respon siswa

31

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

A. Tempat dan Waktu Penelitian

Penelitian ini dilaksanakan di SMA Negeri 5 Tangerang Selatan yang

berlokasi di perumahan Puri Bintaro Hijau, Tangerang Selatan. Penelitan ini akan

dilaksanakan pada tahun ajaran 2018/2019 pada semester genap.

B. Subjek Penelitian

Pada penelitian awal dilakukan TKR (Tes Kemampuan Responden) awal

dengan subjek siswa kelas XI yang telah mempelajari materi fungsi. Penelitian awal

ini dilakukan untuk mengidentifikasi learning obstacle apa saja yang muncul dalam

konsep materi fungsi.

Dilakukan penelitian lanjutan untuk menyusun desain didaktis berdasarkan

learning obstacle yang muncul pada penelitian awal. Desain didaktis yang telah

disusun akan diimplementasikan kepada siswa kelas X di sekolah yang sama

dengan penelitian awal.

C. Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan adalah metode kualitatif. Metode kualitatif

ini dipilih agar dapat lebih rinci mengungkapkan gejala atau fenomena yang lebih

kompleks dan sulit diungkapkan jika menggunakan metode kuantitatif. Seperti

yang diungkapkann oleh Ruseffendi (2005) bahwa penelitian kualitatif itu perlu

dilakukan untuk mengungkapkan sesuatu yang oleh penelitian kuantitatif belum

terungkapkan.1

Desain yang digunakan dalam penelitian ini berupa Penelitian Desain

Didaktis (Didactical Design Research). Penelitian Desain Didaktis pada dasarnya

terdiri atas tiga tahap yaitu: (1) analisis situasi didaktis sebelum pembelajaran yang

wujudnya berupa Desain Didaktis Hipotesis termasuk ADP, (2) analisis

1 Lusi Siti Aisah dan Kusnandi dan Kartika Yulianti, “Desain Didaktis Konsep Luas

Permukaan dan Volume Prisma dalam Pembelajaran Matematika SMP”. Jurnal Matematika dan

Pendidikan Matematika. Vol. 1 No. 1 Feb 2016, hal. 16

32


analisis situasi didaktis hipotesis dengan hasil analisis metapedadidaktik.1

Adapun tahapan yang akan dilakukan pada penelitian ini secara lebih rinci

akan diuraikan sebagai berikut:2

Tahap I: Analisis situasi didaktis sebelum pembelajaran

1. Menentukan materi matematika yang akan dijadikan bahan penelitian.

2. Menganalisis materi matematika yang telah dipilih.

3. Melakukan telaah susunan materi matematika yang telah dipilih tersebut pada

buku-buku sumber yang ada.

4. Mengembangkan instrumen learning obstacle dengan menyusun indikator

kemampuan mengerjakan soal pada tiap nomornya, dan membuat/memilih soal-

soal yang variatif serta dapat memunculkan kesulitan siswa mengenai konsep

komposisi fungsi

5. Melakukan uji instrumen learning obstacle dilanjutkan dengan tanya jawab

untuk mengidentifikasi learning obstacle.

6. Menganalisis hasil uji instrumen learning obstacle dengan menghitung

persentase banyaknya siswa yang mencapai suatu indikator.

7. Mengelompokkan jenis kesulitan siswa berdasarkan indikator Kastolan.

8. Membuat lintasan belajar untuk mempelajari materi komposisi fungsi.

9. Mengembangkan desain didaktis berdasarkan learning obtacle yang muncul

dan menyesuaikan dengan teori belajar yang relevan, selain itu pengembangan

desain didaktis juga perlu memperhatikan kemampuan-kemampuan

matematika yang dapat dikembangkan.

10. Membuat prediksi respon siswa terhadap desain didaktis yang akan

diimplementasikan dan mempersiapkan antisipasi didaktisnya

Tahap II: Analisis metapedadidaktik

1. Melakukan implementasi desain didaktis yang telah dibuat.



Siliwangi Bandung. Vol. 1, 2013, hal. 1 2 Lusi Siti Aisah dan Kusnandi dan Kartika Yulianti, Op. Cit., hal. 17-18

33

2. Menganalisis hasil implementasi desain didaktis berbagai respon siswa saat

implementasi desain didaktis. AT H L I N E18

Tahap III: Analisis retrosfektif

1. Mengaitkan antara prediksi awal yang telah dibuat sebelum implementasi

dengan respon siswa saat implementasi berlangsung sebagai rujukan untuk

revisi desain didaktis.

2. Membuat desain bahan ajar revisi yang telah disempurnakan apabila masih

terdapat kekurang.

D. .Teknik Pengumpulan Data

Teknik pengumpulan data yang digunakan pada penelitian kali ini adalah

sebagai berikut:

1. Tes Tulis

Tes ini dilakukan dengan cara memberikan instrumen yang sesuai dengan

kompetensi dasar pada materi komposisi fungsi. Tes ini dilakukan untuk

menganalisis hambatan-hambatan belajar yang dialami siswa pada materi

komposisi fungsi

2. Wawancara

Wawancara dilakukan dengan cara memberikan kisi-kisi pertanyaan kepada

guru dan siswa. Pertanyaan yang diajukan bertujuan untuk mengetahui secara lebih

dalam penyebab terjadinya hambatan belajar dan hambatan belajar yang dialami

siswa secara spesifik. Tes wawancara dilakukan setelah dilaksanakannya tes tulis.

3. Observasi

Observasi dilakukan selama proses pengimplementasian desain didaktis

sedang berlangsung.

4. Dokumentasi

Dokumentasi dilakukan untuk memperolah data langsung dari lapangan yang

digunakan untuk menggambarkan proses penelitian yang sedang berlangsung.

34

E. Teknik Analisis Data

Analisis data dalam penelitian kualitatif dilakukan sejak sebelum memasuki

lapangan, selama di lapangan, dan setelah selesai di lapangan. Berdasarkan

pernyataan tersebut, maka analisis data dalam penelitian ini dibagi ke dalam tiga

tahap, yaitu:

1. Analisis data sebelum memasuki lapangan

Tahap ini dilakukan dengan cara menganalisis hambatan belajar tipe

epistemologis dan mengelompokannya berdasarkan indikator kesalahan yang

dikemukakan oleh Kastolan, setelah itu menyusun suatu desain didaktis awal yang

mengacu pada hambatan belajar siswa yang di dalamnya meliputi prediksi respon

siswa dan antisipasi respon siswa saat di lapangan nantinya.

2. Analisis data selama di lapangan

Menganalisis situasi dari berbagai respon siswa pada saat desain didaktis awal

diterapkan.

3. Analisis data setelah selesai di lapangan

a. Mengaitkan prediksi respon dan antisipasi yang telah dibuat sebelumnya

dengan situasi dari berbagai respon yang terjadi pada saat implementasi.

b. Menganalisis hasil uji instrumen yang digunakan untuk mengidentifikasi

hambatan belajar sesuai dengan indikator kesalahan Kastolan kepada siswa

yang telah memperoleh pembelajaran dengan desain didaktis.

c. Membandingkan secara kualitatif antara hambatan belajar siswa yang telah

memperoleh pembelajaran menggunakan desain didaktis dengan yang tidak.

d. Membuat desain revisi yang telah disempurnakan apabila masih terdapat

kekurangan pada desain bahan ajar sebelumnya.

35

BAB IV

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

Proses penelitian desain didaktis terdiri atas tiga tahap penting yang harus

dilakukan, yaitu analisis prospektif, analisis metapedadidaktik dan analisis

retrosfektif. Analisis prospektif merupakan analisis tahap pertama yang akan

dilakukan oleh peneliti. Analisis ini dilakukan sebelum pembelajaran berlangsung.

Analisis metapedadidaktik dilakukan setelah dilakukannya tahap analisis

prospektif. Tahap ini merupakan tahapan dimana peneliti mulai mengaplikasikan

bahan ajar yang telah dirancang. Setelah itu, penulis akan melakukan tahap

retrosfektif dimana tahapan ini akan menjadi tahapan analisis terakhir yang akan

dilakukan oleh peneliti. Pada tahap ini, peneliti akan menggabungkan hasil analisis

antara prospektif dengan metapedadidaktik. Hasil dari analisis tersebut akan

memberikan kesimpulan mengenai keefektifan desain pembelajaran serta revisi-

revisi bahan ajar yang akan dilakukan untuk menghasilkan desain pembelajaran

yang lebih baik.

A. Analisis Prospektif

Analisis prospektif merupakan tahap analisis yang dilakukan sebelum

pembelajaran dimulai. Analisis ini terdiri dari analisis learning obstacle,

repensonalisai dan rekontekstualisasi, dan pengembangan desain didaktis. Analisis

ini diawali dengan cara melakukan uji instrumen learning obstacle untuk

mengetahui hambatan belajar yang dialami oleh siswa. Setelah itu peneliti akan

melakukan analisis rekontekstualisasi dan analisis repersonalisasi yang bertujuan

untuk mengaitkan materi dengan permasalahan pada kehidupan sehari-hari dan

untuk mengetahui alur pembelajaran yang akan diterapkan sehingga menciptakan

bahan ajar yang lebih teratur dan terstruktur. Setelah itu peneliti akan membuat

pengembangan desain didaktis yang akan digunakan pada saat pembelajaran

berlangsung.

1. Analisis Learning Obstacle Materi Fungsi Komposisi

Analisis Learning Obstacle merupakan tahap awal yang wajib dilakukan

sebelum merancang desain pembelajaran. Hal ini dilakukan agar dapat merancang

desain pembelajaran dengan tujuan untuk meminimalisir hambatan belajar yang

36

selama ini dialami oleh kebanyakan siswa. Learning Obstacle yang akan dianalisis

hanya terbatas pada materi fungsi.

Learning Obstacle yang telah teridentifikasi akan dikelompokan ke dalam

bentuk yang lebih spesifik yaitu berupa hambatan konseptual, hambatan prosedural

dan hambatan teknik operasisonal. Secara garis besar, hambatan koseptual

merupakan hambatan yang terjadi apabila siswa salah dalam mengartikan dan

menggunakan konsep yang telah ia pahami sebelumnya, contohnya siswa yang

salah dalam menyebutkan definisi atau penggunaan definisi yang belum tepat.

Hambatan prosedural merupakan hambatan yang terjadi apabila siswa tidak

mengerjakan soal sesuai dengan prosedur yang berlaku. Hambatan teknik

operasional terjadi apabila terdapat kesalahan penulisan atau kesalahan-kesalahan

lain yang secara tidak sengaja dialami oleh siswa.

Instrumen Learning Obstacle akan diujikan di kelas XI MIPA 2 dan XI MIPA

3 pada SMAN 5 Tangerang Selatan. Siswa tersebut merupakan siswa yang telah

mempelajari materi fungsi komposisi pada kelas X semester genap. Total siswa

yang mengikuti tes ini sebanyak 71 siswa. Terdapat 8 butir soal yang akan diujikan

yang telah mencakup berbagai macam kemampuan yang dimulai dari kemampuan

pemahaman konsep sampai dengan kemampuan pemecahan masalah. Dari berbagai

soal tersebut, maka didapatkan besaran persentase hambatan belajar yang dialami

oleh siswa:

Tabel 4.1

Persentase Hamabatan Belajar Siswa Materi Fungsi Komposisi

No s

oal

Kodif

ikas

i

Jenis Hambatan

Jumlah Siswa yang

Memiliki Hambatan

Persentase Hambatan

(%)

Rata-rata

Persentase

Hambatan

pada

setiap

Butir soal

XI MIPA

2

XI MIPA

3

XI MIPA

2

XI MIPA

3

1

1

A

Hambatan

konseptual 0 0 0.00 0.00 0.00

1

B

Hambatan

prosedural 4 4 10.53 12.12 11.32

37

Hambatan teknik

operasional 3 2 7.89 6.06 6.98

1

C

Hambatan

konseptual 0 0 0.00 0.00 0.00

Hambatan teknik

operasional 2 3 5.26 9.09 7.18

1

D

Hambatan

konseptual 10 9 26.32 27.27 26.79

2 2

Hambatan

konseptual 9 10 23.68 30.30 26.99

Hambatan teknik

operasional 7 9 18.42 27.27 22.85

3 3

Hambatan

konseptual 20 19 52.63 57.58 55.10

Hambatan

prosedural 13 14 34.21 42.42 38.32

Hambatan teknik

operasional 10 7 26.32 21.21 23.76

4

4

A

Hambatan

konseptual 26 22 68.42 66.67 67.54

Hambatan

prosedural 11 8 28.95 24.24 26.59

4

B

Hambatan

konseptual 26 23 68.42 69.70 69.06

Hambatan

prosedural 11 8 28.95 24.24 26.59

4

C

Hambatan

konseptual 28 25 73.68 75.76 74.72

Hambatan

prosedural 16 15 42.11 45.45 43.78

5 5

Hambatan

prosedural 19 18 50.00 54.55 52.27

Hambatan teknik

operasional 2 4 5.26 12.12 8.69

6 6 Hambatan

prosedural 22 20 57.89 60.61 59.25

38

Hambatan teknik

operasional 5 7 13.16 21.21 17.19

7 7

Hambatan

konseptual 23 20 60.53 60.61 60.57

Hambatan teknik

operasional 5 8 13.16 24.24 18.70

8

8

A

Hambatan

konseptual 28 25 73.68 75.76 74.72

8

B

Hambatan

konseptual 37 33 97.37 100.00 98.68

8

C

Hambatan

konseptual 38 33 100.00 100.00 100.00

9

9

A

Hambatan

konseptual 28 25 73.68 75.76 74.72

9

B

Hambatan

konseptual 37 33 97.37 100.00 98.68

9

C

Hambatan

konseptual 38 33 100.00 100.00 100.00

Persentase rata-rata hambatan belajar siswa pada materi

fungsi komposisi 43.38 45.66 44.52

Hambatan yang diteliti terdapat tiga macam, yaitu hambatan konseptual,

prosedural dan teknik operasional. Berikut adalah tabel yang merupakan persentase

dari pengelompokkan dari ketiga macam hambatan tersebut:

Tabel 4.2

Persentase Hamabatan Belajar Siswa pada Materi Fungsi Komposisi

dari Setiap Jenis Hambatan

Jenis hambatan

Persentase hambatan

setiap kelas Rata-rata persentase

hambatan dari setiap

jenis hambatan XI MIPA 2 XI MIPA 3

Hambatan konseptual 61.05 62.63 61.84

Hambatan prosedural 36.09 37.66 36.88

39

Hambatan teknik operasional 12.78 17.32 15.05

Jumlah siswa SMAN 5 Tangsel kelas XI MIPA 2 yang mengikuti tes: 38 siswa

Jumlah siswa SMAN 5 Tangsel kelas XI MIPA 3 yang mengikuti tes: 33 siswa

Jumlah keseluruhan siswa yang mengikuti tes : 38+33 = 71 siswa

Persentase hambatan siswa = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑖𝑠𝑤𝑎 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑛𝑔𝑎𝑙𝑎𝑚𝑖 ℎ𝑎𝑚𝑏𝑎𝑡𝑎𝑛

𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑖𝑠𝑤𝑎 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑛𝑔𝑖𝑘𝑢𝑡𝑖 𝑡𝑒𝑠 𝑥 100%

Fungsi komposisi merupakan salah satu materi yang memiliki persentase

hambatan belajar yang cukup besar terutama pada indikator hambatan konseptual.

Persentase hambatan belajar siswa didapat berdasarkan perhitungan dan analisis

dari sampel yang didapat pada sekolah SMAN 5 Tangerang Selatan. Persentase

hambatan belajar antara kelas XI MIPA 2 dengan XI MIPA 3 memiliki selisih yang

relatif kecil, hal ini dikarenakan penyebaran kemampuan matematis tiap siswa antar

kelas yang dinilai cukup setara. Selain itu, para siswa juga mendapat guru

matematika yang sama pada saat kelas X, hal ini memungkinkan terdapat kesamaan

antara metode balajar dan cara penyampaian yang dilakukan oleh guru sehingga

tidak mempengaruhi perbedaan yang cukup besar dalam pemahaman antara kelas

yang satu dengan kelas yang lainnya. Berikut adalah hambatan yang muncul beserta

keterangan hambatan berdasarkan Tabel 4.1:

Tabel 4.3.

Jenis Hambatan Beserta Keterangan yang dialami Siswa pada Materi

Fungsi Komposisi

Kodifikasi

Soal No Jenis Hambatan Keterangan Hambatan

1B

a Hambatan prosedural

Kesulitan dalam menggabungkan kedua

fungsi dan kesulitan dalam menjadikannya

sebagai suatu fungsi yang baru

b Hambatan teknik

operasional

Terdapat kesalahan penulisan dalam proses

pengerjaan soal

1C c Hambatan teknik

operasional

Terdapat kesalahan penulisan dalam proses

pengerjaan soal

40

1D d Hambatan konseptual

Kesulitan dalam menentukan pernyataan yang

benar dan salah pada tabel yang digunakan

untu menguji pemahaman konsep siswa terkait

materi fungsi komposisi

2

e Hambatan konseptual Siswa keliru dalam membedakan antara fungsi

(fog)(x) dengan fungsi (gof)(x)

f Hambatan teknik

operasional

Terdapat kesalahan penulisan dan penggunaan

operasi aljabar yang tidak tepat

3

g Hambatan konseptual Kesulitan dalam menentukan fungsi

(fogoh)(x)

h Hambatan prosedural Kesulitan menentukan bentuk sederhana dari

fungsi (fogoh)(x)

i Hambatan teknik

operasional

Kesalahan penulisan dan penggunaan operasi

aljabar yang tidak tepat

4A, 4B dan

4C j Hambatan konseptual

Kesulitan dalam membedakan diagram

(fog)(x) dengan diagram (gof)(x), diagram

(foI)(x) dengan diagram (Iof), dan diagram

((fog)oh)(x) dengan diagram (fo(goh))(x)

(diagram saling tertukar)

4A, 4B dan

4C k Hambatan prosedural

Tidak memberikan kesimpulan dalam

menentukan berlaku atau tidaknya sifat

komutatif, identitas dan asosiatif pada fungsi

komposisi

5

l Hambatan prosedural Tidak mengerjakan dengan tuntas sampai

dengan nilai g(2)

m Hambatan teknik

operasional


operasi aljabar yang tidak tepat dalam

menentukan nilai g(2)

6

n Hambatan prosedural

Tidak mengerjakan dengan tuntas sampai

dengan bentuk dari f(x-2) yang paling

sederhana

o Hambatan teknik

operasional



menentukan f(x-2)

7 p Hambatan konseptual Kesulitan dalam menentukan nilai a pada

persamaan (fog)(a)

41

q Hambatan teknik

operasional



menentukan nilai a pada fungsi (fog)(a)

8A r Hambatan konseptual

Kesulitan menentukan model matematika

yang tepat pada permasalahan pergantian nilai

mata uang

8B s Hambatan konseptual Kesulitan menentukan total ringgit dan rupiah

yang diminta

8C t Hambatan konseptual

Kesulitan dalam menentukan cara lain yang

dapat digunakan untuk langsung mengubah

nilai Dollar menjadi Rupiah

9A u Hambatan konseptual

Kesulitan menentukan model matematika

yang tepat pada permasalahan jumlah populasi

virus

9B v Hambatan konseptual Kesulitan menentukan total populasi virus C

9C w Hambatan konseptual

Kesulitan dalam menentukan cara lain yang

dapat digunakan untuk langsung menentukan

jumlah populasi virus C dari populasi virus A

Setiap butir soal memiliki kemungkinan tipe-tipe hambatan belajar yang

berbeda yang telah dikelompokkan berdasarkan teori yang dikemukakan oleh

Kastolan. Hambatan tersebut adalah hambatan konseptual, hambatan prosedural

dan hambatan teknik operasional. Berdasarkan fakta yang ditemukan dilapangan,

bisa terdapat lebih dari satu jenis hambatan secara bersamaan dalam satu butir soal.

Berikut adalah pemaparan hamabatan secara lebih terperinci berdasarkan Tabel 4.2:

a. Hambatan prosedural siswa dalam menentukan hasil fungsi komposisi

yang baru

Hambatan yang mempunyai kemungkinan untuk muncul dalam indikator

pada soal nomor 1B adalah hambatan prosedural. Hambatan ini dapat terjadi

dikarenakan siswa tidak membutuhkan pemahaman konsep untuk mengerjakan soal

pada tahap ini, siswa hanya diminta untuk menggabungkan kedua buah fungsi dan

menjadikannya fungsi yang baru. Persentase hambatan yang dialami oleh siswa

sebanyak 9%. Berikut adalah contoh dari salah satu responden yang mengalami dan

yang tidak mengalami hambatan prosedural:

42

Gambar 4.1

Contoh siswa yang mengalami hambatan konseptual pada soal nomor 1B

Gambar 4.2

Contoh siswa yang tidak mengalami hambatan konseptual pada soal nomor

1B

Dari kedua gambar di atas, dapat dilihat perbedaan hasil pengerjaan yang

benar dan yang salah. Pada Gambar 4.2 siswa hanya menggabungkan kedua fungsi

menjadi satu, sedangkan pada Gambar 4.3 siswa menggabungkan sekaligus

mengubah kedua fungsi tersebut menjadi fungsi yang baru, dan jawaban itulah yang

sesuai dengan yang diminta oleh soal. Melalui fungsi yang baru, siswa dapat dengan

mudah menentukan apakah fungsi komposisi tersebut masih bisa dikatakan sebagai

fungsi yang sesuai dengan definisi atau tidak.

43

b. Hambatan teknik operasional dalam menentukan hasil fungsi komposisi

yang baru

Hambatan teknik operasional adalah salah satu jenis hambatan yang

memungkinkan muucul dalam indikator pada soal nomor 1B selain jenis hambatan

prosedural. Kesalahan penulisan atau kesalahan siswa dalam melihat soal dapat

terjadi sehingga menciptakan jawaban yang tidak tepat. Berbeda dengan hambatan

konseptual dan prosedural, hambatan teknik operasional lebih dititik beratkan pada

kesalahan dalam penggunaan tanda, penggunaan jenis operasi pada matematika dan

berbagai jenis kesalahan yang muncul dikarenakan ketidaktelitian siswa dalam

mengerjakan soal. Berikut adalah contoh hasil pengerjaan salah satu responden

yang terdapat kesalahan penulisan di dalamnya:

Gambar 4.3

Contoh Siswa yang Mengalami Hambatan Teknik Operasional pada Soal

Nomor 1B

Diagram keempat yang digambar oleh siswa tidak bersesuaian dengan soal

yang disajikan, sehingga menghasilkan jawaban yang tidak tepat.

c. Hambatan Teknik Operasional dalam menentukan gabungan fungsi mana

yang masih berbentuk fungsi yang sesuai dengan definisi

44

Tipe hambatan yang terjadi pada tahap ini adalah hambatan teknik

operasional. Siswa yang sama yang mengalami hambatan teknik operasional pada

soal nomor 1B, pastinya akan menghasilkan kesimpulan yang keliru juga pada soal

nomor 1C dikarenakan kesimpulan yang diambil sebagai jawaban pada soal nomor

1C adalah berdasarkan hasil pengerjaan siswa pada nomor 1B. Hambatan yang

dialami oleh siswa tersebut bukanlah tipe hambatan konseptual karena berdasarkan

hasil analisis peneliti, anak tersebut sudah dapat memahami secara utuh konsep dari

definisi fungsi. Berikut adalah salah satu responden yang memiliki kesalahan

penulisan sehingga menghasilkan kesimpulan yang salah:

Gambar 4.4

Contoh Siswa yang Mengalami Hambatan Teknik Operasional pada Soal

Nomor 1C

d. Hambatan konseptual siswa dalam menentukan pernyataan yang benar

dan yang salah pada tabel

Peneliti memberikan beberapa pernyataan yang dirangkum menggunakan

tabel untuk menguji pemahaman konsep yang dimiliki siswa pada materi fungsi

komposisi. Berikut adalah gambar dari tabel yang disajikan dalam soal sebagai soal

nomor 1D:

45

Gambar 4.5

Tabel untuk Menguji Pemahaman Konsep Fungsi Komposisi pada Siswa

Pada pernyataan pertama yang tertera pada gambar di atas, dapat kita

simpulkan bahwa pernyataan tersebut benar karena syarat untuk menjadi fungsi

komposisi yang sesuai adalah diagram pertama haruslah berupa fungsi begitu juga

dengan diagram kedua, oleh karena itu pernyataan pertama menggunakan kata

“dan” dikarenakan hal tersebut berlaku pada kedua diagram antara diagram satu

dan diagram dua. Pernyataan kedua menggunakan kata “atau” yang mengartikan

bahwa apabila salah satu diagram antara diagram satu atau diagram dua sudah

berbentuk fungsi, maka fungsi tersebut bisa dikatakan sebagai fungsi komposisi

yang sesuai dengan syarat. Pernyataan kedua bernilai salah karena kedua diagram

tersebut haruslah berbentuk fungsi. Penggunaan kata “dan” dengan “atau” dipilih

guna mengecoh dan menguji sampai dimana pemahaman siswa terkait materi

komposisi fungsi. Pernyataan ketiga merupakan pernyataan yang benar dan

pernyataan keempat merupakan pernyataan yang salah. Berikut adalah beberapa

contoh dari hambatan konseptual yang terjadi pada siswa:

Gambar 4.6

46

Contoh Siswa yang Mengalami Hambatan Konseptual pada Soal Nomor 1D

Berdasarkan hasil pengerjaan siswa pada Gambar 4.6 dapat terlihat bahwa

siswa belum mengerti bentuk dan konsep dari fungsi komposisi. Terlihat perbedaan

jawaban antara gambar pada Gambar 4.6. Perbedaan jawaban tersebut dikarenakan

terdapat perbedaan hambatan yang dialami siswa. Hambatan-hambatan tersebut

bisa muncul dikarenakan oleh berbagai macam faktor, salah satu faktor yang

mungkin mempengaruhi adalah dikarenakan siswa tidak dapat mengambil

kesimpulan yang benar berdasarkan soal-soal yang sebelumnya mereka kerjakan.

e. Hambatan konseptual dalam menentukan fungsi (fog)(x)

Hambatan konseptual yang terjadi pada tahap ini adalah siswa sulit

membedakan antara fungsi (fog)(x) dengan fungsi (gof)(x). Terdapat beberapa

siswa yang mencari nilai (gof)(x) pada saat soal meminta nilai dari (fog)(x).

Hambatan tersebut masuk ke dalam hambatan konseptual dikarenakan terdapat

miskonsepsi yang dialami siswa. Siswa yang tidak mengalami hambatan

konseptual, tidak akan kesulitan menentukan perbedaan antara persamaan pada

(fog)(x) dan (gof)(x). Berikut adalah soal yang dikerjakan siswa contoh siswa yang

mengalami hambatan konseptual dalam menentukan fungsi (fog)(x):

Gambar 4.7

Instrumen Learning Obstacle Nomor 2

Gambar 4.8

Contoh Siswa yang Mengalami Hambatan Konseptual pada Soal Nomor 2

47

f. Hambatan teknik operasional dalam menentukan bentuk sederhana dari

fungsi (fog)(x)

Selain hambatan konseptual, terdapat hambatan teknik operasional yang

terjadi juga pada soal yang sama. Hambatan teknik operasional ini terjadi

dikarenakan siswa tidak cukup teliti dalam memfaktorkan sehingga terjadi

kesalahan dalam pengoperasian. Berikut adalah contoh hambatan teknik

operasional yang terjadi pada siswa:

Gambar 4.9

Contoh Siswa yang Mengalami Hambatan Teknik Operasional pada Nomor

2

Kesalahan yang terjadi adalah terletak pada cara siswa memfaktorkan

persamaan tersebut. Harusnya apabila siswa tersebut ingin memfaktorkan angka 4,

maka persamaannya menjadi 2√𝑥2 − 5𝑥 + 7. Hal ini juga diperkuat dengan

wawancara yang dilakukan oleh peneliti terhadap siswa tersebut. Berikut adalah

hasil wawancara yang dilakukan antara peneliti dengan siswa yang bersangkutan:

Peneliti : Kamu kenapa kok ngisinya gini?

Siswa : Iya kak, tadi aku salah ngefaktorinnya

Peneliti : Berarti harusnya jadi gimana dong?

Siswa : Harusnya 2√𝑥2 − 5𝑥 + 7

Peneliti : nah iya itu bener, lain kali lebih hati-hati ya

g. Hambatan konseptual dalam menentukan fungsi (fogoh)(x)

Terdapat beberapa siswa yang tidak mengisi sama sekali lembar jawabannya

pada soal nomor 3 ini. Sulit membedakan hambatan tipe seperti apa yang terjadi

apabila siswa tidak memberikan jawaban sama sekali. Peneliti melakukan

48

wawancara dengan siswa-siswa tersebut secara bersamaan untuk dapat menentukan

dengan tepat hambatan yang terjadi pada siswa. Berikut adalah hasil wawancara

yang dilakukan secara bersama-sama:

Peneliti : Adik-adik kalian kenapa kok ini kertasnya ga diisi sama sekali?

Siswa 1 : Aku bingung ka

Siswa 2 : iya sama ka aku juga, makanya aku ga isi

Peneliti : Bingung dimananya?

Siswa 1 : Ga ngerti sama sekali cara ngisinya

Peneliti : Kan ini sama aja kayak nomor 2

Siswa 3 : Beda kak, itu kan ada tiga fungsi ada f(x), g(x) dan h(x). Makanya

bingung gimana cara ngisinya

Peneliti : Berarti kalian bingung di konsepnya ya?

Siswa 1,2,3 : iya kak ga ngerti sama sekali

Peneliti dapat menentukan hambatan yang terjadi adalah berupa hambatan

konseptual setelah dilakukannya wawancara singkat dengan siswa yang

bersangkutan. Terlihat bahwa siswa-siswa tersebut tidak memiliki landasan konsep

yang kuat sehingga kesulitan dalam menentukan fungsi (fogoh)(x).

h. Hambatan prosedural dalam menentukan bentuk sederhana dari fungsi

(fogoh)(x)

Hambatan prosedural terjadi apabila siswa mengerti cara menyelesaikan

masalah yang disajikan pada instrumen dan juga tidak memiliki kesalahan

penulisan di dalamnya, namun siswa tidak menyelesaikan permasalahan sesuai

dengan yang diminta oleh instrumen atau siswa tidak membuat hasil

penyelesaiannya dalam bentuk yang paling sederhana. Terdapat beberapa siswa

yang memiliki hambatan prosedural pada tahap ini. Persamaan yang mereka

hasilkan tidak dibuat dalam bentuk yang paling sederhana, walaupun penyelesaian

yang mereka dapat bukanlah hasil penyelesaian yang keliru, namun bukan juga

hasil penyelesaian yang sempurna. Berikut adalah contoh hambatan prosedural

yang terjadi pada soal nomor 3:

49

Gambar 4.10

Contoh Siswa yang Mengalami Hambatan Prosedural pada Soal Nomor 3

Hasil penyelesaian akhir yang di dapat oleh siswa pada gambar yang

dilingkari adalah 4𝑥2−16𝑥+16−9

6𝑥2−24𝑥+24−5. Terlihat bahwa penyelesaian yang diberikan oleh

siswa tersebut belum sempurna, seharusnya persamaan tersebut dapat lebih

disederhanakan menjadi 4𝑥2−16𝑥+7

6𝑥2−24𝑥+19.

i. Hambatan teknik operasional dalam menentukan fungsi (fogoh)(x)

Pada tahap siswa rentan mengalami kesalahan dalam penulisan maupun

kesalahan dalam penggunaan operasi pada fungsi komposisi. Hal ini dapat terjadi

dikarenakan dalam menentukan fungsi (fogoh)(x) meiliki tingkat kesulitan yang

lebih tinggi dibandingkan dengan menentukan fungsi (fog)(x). Selain memiliki

tingkat kesulitan yang lebih tinggi, soal tersebut juga harus dikerjakan dengan lebih

teliti. Ketilian ini dibutuhkan oleh siswa untuk menghindari atau meminimalisir

hambatan teknik operasional. Berikut adalah contoh siswa yang tidak memiliki

hambatan dan siswa yang memiliki hambatan teknik operasional pada soal nomor

3:

50

Gambar 4.11

Siswa yang Memiliki Hambatan Teknik Operasional pada Soal Nomor

3

Gambar 4.12

Siswa yang Tidak Memiliki Hambatan Teknik Operasional pada Soal Nomor

3

Apabila kita membandingkan antara jawaban yang benar dan yang salah,

maka dapat terlihat bahwa siswa mengalami kesalahan penulisan yang dapat

dikategorikan sebagai hambatan teknik operasional. Hal tersebut juga diperkuat

dengan wawancara yang dilakukan oleh peneliti dengan siswa yang diduga

memiliki hambatan teknik operasional. Berikut adalah hasil wawancara singkat

yang telah dilakukan sehari setelah pengisian intrumen learning obstacle:

Peneliti : dek, kamu coba lihat deh jawaban kamu, menurut kamu bener ga?

Siswa : yang nomor berapa ka?

Peneliti : yang nomor 3

51

Siswa : oh ini ya ka? Oh iya kayanya aku ada salah disini ya ka

Peneliti : salah yang mana tuh?

Siswa : ininih, aku lupa nulis angka -3 di atas dama +4 di bawahnya

Peneliti : nah iya tuh bener. Oke deh makasih ya dek

j. Hambatan konseptual dalam menentukan bentuk diagram pada fungsi

komposisi

Hambatan konseptual yang terjadi pada tahap ini adalah siswa terbalik dalam

menentukan diagram yang seharusnya pada fungsi komposisi. Hal tersebut dapat

terjadi apabila siswa tidak memahami definisi dari fungsi komposisi yang

sebenarnya sehingga diagram yang dihasilkan tidaklah sesuai. Sebagai contoh

fungsi (fog)(x), fungsi (fog)(x) artinya memasukkan fungsi g(x) ke dalam fungsi

f(x) sehingga diagram yang seharusnya digambarkan dalam bentuk diagram g(x)

yang mengarah pada diagram f(x), namun karena siswa memiliki pemahaman yang

kurang, maka kebanyakan dari siswa tersebut menyatakannya dalam bentuk yang

terbalik. Selain itu sebagian lain dari siswa yang mengalami hambatan pada tahap

ini, tidak memberikan jawaban sama sekali karena merasa kebingungan. Berikut

adalah gambar dari instrumen yang diujikan serta gambar dari perwakilan siswa

yang mengalami dan tidak mengalami hambatan konseptual:

Gambar 4.13

Instrumen Learning Obstacle Nomor 4

52

Gambar 4.14

Siswa yang Memiliki Hambatan Konseptual pada Soal Nomor 4

Gambar 4.15

Siswa yang Tidak Memiliki Hambatan Konseptual pada Soal Nomor 4a

Apabila kita bandingan antara jawaban yang benar dan yang salah, dapat

terlihat bahwa diagram yang dihasilkan berbeda walaupun kesimpulan yang

53

dihasilkan sama dan keduanya bernilai benar. Hal ini dapat terjadi dikarenakan

siswa belum memiliki pemahaman konsep yang tepat mengenai bentuk dari

diagram yang sesuai pada fungsi komposisi.

k. Hambatan prosedural dalam menentukan keberlakuan sifat komutatif,

sifat identitas dan sifat asosiatif pada fungsi komposisi

Hambatan pada tahap ini muncul apabila siswa sudah menentukan bentuk dari

diagram yang diminta, namun tidak menyertakan kesimpulan yang menjadi poin

penting pada instrumen yang diujikan. Hal tersebut menyebabkan ketidaktuntasan

dalam menyelesaikan pertanyaan yang dijuikan dan menjadikannya bagian dari

bentuk hambatan prosedural. Berikut adalah contoh gambar yang mewakili bentuk

dari hambatan prosedural pada soal nomor 4:

Gambar 4.16

Siswa yang Memiliki Hambatan Prosedural pada Soal Nomor 4

Berbeda dengan Gambar 4.14 dan 4.15 yang telah mengubah diagramnya

menjadi diagram yang lebih singkat pada gambar tersebut pula siswa telah

memeberikan kesimpulan dan dapat menuntaskan pertanyaan yang diajukan.

Gambar 4.16 tidak melakukan hal yang sama, pada gambar ini siswa hanya

menggambar diagram dan tidak menyimpulkan keberlakuan dari masing-masing

sifat komutatif, sifat identitas dan sifat asosiatif.

l. Hambatan prosedural dalam menentukan nilai fungsi g(2) apabila

diketahui fungsi (fog)(x) dan f(x)

Hambatan yang muncul pada tahap ini adalah berupa hambatan prosedural.

Hambatan ini terjadi dikarenakan siswa tidak menyelesaikan dengan tuntas

54

pertanyaan yang diajukan oleh instrumen yang diujikan. Diketahui fungsi (fog)(x)

dan fungsi f(x) dan siswa harus menentukan fungsi g(2). Siswa harus mencari

terlebih dahulu fungsi g(x) untuk bisa mendapatkan nilai fungsi g(2), namun banyak

siswa yang tidak membaca pertanyaan dengan teliti sehingga terdapat beberapa

siswa yang menyelesaikan jawabannya hanya sampai fungsi g(x). Hal tersebut

dapat dikategorikan sebagai hambatan prosedural. Berikut adalah salah satu contoh

siswa yang mengalami hambatan prosedural pada nomor 5:

Gambar 4.17


m. Hambatan teknik operasional dalam menentukan fungsi g(2) apabila

diketahui fungsi (fog)(x) dan f(x)

Hambatan teknik operasional merupakan salah satu hambatan yang muncul

selain hambatan prosedural pada tahap ini. Hambatan ini muncul dikarenakan

ketidaktelitian dan kesalahan dalam penggunaan operasi pada fungsi aljabar.

Berikut adalah salah satu contoh hambatan teknik operasional yang muncul pada

soal nomor 5:

Gambar 4.18

Siswa yang Memiliki Hambatan Teknik Operasional pada Soal Nomor 5

55

Hambatan teknik operasional yang dialami oleh siswa terdapat pada gambar

yang dilingkari. Seharusnya 2(g(2)) = 16 sehingga fungsi g(2) yang dihasilkan

menjadi 8, namun karena ketidaktelitian siswa hasil akhir yang dihasilkan menjadi

bentuk fungsi yang salah.

n. Hambatan prosedural dalam menentukan fungsi f(x-2) apabila diketahui

fungsi (fog)(x) dan g(x)

Hambatan yang muncul pada tahap ini adalah berupa hambatan prosedural.

Hambatan ini terjadi dikarenakan siswa tidak menyelesaikan dengan tuntas

pertanyaan yang diajukan oleh instrumen yang diujikan. Diketahui fungsi (fog)(x)

dan fungsi g(x) dan siswa harus menentukan fungsi f(x-2). Siswa harus mencari

terlebih dahulu fungsi f(x) untuk bisa mendapatkan fungsi f(x-2), namun banyak

siswa yang tidak membaca pertanyaan dengan teliti sehingga terdapat beberapa

siswa yang menyelesaikan jawabannya hanya sampai fungsi f(x). Hal tersebut dapat

dikategorikan sebagai hambatan prosedural. Berikut adalah salah satu contoh siswa

yang mengalami hambatan prosedural pada nomor 5:

Gambar 4.19


o. Hambatan teknik operasional dalam menentukan fungsi f(x-2) apabila

diketahui fungsi (fog)(x) dan g(x)

Hambatan teknik operasional merupakan salah satu hambatan yang muncul

selain hambatan prosedural pada tahap ini. Hambatan ini muncul dikarenakan

ketidaktelitian dan kesalahan dalam penggunaan operasi pada fungsi aljabar.

Berikut adalah salah satu contoh hambatan teknik operasional yang muncul pada

soal nomor 5:

56

Gambar 4.20


Hambatan teknik operasional yang dialami oleh siswa terdapat pada gambar

yang dilingkari. Seharusnya 3(x-2) dapat dibentuk menjadi 3x-6 sehingga fungsi

yang dihasilkan menjadi 3x-11, namun karena ketidaktelitian siswa hasil akhir yang

dihasilkan menjadi bentuk fungsi yang salah.

p. Hambatan prosedural dalam menentukan nilai variabel a pada fungsi

(fog)(a)

Hambatan prosedural yang terjadi pada tahap ini adalah siswa tidak mengerti

cara menyelesaikan masalah yang disajikan pada instrumen learning obstacle.

Masalah yang disajikan pada instrumen adalah diketahui fungsi f(x), g(x) dan nilai

(fog)(a) dan ditanya nilai dari variabel a. Mencari fungsi (fog)(x), mengganti

variabel x dengan a dan mensubstitusikan nilai fungsinya merupakan langkah-

langkah yang harus dilakukan untuk mencari nilai dari variabel a. Namun, terdapat

beberapa siswa yang tidak mengerti konsep sehingga tidak mengetahui cara

mencari nilai variabel a. Berikut adalah salah satu contoh hambatan konseptual

yang muncul pada soal nomor 6:

Gambar 4.21

Siswa yang Memiliki Hambatan Konseptual pada Soal Nomor 6

q. Hambatan teknik operasional dalam menentukan nilai variabel a pada

fungsi (fog)(a)

Hambatan kedua yang terjadi pada tahap ini adalah hambatan teknik

operasional. Hambatan teknik operasional yang banyak terjadi adalah kesalahan

siswa dalam penulisan variabel. Variabel yang seharusnya ditulis berdasarkan

57

pertanyaan yang diajukan adalah variabel a, namun terdapat beberapa siswa yang

tetap menuliskannya dalam bentuk x. Berikut adalah salah satu contoh hambatan

teknik operasional yang muncul pada soal nomor 6 bila dibandingkan dengan siswa

yang tidak memiliki hambatan teknik operasional:

Gambar 4.22


r. Hambatan konseptual dalam menentukan model matematika pada

permasalahan pergantian nilai mata uang

Hambatan konseptual terjadi sesuai namanya, apabila hambatan yang terjadi

terkait dengan pemahaman konsep dan hal tersebut pada tahap ini dapat membuat

siswa kesulitan dalam menentukan model matematika yang sesuai dengan masalah

yang disajikan. Model matematika adalah pernyataan umum untuk suatu

permasalahan tertentu yang disajikan dalam bentuk aljabar yang memiliki variabel,

koefisien dan konstanta. Banyak siswa yang tidak tahu cara membuat model

matematika dikarenakan bingung untuk menentukan unsur-unsur yang terdapat

dalam model matematika, selain itu terdapat juga beberapa siswa yang tidak tahu

sama sekali apa itu model matematika, sehingga kedua alasan tersebut yang

membuat siswa mengosongkan jawabannya. Berikut adalah wawancara singkat

yang dilakukan oleh peneliti dengan ketiga siswa yang menosongkan jawabannya:

Peneliti : Assalamu’alaikum dik, kakak mau nanya jawaban kalian nih

Siswa 1 : Jawaban yang mana ka?

Peneliti : Ini yang nomor 7A, kenapa ga diisi?

Siswa 1 : Aku ga ngerti ka

Peneliti : Ga ngerti kenapa?

Siswa 1 : Aku gatau model matematika apa

Peneliti : Kalau kamu kenapa? (sambil menunjuk kepada siswa yang ke 2)

Siswa 2 : Kalau aku ga ngerti cara buat model matematikanya ka

58

Peneliti : Tapi kamu tahu kan model matematika itu apa?

Siswa 2 : Tahu ka, pokoknya itu dibuat jadi fungsi aljabar kan ya? yang pake

x

Peneliti : Iya betul. Kalau kamu kenapa? (sambil menunjuk siswa terakhir)

Siswa 3 : Kalau aku sama kaya dia kak, gatau cara buat model

matematikanya

Peneliti : Emang apa yang buat kalian bingung?

Siswa 2 : Nentuin variabel, koefisien sama konstantanya ka masih bingung

Peneliti : Oh gitu, oke deh, makasih ya.

s. Hambatan konseptual dalam menentukan nilai ringgit dan rupiah

Hambatan konseptual yang terjadi pada tahap ini adalah siswa kesulitan

memaknai model matematika dalam bentuk f(x) dan g(x) yang telah mereka buat.

Berikut adalah gambar yang menjelaskan hambatan konseptual yang dialami siswa

beserta instrument yang diujikan:

Gambar 4.23

Instrumen Learning Obstacle Nomor 7B

59

Gambar 4.24

Siswa yang Memiliki Hambatan Konseptual pada Soal Nomor 7B

Siswa menggunakan f(x) sebagai fungsi untuk menentukan nilai tukar uang

Dollar ke Ringgit dan g(x) sebagai fungsi untuk menentukan nilai tukar uang

Ringgit ke Rupiah. Pada gambar terlihat bahwa siswa melakukan kesalahan dalam

memasukkan nilai x pada fungsi g(x). Nilai x yang harusnya digunakan untuk

menukar Ringgit ke Rupiah adalah 6993 bukan 2000, karena 2000 adalah jumlah

Dollar sedangkan g(x) adalah merubah nilai tukar uang Ringgit ke Rupiah. Siswa

menganggap g(x) adalah fungsi untuk menukar uang Dollar ke Rupiah, sehingga

nilai x yang dimasukkan adalah 2000. Hal tersebut merupakan hambatan konseptual

yang sangat fatal karena akan menghasilkan jumlah Rupiah yang sangat berbeda.

t. Hambatan konseptual dalam menentukan cara mengubah nilai Dollar

secara langsung ke nilai Rupiah

Hambatan konseptual yang terjadi pada tahap ini sangat tinggi, dikarenakan

tidak ada satupun siswa yang memberikan jawaban yang tepat. Instrumen pada soal

nomor 7C menanyakan apakah ada fungsi baru untuk mengubah nilai Dollar

langsung kepada nilai Rupiah, dikarenakan yang diketahui pada soal nomor 7 hanya

mengubah nilai Dollar ke Ringgit dan mengubah nilai Ringgit ke Rupiah. Instrumen

nomor 7C bertujuan untuk mengetahui apakah siswa memahami kegunaan konsep

dari fungsi komposisi pada kehidupan sehari-hari. Berdasarkan hasil uji learning

obstacle yang telah dilakukan, tidak ada satu pun siswa yang menjawab bahwa

dengan menggunakan operasi komposisi pada fungsi dapat menghasilkan fungsi

baru yang dapat mengubah nilai Dollar langsung kepada nilai Rupiah. Apabila

berdasarkan jawaban kebanyakan siswa nilai f(x) adalah fungsi untuk menyatakan

perubahan nilai Dollar ke Ringgit dan g(x) menyatakan perubahan nilai Ringgit ke

60

Rupiah, maka fungsi yang tepat untuk menyatakan nilai tukar Dollar langsung

kepada nilai Rupiah adalah fungsi (gof)(x).

u. Hambatan konseptual dalam menentukan model matematika pada

permasalahan jumlah virus

Permasalahan yang disajikan pada soal nomor 8 dengan soal nomor 7

memiliki kesamaan, namun tetap dijadikan instrumen yang berbeda atas

pertimbangan bahwa siswa akan lebih serius untuk menyelesaikan permasalahan

yang menurut mereka lebih menarik. Intrumen ini akan disajikan pada siswa

jenjang SMA dengan jurusan MIPA, maka dari itu permasalahan yang disajikan

pada soal nomor 8 adalah yang terkait dengan jumlah virus, dengan harapan siswa

akan lebih tertarik dengan permasalahan tersebut dan dapat menjawab dengan lebih

tepat. Hal tersebut ternyata tidak mempengaruhi persentase hambatan yang terjadi

pada siswa. Siswa yang tidak dapat membuat model matematika pada nomor 7 juga

tidak dapat membuat model matematika pada soal nomor 8. Penyebab dari

hambatan konseptual yang terjadi masih sama, yaitu siswa tidak dapat menentukan

variabel, konstanta dan koefisien pada model matematika dan yang kedua

dikarenakan siswa tidak mengetahui apa itu model matematika. Hal tersebut dapat

dibuktikan dengan wawancara yang telah dilakukan dengan siswa lain yang

berbeda dengan harapan ditemukannya penyebab lain dari hambatan belajar yang

terjadi. Berikut adalah percakapan pada wawancara yang telah dilakukan:

Penulis : Dik, kakak mau tanya-tanya sedikit ya tentang jawaban kamu

Siswa : Iya ka boleh ka

Penulis : Ini nomor 8A kamu kenapa ga diisi?

Siswa : Aku gatau cara buat model matematikanya ka

Penulis : Tapi kamu tahu model matematika kan ya?

Siswa : iya ka tahu

Penulis : Apa tuh?

Siswa : Itu loh yang dibuat jadi pake variabel, nanti dipakein x biasanya

Penulis : Iya betul, itu namanya fungsi aljabar

Siswa : Nah iya, itu maksud aku ka hehe

Penulis : Terus kamu bingungnya dimana?

61

Siswa : Gatau cara buatnya ka

Penulis : Gatau cara nentuin variabel, konstanta sama koefisiennya ya?

Siswa : Nah iya kayak gitu ka

Penulis : Oh gitu, yaudah makasih ya

v. Hambatan konseptual dalam menentukan jumlah populasi virus

Berbeda dengan hambatan konseptual yang terjadi pada soal nomor 7B, pada

soal nomor 8B ini tidak terjadi hal yang sama. Baik fungsi f(x) maupun fungsi g(x)

tidak terjadi kekeliruan dalam memasukkan nilai x, sehingga tidak terjadi kesalahan

dalam menentukan jumlah virus yang diminta. Hambatan konseptual yang terjadi

pada soal nomor 8B lebih kepada dikarenakan siswa tidak dapat membuat fungsi

f(x) dan g(x) pada soal nomor 8A (karena soal pada 8A dan 8B yang berkelanjutan).

w. Hambatan konseptual dalam menentukan jumlah populasi virus A

langsung ke virus C

Hambatan konseptual pada nomor 8C ini terjadi sama seperti hambatan pada

nomor 7C, yaitu siswa tidak dapat menentukan fungsi langsung yang dapat

mengubah virus A menjadi virus C. Hambatan konseptual yang terjadi dikarenakan

siswa tidak mengetahui kegunaan fungsi komposisi dalam menyelesaikan masalah-

masalah tertentu yang disajikan. Hambatan konseptual yang terjadi adalah 100%

yang artinya tidak ada satu orang siswa pun yang menjawab dengan benar.

2. Repersonalisasi dan Rekontektualisasi

Repersonalisasi dan rekontekstualisasi penting untuk dilakukan sebelum

dilakukannya pembahasan mengenai pengembangan desain bahan ajar.

Repesonalisasi dan rekontekstualisasi dilakukan dengan tujuan untuk mendalami

dan memahami secara detail mengenai alur materi dengan situasi kontekstualnya.

Repersonalisasi berarti melakukan matematisasi seperti yang dilakukan

matematikawan, dimana dalam hal ini guru memetakan hubungan antar konsep.

Sementara rekontekstualisasi berarti memaknai situasi dalam konsep tersebut

muncul dikehidupan sehari-hari, dimana guru dapat menelaah sejarah

perkembangan konsep tersebut serta ragam aplikasinya.1

1 Didi Suryadi, dkk, Monograf Didactical Design Research (DDR), (Bandung: Rizqi Press,

2016), hal. 14

62

Eksplorasi konsep perlu dilakukan sebelum sebelum peneliti menentukan alur

pembelajaran. Buku yang akan dijadikan sumber untuk bahan eksplorasi adalah

buku teks yang digunakan oleh guru mata pelajaran di sekolah tempat peneliti

melangsungkan kegiatan penelitian. Buku tersebut yaitu buku matematika kelas X

penerbit I dan buku matematika kelas X penerbit II. Eksplorasi materi dimulai

dengan cara menyajikan peta konsep pada fungsi komposisi. Namun, dikarenakan

materi fungsi komposisi merupakan sub materi dari fungsi, maka peta konsep yang

disajikan pada fungsi komposisi tidak detail, sehingga peneliti merancang sendiri

peta konsep dengan cara menganalisis materi dan didapatkanlah peta konsep

sebagai berikut:

Gambar 4.25

Peta Konsep Fungsi Komposisi

Konsep yang disajikan pada kedua buku tersebut masih terdapat beberapa

kekurangan sehingga bahan ajar masih dapat diperbaiki lagi. Kekurangan yang

dialami tiap buku berbeda-beda. Pada buku matematika kelas X penerbit I, memulai

63

materi fungsi komposisi dengan menyajikan permasalahan kontekstual untuk

membangun konsep pemahaman siswa mengenai fungsi komposisi. Berikut adalah

masalah yang disajikan oleh buku tersebut:

Gambar 4.26

Penyajian Masalah Fungsi Komposisi pada Buku

Apabila siswa hanya membaca soal tersebut dan menyelesaikan pertanyaan

berdasarkan soal, maka siswa tidak akan mengerti kegunaan dari fungsi komposisi

apabila diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Pertanyaan yang diberikan kurang

spesifik dalam menunjukkan konsep fungsi komposisi. Selain itu, menurut peneliti

ada baiknya permasalahan kontekstual dapat disajikan sebagai penutup dari

rangkaian pembelajaran, dikarenakan siswa hanya dapat menyelesaikan

permasalahan tersebut apabila siswa sudah mengetahui definisi, kegunaan dan cara

menghitung menggunakan operasi komposisi. Setelah siswa paham rangkaian

tersebut, barulah guru menyajikan permasalahan kontekstual kepada siswa

sehingga siswa akan lebih mengerti kegunaan materi fungsi komposisi dalam

kehidupan sehari-hari.

Kekurangan yang terdapat pada buku penerbit II adalah kurang lengkapnya

pemaparan materi sehingga akan membingungkan siswa dalam mengerjakan soal

fungsi komposisi yang memiliki banyak sekali variasi dan jenis soal yang akan

disajikan. Salah satu materi yang tidak terdapat dalam buku ini adalah menentukan

64

fungsi f(x) apabila diketahui fungsi (fog)(x) dan g(x). Buku ini telah menyajikan

contoh pembahasan untuk menentukan fungsi g(x), namun materi tentang

menentukan fungsi f(x) juga sangat penting untuk disajikan apabila mengingat

kesulitan untuk menentukan fungsi f(x) lebih tinggi dibandingkan menentukan

fungsi g(x).

Kekurangan kedua yang terdapat pada buku ini adalah pada saat menentukan

sifat-sifat yang berlaku pada operasi fungsi komposisi. Di dalam buku tersebut

sudah ditentukan sifat mana saja yang berlaku dan yang tidak. Berikut adalah cara

buku menyajikan materi mengenai sifat-sifat pada fungsi komposisi:

Gambar 4.27

Penyajian Sifat Komutatif, Identitas dan Asosiatif pada Buku

Sebaiknya, untuk menyelidiki keberlakuan sifat komutatif, identitas dan

asosiatif dapat diserahkan kepada siswa langsung. Buku hanya menuntun siswa

untuk menyelidiki sifat-sifat tersebut. Buku tersebut dapat memberikan syarat

apabila suatu sifat berlaku atau tidak berlaku, siswa akan menyelidiki menggunakan

operasi komposisi dan menyimpulkan hasilnya. Siswa yang menyelidiki dan

65

menyimpulkan sendiri hasilnya, akan lebih teringat sifat mana saja yang berlaku

dan yang tidak.

Berdasarkan pemahaman dan pengkajian yang mandalam yang dilakukan

oleh penulis berdasarkan beberapa sumber buku, maka didapatkanlah hasil alur

pembelajaran materi fungsi komposisi sebagai berikut:

Gambar 4.28

Alur Pembelajaran Materi Fungsi Komposisi

Sebelum siswa mengetahui definisi fungsi komposisi, ada baiknya penulis

dapat memastikan bahwa siswa mengetahui definisi fungsi terlebih dahulu. Penulis

menyajikan diagram panah dan mengelompokkannya berdasarkan diagram panah

yang memiliki bentuk fungsi dan yang bukan fungsi. Siswa dapat mengamati

perbedaan antara fungsi dan bukan fungsi dan melalui perbedaan tersebut siswa

dapat menentukan definisi fungsi dengan lebih mudah. Setelah itu barulah siswa

masuk ke dalam definisi fungsi komposisi. Definisi fungsi komposisi ini akan

membantu siswa dalam menyelesaikan permasalahan kontekstual yang akan

disajikan diakhir, sehingga penting bagi siswa untuk memahmi definisi fungsi

komposisi beserta kegunaannya.

Definisi fungsi Definisi fungsi

komposisi

Menentukan

(fog)(x) apabila

diketahui f(x) dan

g(x)

Menentukan nilai

(fog)(x) apabila x

diketahui

nilainya

Definisi fungsi

Menentukan g(x)

apabila (fog)(x)

dan f(x)

diketahui

Menentuka f(x)

apabila (fog)(x)

dan g(x)

diketahui

Menentukan

(fogoh)(x) apabila

diketahui f(x), g(x)

dan h(x)

Menentukan

sifat-sifat yang

berlaku pada

fungsi komposisi

Menyajikan

masalah kontekstual

terkait materi fungsi

komposisi

66

Alur pembelajaran selanjutnya adalah menentukan fungsi (fog)(x). Operasi

komposisi merupakan suatu operasi yang sangat asing bagi siswa untuk dikerjakan.

Penulis akan menyajikan tabel untuk mempermudah siswa dalam menentukan

fungsi menggunakan operasi komposisi. Tabel tersebut akan menuntun siswa

sedikit demi sedikit dalam menggunakan operasi komposisi sehingga siswa akan

sedikit terbantu dalam memahami dan menggunakan operasi komposisi yang

sebagaimana mestinya.

Tingkat pemahaman siswa pada materi ini akan ditambah terus menerus,

setelah menentukan fungsi (fog)(x) maka siswa akan belajar cara menentukan nilai

dari (fog)(x) apabila variabel x diketahui nilainya. Untuk menentukan nilai pada

(fog)(x) ini tidak dibutuhkan pemahaman tingkat tinggi dalam menyelesaikannya,

tetapi siswa harus dapat mengerjakan dengan teliti dan siswa juga harus mengerti

dalam penggunaan operasi pada aljabar yang lainnya.

Alur pembelajaran selanjutnya adalah menentukan nilai g(x) apabila diketahui

(fog)(x) dan f(x). Menentukan nilai g(x) lebih mudah dibandingkan dengan

menentukan nilai f(x) pada fungsi (fog)(x). Karena menentukan g(x) lebih mudah,

maka siswa akan menghitung g(x) terlebih dahulu dibandingkan mencari f(x)

terlebih dahulu. Soal ini merupakan jenis soal variasi yang sering disajikan apabila

siswa mempelajari fungsi komposisi, Selain menentukan fungsi g(x), menentukan

fungsi g(x) juga merupakan variasi soal yang sering disajikan, dan cara dalam

mengerjakannya pun berbeda walaupun terlihat sama. Maka dari itu, indikator

antara mencari nilai f(x) dengan nilai g(x) dibedakan dengan tujuan agar siswa

dapat mempelajari fungsi komposisi secara menyeluruh. Berdasarkan hasil uji

learning obstacle, pada kedua indikator ini terdapat hambatan prosedural yang

menyebabkan siswa kebingungan dalam menyusun langkah yang harus dikerjakan

dalam menentukan nilai fungsi yang diminta oleh instrumen learning obstacle.

Maka dari itu, desain bahan ajar yang akan disusun nanti akan lebih menenkankan

pada langkah-langkah pengerjaan agar hambatan prosedural pada tahap ini dapat

diminimalisir.

Apabila siswa telah selesai dengan segala jenis variasi soal pada fungsi

komposisi dari dua buah fungsi (yang menenbentuknya menjadi (fog)(x) atau

67

(gof)(x)), maka siswa akan mulai beralih kepada fungsi komposisi pada tiga buah

fungsi, yaitu fungsi (fogoh)(x). Fungsi ini dalam pengerjaannya pastinya memiliki

tingkat kesukaran yang lebih tinggi dibandingkan dengan menentukan fungsi

komposisi dengan hanya dua buah fungsi saja. Diperlukan tingkat ketelitian yang

lebih tinggi dikarenakan proses pengerjaannya yang lebih panjang dan rumit.

Karena tingkat kesukarannya, maka penulis memutuskan untuk menyajikan materi

ini kepada siswa apabila siswa telah memahami betul segala jenis dan variasi soal

pada dua buah fungsi komposisi.

Setelah itu, siswa mulai akan menyelidiki sifat-sifat yang berlaku pada fungsi

komposisi. Sifat-sifat yang akan diselidiki adalah sifat komutatif, identitas dan

asosiatif. Sifat komutatif berlaku apabila (fog)(x) = (gof)(x), sifat identitas berlaku

apabila (Iof)(x) = (foI)(x) dan sifat asosiatif berlaku apabila ((fog)oh)(x) =

(fo(goh))(x). Berdasarkan syarat keberlakuan dari masing-masing sifat, siswa

diminta untuk menyelidiki sifat-sifat mana saja yang berlaku pada fungsi

komposisi. Peneliti menyajikan diagram panah yang mewakili fungsi f(x), g(x),

h(x) dan I(x). Pada sifat komutatif siswa diminta membuat diagram panah (fog)(x)

dan (gof)(x) menggunakan diagram f(x) dan g(x) yang telah disajikan, lalu

membandingkan hasilnya apakah diagram yang dihasilkan sama atau tidak apabila

diagram yang dihasilkan sama, maka berlakulah sifat komutatif pada fungsi

komposisi dan begitulah seterusnya dilakukan hal yang sama untuk membuktikan

sifat identitas dan sifat asosiatif. Hambatan yang terjadi berdasarkan hasil uji

instrumen learning obstacle adalah siswa tidak dapat menentukan dengan benar

diagram panah yang seharusnya, maka untuk mengatasi hambatan tersebut penulis

akan memberikan contoh cara menentukan diagram yang tepat yang akan

dipaparkan pada desain pembelajaran dan hasil bahan ajar agar dapat

meminimalisir hambatan belajar siswa.

Materi terakhir yang akan disampaikan adalah permasalahan kontekstual yang

berkaitan dengan fungsi komposisi. Untuk dapat menyelesaikan permasalahan

kontekstual, siswa harus mengerti secara keseluruhan terutama mengenai definisi

fungsi komposisi berserta kegunaannya. Masalah kontekstual yang akan penulis

sajikan adalah perubahan nilai mata uang dari setiap negara. Diceritakan dalam

68

permasalahan tersebut terdapat seorang turis yang ingin berpergian ke dua negara

yang berbeda yang memiliki mata uang yang berbeda pula. Agar dapat

menggunakan uangnya, turis tersebut harus menukar uangnya di bank dengan biaya

penukaran yang berbeda-beda untuk setiap mata uang. Pergantian nilai mata uang

A ke mata uang B dimisalkan dengan fungsi f(x) dan pergantian nilai mata uang B

ke mata uang C dimisalkan dengan fungsi g(x). Lalu disajikan masalah untuk

menentukan fungsi yang langsung mengubah nilai mata uang A ke mata uang C.

Konsep mengenai fungsi komposisi digunakan untuk dapat menyelesaikan

permasalahan tersebut. Selain itu, dibutuhkan juga keterampilan dalam menyusun

model matematika yang sesuai agar siswa dapat menentukan fungsi f(x) dan g(x)

yang tepat.

3. Pengembangan Desain Didaktis

Desain didaktis adalah desain pembelajaran yang dirancang berdasarkan

hambatan belajar yang dialami oleh siswa. Bahan ajar yang telah dihasilkan

dirancang dengan tujuan untuk meminimalisir hambatan belajar yang terjadi. Selain

hambatan pembelajaran yang dialami siswa, penting juga untuk menyusun bahan

ajar berdasarkan teori pembelajaran yang dikemukakan oleh para ahli sehingga

bahan ajar yang dihasilkan menjadi lebih efektif dalam menuntaskan hambatan

belajar siswa.

Teori belajar yang digunakan dalam pembuatan bahan ajar adalah teori belajar

Ausubel, Piaget, Bruner dan Vygotsky. Ausubel mengatakan pembelajaran yang

dibangun berdasarkan hapalan maka tidak akan masuk ke dalam memori jangka

panjang yang mengakibatkan sehingga siswa akan mudah lupa. Pembelajaran yang

disarankan oleh Ausubel adalah jenis pembelajaran bermakna sehingga siswa dapat

mengingat konsepnya untuk jangka waktu yang relatif lama. Teori yang

dikemukakan oleh Piaget kurang lebih sama dengan Ausubel, hanya saja Piaget

lebih menenkankan kepada proses terbentuknya suatu konsep yang baru ditemui

oleh siswa. Proses tersebut terbagi menjadi 3 macam, yaitu asimilasi, akomodasi

dan equilibrasi. Poin utama yang dijelaskan oleh ketiga proses tersebut adalah

mengintegrasikan suatu konsep baru ke dalam struktur kognitif yang telah terbentuk

sehingga menghasilkan struktur kognitif baru yang lebih terintegrasi dan akurat.

69

Teori selanjutnya adalah Bruner yang mengemukakan bahwa belajar harus melalui

proses menemukan. Siswa yang menemukan sendiri pengetahuan yang sedang

dipelajari dengan arahan guru akan lebih bermakna dan siswa akan lebih mengerti

konsep yang sedang dipelajarinya. Teori pembelajaran terakhir adalah teori yang

dikemukakan oleh Vygotsky. Vygotsky berpendapat bahwa interaksi sosial dapat

membantu siswa untuk mengembangkan konsep yang sedang dipelajari. Interaksi

ini dapat terjadi dengan siapa saja, baik dengan guru di kelas maupun dengan teman

sebaya. Selain itu, guru atau teman sebaya yang dianggap lebih kompeten juga

dapat memberikan petujuk seperlunya yang dibutuhkan oleh siswa dengan tujuan

untuk menstimulus proses berpikir siswa.

Berdasarkan pemaparan mengenai teori pembelajaran yang berkaitan, maka

bahan ajar yang dirancang haruslah dapat disesuaikan dengan teori pembelajaran

yang relevan. Bahan ajar yang dibuat harus dapat menjadi salah satu fasilitas yang

dapat menstimulus siswa dalam berpikir dan membangun konsep sehingga

menjadikannya pembelajaran yang bermakna. Metode pembelajaran yang

digunakan adalah diskusi dan discovery learning dimana hal ini sesuai dengan teori

yang dikemukakan oleh Vygotsky.

Hambatan belajar yang terjadi memiliki beberapa jenis hambatan seperti

yang dikemukakan oleh Kastolan, diantaranya adalah hambatan konseptual,

prosedural dan teknik operasional. Materi fungsi komposisi memiliki total 8 buah

indikator dengan setiap indikatornya dapat memungkinkan terjadinya lebih dari

satu macam hambatan belajar. Dari 8 buah indikator yang disajikan dengan

hambatan belajar yang bermacam-macam, maka penulis merangcang desain

pembelajaran yang terdiri dari 4 buah pertemuan. Berikut adalah bagan yang

menjabarkan indikator pembelajar dari setiap pertemuan yang berlangsung:

70

Gambar 4.29

Bagan Indikator Pencapaian Kompetensi dari Pertemuan 1-4

a. Desain Didaktis Pertemuan I

Pertemuan pertama memuat 3 indikator diantara adalah menentukan bentuk

fungsi komposisi menggunakan diagram panah, menentukan fungsi baru dari dua

buah fungsi menggunakan operasi komposisi dan menentukan nilai dari fungsi

komposisi. Indikator pertama membahas mengenai bentuk diagram venn yang

merupakan fungsi dan yang bukan fungsi. Penulis menyajikan bentuk diagram

panah yang merupakan fungsi dan yang bukan fungsi, lalu penulis meminta siswa

untuk mengamati perbedaan dari kedua bentuk tersebut. Langkah selanjutnya

adalah penulis meminta siswa untuk mendefiniskan fungsi berdasarkan perbedaan

yang telah siswa amati. Berikut adalah contoh diagram yang berbentuk fungsi dan

yang bukan beserta tugas yang disajikan oleh penulis dalam Lembar Kerja Siswa:

Fungsi Komposisi

Pertemuan 1

Indikator:

1. Mengklasifikasikan bentuk fungsi dan fungsi komposisi

berdasarkan diagram panah yang telah

disajikan.

2. Menentukan fungsi baru dari dua fungsi

menggunakan operasi komposisi

3. Menentukan nilai dari fungsi komposisi yang telah ditemukan

Pertemuan 2

Indikator:

1. Menentukan fungsi g(x) apabila diketahui fungsi

(fog)(x) dan fungsi f(x)

2. Menentukan fungsi f(x) apabila diketahui fungsi

(fog)(x) dan fungsi g(x)

Pertemuan 3

Indikator:

1. Menentukan fungsi baru dari tiga buah fungsi menggunakan

operasi komposisi

2. Menyelidiki sifat-sifat yang berlaku pada

operasi komposisi

Pertemuan 4

Indikator:

Menerapkan operasi

komposisi fungsi dalam

menyelesaikan masalah dalam

kehidupan sehari-hari

71

Gambar 4.30

Masalah Mengenai Konsep Fungsi

Siswa yang telah mengingat konsep dan definisi fungsi akan berlanjut ke

tahap selanjutnya, yaitu membangun konsep mengenai bentuk dan definisi fungsi

komposisi. Berdasarkan hasil uji instrument learning obstacle, tidak terdapat

hambatan pada indikator yang berkaitan dengan bentuk diagram panah pada fungsi

komposisi, namun untuk mengantisipasi munculnya kembali hambatan belajar

maka penulis memberikan contog sebagai berikut:

Gambar 4.31

Diagram Panah untuk Membentuk Konsep Fungsi Komposisi

72

Pertanyaan pertama pada yang disajikan adalah untuk mengklasifikasikan

diagram mana yang berbentuk fungsi dan yang bukan fungsi. setelah siswa

mengklasifikasikan bentuk diagram, siswa diminta untuk menyatukan antara

diagram satu dan diagram dua yang saling bersebelahan. Hasil dari pasangan

diagram inilah yang akan dilihat apakah masih membentuk fungsi atau tidak yang

akan menjadi pertanyaan ketiga. Setelah mengenal bentuk diagram fungsi yang

telah disatukan dan sudah dapat menentukan ciri-cirinya, maka siswa akan mengisi

tabel pada pertanyaan keempat yang berupa pernyataan dan akan menentukan

apakah pernyataan tersebut benar atau salah. Pernyataan tersebut digunakan untuk

menguji apakah siswa sudah dapat mengenal bentuk fungsi komposisi secara

keseluruhan atau belum. Berikut adalah tabel yang disajikan untuk menguji

pengetahuan siswa:

Gambar 4.32

Tabel Mengenai Bentuk Fungsi Komposisi

Tahap terakhir yang disajikan pada Tugas I setelah tabel adalah

mendefinisikan komposisi fungsi dengan bahasa yang dapat mereka pahami

berdasarkan poin-poin yang mereka telah kerjakan sebelumnya.

Tahap selanjutnya yaitu Tugas II pada pembelajaran pertemuan pertama

adalah siswa akan mulai mengoperasikan fungsi f(x) dan fungsi g(x) yang

menggunakan operasi komposisi. Sebelum menggunakan operasi komposisi, maka

siswa akan disajikan tabel sebagai berikut:

73

Gambar 4.33

Tabel yang Disajikan pada Tugas II

Cara menegejakan fungsi komposisi pada dasarnya adalah dengan

memasukkan fungsi ke dalam sebuah fungsi yang berbeda, sehingga kedua fungsi

tersebut dapat tergabung menjadi fungsi yang baru. Tabel pada Gambar 4.33

membatu siswa untuk memasukkan mulai dari bentuk fungsi yang paling

sederhana. Fungsi pertama yang ingin dimasukkan adalah fungsi a, lalu berubah

menjadi fungsi 2x dan begitu seterusnya sampai menjadi fungsi kuadra x2 – 2x + 5.

Melalui tabel ini diharapkan siswa akan mengerti cara memasukkan fungsi lain ke

dalam suatu fungsi sedikit demi sedikit dari bentuk fungsi yang paling sederhana.

Setelah mengisi tabel dan siswa sudah mulai mengerti cara yang paling dasar dalam

operasi fungsi komposisi, maka siswa akan diberikan latihan sebagai penguat

konsep yang telah mereka dapat.

Tahap terakhir pembelajaran pada pertemuan pertama ini adalah cara mencari

nilai varibel pada fungsi komposisi. Untuk dapat menyelesaikan persoalan tersebut

maka siswa harus dapat menyusun langkah-langkah terlebih dahulu. Dalam proses

penyusunan langkah-langkah akan menstimulus siswa untuk berpikir secara

sistematis. Setelah menentukan langkah-langkah maka siswa akan menyelesaikan

soal tersebut dengan mengikuti langkah-langkah yang telah mereka tentukan

sendiri.

b. Desain Didaktis Pertemuan II

Pertemuan kedua akan membahas mengenai mencari salah satu fungsi f(x)

atau g(x) apabila fungsi komposisinya telah diketahui. Ini merupakan bentuk variasi

soal yang sering muncul dalam pembelajaran fungsi komposisi. Proses mencari f(x)

dan g(x) memiliki cara pengerjaan yang berbeda, maka dari itu penulis membuatnya

menjadi dua indikator yang berbeda.

74

Situasi diaktis yang disajikan pada indikator pertama adalah diketahui fungsi

(fog)(x) dan fungsi f(x), maka siswa dimita untuk mencari nilai g(2). Hambatan

yang terjadi pada materi ini berdasarkan hasil analisis learning obstacle di lapangan

menunjukkan bahwa siswa mengalami kesulitan dalam menyusun langkah-langkah

penyelesaian. Penulis menyajikan pertanyaan kepada siswa berupa “apabila

(fog)(x) merupakan gabungan antara fungsi f(x) dan g(x), maka sebelum mencari

fungsi g(2) fungsi apa terlebih dahulu yang harus kalian dapatkan?” dari pertanyaan

ini, anak akan berpikir bahwa mereka harus mencari fungsi g(x) sebelum mereka

mendapatkan fungsi g(2). Siswa akan mulai merancang langkah-langkah yang lebih

jelas dalam menentukan nilai g(2) sehingga langkah-langkah yang telah mereka

buat dapat menjadi penuntun mereka dalam menentukan jawaban yang diminta.

Situasi didaktis kedua yang disajikan pada pertemuan kedua tidak terlalu

berbeda dengan situasi pertama.situasi yang disajikan adalah diketahui fungsi

(fog)(x) dan fungsi g(x), maka siswa akan mencari fungsi f(x-2). Hambatan yang

terjadi pada tahap inipun sama persis dengan hambatan yanag terjadi pada

hambatan indikator pertama pada pertemuan kedua. Hambatan yang terjadi adalah

siswa kesulitan dalam menentukan langkah-langkah penyelesaian. Penulis

mengajukan pertanyaan yang sama yaitu “apabila (fog)(x) merupakan gabungan

antara fungsi f(x) dan g(x), maka sebelum mencari fungsi f(x-2) fungsi apa terlebih

dahulu yang harus kalian dapatkan?”. Melalui pertanyaan ini pastinya siswa akan

mejadi fungsi f(x) terlebih dahulu yang harus dicari sehingga memudahkan mereka

untuk mencari fungsi f(x-2). Setelah terbentuk langkah-langkah penyelesaian

secara garis besar, maka siswa akan mulai merangcang langkah-langkah

penyelesaian yang lebih detail yang akan membantu mereka dalam menyelesaikan

permasalahan yang disajikan oleh Lembar Kerja Siswa.

c. Desain Didaktis Pertemuan III

Pertemuan ketiga ini siswa akan membahas mengenai fungsi komposisi dari

tiga buah fungsi dan sifat-sifat yang berlaku pada fungsi komposisi. Fungsi

komposisi dari tiga buah fungsi merupakan salah satu bentuk variasi soal yang

harus dikuasi oleh siswa. Bentuk ini merupakan pengembangan dari bentuk fungsi

(fog)(x) menjadi fungsi (fogoh)(x). Setelah itu, siswa akan menyelediki sifat-sifat

75

yang berlaku pada fungsi komposisi, sifat-sifat yang diselidiki adalah sifat

komutatif, identitas dan asosiatif.

Sebelum siswa mengerjakan soal komposisi dari tiga buah fungsi, maka siswa

akan disajikan tabel sebagai berikut:

Gambar 4.34

Bentuk Tabel yang Disajikan pada Tugas I

Tabel ini yang nantinya akan membantu siswa selangkah demi selangkah

dalam mengerjakan soal fungsi (fogoh)(x). Setelah mengisi tabel ini diharapkan

siswa dapat mengerjakan soal fungsi (fogoh)(x) dengan lancar dan tanpa kesulitan.

Tahap akhir dari indikator pertama pada pertemuan ketiga ini adalah diakhiri

dengan latihan dalam menentukan fungsi komposisi dari tiga buah fungsi dengan

menggunakan cara yang sama dengan tabel yang telah disajikan.

Selanjutnya siswa akan mulai beralih kepada indikator kedua yaitu

menyelidiki sifat-sifat yang berlaku pada operasi komposisi. Sebelum disajikan

bentuk diagram panah yang akan diujikan, maka siswa akan diberikan petunjuk

terlebih dahulu dalam membentuk diagram panah yang sesuai aturan fungsi

komposisi. Berikut adalah petunjuk yang diberikan pada LKS:

76

Gambar 4.35

Contoh Diagram Panah Fungsi Komposisi yang Sesuai Aturan

Setelah siswa mengetahui urutan diagram dalam membentuk fungsi

komposisi, maka LKS akan menyajikan bentuk diagram pada yang mewakili

masing-masing fungsi f(x), g(x), h(x) dan I(x).Berikut adalah gambar dari diagram

panah yang disajikan untuk menyelidiki sifat-sifat yang berlaku:

Gambar 4.36

Diagram Panah Fungsi f(x), g(x), h(x) dan I(x)

Sifat pertama yang akan diidentifikasi adalah sifat komutatif. Sifat komutatif

akan berlaku apabila fungsi komposisi ditukar urutannya maka akan tetap

menghasilkan hasil akhir yang sama. Pada kasus kali ini penulis akan menggunakan

fungsi (fog)(x) dan (gof)(x) untuk menguji sifat komutatif. Siswa diminta untuk

menggambarkan diagram panah fungsi (fog)(x) dan (gof)(x) dan membandingkan

hasil akhir dari diagram tersebut. Berikut adalah cara menentukan keberlakuan sifat

komutatif pada Lembar Kerja Siswa (LKS):

77

Gambar 4.37

Langkah-Langkah Menentukan Keberlakuan Sifat Komutatif

Sifat kedua adalah sifat identitas. Sifat identitas berlaku apabila fungsi (foI)(x)

= (Iof)(x) = f(x). Menggunakan langkah-langkah yang sama seperti menentukan

keberlakuan sifat komutatif, siswa akan menentukan diagram panah untuk fungsi

(foI)(x) dan (Iof)(x). Setelah itu, siswa akan memebandingkan kedua diagram

panah tersebut dan menentukan apakah sifat identitas berlaku pada operasi

komposisi atau tidak. Siswa akan menentukan diagram masing-masing fungsi di

dalam kotak yang telah disediakan seperti berikut:

Gambar 4.38

Langkah-Langkah Menentukan Keberlakuan Sifat Identitas

Sifat terakhir adalah sifat asosiatif, diidentifikasi dengan cara yang sama.

Berikut adalah langkah-langkah dalam menentukan sifat asosiatif:

78

Gambar 4.39

Langkah-Langkah Menentukan Keberlakuan Sifat Asosiatif

d. Desain Didaktis Pertemuan IV

Pertemuan terakhir atau pertemuan keempat akan membahas menganai

kemampuan keterampilan siswa dalam menyelesaikan masalah terkait materi

fungsi komposisi. Sebelum disajikan masalah, siswa akan diberikan pengingat

berupa pengertian fungsi dan diagram panah yang menyatakan fungsi komposisi.

Hal ini dilakukan dengan tujuan untuk memberikan stimulus agar siswa dapat

menyelesaikan permasalahan yang disajikan dengan menggunakan operasi fungsi

komposisi. Berikut adalah pengingat yang disajikan pada Lembar Kerja Siswa:

Gambar 4.40

Pengertian dan Diagram Panah Fungsi Komposisi

Setelah siswa sudah mulai mengingat pengertian fungsi komposisi dan

gambar pada diagram fungsi komposisi, maka tahap selanjutnya adalah disajikan

permasalahan mengenai perubahan nilai mata uang. Permasalahan ini dipilih karena

uang merupakan barang yang sangat dekat dengan kehidupan sehari-hari, selain itu

79

mata uang yang digunakan pun merupakan mata uang yang tidak asing bagi siswa,

seperti mata uang Rupiah, Dollar Amerika dan Euro. Perubahan nilai mata uang

yang digunakan menggunakan nilai yang sehungguhnya dengan angka yang lebih

disederhanakan agar permasalahan yang disajikan terasa semakin realistis dan

dengan ditambahkan permasalahan mengenai biaya tukar agar model matematika

yang digunakan terlihat lebih bervariasi. Berikut adalah soal cerita mengenai

permasalahan fungsi komposisi secara lengkap yang disajikan pada Lembar Kerja

Siswa:

Gambar 4.41

Soal Kontekstual Berkaitan dengan Materi Fungsi Komposisi

Setelah diberikan waktu beberapa menit untuk memahami soal, maka siswa

akan mulai merangcang bentuk model matematika pada Tugas I dengan

memisalkan fungsi f(x) sebagai perubahan nilai mata uang Dollar menjadi Euro

dan fungsi g(x) sebagai perubahan nilai mata uang Euro menjadi Rupiah.

Permisalan ini akan dituliskan pada Lembar Kerja Siswa sebagai berikut:

80

Gambar 4.42

Penulisan Permisalan Fungsi f(x) dan fungsi g(x)

Setelah memisalkan fungsi, siswa akan mulai merancang model

matematikanya. Hambatan yang terjadi pada tahap ini adalah siswa kesulitan

membedakan antara variabel, konstanta dan koefisien sehingga dapat merancang

model matematika dengan benar. Penulis memberikan ciri-ciri dari variabel,

konstanta dan koefisien dengan menggunakan bahasa yang sederhana agar siswa

dapat membedakan ketiganya dengan lebih mudah. Berikut adalah ciri-ciri variabel,

konstanta dan koefisien yang diberikan pada Lembar Kerja Siswa:

Gambar 4.43

Ciri-Ciri Variabel, Koefisien dan Konstanta pada LKS

Langkah selanjutnya adalah siswa akan mengelompokkan keomponen

pembentuk fungsi kedalam variabel, koefisien dan konstanta berdasarkan cirri-ciri

yang telah mereka pahami. Berikut adalah tabel pengelompokkan komponen

pembentuk fungsi:

81

Gambar 4.44

Tabel Pengelompokkan Variabel, Koefisien dan Konstanta

Terdapat tiga komponen pada soal yang akan dijadikan sebagai model

matematika pada fungsi f(x), yaitu uang sebesar 4000 Dollar, harga biaya tukar dan

nilai tukar Dollar ke Euro. Siswa akan mengelompokkan ketiga komponen tersebut

menjadi variabel, konstanta dan koefisien berdasarkan ciri-ciri yang telah mereka

ketahui. Setelah siswa mengelompokknya maka siswa akan langsung membuat

model matematika dari fungsi f(x). Fungsi g(x) juga akan menggunakan langkah

dan cara yang sama dengan fungsi f(x) dalam perancangan model matematikanya.

Tugas kedua pada Lembar Kerja Siswa pertemuan keempat adalah siswa

menentukan jumlah Euro dan Rupiah yang turis itu dapat apabila setengah dari 4000

Dolar ditukar menjadi Euro dan sisanya ditukar menjadi Rupiah. Untuk mengetahui

jumlah Euro dan Rupiah yang didapat, maka siswa akan menggunakan fungsi f(x)

dan g(x) yang telah mereka buat sebelumnya. Hambatan yang terjadi pada tahap ini

adalah terjadi kesalahan dalam penggunaan fungsi f(x) dan fungsi g(x) yang tidak

sesuai dengan permisalan yang telah dibuat oleh siswa sebelumnya. Agar tidak

terjadi kekeliruan dalam penggunaan fungsi, maka siswa akan diingatkan kembali

bahwa fungsi f(x) adalah fungsi yang dapat mengubah nilai Dollar menjadi Euro

dan fungsi g(x) adalah fungsi yang dapat mengubah nilai Euro menjadi Rupiah.

Berikut adalah kotak yang harus diisi oleh siswa untuk mengingatkannya pada hal

tersebut:

82

Gambar 4.45

Kotak Permisalan Fungsi f(x) dan g(x)

Selanjutnya tugas terakhir yang akan disajikan adalah pertanyaan mengenai

cara yang dapat digunakan oleh pihak bank untuk menukar Dollar langsung kepada

Rupiah tanpa harus menukarkannya ke Euro dulu. Tugas terakhir ini merupakan

permasalahan kontekstual sesungguhnya yang berkaitan dengan fungsi komposisi.

Sebelum menyelesaikan permasalahan tersebut, maka siswa akan diingatkan

kembali mengenai definisi dan kegunaan dari fungsi komposisi yang telah mereka

pelajari sebelumnya dengan menggunakan kotak di bawah ini:

Gambar 4.46

Kotak Definisi dan Kegunaan Fungsi Komposisi

Setelah siswa diingatkan kembali mengenai definisi dan kegunaan fungsi

komposisi, maka diharapkan siswa dapat mendapatkan kesimpulan bahwa

komposisi merupakan operasi pada fungsi yang dapat digunakan untuk menjadi

solusi pada masalah yang disajikan. Jawaban yang diharapkan adalah fungsi

(gof)(x) sebagai cara yang dapat digunakan oleh pihak bank dalam menentukan

nilai Dollar ke Rupiah.

B. Analisis Metapedadidaktik

Analisis metapedadidaktik merupakan analisis yang dilakukan pada saat

pengimplementasian bahan ajar yang telah dirancang berdasarkan hambatan belajar

siswa. Analisis ini dilakukan dalam rangka mengetahui keefektifan dari bahan ajar

83

yang telah dibut sebelumnya. Apabila bahan ajar yang telah dibuat tidak cukup

efektif dalam menangani hambatan belajar yang dialami siswa, maka bahan ajar

tersebut akan diperbaharui.

Bahan ajar ini diimplementasikan di SMAN 5 Tangerang Selatan di Kelas X

dengan siswa sebanyak 36 orang. Berdasarkan hasil pengimplementasian bahan

ajar maka didapat kesimpulan bahwa terdapat beberapa respon siswa yang terjadi

sesuai dengan prediksi dan sebagian yang lainnya tidak muncul sama sekali.

Berikut adalah perincian mengenai implementasi desain didaktis dari pertemuan

pertama sampai dengan pertemuan keempat:

1. Implementasi Desain Didaktis Pertemuan Pertama

Implementasi desain didaktis pada pertemuan pertama adalah mengenai

bentuk diagram panah yang akan siswa gunakan untuk membentuk fungsi

komposisi. Setelah mengenal bentuknya maka siswa akan mulai mendefinisikan

fungsi komposisi. Definisi fungsi komposisi ini akan terus digunakan pada

pertemuan kedua, ketiga dan keempat, karena dengan definisi inilah siswa akan

mengerti konsep dan kegunaan dari fungsi komposisi.

Situasi didaktis yang disajikan adalah berbagai macam bentuk diagram panah.

Dengan menggunakan situasi didaktis yang disajikan, maka siswa akan diberikan

empat macam penugasan. Penugasan yang pertama adalah siswa diminta untuk

mengklasifikasikan diagram mana yang merupakan fungsi dan yang bukan fungsi.

Penugasan kedua adalah siswa diminta untuk menggabungkan kedua fungsi yang

telah berpasangan menjadi suatu fungsi yang baru. Penugasan ketiga adalah siswa

dan siswa diminta untuk menentukan diagram panah yang merupakan fungsi dan

yang bukan. Prediksi kemungkinan kesulitan menurut peneliti adalah siswa lupa

dengan definisi fungsi, sehingga siswa tidak dapat mengelompokkan bentuk

diagram panah yang merupakan fungsi dan yang bukan berdasarkan definisi yang

benar. Untuk mengatasi hal tersebut, maka peneliti mengantisipasi dengan cara

menstimulus ingatan siswa yang telah belajar definisi fungsi dengan cara

menyajikan masing-masing tiga buah diagram yang berbentuk fungsi dan yang

bukan. setelah mengamati perbedaannya maka siswa akan dapat menentukan

diagram panah yang membentuk fungsi dan yang bukan. Berdasarkan hasil

84

pengimplementasian desain didaktis dilapangan, ternyata prediksi hambatan belajar

tersebut muncul pada beberapa siswa di kelas. Sekitar 1/3 dari jumlah total

keseluruhan siswa dikelas mengalami hal tersebut. Antisipasi yang disajikan pun

efektif sehingga siswa dapat memberikan jawaban yang tepat terhadap diagram

panah yang berbentuk fungsi dan yang bukan fungsi.

Penugasan selanjutnya adalah guru meminta siswa untuk menggabungkan

kedua buah fungsi yang telah berpasangan menjadi satu buah fungsi yang baru.

Prediksi hambatan yang akan muncul adalah siswa akan kesulitan dalam

menggabungkan kedua fungsi menjadi satu. Hambatan ini benar terjadi sesuai

dengan prediksi bahwa siswa tidak tahu bagaimana caranya menggabungkan kedua

fungsi tersebut. Agar siswa tidak lagi kesulitan dalam menggabungkan kedua fungsi

tersebut, maka peneliti akan memberikan contoh cara menggabungkan kedua fungsi

dan menjadikannya menjadi suatu fungsi yang baru. Peneliti menggunakan bentuk

diagram panah yang lain yang akan dibagungkan sebagai contoh agar penugasan

yang terdapat di dalam Lembar Kerja Siswa merupakan murni hasil pengerjaan

siswa. Setelah melihat contoh yang diberikan oleh peneliti, maka siswa tidak lagi

kesulitan dalam menggabungkan kedua fungsi tersebut dan menjadikannya sebagai

suatu fungsi yang baru.

Berdasarkan diagram panah yang telah siswa gabungkan maka penugasan

selanjutnya adalah siswa akan menentukan kembali fungsi mana yang setelah

digabungkan masih akan membentuk fungsi dan yang tidak. Pada penugasan kali

ini, peneliti tidak memprediksikan akan muncul kemungkinan kesulitan karena

penugasan yang diberikan sama dengan penugasan pertama yaitu menentukan

bentuk diagram panah yang berbentuk fungsi dan yang bukan maka dari itu

kemungkinan kesulitan yang muncul sudah dapat teratasi dengan antisipasi yang

dilakukan pada penugasan pertama. Saat dibandingkan dengan hasil implementasi

di lapangan, hambatan yang telah diprediksi tidak akan muncul benar saja tidak

terjadi. Tidak ada siswa yang tidak mengerti untuk mengelompokkan diagram yang

berbentuk fungsi dan yang bukan fungsi karena siswa sudah mengerti cara untuk

membedakannya.

85

Setelah itu, siswa akan mengisi tabel mengenai bentuk diagram fungsi

komposisi yang seharusnya. Siswa akan mengidentifikasi pernyataan mana yang

benar dan yang salah. Terdapat total 4 buah pernyataan yang diberikan, pernyataan

berikut adalah: (1) Untuk menjadi fungsi komposisi yang sesuai syarat, diagram I

dan diagram II harus berbentuk fungsi, (2) Untuk menjadi fungsi komposisi yang

sesuai syarat, diagram I atau diagram II harus berbentuk fungsi, (3) Untuk menjadi

fungsi komposisi yang sesuai syarat, maka kodomain pada diagram I harus

semuanya memiliki pasangan dengan domain pada fungsi I, (4) Untuk menjadi

fungsi komposisi yang sesuai syarat, maka diagram I dan diagram II harus

berbentuk fungsi korespondensi satu-satu. Pernyataan 1 dan 2 merupakan kedua

pernyataan yang terlihat sama, yang membedakan hanyalah kata “dan” dengan kata

“atau”, namun hal ini dapat membingungkan dan dianggap sama oleh siswa.

Peneliti memperkirakan hal itu sebagai salah satu hambatan yang akan muncul.

Antisipasi yang diberikan oleh peneliti agar siswa dapat membedakan kata

“dan” dengan kata “atau adalah dengan cara memberikan contoh kalimat yang

menggunakan kata “dan” dengan kata “atau”. Kalimat yang diberikan sebagai

contoh adalah: “seandainya saya memerintahkan andi untuk mengambil pulpen dan

pensil, lalu Andi hanya mengambil salah satunya apakah perintah saya sudah

terlaksanakan dengan baik? Bandingkan dengan apabila saya memerintahkan Andi

untuk mengambil pulpen atau pensil lalu andi hanya mengambil salah satunya,

apakah perintah saya sudah dilaksanakan dengan baik?”. Dengan menggunakan

kedua kalimat tersebut, maka siswa dapat membedakan penggunaan kata “dan”

dengan kata “atau”. Berdasarkan hasil implementasi dilapangan, benar adanya

bahwa hambatan tersebut muncul. Antisipasi yang diberikan cukup efektif untuk

mengatasi hambatan tersebut.

Penugasan yang terakhir adalah siswa akan mendefinisikan fungsi

komposisi. Prediksi hambatan yang akan muncul pada tahap ini adalah siswa

kesulitan untuk mendefinisikannya. Antisipasi yang diberikan peneliti sebagai

solusi untuk mengatasi hambatan adalah dengan cara menggambarkan kembali

salah satu diagram panah yang telah mereka buat, dengan diberikan gambar tersebut

maka mereka akan mengertibahwa fungsi komposisi dapat digunakan untuk

86

menggabungkan beberapa fungsi menjadi satu dan dapat digunakan untuk

mengubah objek atau nilai benda yang pertama langsung kepada objek yang

terakhir. Pada saat pengimplementasian bahan ajar di lapangan, dapat dilihat bahwa

antisipasi yang diberikan cukup efektif sehingga siswa dapat menjawab dengan

benar mengenai definisi fungsi komposisi.

Situasi didaktis kedua yang diberikan pada pertemuan pertama adalah

mengenai cara menggunakan operasi komposisi pada fungsi. penugasan yang

diberikan ada dua macam, yaitu melengkapi tabel dan menentukan bentuk fungsi

komposisi ((fog)(x) atau (gof)(x)) dari dua buah fungsi. Disajikan tabel pada

penugasan satu dengan tujuan supaya dapat mempermudah siswa dalam

menghitung menggunakan fungsi komposisi pada penugasan dua. Kemungkinan

kesulitan yang akan ditemui oleh siswa adalah siswa hanya mengubah variabel pada

fungsi yang disajikan di dalam tabel tanpa menyederhanakannya. Antisipasi yang

diberikan oleh peneliti untuk mengatasi hambatan tersebut adalah memberikan

stimulus dengan cara memberikan pertanyaan “apakah fungsi tersebut sudah

sederhana?” lalu dilanjutkan dengan pertanyaan “apabila belum sederhana, maka

cara apa yang harus kamu lakukan?” dengan cara seperti ini maka siswa akan

berpikir untuk menggunakan operasi aljabar dalam menyederhanakan fungsi

tersebut. Siswa yang sudah diberikan stimulus tersebut sudah dapat membuat fungsi

menjadi lebih sederhana dan dapat mengerjakan penugasan dua dengan lebih

mudah, sehingga antisipasi yang diberikan efektif dalam mengatasi hambatan

tersebut.

Situasi didaktis yang terakhir pada pertemuan pertama adalah peneliti

memberikan fungsi f(x), fungsi g(x) dan nilai fungsi (fog)(a) dengan bentuk

penugasan untuk mencari nilai a dari fungsi (fog)(a). Kemugkinan hambatan yang

akan muncul adalah kesulitan dalam menentukan nilai a pada fungsi (fog)(a) dan

kesalahan penulisan dan penggunaan operasi aljabar yang tidak tepat sehingga

menghasilkan jawaban yang salah. Berdasarkan hasil implementasi, hambatan

dalam menentukan nilai a terjadi, sedangkan hambatan dalam kesalahan penulisan

atau kesalahan dalam penggunaan operasi aljabar tidak terjadi. Hambatan tersebut

tidak terjadi dikarenakan siswa melakukan proses pembelajaran dengan cara diskusi

87

sehingga kesalahan tersebut dapat diminimalisir dan sesama anggota dapat saling

mengingatkan dan saling mengoreksi jawaban temannya masing-masing.

Antisipasi kemungkinan kesulitan yang disajikan untuk masing-masing

hambatan adalah peneliti memberikan stimulus berupa pertanyaan “apa perbedaan

antara (fog)(x) dengan (fog)(a)?” dari pertanyaan itu siswa akan berpikir bahwa

(fog)(x) dan (fog)(a) hanya berbeda bentuk variabel saja. Kemudian, peneliti

memberikan pertanyaan yang kedua “dari fungsi f(x) dan g(x) yang diketahui pada

soal, dapat menghasilkan fungsi apa yang menyerupai fungsi (fog)(a)?” pertanyaan

ini akan menggiring siswa untuk mencari fungsi (fog)(x) terlebih dahulu. Setelah

itu peneliti meminta ketua kelompok memastikan semua jawaban pada anggota

kelompoknya sudah benar dan meminta semua perwakilan kelompok untuk

mempresentasikan hasil jawabannya untuk dibandingkan satu sama lain. Antisipasi

ini dilakukan untuk mengatasi hambatan kesalahan penulisan yang sering dialami

oleh siswa. antisipasi pertama yang dilakukan oleh peneliti dapat dikatakan efektif

karena dapat mengarahkan jawaban siswa sehingga siswa dapat menjawab dengan

benar dan tidak lagi kebingungan dalam menentukan nilai variabel a, sedangkan

antisipasi kedua yang diberikan tidak terpakai karena siswa sudah dapat

mengatasinya sendiri dengan cara diskusi.

2. Implementasi Desain Didaktis Pertemuan Kedua

Pertemuan kedua menyajikan dua macam situasi didaktis. Situasi didaktis

yang pertama adalah disajikan fungsi f(x) dan fungsi (fog)(x). Situasi kedua

disajikan fungsi g(x) dan fungsi (fog)(x). Kedua situasi ini memiliki sedikit

kesamaan yaitu mencari salah satu fungsi antara f(x) atau g(x) apabila diketahui

fungsi komposisinya yaitu fungsi (fog)(x), namun kedua permasalahan ini dijadikan

dua situasi didaktis yang berbeda dikarenakan cara mencari nilai f(x) dan g(x)

tidaklah sama. Selain itu dibedakan dengan tujuan agar siswa dapat memahami

bahwa kedua persolan tersebut merupakan kedua persoalan yang berbeda pula.

Penugasan pertama pada situasi didaktis pertama adalah siswa diminta untuk

menentukan nilai dari g(2) apabila diketahui fungsi f(x) dan fungsi (fog)(x).

Kemungkinan hambatan yang diperkirakan akan muncul adalah kesulitan dalam

menyusun langkah-langkah penyelesaian untuk mendapatkan fungsi yang diminta

88

dan terdapat hambatan teknik operasional (kesalahan dalam penulisan dan

kesalahan dalam penggunaan operasi aljabar) pada proses penyelesaian masalah.

Berdasarkan hasil implementasi di lapangan, maka didapat kesimpulan bahwa

benar terjadi bahwa siswa kesulitan dalam menyusun langkah-langkah

penyelesaian, sedangkan untuk hambatan teknik operasional, terjadi hanya pada

sebagian kecil dari total jumlah siswa dan sudah dapat diatasi dengan metode

diskusi. Antisipasi tambahan berupa pengecekan jawaban tetap dirasa efektif

mengingat antisispasi tersebut dapat digunakan untuk memastikan bahwa jawaban

siswa sudah benar semua.

Antisipasi yang diberikan dengan tujuan untuk mengatasi hambatan yang

berkaitan dengan penyusunan langkah-langkah penyelesaian adalah dengan cara

memberikan sedikit stimulus dengan memberikan pertanyaan “Ingat ya, pada

fungsi (fog)(x) merupakan fungsi gabungan dari f(x) dan g(x), maka sebelum

mencari nilai g(2), fungsi apa terlebih dahulu yang harus kalian dapatkan?”

Pertanyaan tersebut membuat siswa berpikir bahwa sebelum mendapatkan nilai

g(2) maka ia harus mencari fungsi g(x) terlebih dahulu dikarenakan yang dapat

diketahui pada fungsi (fog)(x) adalah fungsi f(x) dan g(x). Melalui stimulus tersebut

siswa mendapatkan gambaran secara garis besar dalam menyelesaikan masalah

tersebut dan setelah itu peneliti meminta siswa untuk menuliskan langkah-langkah

yang lebih rinci yang dapat diadikan patokan dalam menyelesaikan masalah

tersebut. Antisipasi tersebut sudah dapat mengatasi hambatan yang muncul dengan

efektif sehingga siswa sudah dapat menyusun langkah-langkah penyelesaian

dengan benar.

Hambatan baru yang tidak terprediksi muncul pada beberapa siswa.

Hambatan tersebut adalah siswa masih merasa kesulitan dalam menyelesaikan

permasalahan tersebut walaupun sudah terdapat langkah-langkah penyelesaian

yang mereka buat. Kesulitan yang dialami secara spesifik adalah dalam

memasukkan fungsi f(x) yang diketahui dalam persamaan fungsi (fog)(x) sehingga

terdapat siswa yang tidak menyelesaikan soal sampai akhir. Antisipasi yang

dilakukan peneliti pada saat itu adalah dengan cara membatu siswa langkah demi

langkah dalam menyelesaikan masalah tersebut sesuai dengan langkah-langkah

89

yang mereka buat. Setelah itu, peneliti bertanya dan memberi petunjuk “Bagaimana

caranya kalian mensubstitusikan fungsi g(x) ke dalam fungsi f(x), dengan cara

mengganti variabel x pada fungsi f(x) menggunakan fungsi g(x) bukan? karena g(x)

belum diketahui fungsinya, maka ubah saja variabel x pada fungsi f(x)

menggunakan g(x)” .Antisipasi yang dilakukan peneliti pada saat itu ternyata

efektif dalam mengurangi hambatan tersebut. Berdasarkan hambatan baru yang

muncul dan antisipasi yang dilakukan peneliti, maka bahan ajar yang dibuat akan

direvisi dengan langkah-langkah yang lebih rinci sehingga hambatan baru akan

dapat diminimalisir dengan baik. Berikut adalah hasil pengerjaan dari siswa yang

sama yang memiliki hambatan baru dan telah diantisipasi dengan cara yang rinci:

Gambar 4.47

Hasil Pengerjaan Siswa yang Telah Diberi Antisipasi Tambahan untuk

Mencari Fungsi g(x)

Penugasan yang diberikan pada situasi didaktis kedua pada pertemuan kedua

adalah siswa diminta untuk menentukan fungsi f(x-2) yang belum diketahui apabila

diketahui fungsi g(x) dan fungsi (fog)(x). Kemungkinan Kesulitan yang muncul

pada tahap ini adalah terkait dengan hambatan prosedural dan hambatan teknik

90

operasional, yaitu kesulitan dalam menyusun langkah-langkah penyelesaian untuk

mendapatkan fungsi yang diminta dan ketidaktelitian dalam proses penyelesaian

sehingga terdapat kesalahan dalam penulisan ataupun pengoperasian aljabar.

Berdasarkan hasil pengujian bahan ajar di lapangan, hambatan dalam menyusun

langkah-langkah penyelesaian tidak terjadi. Hambatan tersebut tidak muncul

dikarenakan siswa sudah terbiasa menyusun langkah-langkah penyelesaian dari

permasalahan sebelumnya, sedangkan pada hambatan teknik operasional hanya

muncul pada sebagian kecil siswa dan sudah dapat diatasi hanya dengan metode

diskusi sehingga menyebabkan antispasi berupa pengecekan ulang oleh ketua

kelompok hanya bersifat sebagai penguat. Siswa yang menyelesaikan permasalahan

secara bersama-sama pastinya akan lebih teliti dalam mengerjakan soal tersebut

sehingga hambatan tersebut dapat diminimalisir. Sedangkan antisipasi berupa

meminta setiap kelompok belajar untuk menyamakan jawabannya dan memastikan

jawabannya sudah benar tetap dirasa efektif sebagai tindak lanjut dari solusi berupa

metode diskusi dalam mengatasi hambatan belajar tersebut.

Pada penugasan kedua ini muncul hambatan baru, yaitu siswa kesulitan

menentukan bentuk fungsi f(x) yang akan mereka gunakan. Fungsi f(x) harus

ditentukan dulu bentuknya, apakah fungsinya akan berbentuk fungsi linier, kuadrat

atau lain sebagainya, maka dari itu siswa juga harus mengetahui bentuk umum dari

masing-masing fungsi tersebut. Pada penugasan kali ini, bentuk fungsinya dibatasi

oleh peneliti hanya berbentuk fungsi linier dan kuadrat. Antisipasi yang peneliti

berikan untuk mengatasi hambatan tersebut adalah dengan cara mencocokkan

bentuk fungsi g(x) dengan fungsi (fog)(x). Peneliti akan memberikan petunjuk

berupa “Apabila disajikan bentuk fungsi (fog)(x) adalah bentuk kuadrat dan fungsi

(g)(x) adalah kuadrat juga, maka fungsi f(x) yang akan digunakan akan berbentuk

linier, sebaliknya apabila disajikan bentuk fungsi (fog)(x) adalah bentuk kuadrat

dan fungsi (g)(x) adalah linier, maka fungsi f(x) yang akan digunakan akan

berbentuk kuadrat”. Siswa yang telah mendapatkan antisipasi, sudah tidak kesulitan

lagi dalam menentukan bentuk fungsi f(x) yang akan menjadi acuan. Antisipasi

yang baru ini akan dimasukkan ke dalam Lembar Kerja Siswa yang telah direvisi

sehingga dapat meminimalisir hambatan belajar dengan lebih baik. Berikut adalah

91

hasil pengerjaan siswa yang telah dilakukan antisipasi tambahan pada hambatan

belajar yang baru:

Gambar 4.48

Hasil Pengerjaan Siswa yang Telah Diberi Antisipasi Tambahan pada Soal

Mencari Fungsi f(x)

3. Implementasi Desain Didaktis Pertemuan Ketiga

Pertemuan ketiga kali ini menyajikan dua buah situasi diaktis. Situasi yang

pertama adalah memberikan fungsi f(x), g(x) dan h(x) dan meminta siswa untuk

menentukan fungsi (fogoh)(x). Situasi yang kedua adalah memberikan macam-

macam bentuk diagram panah untuk menyelidiki sifat mana saja yang berlaku pada

fungsi komposisi. Pada situasi kedua ini, peneliti akan memberikan bentuk diagram

panah pada fungsi komposisi terlebih dahulu agar siswa mengerti cara membuat

diagram panah yang sesuai dengan aturan.

Terdapat dua buah penugasan pada situasi didaktis pertama, yaitu siswa

diminta untuk melengkapi tabel dengan tujuan untuk menanamkan konsep dalam

mencari fungsi (fogoh)(x) dan penugasan kedua adalah menentukan fungsi

92

(fogoh)(x) apabila diketahui fungsi f(x), g(x) dan h(x). Pada penugasan pertama

peneliti tidak memperkirakan kemungkinan kesulitan yang akan muncul, hal ini

didasari dengan siswa yang telah terbiasa dengan format tabel untuk mengerjakan

fungsi komposisi karena telah dikerjakan pada pertemuan pertama. Saat

diimplementasikan bahan ajar dilapangan, ternyata benar bahwa tidak terjadi

kesulitan pada pengerjaan tabel tersebut.

Penugasan kedua yaitu pada saat diberikannya soal latihan mengenai fungsi

komposisi dari tiga buah fungsi, barulah peneliti memperkirakan akan terjadi

kesulitan. Kemungkinan kesulitan yang diperkirakan akan muncul adalah kesulitan

dalam menentukan cara antara (fo(goh))(x) atau ((fog)oh)(x) dalam menentukan

bentuk komposisi dari tiga buah fungsi, karena siswa menganggap cara

penyelesaian yang beda maka akan menghasilkan jawaban yang berbeda pula.

Ternyata hal ini terjadi hanya pada sebagian siswa saja, sedangkan sebagian lainnya

sama sekali tidak tahu langkah apa yang harus dikerjakan.

Cara peneliti mengantisipasi kedua masalah tersebut adalah memberikan

sedikit petunjuk dalam mengerjakan fungsi (fo(goh))(x) dan ((fog)oh)(x). Fungsi

(fo(goh))(x) harus dikerjakan (goh)(x) terlebih dahulu, setelah bentuknya

disederhanakan maka fungsi (goh)(x) akan dimasukkan ke dalam fungsi f(x).

Sedangkan untuk fungsi ((fog)oh)(x) yang harus dikerjakan terlebih dahulu adalah

(fog)(x), lalu setelah disederhanakan nilai x pada (fog)(x) diganti dengan fungsi

h(x). Untuk mengantisipasi keraguan siswa pada proses pengerjaan yang berbeda

akan menghasilkan jawaban yang berbeda pula, maka peneliti akan meminta setiap

kelompok untuk mengerjakan dalam dua cara dan membandingkan haislnya.

Antisipasi tersebut dilakukan dengan tujuan agar siswa dapat memilih sendiri cara

mana yang paling mereka sukai untuk mengerjakan soal tersebut. Kedua antisipasi

tersebut ternyata dapat mengatasi kesulitan tersebut dengan baik sehingga tidak ada

lagi siswa yang mangalami kesulitan pada tahap ini. Berikut adalah hasil pengerjaan

siswa yang telah diterapkan antisipasi:

93

Gambar 4.49

Hasil Pengerjaan Siswa yang Telah Diberi Antisipasi pada Fungsi (fogoh)(x)

Antisipasi selanjutnya yang diberikan oleh peneliti pada fungsi komposisi dari

tiga buah fungsi adalah peneliti meminta ketua kelompok untuk memastikan setiap

anggota dalam kelompoknya memiliki jawaban yang benar dan meminta setiap

kelompok untuk maju dan mempresentasikan hasil pengerjaannya untuk

dibandingkan. Kedua antisipasi tambahan yang diberikan oleh peneliti dilakukan

dengan tujuan agar tidak terjadi kesalahan penulisan ataupun kesalahan-kesalahan

lain yang dapat saja terjadi diluar pemahaman siswa dalam menyelesaikan soal

tersebut.

Terdapat tiga macam penugasan pada situasi didaktis yang berkaitan dengan

menyelidiki sifat-sifat pada fungsi komposisi. Penugasan-penugasan tersebut

adalah siswa diminta untuk menyelidiki apakah sifat komutatif, identitas dan

asosiatif berlaku pada operasi komposisi. Penugasan tersebut dilakukan dengan

cara menggabungkan dan membandingkan antara diagram panah yang telah

disajikan. Kemungkinan kesulitan yang terjadi adalah siswa akan menggambarkan

hasil gabungan diagram panah dengan tidak semestinya. Contohnya, apabila siswa

ingin menggambarkan diagram (fog)(x) maka diagram yang akan mereka

gambarkan adalah f(x) g(x), padahal diagram yang benar untuk menggambarkan

(fog)(x) adalah g(x) f(x). Saat proses pembelajaran berlangsung, kemungkinan

kesulitan yang diperkiran ternyata benar terjadi. Hampir semua siswa di kelas

mengalami kesulitan tersebut. Antisipasi yang diberikan oleh peneliti adalah

94

dengan memberikan memberikan gambar diagram panah yang sesuai. Berikut

adalah gambar fungsi komposisi yang disajikan:

Gambar 4.50

Contoh Fungsi Komposisi yang Dijadikan Antisipasi

Antisipasi yang diberikan cukup efektif dalam menangani kesulitan siswa

dalam menggambarkan fungsi komposisi yang diminta, sehingga siswa dapat

menyelesaikan soal dengan baik.

Kesulitan belajar yang dialami siswa pada tahap ini ternyata tidak berhenti

sampai disitu. Terdapat kesulitan baru yang muncul pada sebagian siswa yang tidak

diperkirakan oleh peneliti sebelumnya. Kesulitan ini muncul pada saat siswa ingin

membuat diagram panah dari fungsi ((fog)oh)(x) dan fungsi (fo(goh))(x). Saat

proses pembelajaran berlangsung, sebagian siswa yang mengalami kesulitan

bertanya kepada peneliti apa bedanya antara fungsi ((fog)oh)(x) dan fungsi

(fo(goh))(x) sehingga siswa tidak dapat menggambarkan diagram yang diminta.

Antisispasi yang diberikan oleh peneliti pada saat kesulitan ini muncul adalah

dengan cara memberitahukan kepada siswa perbedaan antara fungsi tersebut

terletak pada langkah pengerjaannya, bahwa yang di dalam kurung harus

diutamakan untuk diselesaikan terlebih dahulu. Siswa yang telah diberikan

antisipasi tersebut sudah dapat mengatasi kesulitan sehingga mereka mengerti

langkah apa yang harus mereka ambil untuk menghasilkan jawaban yang benar.

Berikut adalah hasil jawaban siswa yang telah diberikan antisipasi tambahan:

95

Gambar 4.51

Hasil Pengerjaan Siswa yang Telah Diberi Antisipasi Tambahan pada Sifat

Asosiatif

4. Implementasi Desain Didaktis Pertemuan Keempat

Pertemuan keempat hanya menyajikan satu macam situasi didaktis yang

berkaitan dengan permasalahan kontekstual. Permasalahan tersebut mengenai

penukaran mata uang. Terdapat tiga buah macam penugasan pada tahap ini.

Penugasan pertama adalah siswa diminta membuat midel matematika dari

permasalahan tersebut. Model matematika yang akan mereka buat nantinya aka

nada dua macam, yaitu dalam bentuk f(x) dan g(x). Penugasan kedua adalah

menentukan besar uang yang akan mereka dapat dalam bentuk Euro dan Rupiah.

Penugasan ketiga adalah meminta siswa untuk menentukan cara yang dapat

langsung pihak bank gunakan agar Dollar dapat langsung ditukar menjadi Rupiah

tanpa harus menukarkannya ke Euro terlebih dahulu.

Kemungkinan kesulitan yang dapat terjadi pada pertemuan keempat adalah,

kesulitan dalam menentukan model matematika untuk menyatakan fungsi f(x) dan

g(x), kesalahan dalam penggunaan fungsi yang telah dibuat sebelumnya, kesulitan

dalam menentukan fungsi yang dapat mengubah Dollar langsung kepada Rupiah

dan kesalahan dalam menggunakan operasi aljabar sehingga fungsi yang dihasilhan

tidak tepat. Berdasarkan hasil implementasi bahan ajar pada pertemuan keempat,

didapat kesimpulan bahwa ketiga kesulitan tersebut terjadi.

96

Antisipasi yang diberikan oleh peneliti terhadap kesulitan pertama adalah

siswa dalam menentukan variabel, koefisien dan konstanta dengan memberikan

ciri-cirinya yang tertera pada lembar kerja siswa. Variabel dicirikan sebagai suatu

bentuk dari fungsi komposisi yang nilainya dapat berubah. Koefisien adalah pengali

yang digunakan untuk memperbesar atau memperkecil nilai variabel. Konstanta

suatu bentuk pada fungsi yang nilainya tidak akan berubah dalam kondisi apapun.

Berdasarkan ketiga ciri tersebut, siswa akan menentukan ketiga elemen dari

masalah yang disajikan terkait nilai tukar uang. Karena pada soal petunjuk yang

dapat diketahui adalah petunjuk mengenai nilai tukar Dollar ke Euro dan nilai tukar

Euro ke Rupiah, maka siswa akan membuat dua buah model matematika, yaitu f(x)

sebagai nilai tukar Dollar ke Euro dan g(x) sebagai nilai tukar Euro ke Rupiah.

Antisipasi tersebut efektif dalam menangani kesulitan siswa untuk membedakan

antara variabel, konstanta dan koefisien. Kesulitan tersebut menjadi kesulitan utama

siswa dalam membuat model matematika.

Hambatan lainnya muncul pada sebagian siswa saat siswa ingin membuat

model matematika. Hambatan tersebut adalah siswa tidak tahu cara menentukan

model matematika secara utuh walaupun sudah dapat membedakan antara variabel,

koefisien dan konstanta. Antisipasi tambahan yang diberikan pada saat dikelas

adalah dengan cara menstimulus cara berpikir siswa dengan contoh kasus yang

serupa namun dengan angka yang lebih sederhana agar lebih mudah dimengerti.

Pertanyaan tersebut adalah “Bayangkan apabila satu Dollar adalah sama dengan

100 Euro, apabila saya mempunyai uang 5 Dollar, jadi berapa total Euro yang saya

punya?” dari pertanyaan ini siswa akan menjawab 500 Euro, setelah itu peneliti

menanyakan pertanyaan lanjutan yaitu “saya bisa dapat 500 Euro kalau saya

menukar uangnya gratis, sekarang apabila dia punya biaya tukar sebesar 1 Dollar,

maka total Euro yang saya dapatkan akan menjadi berapa?” setelah itu siswa akan

menjawab lagi “sebesar 400 Euro”. Peneliti akan bertanya lagi “kenapa uangnya

bisa 400 Euro kenapa ga 500 Euro?” dari pertanyaan ini siswa pasti akan menjawab

“karena uangnya dipakai untuk bayar biaya tukarnya, jadi uangnya sisa 4 Dollar”.

Peneliti kan melanjutkan pertanyaan “jadi bagaimana langkah-langkah membuat

model matematikanya?” dari pertanyaan ini siswa akan menyadari bahwa variabel

97

yang digunakan harus dikurang dulu dengan biaya tukar sehingga fungsi yang

dihasilkan menjadi f(x) = (x-2) 0,9 dan g(x) = (x-5) 16000. Antisipasi yang

diberikan efektif dalam mengatasi kesulitan siswa dalam menentukan model

matematika. Berikut adalah jawaban siswa yang telah diberikan antisipasi:

Gambar 4.52

Kotak Pengingat Kegunaan Fungsi f(x) dan g(x)

Antisipasi tersebut cukup efektif dalam mengatasi kesalahan yang dapat

terjadi dalam penggunaan fungsi yang menjadi kesalahan fatal dalam proses

penyelesaian masalah tersebut. Berikut adalah contoh jawaban siswa yang telah

dilakukan antisipasi:

Gambar 4.53

Jawaban Siswa yang telah Diberi Antisipasi pada Soal Menentukan Jumlah

Euro dan Rupiah

Antisipasi yang diberikan oleh peneliti untuk mengatasi kesulitan dalam

menentukan fungsi yang dapat mengubah Dollar langsung kepada Rupiah adalah

98

dengan cara memberikan definisi dan kegunaan dari fungsi komposisi terlebih

dahulu sebelum siswa mulai menyelesaikan soal yang diminta. Permasalahan

tersebut hanya dapat diselesaikan apabila siswa ingat dan mengerti definisi dan

kegunaan dari fungsi komposisi itu sendiri. Akan ada kemungkinan siswa lupa

definisi dan kegunaan fungsi komposisi walaupun siswa telah mempelajarinya pada

pertemuan pertama. Antisipasi dengan cara mengingatkan kembali siswa dengan

definisi dan kegunaannya diharapkan dapat membantu siswa untuk menyelesaikan

permasalahan kontekstual yang berkaitan dengan fungsi komposisi. Antisipasi

tersebut ternyata efektif dalam mengatasi kesulitan siswa dalam menentukan fungsi

yang diminta sesuai dengan soal. Berikut adalah hasil pengerjaan siswa yang telah

dilakukan antisipasi:

Gambar 4.54

Jawaban Siswa yang telah Diberi Antisipasi untuk Menentukan Fungsi

Dollar ke Rupiah

Hambatan terakhir yang dimungkinkan akan terjadi adalah hambatan yang

berkaitan dengan hambatan teknik operasional. Hambatan tersebut adalah

hambatan mengenai kesalahan penulisan, kesalahan penggunaan operasi aljabar

dan kesalahan-kesalahan lain yang berkaitan secara teknis. Antisipasi yang

diberikan oleh peneliti adalah dengan cara meminta setiap ketua kelompok untuk

memastikan agar semua anggotanya telah menjawab dengan benar dan meminta

99

setiap perwakilan untuk maju ke depan mempresentasikan hasil dari jawabannya.

Antisipasi tersebut tetap dirasa efektif dalam menangani hambatan tersebut. Siswa

yang berdiskusi dengan semua teman sekelompoknya telah dengan sendiri

meminimalisir kesalahan tersebut karena dengan mengerjakannya secara diskusi

siswa tersebut menjadi lebih teliti dalam menyelesaikan soal tersebut, namun kedua

antisipasi tersebut dapat dijadikan sebagai penguat untuk benar-benar memastikan

siswa semua sudah menjawab dengan benar.

Berikut adalah tabel observasi metapedadidaktik selama pembelajaran

berlangsung:

Tabel 4.4

Tabel Hasil Observasi Metapedadidaktik

Per

tem

uan

Sit

uas

i

Dis

akti

s

Pen

ug

asan

Prediksi Respon Terjadi /

Tidak Antisipasi Kesulitan Baru

1

1

1

Siswa lupa mengenai

definisi fungsi

sehingga kesulitan

untuk membedakan

yang merupakan

fungsi dengan yang

bukan fungsi

Terjadi Efektif Tidak Ada

2

Siswa kesulitan

dalam

menggabungkan

kedua fungsi untuk

menjadikannya

sebagai fubgsi yang

baru


3 - - - -

4

Siswa bingung

membedakan kata

“dan” dengan kata

“atau” pada

pernyataan pertama

dan kedua pada tabel


2

1 - - - -

2 Siswa hanya

mengubah variabel Terjadi Efektif Tidak Ada

100

pada fungsi dan tidak

menyederhanakan

kedua fungsi menjadi

fungsi yang baru

dengan menggunakan

operasi aljabar

3 1

Siswa kesulitan

dalam menentukan a

pada fungsi (fog)(a)


Terdapat kesalahan

penulisan dan

penggunaan operasi

aljabar yang tidak

tepat

Tidak

Terjadi - -

2 1 1

Siswa kesulitan

dalam menyusun

langkah-langkah

penyelesaian untuk

mendapatkan fungsi

yang diminta

Terjadi Efektif

Siswa kesulitan

memasukkan nilai

fungsi f(x) agar

menjadi bentuk

(fog)(x) yang benar

Solusi:

Membatu siswa

langkah demi

langkah dalam

menyelesaikan

masalah tersebut

sesuai dengan

langkah-langkah

yang mereka buat.

Setelah itu, bertanya

dan memberi

petunjuk

“Bagaimana caranya

kalian

mensubstitusikan

fungsi g(x) ke dalam

fungsi f(x), dengan

cara mengganti

variabel x pada

fungsi f(x)

menggunakan fungsi

g(x) bukan? karena

g(x) belum diketahui

fungsinya, maka

ubah saja variabel x

pada fungsi f(x)

menggunakan g(x)”

Siswa tidak teliti

dalam mengerjakan

sehingga terdapat

Terjadi Efektif -

101

kesalahan dalam

penulisan ataupun

pengoperasian aljabar

2

1

Siswa kesulitan

dalam menyusun

langkah-langkah

penyelesaian untuk

mendapatkan fungsi

yang diminta

Tidak

Terjadi -

Siswa kesulitan

menentukan bentuk

fungsi f(x) yang

akan digunakan

Solusi:

Penulis memberikan

petunjuk berupa

“Apabila disajikan

bentuk fungsi

(fog)(x) adalah

bentuk kuadrat dan

fungsi (g)(x) adalah

kuadrat juga, maka

fungsi f(x) yang

akan digunakan

akan berbentuk

linier, sebaliknya

apabila disajikan

bentuk fungsi

(fog)(x) adalah

bentuk kuadrat dan

fungsi (g)(x) adalah

linier, maka fungsi

f(x) yang akan

digunakan akan

berbentuk kuadrat”

2

Siswa tidak teliti

dalam mengerjakan

sehingga terdapat

kesalahan dalam

penulisan ataupun



3 1 1

Siswa kesulitan

dalam menentukan

cara antara

(fo(goh))(x) atau

((fog)oh)(x) dalam

menentukan bentuk

komposisi dari tiga

buah fungsi. Siswa

menganggap cara

penyelesaian yang

beda maka akan

menghasilkan

jawaban yang

berbeda pula.


102

Siswa kesulitan

dalam menentukan

bentuk sederhana dari

(fogoh)(x)


2 1

Siswa terbalik dalam

membuat digram

yang sesuai dengan

yang diminta dalam

soal, karena apabila

siswa ingin membuat

diagram venn

(fog)(x) maka ia

harus

menggabungkan

antara diagram g(x)

dengan f(x) bukan

f(x) dengan g(x) dan

hal ini harus

dilakukan sesuai

dengan urutan yang

semestinya agar

menghasilkan

diagram yang tepat

Terjadi Efektif

Siswa mengalami

kesulitan

membedakan antara

fungsi ((fog)oh)(x)

dan fungsi

(fo(goh))(x)

sehingga siswa tidak

dapat

menggambarkan

diagram yang

diminta.

Solusi:

Memberitahukan

kepada siswa

perbedaan antara

fungsi tersebut

terletak pada

langkah

pengerjaannya,

bahwa yang di

dalam kurung harus

diutamakan untuk

diselesaikan terlebih

dahulu

4 1 1

Siswa kesulitan

dalam menentukan

model matematika

untuk menyatakan

fungsi f(x) dan g(x)

Terjadi Efektif

Siswa tidak tahu

cara menentukan

model matematika

secara utuh

walaupun sudah

dapat membedakan

antara variabel,

koefisien dan

konstanta

Solusi:

Menstimulus cara

berpikir siswa

dengan contoh kasus

yang serupa namun

dengan angka yang

lebih sederhana agar

lebih mudah

dimengerti.

103

2

Terjadi kesalahan

dalam menggunakan

fungsi yang telah

dibuat sebelumnya,

contohnya seperti

menggunakan fungsi

g(x) untuk mengubah

nilai Dollar langsung

kepada nilai Rupiah

yang mana

seharusnya fungsi

g(x) digunakan untuk

mengubah nilai Euro

ke Rupiah dan lain

sebagainya.


3

Siswa kesulitan

dalam menentukan

fungsi yang dapat

mengubah Dollar

langsung kepada

Rupiah dikarenakan

siswa melupakan

definisi dan kegunaan

dari operasi

komposisi


Terdapat kesalahan

penulisan atau

kesalahan

menggunakan operasi

aljabar sehingga

fungsi yang

dihasilkan tidak tepat


Berdasarkan Tabel 4.4, merupakan tabel yang berisikan proses pembelajaran

secara keseluruhan. Berdasarkan hasil analisis dari jumlah keseluruhan

kemungkinan kesulitan yang terjadi adalah sebesar 90,9%, kesulitan baru yang

muncul adalah 9,1%. Dari total kemungkinan kesulitan yang muncul, hambatan

yang dapat teratasi adalah 100%.

Desain pembelajaran yang telah dirancang dapat dikatakan efektif dalam

mengatasi berbagai macam hambatan yang muncul pada saat dilapangan. Hal

tersebut dikarenakan semua kemungkinan kesulitan yang diperkiran terjadi dan

dapat diatasi, walaupun terdapat beberapa kesulitan yang muncul diluar prediksi,

namun hambatan tersebut tetap dapat teratasi dengan baik.

104

C. Analisis Retrosfektif

Analisis retrosfektif adalah analisis yang menghubungkan antara hasil

analisis desain didaktis dengan analisis metapedadidaktik atau yang biasa disebut

dengan analisis hasil implementasi bahan ajar di lapangan. Melalui hasil analisis

retrosfektif inilah nantinya akan diberikan kesimpulan apakah desain didkatis yang

dibuat sudah cukup efektif dalam megatasi hambatan belajar siswa atau perlu

diadakan revisi.

Berdasarkan hasil analisis metapedadidaktik terdapat beberapa desain

bahan ajar yang harus direvisi. Hal ini disebabkan oleh munculnya beberapa

hambatan atau kesulitan belajar yang tidak diperkirakan sebelumnya. Desain

didaktis yang sudah direvisi diharapkan sudah dapat mengatasi berbagai macam

hambatan yang muncul dengan lebih baik.

1. Desain Didaktis Revisi Pertemuan Pertama

Pada pertemuan pertama pengimplementasian desain didaktis, terdapat

beberapa hambatan belajar yang muncul. Hambatan belajar yang muncul dapat

membuat siswa kesulitan dalam menyelesaikan soal yang diminta. Hambatan

belajar diprediksi berdasarkan hasil analisis learning obstacle. Menggunakan bahan

ajar yang telah di desain berdasarkan hambatan belajar, siswa diharapkan dapat

mengatasi kesulitan yang dialami.

Hambatan yang diprediksi akan muncul ternyata sama dengan hambatan yang

muncul pada saat dilapangan. Hambatan-hambatan tersebut adalah kesulitan dalam

membedakan diagram yang merupakan fungsi dan yang bukan fungsi, kesulitan

dalam menggabungkan dua fungsi menjadi satu, kesulitan dalam menentukan

pernyataan mengenai fungsi komposisi yang benar dan yang salah terutama dalam

membedakan kata “dan” dengan kata “atau”, kesulitan dalam menentukan definisi

fungsi komposisi, kesulitan dalam menyederhanakan bentuk fungsi menggunakan

operasi aljabar, kesulitan dalam menentukan nilai a pada fungsi (fog)(a) dan

terdapat kesalahan penulisan selama proses pengerjaan. Antisispasi yang diberikan

oleh penulis untuk mengatasi kesulitan tersebut dapat mengatasi kesulitan dengan

baik.

105

Antisipasi yang diberikan dapat mengatasi semua kesulitan dengan baik

sehingga semua siswa selama pembelajaran berlangsung dapat menyelesaikan

semua penugasan dengan benar. Desain pembelajaran pada pertemuan pertama

sudah dapat dikatakan efektif dalam mengatasi berbagai hambatan yang

memungkinkan untuk muncul selama proses pembelajaran berlangsung.

Dikarenakan desain didaktis sudah efektif, maka pada tabel desain pembelajaran

tidak aka nada perubahan, namun pada lembar kerja siswa dapat lebih

disempurnakan lagi dari segi penulisan kata-katanya. Berikut adalah hasil revisi

dari Lembar Kerja Siswa pertemuan pertama:

Gambar 4.55

Revisi LKS Pertemuan Pertama

Redaksi yang diperbaiki pada poin d adalah dengan mempersingkat penulisan

pada tabel. Awalnya setiap pernyataan pada tabel di awali dengan “untuk menjadi

fungsi komposisi yang sesuai syarat” yang menyebabkan penulisan pada tabel

menjadi terlalu banyak dan tidak efektif, sehingga penulis memutuskan untuk

merevisi menjadi lebih singkat. Pada poin e redaksi yang diperbaiki adalah bentuk

penugasannya. Sebelumnya pada poin e hanya meminta siswa untuk

106

mendefinisikan fungsi komposisi, hal tersebut menyebabkan siswa kebingungan

dikarenakan kesulitan harus berpatokan pada poin penugasan yang mana yang bisa

dijadikan acuan untuk menentukan definisi fungsi komposisi. Penulis memutuskan

untuk mengubah redaksi pada penugasan e agar siswa difokuskan pada poin b dan

c untuk menentukan definisi fungsi.

2. Desain Didaktis Revisi Pertemuan Kedua

Hambatan yang diprediksikan muncul pada penugasan mencari fungsi f(x)

dan g(x) adalah kesulitan dalam menentukan langkah-langkah penyelesaian soal

dan ketidak telitian dalam proses pengerjaan soal. Dalam menentukan fungsi f(x)

dan g(x) memiliki cara yang hamper sama dalam proses pengerjaannya, walaupun

menentukan fungsi f(x) dari fungsi (fog)(x) memiliki tingkat kesukaran yang lebih

tinggi dibandingkan dengan menentukan fungsi g(x) pada fungsi (fog)(x).

Antisipasi yang penulis berikan dalam mengatasi kedua hambatan tersebut

adalah dengan cara meminta siswa untuk berdiskusi, memberikan stimulus berupa

pertanyaan yang akan mengarahkan pemikiran siswa, meminta siswa untuk

menyusun langkah-langkah untuk menyelesaikan soal dan meminta semua

kelompok untuk memeriksa jawabannya masing-masing serta mencocokkan

jawabannya. Antisipasi-antisipasi yang penulis berikan dapat dinilai sebagai

antisipasi yang efektif sehingga siswa tidak kesulitan lagi dalam menentukan

langkah-langkah penyelesaian serta tidak ditemukannya kesalahan penulisan atau

kesalahan dalam penggunaan operasi aljabar pada tahap ini.

Antisipasi yang sama dilakukan juga untuk menentukan f(x) apabila diketahui

fungsi (fog)(x) dan g(x). Antisipasi tersebut dapat mengatasi beberapa hambatan

dan kesulitan belajar saja, dikarenakan pada tahap ini muncul hambatan belajar

yang baru. Hambatan belajar baru muncul dikarenakan mencari fungsi f(x)

memiliki tingkat kesulitan yang lebih tinggi dibandingkan dengan menentukan

fungsi g(x). Hambatan baru yang muncul adalah siswa kesulitan untuk menentukan

fungsi f(x) yang akan digunakan. Bentuk f(x) bisa berbagai macam bentuknya,

107

namun bentuk f(x) yang akan kita gunakan dapat disesuaikan dengan (fog)(x) dan

g(x) yang diketahui.

Antisipasi baru yang diberikan untuk hambatan baru yang muncul adalah

penulis akan memberikan petunjuk berupa “Apabila disajikan bentuk fungsi

(fog)(x) adalah bentuk kuadrat dan fungsi (g)(x) adalah kuadrat juga, maka fungsi

f(x) yang akan digunakan akan berbentuk linier, sebaliknya apabila disajikan

bentuk fungsi (fog)(x) adalah bentuk kuadrat dan fungsi (g)(x) adalah linier, maka

fungsi f(x) yang akan digunakan akan berbentuk kuadrat”. Antisipasi ini efektif

dalam mengatasi hambatan baru yang muncul sehingga siswa dapat menjawab soal

dengan baik dan benar.

Antisipasi baru yang diberikan kepada siswa pada awalnya tidak terdapat pada

tabel desain pembelajaran. Tabel desain pembelajaran akan diperbaharui dan

disempurnakan dengan cara menambahkan antisipasi baru dan kemungkinan

kesulitan yang baru agar bahan ajar dapat mengatasi hambatan belajar secara

keseluruhan dengan lebih baik. Selain tabel desain pembelajaran yang diperbaharui,

lembar kerja siswa yang digunakan juga akan diperbaharui mengikuti antisipasi

baru yang diberikan untuk mengatasi hambatan belajar. Pembaharuan yang

dilakukan pada lembar kerja siswa adalah dengan ditambahkannya petunjuk dalam

menentukan f(x) yang sesuai. Berikut adalah hasil revisi dari lembar kerja siswa:

108

Gambar 4.56

Revisi LKS Pertemuan Kedua untuk Mencari Fungsi f(x)

3. Desain Didaktis Revisi Pertemuan Ketiga

Hambatan diprediksi akan muncul pada penugasan menentukan fungsi

(fogoh)(x) apabila diketahui fungsi f(x), g(x) dan h(x) adalah kesulitan dalam

menentukan cara antara ((fog)oh)(x) dengan (fo(goh))(x) dan kesulitan dalam

menentuan bentuk sederhana dari fungsi (fogoh)(x). Sedangkan hambatan yang

diprediksi akan muncul pada penugasan menyelidiki sifat-sifat yang berlaku pada

fungsi komposisi adalah siswa terbalik dalam menentukan diagram yang sesuai

dengan yang diminta oleh soal.

Antisipasi yang diberikan pada penugasan pertama adalah memberikan

petunjuk cara pengerjaan antara dua cara yaitu (fo(goh))(x) dan ((fog)oh)(x) lalu

memintanya untuk mengerjakannya dengan kedua cara tersebut, penulis meminta

siswa untuk berdiskusi dan meminta ketua kelompok memastikan bahwa semua

anggota kelompoknya mengerjakan dengan benar. Semua antisipasi yang dilakukan

tersebut efektif dalam mengatasi hambatan yang terjadi pada siswa. Antisipasi

untuk mengatasi kesulitan membuat diagram adalah penulis menyajikan cara dan

109

urutan dalam membuat diagram yang seharusnya. Antisipasi ini juga efektif dalam

mengatasi hambatan tersebut.

Ditengah proses pembelajaran pada saat membuat diagram, terdapat beberapa

siswa yang mengalami hambatan baru. Hambatan tersebut terjadi pada saat siswa

ingin menggambar diagram dari fungsi ((fog)oh)(x) dan (fo(goh))(x), yang nantinya

kedua diagram ini akan dibandingkan untuk menentukan keberlakuan sifat

asosiatif. Beberapa siswa masih kesulitan dalam membedakan antara kedua fungsi

tersebut. Antisipasi yang diberikan untuk mengatasi hambatan tersebut adalah

dengan cara memberitahukan siswa bahwa fungsi yang di dalam kurung harus

diutamakan untuk dikerjakan, lalu dibandingkan hasil antara kedua fungsi yang

memiliki langkah pengerjaan beda tersebut. Antisipasi tersebut efektif dalam

mengatasi hambatan baru yang terjadi.

Berdasarkan hasil antisipasi, maka akan direvisi dan disempurnakan lembar

kerja siswa yang telah dirancang. Revisi yang akan dilakukan adalah sesuai dengan

antisipasi baru yang diberikan oleh penulis. Proses pembuatan dari fungsi

((fog)oh)(x) dan (fo(goh))(x) akan dibuat menjadi lebih rinci dan akan lebih

ditonjolkan perbedaan dari kedua fungsi tersebut agar siswa lebih mengerti. Berikut

adalah hasil revisi lembar kerja siswa:

Gambar 4.57

Revisi Lembar Kerja Siswa pada Sifat Asosiatif

110

4. Desain Didaktis Revisi Pertemuan Keempat

Terdapat beberapa hambatan yang diperkirakan akan muncul saat proses

pembelajaran pada saat siswa menyelesaikan masalah kontektual yang berkaitan

dengan fungsi komposisi. Hambatan tersebut adalah kesulitan dalam menentukan

model matematika, kesalahan dalam penggunaan fungsi yang telah di buat

sebelumnya, kesulitan dalam menentukan fungsi yang langsung menyatakan fungsi

Dollar ke Rupiah dan kesalahan dalam pengguanaan operasi aljabar.

Antisipasi yang diberikan untuk mengatasi hambatan tersebut adalah dengan

cara memberikan ciri-ciri variabel, konstanta dan koefisien, mengingatkan kembali

kepada siswa mengenai permisalan yang telah mereka buat, meminta setiap ketua

kelompok untuk mengecek kembali jawaban anggota kelompoknya dan meminta

perwakilan kelompok untuk mempresentasikan hasil dari jawabannya. Antisipasi-

antisipasi tersebut efektif dalam menangani hambatan yang terjadi selama proses

pembelajaran.

Hambatan baru yang muncul diluar prediksi penulis adalah hambatan yang

terjadi tepatnya ketika siswa ingin membuat model matematika itu sendiri. Terdapat

beberapa siswa yang walaupun sudah selesai membedakan antara variabel,

koefisien dan konstanta namun mereka masih kesulitan menghubungkan antara

ketiga menjadi satu kesatuan sebagai model matematika. Antisipasi yang penulis

berikan pada tahap ini adalah dengan cara memberikan contoh permasalahan yang

sama namun dengan angka yang lebih sederhana. Antisipasi tersebut ternyata

efektif dalam menangani kasus hambatan ini sehingga siswa dapat membuat model

matematika dengan benar. Antisipasi yang diberikan oleh penulis ini tidak

dimasukkan ke dalam lembar kerja siswa karena khawatir siswa akan pusing karena

terlalu banyak tulisan di dalamnya, maka antisipasi ini hanya di tampilkan melalui

power point saja. Antisipasi ini hanya ditambahkan ke dalam tabel desain

pembelajaran yang baru dengan tanpa merevisi bentuk dari lembar kerja siswa.

Secara keseluruhan, terdapat beberapa hambatan baru yang muncul selama

proses pembelajaran. Dikarenakan hal tersebut, maka peneliti memutuskan untuk

menambahkan beberapa perluasan prediksi kesulitan dan antisipasi respon sehingga

111

dengan tujuan untuk menghilangkan hambatan tersebut. Berikut adalah tabel

rekapan perubahan Hypothetical Learning Trajectory konsep fungsi komposisi.

Tabel 4.5

HLT Awal dan HLT yang Direvisi

Hypothetical Learning Trajectory

(HLT)

Revised Learning Trajectory

(RLT)

Pertemuan I

Situasi Didaktis I

Siswa diminta mengklasifikasin bentuk

diagram panah yang merupakan fungsi

dan yang bukan fungsi berdasarkan

definisi fungsi yang mereka sudah

pelajari

Tidak Ada Perubahan

Siswa diminta menggabungkan kedua

fungsi yang telah berpasangan dan

menjadikannya fungsi yang baru

sebagai fungsi komposisi

Tidak Ada Perubahan

Siswa menentukan kembali apakah

fungsi gabungan tersebut masih

membentuk fungsi sesuai dengan

definisi fungsi yang berlaku

Tidak Ada Perubahan

Siswa menyimpulkan bentuk fungsi

seperti apa yang bisa dijadikan sebagai

fungsi komposisi yang utuh dengan

cara mengisi tabel

Perbaikan redaksi pada tabel menjadi

“Tentukanlah pernyataan yang benar

dan yang salah menggunakan tanda ()

agar pernyataan tersebut menjadi

pernyataan yang menggambarkan

fungsi komposisi yang sesuai definisi”

Siswa diminta untuk mendefinisikan

fungsi komposisi

Perbaikan redaksi pertanyaan pada

LKS menjadi “Tentukanlah definisi

112

fungsi komposisi berdasarkan gambar

pada poin b dan c”

Situasi Didaktis II

Siswa diminta melengkapi tabel yang

mempermudah siswa dalam

penanaman konsep untuk menentukan

fungsi komposisi

Tidak Ada Perubahan

Siswa diminta untuk langsung

mengerjakan soal untuk menentukan

fungsi komposisi

Tidak Ada Perubahan

Situasi Didaktis III

Siswa diminta untuk mencari nilai a Tidak Ada Perubahan

Pertemuan II

Situasi Didaktis I

Siswa diminta untuk menentukan nilai

dari g(2) apabila diketahui fungsi f(x)

dan fungsi (fog)(x)

Tidak Ada Perubahan

Situasi Didaktis II

Siswa diminta untuk menentukan

fungsi f(x-2) yang belum diketahui

apabila diketahui fungsi g(x) dan

fungsi (fog)(x)

Perluasan prediksi respon siswa berupa

arahan guru terhadap jenis fungsi f(x)

yang akan digunakan

Pertemuan III

Situasi Didaktis I

Siswa diminta untuk mengamati dan

melengkapi tabel untuk mempermudah

pencarian nilai fungsi (fogoh)(x)

Tidak Ada Perubahan

Siswa diminta menentukan nilai fungsi

(fogoh)(x), apabila diketahui fungsi

f(x), g(x) dan h(x)

Tidak Ada Perubahan

113

Situasi Didaktis II

Siswa diminta untuk menyelidiki

apakah sifat komutatif berlaku pada

operasi komposisi fungsi, dengan cara

membandingkan antara hasil dari

diagram panah (fog)(x) dan (gof)(x)

Tidak Ada Perubahan


apakah sifat identitas berlaku pada



diagram panah (Iof)(x) dan (foI)(x)

Tidak Ada Perubahan


apakah sifat asosiatif berlaku pada



diagram panah ((fog)oh)(x) dan

(fo(goh))(x)

Perluasan prediksi respon siswa berupa

arahan dalam menggambar diagram

dari fungsi ((fog)oh)(x) dan diagram

(fo(goh))(x)

Pertemuan IV

Situasi Didaktis I

Siswa diminta membuat model

matematika yang menyatakan fungsi

untuk nilai tukar Dollar ke Euro dan

fungsi untuk nilai tukar Euro ke Rupiah

Perluasan antisipasi berupa pemberian

contoh pada kasus yang sama namun

menggunakan angka yang lebih

sederhana untuk membuat model

matematika

Siswa diminta menentukan total Euro

dan Rupiah yang akan turis dapatkan

Tidak Ada Perubahan

Siswa diminta menentukan cara lain

yang dapat ditempuh oleh pihak bank

untuk dapat langsung menukar Dollar

Tidak Ada Perubahan

114

ke Rupiah tanpa harus menukarkannya

ke Euro terlebih dahulu

115

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian mengenai desain didaktis pada konsep fungsi

komposisi, maka dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut:

1. Learning obstacle dibedakan menjadi tiga macam menurut Kastolan, yaitu

hambatan konseptual, hambatan prosedural dan hambatan teknik operasional

a. Hambatan konseptual terkait materi fungsi komposisi berdasarkan pengujian

instrumen yaitu:

1) Kesulitan dalam menentukan klasifikasi dari bentuk fungsi komposisi yang

sesuai

2) Siswa keliru dalam membedakan antara fungsi (fog)(x) dengan fungsi (gof)(x)

3) Kesulitan dalam menentukan fungsi komposisi dari tiga buah fungsi

4) Kesulitan dalam membuat diagram yang sesuai aturan

5) Kesulitan dalam menentukan nilai variabel pada fungsi komposisi

6) Kesulitan menentukan model matematika

7) Kesulitan menentukan nilai menggunakan model yang telah ditentukan

8) Kesulitan dalam menentukan cara untuk menentukan fungsi gabungan

menenentukan operasi komposisi

b. Hambatan prosedural terkait materi fungsi komposisi berdasarkan pengujian

instrumen yaitu:

1) Kesulitan menentukan cara dalam menggabungkan kedua fungsi dan kesulitan

dalam menjadikannya sebagai suatu fungsi yang baru

2) Kesulitan menentukan bentuk sederhana fungsi komposisi dari tiga buah fungsi

3) Tidak memberikan kesimpulan dalam menentukan berlaku atau tidaknya sifat

komutatif, identitas dan asosiatif pada fungsi komposisi

4) Tidak mengerjakan dengan tuntas sampai dengan yang diminta oleh soal

c. Hambatan teknik operasional terkait materi fungsi komposisi berdasarkan

pengujian instrumen yaitu terjadinya kesalahan penulisan maupun kesalahan

dalam penggunaan operasi aljabar

116

2. Desain didaktis awal dirancang untuk mengurangi hambatan belajar siswa yang

muncul berdasarkan hasil analisis learning obstacle dengan memperhatikan

hypothetical learning trajectory siswa. Desain didaktis yang diterapkan terdiri

dari empat pertemuan sebagai berikut:

a. Desain didaktis definisi fungsi komposisi, operasi komposisi pada dua buah

fungsi dan menentukan nilai variabel pada fungsi komposisi

b. Desain didaktis menentukan fungsi g(x) apabila diketahui fungsi f(x) dan

(fog)(x) dan desain didaktis menentukan fungsi f(x) apabila diketahui fungsi

g(x) dan (fog)(x)

c. Desain didaktis operasi komposisi pada tiga buah fungsi dan menyelidiki sifat-

sifat yang berlaku pada fungsi komposisi

d. Desain didaktis dalam menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan

dengan fungsi komposisi

3. Desain didaktis revisi yang dilakukan untuk mengembangkan desain didaktis

awal yaitu perluasan prediksi respon dan antisipasi respon dengan cara

dilakukannya penambahan petunjuk atau contoh yang dapat dimengerti oleh

siswa.

4. Desain didaktis yang dirancang beserta hasil revisinya merupakan desain

didaktis yang efektif dikarenakan dapat mengatasi semua hambatan belajar

yang dialami oleh siswa.

B. Saran

Berdasarkan hasil penelitian dan kesimpulan, maka peneliti memberikan

beberapa saran terkait desain didaktis pada pembelajaran konsep fungsi komposisi

sebagai berikut:

1. Guru Mata Pelajaran dapat menjadikan desain didaktis konsep fungsi komposisi

ini sebagai desain bahan ajar alternatif, agar mendapatkan hasil yang lebih

maksimal dalam pembelajaran konsep fungsi komposisi.

2. Disarankan pengimplementasian bahan ajar ini disesuaikan dengan kemampuan

siswa dalam menerima pelajaran sehingga jumlah pertemuannya dapat

diperbanyak ataupun dikurangi dengan tetap mengikuti urutan materi yang telah

ditentukan untuk mendapatkan hasil yang optimal

117

3. Penelitian ini dapat menjadi acuan dalam meningkatkan kualitas pembelajaran

siswa di sekolah

4. Bagi peneliti selanjutnya disarankan untuk melalui tahap repersonalisasi konsep

fungsi komposisi sehingga dalam pembuatan indikator maupun instrumen

learning obstacle dapat lebih terurut dan sesuai dengan alur pembelajaran yang

seharusnya.

5. Desain didaktis ini dapat mengatasi semua hambatan belajar siswa yang terjadi

terkait materi fungsi komposisi, namun tidak menutup kemungkinan akan

muncul hambatan-hambatan lain yang tidak diperkirakan sebelumnya apabila

di ujikan terhadap objek yang berbeda, maka dari itu disarankan untuk

melakukan penelitian lanjutan untuk menyempurnakan desain pembelajaran ini.

118

DAFTAR PUSTAKA

Aisah, dkk. (2016). Desain Didaktis Konsep Luas Permukaan dan Volume Prisma

dalam Pembelajaran Matematika. Bandung: Jurnal Matematika dan

Pendidikan Matematika. Vol. 1, No. 1: 16

Dedy, Endang dan Encum Sumiaty. (2016). Desain Didaktis Bahan Ajar

Matematika SMP Berbasis Learning Obstacle dan Learning Trajectory.

Bandung: Jurnal Review Pembelajaran Matematika, 2, 70.

Euis. (2011). Hambatan Epistimologis(Epistimological Obstacle) Dalam

Persamaan Kuadrat Pada Siswa M. Internasional Seminar and the Fourth

Nasional Conference On Mathematical Education.

Elfitri. (2016). Desain Didaktis Konsep Peluang untuk Siswa Sekolah Menengah

Atas Kelas XI. (Skripsi) UPI, Bandung.

Gunawan, Imam dan Anggraini Retto P. (2012). Taksonomi Bloom – Revisi Ranah

Kognitif Kerangka Landasan untuk Pembelajaran, Pengajaran, dan

Penilaian. Vol. 2, No. 2

Hawa, Siti. (2008). Pengembangan Pembelajaran Matematika SD. Jakarta : Dirjen

Dikti Depdiknas.

Karwono, dkk. (2017). Belajar dan Pembelajaran. Depok: Rajawali Pers.

Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan Indonesia. (2017). Matematika

SMA/MA/SMK/MAK Kelas X. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan

Kebudayaan

Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia Nomor 24

Tahun 2016 Tentang Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar

Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Republik Indonesia Nomor 22 tahun 2006

tentang Standar Isi Untuk Satuan Pendidikan Dasar dan Menengah

119

Silistyaningsih, Annisa dan Ellya Rakhmawati. (2017). Analisis Kesalahan Siswa

Menurut Kastolan dalam Pemecahan Masalah Matematika. Seminar

Matematika dan Pendidikan Matematika UNY.

Siregar, Evelin dan Hartini Nara. (2010). Teori Belajar dan Pembelajaran. Bogor:

Ghalia Indonesia

Sri, Fajar. (2015). Kesulitan Siswa pada Materi Komposisi Fungsi dan Fungsi

Invers di Kelas XII SMA Negeri 1 Darussalam. (Skripsi) Universitas Syiah

Kuala, Banda Aceh.

Suryadi, D. (2010). Didactical Design Research (DDR) Dalam Pengembangan

Pembelajaran Matematika. Modul Seminar Nasional FPMIPA UPI.

Suryadi, D, dkk. (2016). Monograf Didactical Design Research (DDR). Bandung:

Rizki Press.

Susanti, Nawal Ika dan Siswi Yulaida. (2015). Analisis Kesulitan Siswa dalam

Pemahaman Materi Fungsi Komposisi Siswa Kelas XI Semester 2 MAN

Pesanggaran Tahun Pelajaran 2014-2015: Jurnal Pancaran Pendidikan, 4,

104.

Sutrisna dan Slamet Waluyo. (2016). Konsep dan Penerapan Matematika

SMA/MA/SMK/MAK. Jakarta: PT Bumi Aksara

Suyono dan Hariyanto. (2016). Belajar dan Pembelajaran. Bandung: PT Remija

Rosdakarya.

Widjaja, Akbar Suta dan Jarnawi Afgani. (2014). Konsep Dasar Pembelajaran

Matematika.

120

Lampiran 1

Kisi-kisi Soal Identifikasi Learning Obstacle Fungsi Komposisi

KD Indikator UraianSoal No Soal

3.6. Menjelaskan operasi komposisi pada fungsi dan operasi invers pada fungsi invers serta sifat-sifatnya serta menentukan eksistensinya

1. Mengklasifikasikan bentuk

fungsi dan fungsi komposisi

berdasarkan diagram

panah yang telah disajikan

Perhatikan diagram venn berikut ini!

Diagram Venn I Diagram Venn II

1

121

Gambar diatas menyatakan relasi antara domain dan kodomain yang disajikan dalam bentuk diagram venn.

a. Berdasarkan gambar diagram venn yang terdapat pada tabel, mana

saya yang merupakan fungsi dan yang bukan?

b. Gambarkanlah relasi gabungan antara diagram I dan diagram II yang

saling berpasangan pada tabel sehingga membentuk fungsi baru!

c. Hasil dari gabungan diagram yang manakah yang masih membentuk

fungsi?

d. Berdasarkan poin a,b, dan c isilah tabel dibawah dengan

menggunakan tanda ceklis ()

Pernyataan Benar Salah

Untuk menjadi fungsi komposisi yang sesuai syarat, diagram I dan diagram II harus berbentuk fungsi

Untuk menjadi fungsi komposisi yang sesuai syarat, diagram I atau diagram II harus berbentuk fungsi

Untuk menjadi fungsi komposisi yang sesuai syarat, maka kodomain pada diagram I harus semuanya memiliki pasangan dengan domain pada fungsi I

Untuk menjadi fungsi komposisi yang sesuai syarat, maka diagram I dan diagram II harus berbentuk fungsi korespondensi satu-satu

2. Menentukan fungsi baru

dari dua fungsi

menggunakan operasi

komposisi

Diketahui f : R R dengan f(x) = √𝑥2 + 3 dan fungsi g : R R dengan g(x) = 2x - 5

Tentukanlah nilai dari (fog)(x)!

2

122

3. Menentukan fungsi baru

dari tiga fungsi

menggunakan operasi

komposisi

Diketahui f : R R dengan f(x) = 2𝑥−3

3𝑥+4, x ≠ −

4

3, fungsi g : R R dengan g(x) =

2x2- 3 dan fungsi h : R R dengan h(x) = x – 2

Tentukanlah nilai dari (fog)oh)(x)!

3

4. Menyelidiki sifat-sifat yang

berlaku pada operasi fungsi

komposisi

Perhatikanlah bentuk dari fungsi berikut ini:

f(x) g(x) h(x) I(x)

Berdasarkan bentuk fungsi di atas cobalah selidiki:

a. Apakah berlaku sifat komutatif (gof)(x) = (fog)(x) pada operasi komposisi?

b. Apakah berlaku sifat identitas (Iof)(x) = (foI)(x) = f(x) pada operasi

komposisi?

c. Apakah berlaku sifat asosiatif (fog)oh)(x) = (fo(goh))(x) pada operasi

komposisi?

4

5. Menentukan fungsi g(x)

apabila diketahui fungsi

(fog)(x) dan fungsi f(x)

Fungsi f : R R ditentukan oleh f(x) = 2x + 4 dan g : R R sehingga (fog)(x) = 4x2 + 2x, maka g(2) adalah ...

5

6. Menentukan salah satu

fungsi f(x) atau g(x) apabila

diketahui fungsi komposisi

dan satu fungsi yang lain

Fungsi g : R R ditentukan oleh g(x) = x2 – x + 3 dan f : R R sehingga (fog)(x) = 3x2 – 3x + 4, maka f(x-2) adalah ...

6

7. Menentukan nilai dari

fungsi komposisi yang telah

ditemukan

Diketahui fungsi f(x) = 6x – 3, g (x) = 5x + 4, dan (fog)(a) = 81, nilai a adalah.... 7

123

4.6. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan operasi komposisi dan operasi invers suatu fungsi

1. Menerapkan operasi

komposisi fungsi dalam

menyelesaikan masalah

dalam kehidupan sehari-

hari

Suatu bank di Amerika menawarkan harga tukar Dollar Amerika (USD) ke Ringgit Malaysia (MYR), yaitu 1 USD = 3,5 MYR, dengan biaya penukaran sebesar 2 USD untuk setiap transaksi penukaran. Kemudian bank tersebut juga menawarkan penukaran uang dari Ringgit Malaysia (MYR) ke Rupiah Indonesia (IDR) yaitu 1 MYR = Rp. 3200 dengan biaya penukaran sebesar 3 MYR untuk setiap transaksi penukaran.. lalu terdapat seorang turis yang ingin bertamasya ke Malaysia dan ke Indonesia. Ia membawa uang sebesar 4000 USD. Setengah dari uang yang ia bawa akan ia tukarkan ke dalam Ringgit Malaysia dan sisanya akan ia tukarkan ke Rupiah.

a. Buatlah model matematika yang menyatakan fungsi untuk nilai tukar

Dollar ke Ringgit dan fungsi untuk nilai tukar Ringgit ke Rupiah!

b. Berapakah total Ringgit dan Rupiah yang akan ia dapatkan?

c. Apabila suatu saat nanti ia ingin menukarkan uangnya ke dalam Rupiah

adakah cara lain yang dapat ditempuh oleh pihak bank untuk dapat

langsung menukar Dollar ke Rupiah tanpa harus menukarkannya ke

Ringgit terlebih dahulu?

8

Seorang peneliti sedang mengamati tiga macam virus berbeda, yaitu virus A, virus B dan virus C. setelah diamati, tenyata virus-virus tersebut dapat berevolusi. Virus A dapat berevolusi menjadi virus B setelah beberapa saat, dan virus B juga dapat berevolusi menjadi virus C setelah beberapa saat. Apabila virus A berevolusi menjadi virus B maka populasinya akan meningkat menjadi 2 kali lipat dari populasi virus A, dan apabila virus B berevolusi menjadi virus C maka populasinya akan menurun menjadi 0,6 dari populasi virus B.

a. Buatlah model matematika untuk fungsi perubahan jumlah populasi dari

virus A yang berevolusi menjadi virus B, dan fungsi untuk perubahan

jumlah populasi dari virus B yang berevolusi menjadi virus C

b. Berapakah total populasi virus C apabila peneliti tersebut memiliki 25

buah virus A?

9

124

c. Adakah fungsi baru yang akan digunakan apabila peneliti ingin langsung

mengetahui jumlah populasi virus C dari virus A tanpa mengetahui

populasi dari virus B terlebih dahulu?

125

Lampiran 2

PENYELESAIAN SOAL IDENTIFIKASI LEARNING OBSTACLE

1.

a. Diagram Venn yang merupakan fungsi dan yang bukan adalah:

Diagram I Diagram II

Fungsi Fungsi

Fungsi Bukan Fungsi

Fungsi Fungsi

Bukan Fungsi Fungsi

b. Menggambungkan fungsi I dan fugsi II

c. Pasangan I dan III yang masih membentuk fungsi

d. Isilah tabel dengan menggunakan tanda ceklis ()

Pernyataan Benar Salah

Untuk menjadi fungsi komposisi yang sesuai syarat, diagram I dan diagram II harus berbentuk fungsi

Untuk menjadi fungsi komposisi yang sesuai syarat, diagram I atau diagram II harus berbentuk fungsi

Untuk menjadi fungsi komposisi yang sesuai syarat, maka kodomain pada diagram I harus semuanya memiliki pasangan dengan domain pada fungsi I

Untuk menjadi fungsi komposisi yang sesuai syarat, maka diagram I dan diagram II harus berbentuk fungsi satu-satu

126

2. Diketahui f(x) = √𝑥2 + 3 dan g(x) = 2x – 5

(fog)(x) = f(g(x))

= √𝑔(𝑥)2 + 3

= √(2𝑥 − 5)2 + 3

= √4𝑥2 − 20𝑥 + 25 + 3

= √4𝑥2 − 20𝑥 + 28

3. Diketahui f(x) = 2𝑥−3

3𝑥+4 dengan x ≠ -

4

3, g(x) = 2x2 - 3 dan h(x) = x - 2

((fog)oh)(x) = (f(g(x))oh)(x)

= ((2(𝑔(𝑥))−3

3(𝑔(𝑥))+4) 𝑜ℎ) (𝑥)

= ((2(2𝑥2−3)−3

3(2𝑥2−3)+4) 𝑜ℎ) (𝑥)

= ((4𝑥2−6−3

6𝑥2−9+4) 𝑜ℎ) (𝑥)

= ((4𝑥2−9

6𝑥2−5) 𝑜ℎ) (𝑥)

= 4(ℎ(𝑥))2−9

6(ℎ(𝑥))2−5

= 4(𝑥−2)2−9

6(𝑥−2)2−5

= 4(𝑥2−4𝑥+4)−9

6(𝑥2−4𝑥+4)−5

=4𝑥2−16𝑥+16−9

6𝑥2−24𝑥+24−5=

4𝑥2−16𝑥+7

6𝑥2−24𝑥+19

4. Menyelidiki sifat-sifat yang berlaku pada fungsi komposisi

a. Apakah berlaku sifat komutatif (gof)(x) = (fog)(x) pada operasi komposisi?

maka, (gof)(x) menjadi

f(x) g(x)

127

maka, (fog)(x) menjadi

g(x) f(x)

karena bentuk diagram dari (gof)(x) ≠ (fog)(x) maka tidak berlaku sifat komutatif

pada operasi komposisi

b. Apakah berlaku sifat identitas (Iof)(x) = (foI)(x) = f(x) pada operasi komposisi?

maka, (Iof)(x) menjadi

f(x) I(x)

maka, (foI)(x) menjadi

I(x) f(x)

karena bentuk diagram dari (Iof)(x) = (foI)(x) = f(x) maka berlaku sifat identitas

pada operasi komposisi

c. Apakah berlaku sifat asosiatif ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x) pada operasi komposisi?

Maka, (fog)(x) menjadi

g(x) f(x)

Maka, ((fog)oh)(x) menjadi

h(x) (fog)(x)

Maka, (goh)(x) menjadi

h(x) g(x)

Maka (fo(goh))(x) menjadi

(goh)(x) f(x)

128

karena bentuk diagram dari ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x) maka berlaku sifat

asosiatif pada operasi komposisi

5. Diketahui g(x) = x2 – x + 3 dan (fog)(x) = 3x2 – 3x + 4, f(x-2) = ….

(fog)(x) = 3x2 – 3x + 4

f(g(x)) = 3(x2 – x + 3) – 5

f(g(x)) = 3(g(x)) – 5

f(x) = 3x – 5

f(x – 2) = 3(x – 2) – 5

f(x – 2) = 3x – 6 – 5

f(x – 2) = 3x – 11

6. f(x) = 6x – 3, g(x) = 5x + 4, (fog)(a) = 81, nilai a adalah ….

(fog)(a) = 81

f(g(a)) = 81

6(g(a)) – 3 = 81

6(5a + 4) – 3 = 81

30a + 24 – 3 = 81

30a + 21 = 81

30a = 81 – 21

30a = 60

a = 60

30 = 2

7. Diketahui 1 USD = 3,5 MYR dengan biaya penukaran 2USD

1 MYR = 3.200 IDR dengan biaya penukaran 3 MYR

Uang yang dimiliki adalah 4000 USD

a. Fungsi untuk menukar Dollar ke Ringgit dinyatakan dengan f(x)

f(x) = 3,5(x – 2)

fungsi untuk menukar Ringgit ke Rupiah dinyatakan dengan g(x)

g(x) = 3200(x – 3)

b. Setengah dari uangnya akan ia tukarkan ke dalam Ringgit dan sisanya ditukarkan

ke Rupiah

129

Mengubah Dollar ke Ringgit

f(x) = 3,5(x – 2)

f(2.000) = 3,5(2000 – 2)

f(2.000) = 3,5(1998)

f(2.000) = 6.993 MYR

Mengubah Dollar ke Rupiah

f(x) = 3,5 (x – 2)

f(2.000) = 6.993

g(6.993) = 3.200(6.993-3)

g(7.352,64) = 3.200(6990)

g(7.352,64) = 22.368.000 IDR

maka uang yang akan turis itu dapatkan adalah 6.993 Ringgit dan 22.368.000

Rupiah

c. Pihak bank dapat menggabungkan kedua fungsi menggunakan operasi komposisi

sehingga fungsi tersebut dapat digunakan untuk mengubah Dollar langsung menjadi

Rupiah. Maka bentuk fungsinya akan menjadi seperti berikut ini:

(gof)(x) = g(f(x))

= 3.200(f(x) – 3)

= 3.200 ((3,5(x – 2)) – 3)

= 3.200 (3,5 x – 7 – 3)

= 3.200 (3,5 x – 10)

8. Diketahui virus A berevolusi menjadi virus B dengan populasi yang meningkat

sebanyak 2 kali dari populasi virus A

Virus B berevolusi menjadi virus C dengan populasi yang menurun sebanyak 0,6 kali

dari populasi virus B

a. Misal f(x) adalah fungsi untuk mengubah populasi virus A menjadi virus B

f(x) = 2x

Misal g(x) adalah fungsi untuk mengubah populasi virus B menjadi virus C

g(x) = 0,6x

b. Jumlah virus A sebanyak 25 buah, maka x = 25

130

f(x) = 2x

f(25) = 2 . 25

f(25) = 50

g(x) = 0,6x

g(50) = 0,6 . 50

g(50) = 30

c. Ada, peneliti bias menggunakan fungsi (gof)(x) apabila ingin mengetahui langsung

hubungan antara populasi dari virus A dengan populasi virus C

(gof)(x) = 0,6 (f(x))

= 0,6 (2x)

= 1,2 x

131

Lampiran 3

DESAIN PEMBELAJARAN I

Kompetensi Dasar:


Indikator:

1. Mengklasifikasikan bentuk fungsi dan fungsi komposisi berdasarkan diagram panah yang telah disajikan

2. Menentukan fungsi baru dari dua fungsi menggunakan operasi komposisi


Situasi Didaktis Penugasan Prediksi Respon Antisipasi Didaktis Pedagogis

Situasi I:

Penulis memberikan berbagai

macam bentuk diagram panah

sebagai berikut:

1. Siswa diminta

mengklasifikasikan bentuk

diagram panah yang merupakan

fungsi dan yang bukan fungsi

berdasarkan definisi fungsi yang

mereka sudah pelajari

Respon yang diharapkan:

Siswa masih mengingat definisi

fungsi sehingga dapat membedakan

diagram panah yang mempunyai

bentuk fungsi dan yang bukan

Kemungkinan kesulitan:

Siswa lupa mengenai definisi fungsi

sehingga kesulitan untuk

membedakan yang merupakan fungsi

dengan yang bukan fungsi

Antisipasi kemungkinan kesulitan:

Penulis memberikan stimulus

mengenai bentuk dari diagram panah

yang merupakan fungsi dan yang

bukan fungsi, seperti pada gambar di

bawah ini:

132

Lalu memberikan kesempatan pada

murid untuk menarik kesimpulan

mengenai definisi fungsi dan

memilih diagram panah yang sesuai

dengan definisi

2. Siswa diminta menggabungkan

kedua fungsi yang telah

berpasangan dan menjadikannya

fungsi yang baru sebagai fungsi

komposisi


Siswa dapat menggabungkan kedua

buah fungsi yang telah berpasangan

baik yang berbentuk fungsi maupun

yang tidak berbentuk fungsi


Siswa kebingungan dalam

menggabungkan kedua fungsi

menjadikannya sebagai fungsi yang

baru


Penulis memberikan petunjuk cara

menggabungkan kedua fungsi dengan

contoh fungsi yang berbeda

3. Siswa menentukan kembali

apakah fungsi gabungan tersebut

masih membentuk fungsi sesuai

dengan definisi fungsi yang

berlaku


Siswa dapat membentuk fungsi baru

dari kedua fungsi yang telah

digabungkan


Antispasi kemungkinan kesulitan:

133

- -

4. Siswa menyimpulkan bentuk

fungsi seperti apa yang bisa

dijadikan sebagai fungsi

komposisi yang utuh dengan cara

mengisi tabel berikut ini:


Siswa dapat menyimpulkan dengan

benar bentuk fungsi seperti apa yang

dapat membentuk fungsi komposisi

yang sesuai dengan definisi


Siswa bingung membedakan kata

“dan” dengan kata “atau” pada

pernyataan pertama dan kedua pada

tabel penugasan yang keempat


Penulis memberikan contoh kalimat

yang menggunakan kata “dan” dan

“atau” seperti: “Seandainya saya

memerintahkan andi untuk mengambil

pulpen dan pensil, lalu Andi hanya

mengambil salah satunya apakah

perintah saya sudah terlaksanakan

dengan baik? Bandingkan dengan

apabila saya memerintahkan Andi

untuk mengambil pulpen atau pensil

lalu andi hanya mengambil salah

satunya, apakah perintah saya sudah

dilaksanakan dengan baik?”

Pertanyaan tersebut akan membuat

siswa berpikir bahwa kata “dan”

dengan kata “atau” merupakan dua kata

yang memiliki arti dan fungsi yang

berbeda.

5. Siswa diminta untuk

mendefinisikan fungsi komposisi


Siswa membuat definisi fungsi

komposisi dengan benar seperti

“fungsi komposisi adalah fungsi yang

dapat menggabungkan dua buah

134

fungsi menjadi satu fungsi baru

dengan tujuan untuk mengubah objek

pertama langsung pada objek ketiga”



menentukan definisi fungsi komposisi


Penulis memandu siswa untuk


dengan cara menggabarkan kembali

diagram panah yang telah mereka

kerjakan dan meminta siswa untuk

menjabarkan definisinya.

Situasi II:

Penulis memberi fungsi f(x) dan

g(x) dan meminta siswa untuk

menentukan betuk fungsi (fog)(x)

atau (gof)(x)

1. Siswa diminta melengkapi tabel

yang mempermudah siswa dalam

penanaman konsep untuk

menentukan fungsi komposisi


Siswa mengisi tabel dengan cara

mengubah sedikit demi sedikit

variabel pada fungsi dan diakhiri

dengan mengubah variabel tunggal

menjadi bentuk fungsi lain


Siswa hanya mengubah variabel pada

fungsi dan tidak menyederhanakan

kedua fungsi menjadi fungsi yang

baru dengan menggunakan operasi

aljabar


Penulis memberikan stimulus dengan

cara memberikan pertanyaan “apakah

fungsi tersebut sudah sederhana?” lalu

dilanjutkan dengan pertanyaan

“apabila belum sederhana, maka cara

apa yang harus kamu lakukan?” dengan

cara seperti ini maka siswa akan

berpikir untuk menggunakan operasi

aljabar dalam menyederhanakan fungsi

tersebut.

2. Siswa diminta untuk langsung

mengerjakan soal untuk



135

Siswa dapat mengerjakan soal operasi

komposisi dari dua buah fungsi

dengan baik dengan mengikuti tabel

sebagai acuan


-


-

Situasi III:

Penulis memberikan fungsi f(x),

fungsi g(x) dan nilai fungsi (fog)(a)

1. Siswa diminta untuk mencari

nilai a


1. Mencari fungsi (fog)(x) dari

fungsi f(x) dan g(x) yang

diketahui

2. Mensubstitusikan variabel x

dengan a

3. Memasukkan nilai (fog)(a) dengan

fungsi (fog)(a)

4. Mencari nilai a menggunakan

operasi aljabar


Siswa kesulitan dalam menentukan a



Penulis memberikan stimulus berupa

pertanyaan “apa perbedaan antara

(fog)(x) dengan (fog)(a)?” dari

pertanyaan itu siswa akan berpikir

bahwa (fog)(x) dan (fog)(a) hanya

berbeda bentuk variabel saja.

Kemudian, penulis memberikan

pertanyaan yang kedua “dari fungsi

f(x) dan g(x) yang diketahui pada soal,

dapat menghasilkan fungsi apa yang

menyerupai fungsi (fog)(a)?”

pertanyaan ini akan menggiring siswa

136

untuk mencari fungsi (fog)(x) terlebih

dahulu


Terdapat kesalaham penulisan dan

penggunaan operasi aljabar yang tidak

tepat


1. Penulis meminta ketua kelompok

memastikan semua jawaban pada

anggota kelompoknya sudah benar

2. Penulis meminta semua perwakilan

kelompok mempresentasikan hasil

jawabannya untuk dibandingkan

satu sama lain

137

DESAIN PEMBELAJARAN II

Kompetensi Dasar:


Indikator:

1. Menentukan fungsi g(x) apabila diketahui fungsi komposisi (fog)(x) dan fungsi f(x)

2. Menentukan fungsi f(x) apabila diketahui fungsi komposisi (fog)(x) dan fungsi g(x)


Situasi I:

Penulis

memberikan fungsi

f(x) dan fungsi

(fog)(x) dan

meminta siswa

untuk menentukan

nilai dari g(2)

1. Siswa diminta untuk menentukan

nilai dari g(2) apabila diketahui

fungsi f(x) dan fungsi (fog)(x)


1. Siswa menjabarkan bentuk fungsi komposisi,

sebagai contoh (fog)(x) = f(g(x))

2. Siswa mensubstitusikan salah satu fungsi

yang diketahui ke dalam persamaan yang

telah dijabarkan

3. Siswa mensubstitusikan fungsi (fog)(x)

4. Siswa mencari fungsi g(x) dari fungsi-fungsi

yang sudah diketahui

5. Siswa mencari nilai g(2) dari fungsi g(x)

yang telah di dapat


Siswa kesulitan dalam menyusun langkah-

langkah penyelesaian untuk mendapatkan fungsi

yang diminta


1. Penulis meminta siswa untuk

berdiskusi pada saat proses pengerjaan

menggunakan Lembar Kerja Siswa

138

2. Penulis memberikan sedikit stimulus

dengan memberikan pertanyaan “ingat

ya, pada fungsi (fog)(x) merupakan

fungsi gabungan dari f(x) dan g(x),

maka sebelum mencari nilai g(2),

fungsi apa terlebih dahulu yang harus

kalian dapatkan?” Pertanyaan tersebut

membuat siswa berpikir bahwa

sebelum mendapatkan nilai g(2) maka

ia harus mencari fungsi g(x) terlebih

dahulu dikarenakan yang dapat

diketahui pada fungsi (fog)(x) adalah


3. Setelah memberikan stimulus, penulis

meminta siswa untuk menyusun

langkah-langkah apa saja yang harus

dilakukan untuk mengerjakan soal

tersebut


Siswa tidak teliti dalam mengerjakan

sehingga terdapat kesalahan dalam penulisan

ataupun pengoperasian aljabar


Penulis meminta setiap kelompok

belajar untuk memeriksa kembali

jawabannya dan mencocokkan dengan

hasil jawaban dari kelompok lain pada

saat perwakilan dari setiap kelompok

maju untuk mempresentasikan hasil

diskusi.

Situasi II:

Penulis

memberikan fungsi

1. Siswa diminta untuk menentukan

fungsi f(x-2) yang belum


1. Siswa menjabarkan bentuk fungsi komposisi,

sebagai contoh (fog)(x) = f(g(x))

139

g(x) dan fungsi

(fog)(x) dan

meminta siswa

untuk menentukan

fungsi dari f(x-2)

diketahui apabila diketahui fungsi

g(x) dan fungsi (fog)(x)



telah dijabarkan


4. Siswa mencari nilai f(x) dari fungsi-fungsi


5. Sisa mencari fungsi f(x-2) dari fungsi f(x)

yang telah di dapat


1. Siswa kesulitan dalam menyusun langkah-

langkah penyelesaian untuk mendapatkan

fungsi yang diminta


1. Penulis meminta siswa untuk

berdiskusi pada saat proses pengerjaan

menggunakan Lembar Kerja Siswa

2. Penulis memberikan sedikit stimulus

dengan memberikan pertanyaan “ingat

ya, pada fungsi (fog)(x) merupakan

fungsi gabungan dari f(x) dan g(x),

maka sebelum mencari fungsi f(x-2),

fungsi apa terlebih dahulu yang harus

kalian dapatkan?” Pertanyaan tersebut

membuat siswa berpikir bahwa

sebelum mendapatkan fungsi f(x-2)

maka ia harus mencari fungsi f(x)

terlebih dahulu dikarenakan yang dapat

diketahui pada fungsi (fog)(x) adalah


3. Setelah memberikan stimulus, penulis

meminta siswa untuk menyusun

langkah-langkah apa saja yang harus

dilakukan untuk mengerjakan soal

tersebut

140


Siswa tidak teliti dalam mengerjakan sehingga

terdapat kesalahan dalam penulisan ataupun



Penulis meminta setiap kelompok belajar

untuk memeriksa kembali jawabannya dan

mencocokkan dengan hasil jawaban dari

kelompok lain pada saat perwakilan dari

setiap kelompok maju untuk

mempresentasikan hasil diskusi.

141

DESAIN PEMBELAJARAN III

Kompetensi Dasar:


Indikator:

1. Menentukan fungsi baru dari tiga fungsi menggunakan operasi komposisi

2. Menyelidiki sifat-sifat yang berlaku pada operasi fungsi komposisi


Situasi I:

Penulis memberikan fungsi f(x),

g(x) dan h(x) dan meminta

siswa untuk menentukan nilai

fungsi (fogoh)(x)


mengamati dan melengkapi

tabel untuk mempermudah

pencarian nilai fungsi

(fogoh)(x)


Siswa mengisi setiap tabel dengan baik

dan benar


-


-

2. Siswa diminta menentukan

nilai fungsi (fogoh)(x),

apabila diketahui fungsi f(x),

g(x) dan h(x)


1. Siswa memasukkan nilai h(x)

kedalam g(x) dan menyederhanakan

fungsi tersebut menggunakan fungsi

aljabar sehingga mendapatkan fungsi

baru yaitu (goh)(x)

2. Siswa memasukkan nilai (goh)(x)

kedalam fungsi f(x) dan

menyederhanakannya menggunakan

142

fungsi aljabar sehingga mendapatkan

fungsi (fo(goh))(x)

Atau

1. Siswa memasukkan nilai g(x)

kedalam f(x) dan menyederhanakan

fungsi tersebut menggunakan fungsi

aljabar sehingga mendapatkan fungsi

baru yaitu (fog)(x)

2. Siswa memasukkan nilai (h)(x)

kedalam fungsi (fog)(x) dan

menyederhanakannya menggunakan

fungsi aljabar sehingga mendapatkan

fungsi ((fog)oh)(x)


Siswa kesulitan dalam menentukan cara

antara (fo(goh))(x) atau ((fog)oh)(x)

dalam menentukan bentuk komposisi

dari tiga buah fungsi. Siswa menganggap

cara penyelesaian yang beda maka akan

menghasilkan jawaban yang berbeda

pula.


1. Penulis memberikan sedikit

petunjuk dalam mengerjakan fungsi

(fo(goh))(x) dan ((fog)oh)(x).

Fungsi (fo(goh))(x) harus

dikerjakan (goh)(x) terlebih dahulu,

setelah bentuknya disederhanakan

maka fungsi (goh)(x) akan

dimasukkan ke dalam fungsi f(x).

Sedangkan untuk fungsi

((fog)oh)(x) yang harus dikerjakan

terlebih dahulu adalah (fog)(x), lalu

setelah disederhanakan nilai x pada

(fog)(x) diganti dengan fungsi h(x).

2. Penulis meminta setiap kelompok

belajar untuk mengerjakannya

143

dalam dua cara, yaitu (fo(goh))(x)

dan ((fog)oh)(x) dan

membandingkan hasilnya



sehingga terdapat kesalahan dalam

penulisan ataupun pengoperasian

aljabar



memastikan setiap anggota dalam

kelompoknya memiliki jawaban

yang benar

2. Penulis meminta setiap kelompok

untuk maju dan mempresentasikan

hasil pengerjaannya untuk

dibandingkan.

Situasi II:

Penulis memberikan bentuk

diagram panah dari bentuk fungsi

komposisi dan memberikan

macam-macam bentuk diagram

panah untuk menyelidiki sifat mana

saja yang berlaku pada fungsi

komposisi


menyelidiki apakah sifat

komutatif berlaku pada

operasi komposisi fungsi,

dengan cara membandingkan

antara hasil dari diagram

panah (fog)(x) dan (gof)(x)


1. Siswa membuat diagram venn

(fog)(x) dan (gof)(x) dengan tepat

dan dapat langsung membandingkan

keduanya

2. Siswa dapat menentukan bahwa

fungsi (fog)(x) ≠ (gof)(x), maka sifat

komutatif tidak berlaku


Siswa terbalik dalam membuat digram

yang sesuai dengan yang diminta dalam

soal, karena apabila siswa ingin

membuat diagram venn (fog)(x) maka ia

harus menggabungkan antara diagram

g(x) dengan f(x) bukan f(x) dengan g(x)

dan hal ini harus dilakukan sesuai


Penulis memberikan contoh diagram

fungsi komposisi yang benar, seperti

gambar di bawah ini:

144

dengan urutan yang semestinya agar

menghasilkan diagram yang tepat

Lalu, membantu siswa bernalar pada

bentuk diagram fungsi komposisi yang

telah ditunjukkan



identitas berlaku pada operasi

komposisi fungsi, dengan cara

membandingkan antara hasil

dari diagram panah (Iof)(x)

dan (foI)(x)


1. Siswa dapat membuat diagram

(Iof)(x) dan (foI)(x) dengan tepat dan

dapat langsung membandingkan

keduanya


fungsi (Iof)(x) = (foI)(x), maka sifat

identitas berlaku





membuat diagram panah (foI)(x) maka

ia harus menggabungkan antara diagram

I(x) dengan f(x) bukan f(x) dengan I(x)










telah ditunjukkan



asosiatif berlaku pada operasi

komposisi fungsi, dengan cara

membandingkan antara hasil

dari diagram panah

((fog)oh)(x) dan (fo(goh))(x)



((fog)oh)(x) dan (fo(goh))(x) dengan

tepat dan dapat langsung

membandingkan keduanya

145


((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x), maka

sifat asosiatif berlaku





membuat diagram panah (fogoh)(x)

maka ia harus menggabungkan antara

diagram h(x), g(x) dan f(x) bukan f(x),

g(x) dan h(x) dan hal ini harus dilakukan

sesuai dengan urutan yang semestinya

agar menghasilkan diagram yang tepat







telah ditunjukkan

146

DESAIN PEMBELAJARAN IV

Kompetensi Dasar:


Indikator:

1. Menerapkan operasi komposisi fungsi dalam menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari


Situasi I:

Suatu bank di

Amerika

menawarkan harga

tukar Dollar

Amerika (USD) ke

Euro (EUR), yaitu

1 USD = 0,9 EUR,

dengan biaya

penukaran sebesar

2 USD untuk setiap

transaksi

penukaran.

Kemudian bank

tersebut juga

menawarkan

penukaran uang

dari Euro (EUR) ke

Rupiah Indonesia

(IDR) yaitu 1 EUR

1. Buatlah model matematika yang

menyatakan fungsi untuk nilai

tukar Dollar ke Euro dan fungsi

untuk nilai tukar Euro ke

Rupiah!


1. Memisalkan f(x) sebagai fungsi yang

mengubah nilai Dollar ke Euro dan g(x)

sebagai fungsi yang mengubah nilai Euro ke

Rupiah

2. Menentukan model matematika dalam

bentuk fungsi f(x) dan g(x) yang tepat sesuai

dengan permasalahan yang disajikan


Siswa kesulitan dalam menentukan model

matematika untuk menyatakan fungsi f(x) dan

g(x)


Membantu siswa dalam menentukan

variabel, koefisien dan konstanta

dengan memberikan ciri-cirinya yang

tertera pada lembar kerja siswa

2. Berapakah total Euro dan Rupiah

yang akan ia dapatkan?


Menentukan total Euro dari Dollar menggunakan

fungsi f(x) dan menentukan total Rupiah dari

Euro menggunakan fungsi g(x)

147

= Rp. 16000

dengan biaya

penukaran sebesar

5 EUR untuk setiap

transaksi

penukaran.. lalu

terdapat seorang

turis yang ingin

bertamasya ke

Belanda dan ke

Indonesia. Ia

membawa uang

sebesar 4000 USD.

Setengah dari uang

yang ia bawa akan

ia tukarkan ke

dalam Euro dan

sisanya akan ia

tukarkan ke

Rupiah.


Terjadi kesalahan dalam menggunakan fungsi

yang telah dibuat sebelumnya, contohnya seperti

menggunakan fungsi g(x) untuk mengubah nilai

Dollar langsung kepada nilai Rupiah yang mana

seharusnya fungsi g(x) digunakan untuk

mengubah nilai Euro ke Rupiah dan lain

sebagainya.


Mengingatkan kembali permisalan yang

mereka buat mengenai fungsi f(x) dan

fungsi g(x)

3. Apabila suatu saat nanti ia ingin

menukarkan uangnya ke dalam

Rupiah adakah cara lain yang

dapat ditempuh oleh pihak bank

untuk dapat langsung menukar

Dollar ke Rupiah tanpa harus

menukarkannya ke Euro terlebih

dahulu?


Menentukan fungsi (gof)(x) dan menyatakannya

dalam bentuk yang paling sederhana untuk

menentukan fungsi langsung untuk mengubah



Siswa kesulitan dalam menentukan fungsi yang

dapat mengubah Dollar langsung kepada Rupiah

dikarenakan siswa melupakan definisi dan

kegunaan dari operasi komposisi


Mengingatkan kembali definisi fungsi

komposisi pada pertemuan pertama dan

kegunaan dari fungsi komposisi beserta

kaitannya dengan permasalahan dalam

menukar nilai uang agar siswa dapat

mengerti bahwa fungsi baru yang

dihasilkan menggunakan operasi

komposisi dapat mengubah langsung nilai


mengubahnya dulu ke Euro

148


Terdapat kesalahan penulisan atau kesalahan

menggunakan operasi aljabar sehingga fungsi

yang dihasilkan tidak tepat





2. Penulis meminta semua perwakilan


jawabannya untuk dibandingkan satu

sama lain

149

Lampiran 4

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

(RPP I)

Nama Sekolah : SMAN 5 Tangerang Selatan

Mata Pelajaran : Matematika Wajib

Kelas/ Semester : X/I

Materi Pokok : Fungsi

Alokasi Waktu : 2 x 45 menit

A. Kompetensi Inti

KI 3 (Pengetahuan) :

Memahami, menerapkan, menganalisis, dan mengevaluasi pengetahuan faktual, konseptual,

prosedural, dan metakognitif pada tingkat teknis, spesifik, detil, dan kompleks dalam ilmu

pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan,

kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian pada

bidang kerja yang spesifik untuk memecahkan masalah.

KI 4 (Keterampilan) :

Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan

pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan

metoda sesuai kaidah keilmuan

B. Kompetensi Dasar :

3.6. Menjelaskan operasi komposisi pada fungsi dan operasi invers pada fungsi invers serta

sifat-sifatnya serta menentukan eksistensinya

4.6. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan operasi komposisi dan operasi invers

suatu fungsi

C. Indikator

1. Mengklasifikasikan bentuk fungsi dan fungsi komposisi berdasarkan diagram panah

yang telah disajikan



D. Tujuan Pembelajaran

150

1. Siswa dapat mengklasifikasikan bentuk fungsi dan fungsi komposisi berdasarkan

diagram panah yang telah disajikan

2. Siswa dapat menentukan fungsi baru dari dua fungsi menggunakan operasi komposisi

3. Siswa dapat menentukan nilai dari fungsi komposisi yang telah ditemukan

E. Materi Pembelajaran

Komposisi Fungsi

F. Kegiatan Pembelajaran

K

e

g

i

a

t

a

n

Deskripsi Kegiatan

A

l

o

k

a

s

i

W

a

k

t

u

P

e

n

d

a

h

u

l

u

a

n

Guru memberikan salam pembuka dan berdoa untuk

memulai pembelajaran

Guru mengkondisikan keadaan kelas

Guru memeriksa kehadiran siswa

Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang akan dicapai

Guru membentuk kelompok kecil yang terdiri dari 4 siswa

yang heterogen

Guru membagikan LKS kepada masing-masing kelompok

Guru melakukan apersepsi dengan meminta siswa mengingat

kembali konsep fungsi yang telah di pelajari di SMP

5

m

e

n

i

t

K

e

g

i

a

t

a

n

I

Siswa diminta mengamati gambar diagram panah pada tugas

I yang termuat dalam LKS

Siswa berdiskusi dan menentukan bentuk dari diagram panah

yang mana yang merupakan fungsi dan yang bukan

Siswa menggabungkan kedua fungsi yang saling berkaitan

7

5

m

e

n

i

t

151

nt

i

Siswa menentukan hasil dari gambar mana yang telah

digabungkan dan masih membentuk fungsi

Siswa menentukan pernyataan yang mana saja yang benar

dan yang salah pada tabel mengenai bentuk fungsi komposisi

Siswa mendefinisikan fungsi komposisi berdasarkan

penugasan yang telah mereka kerjakan sebelumnya

Siswa diminta mengamati cara menentukan fungsi komposisi

pada tugas II sambil sedikit diberikan penjelasan guna

menstimulasi pembentukan konsep pada siswa

Siswa diminta mengisi tabel pada tugas II

Siswa diminta menjawab soal latihan pada fungsi komposisi

dengan menggunakan cara yang sama pada tabel tugas II

Siswa diminta mengamati permaslahan pada tugas III dan

merancang lagkah-langkah untuk menyelesaikan

permasalahan tersebut

Siswa diminta menyelesaikan permasalahan pada tugas III

menggunakan langkah-langkah yang telah mereka buat

sebelumnya

Guru menunjuk masing-masing perwakilan kelompok untuk

mempresentasikan jawaban kelompoknya di depan kelas

Guru mempersilahkan siswa untuk bertanya

K

e

g

i

a

t

a

n

A

k

h

i

r

Guru bersama siswa menyimpulkan mengenai materi yang

telah dipelajari

Guru meminta siswa untuk mempelajari materi berikutnya

Guru bersama-sama dengan siswa mengakhiri pelajaran

dengan berdo’a

Guru menutup pembelajaran dengan mengucapkan salam

5

m

e

n

i

t

152


(RPP II)






A. Kompetensi Inti















suatu fungsi

C. Indikator

153

1. Menentukan fungsi g(x) apabila diketahui fungsi (fog)(x) dan fungsi f(x)

2. Menentukan fungsi f(x) apabila diketahui fungsi (fog)(x) dan fungsi g(x)


1. Siswa dapat menentukan fungsi g(x) apabila diketahui fungsi (fog)(x) dan fungsi f(x)

2. Siswa dapat menentukan fungsi f(x) apabila diketahui fungsi (fog)(x) dan fungsi g(x)


Komposisi Fungsi


K

e

g

i

a

t

a

n

Deskripsi Kegiatan

A

l

o

k

a

s

i

W

a

k

t

u

P

e

n

d

a

h

u

l

u

an







yang heterogen



kembali konsep fungsi yang telah di pelajari pada pertemuan

sebelumnya

5

m

e

n

i

t

K

e

g

Siswa diminta mengamati definisi fungsi komposisi 7

5

m

154

ia

t

a

n

I

n

t

i

Siswa diminta untuk mengamati permasalahan yang disajikan

pada LKS

Siswa berdiskusi dalam menentukan langkah-langkah

penyelesaian yang akan mereka gunakan untuk menentukan

fungsi g(x)

Siswa menjawab dan menyelesaikan masalah berdasarkan

langkah-langkah penyelesaian yang telah mereka buat

Siswa berdiskusi dalam menentukan langkah-langkah

penyelesaian yang akan mereka gunakan untuk menentukan

fungsi f(x)

Siswa menjawab dan menyelesaikan masalah berdasarkan

langkah-langkah penyelesaian yang telah mereka buat

Guru meminta ketua kelompok untuk memastikan semua

jawaban anggota kelompoknya sudah benar

Guru meminta perwakilan dari setiap kelompok untuk maju

dan mempresentasikan hasil pengerjaannya


Siswa diberikan latihan untuk dikerjakan secara individu

en

i

t

K

e

g

i

a

t

a

n

A

k

h

i

r


telah dipelajari



dengan berdo’a


1

0

m

e

n

i

t

155


(RPP III)






A. Kompetensi Inti








156







C. Indikator



3. Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menentukan fungsi baru dari tiga fungsi menggunakan operasi komposisi

2. Siswa dapat menyelidiki sifat-sifat yang berlaku pada operasi fungsi komposisi

4. Materi Pembelajaran

Komposisi Fungsi

5. Kegiatan Pembelajaran

K

e

g

i

a

t

a

n

Deskripsi Kegiatan

A

l

o

k

a

s

i

W

a

k

t

u

P

e

n

d

a

h

u

l






5

m

e

n

i

t

157

ua

n


yang heterogen




sebelumnya

K

e

g

i

a

t

a

n

I

n

t

i

Siswa diminta definisi fungsi komposisi dari tiga buah fungsi

Siswa berdiskusi dan mengisi tabel pada tugas I mengenai

fungsi komposisi dari tiga buah fungsi

Siswa diminta mengerjakan soal mengenai fungsi komposisi

dari tiga buah fungsi pada tugas II

Siswa diminta untuk mengamati diagram panah untuk

membentuk fungsi komposisi yang sesuai dengan aturan

Siswa diberikan bentuk diagram yang mewakilkan fungsi

f(x), g(x), h(x) dan I(x)

Siswa diminta untuk membuat diagram (fog)(x) dan (gof)(x)

Siswa membandingkan antara kedua diagram yang telah

mereka buat

Siswa menyimpulkan keberlakuan sifat komutatif pada fungsi

komposisi

Siswa diminta untuk membuat diagram (foI)(x) dan (Iof)(x)


mereka buat

Siswa menyimpulkan keberlakuan sifat identitas pada fungsi

komposisi

Siswa diminta membuat diagram ((fog)oh)(x) dan

(fo(goh))(x)


mereka buat

Siswa menyimpulkan keberlakuan sifat asosiatif pada fungsi

komposisi

7

5

m

e

n

i

t

158

Siswa memberikan kesimpulan mengenai berlaku atau

tidaknya sifat komutatif pada fungsi komposisi dengan

menceklis isi table

Guru meminta setiap ketua kelompok untuk memastikan

bahwa semua anggotanya sudah menjawab dengan benar




K

e

g

i

a

t

a

n

A

k

h

i

r


telah dipelajari



dengan berdo’a


1

0

m

e

n

i

t


(RPP IV)



159




A. Kompetensi Inti













suatu fungsi

C. Indikator

1. Menerapkan operasi komposisi fungsi dalam menyelesaikan masalah dalam kehidupan

sehari-hari


1. Siswa dapat menerapkan operasi komposisi fungsi dalam menyelesaikan masalah

dalam kehidupan sehari-hari


Komposisi Fungsi


K

e

g

Deskripsi Kegiatan

A

l

o

160

ia

t

a

n

ka

s

i

W

a

k

t

u

P

e

n

d

a

h

u

l

u

a

n







yang heterogen




sebelumnya

5

m

e

n

i

t

K

e

g

i

a

t

a

n

I

n

t

i

Siswa diminta untk mengamati definisi fungsi komposisi dan

mengamati bentuk diagram fungsi komposisi

Siswa diminta mengamati permasalahan kontekstual

mengenai fungsi komposisi

Siswa diminta membuat permisalan pada fungsi f(x) dan g(x)

Siswa diminta mengamati ciri-ciri variabel, koefisien dan

konstanta

Siswa diminta berdiskusi untuk menentukan setiap komponen

pada fungsi untuk dikelompokkan menjadi variabel, koefisien

dan konstanta berdasarkan ciri-ciri

Siswa diminta untuk membuat model matematika dari fungsi

f(x) dan g(x) setelah menentukan variabel, koefisien dan

konstanta

Siswa diminta menentukan total Euro dan Rupiah

menggunakan model matematika yang telah mereka buat

7

5

m

e

n

i

t

161

Siswa diminta menentukan cara atau fungsi baru yang dapat

menyatakan nilai Dollar langsung kepada Rupiah tanpa harus

ditukarkan terlebih dahulu ke Euro

Guru meminta ketua kelompok untuk memastikan bahwa

setiap anggota kelompok telah mengisi jawabannya dengan

benar




Guru memberi latihan kepada siswa dikerjakan setiap siswa

secara individu di buku tulis masing-masing

K

e

g

i

a

t

a

n

A

k

h

i

r


telah dipelajari



dengan berdo’a


1

0

m

e

n

i

t

162

Lampiran 5

Kompetensi dasar:

3.6. Menjelaskan operasi komposisi pada fungsi dan operasi invers pada

fungsi invers serta sifat-sifatnya serta menentukan eksistensinya

Indikator:

3.6.1. Mengklasifikasikan bentuk fungsi dan fungsi komposisi berdasarkan

diagram venn yang telah disajikan

3.6.2. Menentukan fungsi baru dari dua fungsi menggunakan operasi

komposisi

3.6.6. Menentukan nilai dari fungsi komposisi yang telah ditemukan

Nama Kelompok:

1. ………………………

2. ………………………

3. ………………………

4. ………………………

5. ………………………

6. ………………………

7. ………………………

8. ………………………

Lembar Kerja Siswa (LKS)

Fungsi Komposisi

Pertemuan ke-1

163

Perhatikan gambar diagram panah di bawah ini!

a. Diagram panah di bawah ini merupakan diagram yang berbentuk fungsi:

b. Diagram panah di bawah ini merupakan diagram yang tidak berbentuk

fungsi:

Jawablah pertanyaan di bawah berdasarkan bentuk fungsi yang telah kalian

amati!

1. Perhatikan perbedaan antara diagram panah yang berbentuk fungsi dan

yang bukan fungsi! Perbedaan apa yang terlihat dari domain fungsi dan yang

bukan fungsi?

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. Tentukanlah definisi fungsi dari kedua perbedaan tersebut!

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

164

Perhatikanlah diagram-diagram di bawah ini!

Tugas 1

Gambar diatas menyatakan relasi antara domain dan kodomain yang disajikan dalam bentuk

diagram panah.

e. Berdasarkan diagram panah I dan diagram panah II, diagram mana yang merupakan fungsi?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

f. Gambarkanlah relasi gabungan antara diagram panah I dengan diagram panah II sehingga

membentuk diagram yang baru!

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Diagram Panah I Diagram Panah II

165

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

g. Hasil dari fungsi gabungan manakah yang masih membentuk fungsi?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

h. Berdasarkan poin a sampai poin c yang telah kalian kerjakan, isilah tabel di bawah ini dengan

tepat!

No Pernyataan Benar Salah

1 Untuk menjadi fungsi komposisi yang sesuai

syarat, diagram I dan diagram II harus

berbentuk fungsi


syarat, diagram I atau diagram II harus

berbentuk fungsi


syarat, maka kodomain pada diagram I harus

semuanya memiliki pasangan dengan domain

pada fungsi I


syarat, maka diagram I dan diagram II harus

berbentuk fungsi korespondensi satu-satu

i. Definisi dari fungsi komposisi adalah

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

166

Tugas II

Perhatikan dan lengkapilah tabel berikut ini!

f(x) 3x - 7 bentuk sederhana dari fungsi

f(a) 3a - 7 3a – 7

f(2x) 3(2x) - 7 ……………

f(5) …………… ……………

f(g(x)) atau

(fog)(x) …………… ……………

f(x + 8) …………… ……………

f(x2 – 2x + 5) …………… ……………

Apabila f(x) = √𝑥2 + 2 dan g(x) = 2x – 5, maka tentukanlah nilai (fog)(x) dan

(gof)(x)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Latihan!!

167

Tugas III

Diketahui fungsi f(x) = 6x – 3, g (x) = 5x + 4, dan (fog)(a) = 81, nilai a adalah....

Pentunjuk!!!!

1. Apa perbedaan antara (fog)(x) dengan (fog)(a)?

2. Sebelum menentukan nilai a, langkah apa yang harus kalian lakukan?

- ………………………………………

- ………………………………………

- ………………………………………

Jawablah pertanyaan sesuai dengan langkah-langkah yang telah kalian susun!

168

Kompetensi dasar:



Indikator:

3.6.5. Menentukan fungsi g(x) apabila diketahui fungsi (fog)(x) dan fungsi

f(x)

3.6.6. Menentukan fungsi f(x) apabila diketahui fungsi (fog)(x) dan fungsi

g(x)


Fungsi komposisi

Pertemuan ke-2

Pengantar untuk materi selanjutnya

Fungsi komposisi dari dua buah fungsi adalah operasi yang menggabungkan dua fungsi menjadi satu fungsi baru yang dapat dinyatakan dalam bentuk: (fog)(x) = f(g(x))

LKS INI MILIK:

NAMA : ………………………………………………………

KELOMPOK : ………………………………………………………

169

Tugas I (cara menentukan fungsi yang dibelakang)

1. Fungsi f : R R ditentukan oleh f(x) = 2x + 4 dan g : R R sehingga (fog)(x)

= 4x2 + 2x, maka g(2) adalah ...

Tugas II (cara menentukan fungsi yang di depan)

Perlu diingat!!!

pada fungsi (fog)(x) merupakan fungsi

gabungan dari f(x) dan g(x), maka sebelum

mencari nilai g(2), fungsi apa terlebih dahulu

yang harus kalian dapatkan?

Maka, langkah-langkah yang harus

dilakukan adalah:

1. Membuat (fog)(x) = 4x2 + 2x

2. Menjabarkan (fog)(x) = f( )

3. ………………………………………………

4. ………………………………………………

5. ………………………………………………

6.

Jawablah soal nomor 1 dengan menggunakan langkah-langkah yang telah kalian susun!

170

1. Fungsi g : R R ditentukan oleh g(x) = x2 – x + 3 dan f : R R sehingga

(fog)(x) = 3x2 – 3x + 4, maka f(x-2) adalah ...

Perlu diingat!!!



mencari nilai f(x-2), fungsi apa terlebih

dahulu yang harus kalian dapatkan?


dilakukan adalah:

1. Membuat (fog)(x) = 3x2 – 3x + 4


3. ………………………………………………

4. ………………………………………………

5. ………………………………………………


Latihan!!!!!!

171

1. Fungsi f : R R ditentukan oleh f(x) = 3x - 7 dan g : R R sehingga (fog)(x) =

15x - 25, maka g(2x+3) adalah ...

2. Fungsi g : R R ditentukan oleh g(x) = 2x2 – 5x + 4 dan f : R R sehingga


Jawab……


172

Kompetensi dasar:



Indikator:

3.6.3. Menentukan fungsi baru dari tiga buah fungsi menggunakan operasi

komposisi

3.6.4. Menyelidiki sifat-sifat yang berlaku pada operasi komposisi

LKS INI MILIK:

NAMA : ………………………………………………………

KELOMPOK : ………………………………………………………

173

Tugas I


f(x) g(x) f(g(x)) atau (fog)(x) h(x) h(f(gx)) atau (hofog)(x)

x + 1 2x

f(g(x)) = f(2x)

apabila f(x) = x + 1,

maka f(2x) = 2x + 1

2x + 4

h(f(g(x)) = h(2x + 1)

apabila h(x) = 2x + 4, maka

h(2x + 1) =

…………………………………………

3x 3x - 4

f(g(x)) = f(3x – 4)

apabaila f(x) = 3x,

maka f(3x – 4) =

………………………………………

x2

h(f(g(x)) = h(……………)

apabila h(x) = x2, maka

h(……………) =

…………………………………………


Fungsi komposisi dari tiga buah fungsi adalah operasi yang menggabungkan tiga fungsi menjadi satu fungsi baru yang dapat dinyatakan dalam bentuk: (fogoh)(x) = f(g(h(x)))

174

Tugas II

Apabila f(x) = 𝑥+6

3𝑥+4 , 𝑥 ≠ −

4

3 , g(x) = 2x + 4 dan h(x) = x2 – 2, maka tentukanlah

fungsi dari (fogoh)(x)!

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Tugas III

Perhatikanlah diagram panah yang menyatakan fungsi komposisi di bawah ini!

g(x) f(x) fog(x)

A B C A C

Dari contoh diagram panah diatas dapatkah kamu membuat diagram panah fungsi

komposisi untuk membuktikan sifat-sifat yang berlaku? Perhatikanlah tugas di

bawah ini!

Diketahui:

f(x) g(x) h(x) I(x)

175

1. Untuk menyelidiki sifat komutatif, ikutilah langkah-langkah sebagai berikut!

a. Buatlah diagram (fog)(x)

b. Buatlah diagram (gof)(x)

c. Apakah hasil diagram panahnya sama? Apabila sama maka berlaku sifat komutatif

2. Untuk menyelidiki sifat identitas, ikutilah langkah-langkah sebagai berikut!

a. Buatlah diagram (foI)(x)

b. Buatlah diagram (Iof)(x)

c. Apakah hasil diagram panahnya sama? Apabila sama maka berlaku sifat identitas

Jawab:

Jawab:

Jawab:

Jawab:

Jawab:

Jawab:

176

3. Untuk menyelidiki sifat asosiatif, ikutilah langkah-langkah sebagai berikut!

a. Buatlah diagram ((fog)oh)(x)

b. Buatlah diagram (fo(goh))(x)

c. Apakah hasil diagram panahnya sama? Apabila sama maka berlaku sifat asosiatif

Kesimpulan!

Berilah tanda ceklis () tabel dibawah ini untuk menentukan sifat apa saja yang

berlaku pada fungsi komposisi!

Sifat-sifat Berlaku Tidak berlaku

Komutatif

Identitas

Asosiatif

Jawab:

Jawab:

Jawab:

177

Kompetensi dasar:

4.6. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan operasi komposisi dan

operasi invers suatu fungsi

Indikator:

4.6.1. Menerapkan operasi komposisi fungsi dalam menyelesaikan masalah

dalam kehidupan sehari-hari


Fungsi komposisi

Pertemuan ke-4

LKS INI MILIK:

NAMA : ………………………………………………………

KELOMPOK : ………………………………………………………

178

Perhatikanlah permasalah berikut ini!

Suatu bank di Amerika menawarkan harga tukar Dollar

Amerika (USD) ke Euro (EUR), yaitu 1 USD = 0,9 EUR,

dengan biaya penukaran sebesar 2 USD untuk setiap

transaksi penukaran. Kemudian bank tersebut juga

menawarkan penukaran uang dari Euro (EUR) ke Rupiah

Indonesia (IDR) yaitu 1 EUR = Rp. 16000 dengan biaya

penukaran sebesar 5 EUR untuk setiap transaksi

penukaran.. lalu terdapat seorang turis yang ingin

bertamasya ke Belanda dan ke Indonesia. Ia membawa

uang sebesar 4000 USD. Setengah dari uang yang ia bawa

akan ia tukarkan ke dalam Euro dan sisanya akan ia

tukarkan ke Rupiah.



179

Misal:

f(x) = adalah fungsi yang menyatakan perubahan nilai ………………… menjadi …………………

g(x) = adalah fungsi yang menyatakan perubahan nilai ………………… menjadi …………………

TUGAS I

Buatlah model matematika yang menyatakan fungsi untuk nilai tukar Dollar ke Eoru

dan fungsi untuk nilai tukar Eoru ke Rupiah!

ciri-ciri variabel, koefisien dan konstanta:

variabel adalah bagian dari model matematika yang nilainya dapat dinyatakan dengan

besaran yang berbeda-beda

koefisien adalah nilai yang dapat mengalikan nilai pada variabel menjadi lebih besar

atau lebih kecil dan nilainya juga tidak berubah

konstanta adalah nilai konstan yang tidak dapat diubah, dalam keadaan seperti apapun

nilainya akan tetap sama

Cara menentukan f(x) berdasarkan permasalahan di atas:

Lingkarilah jawaban yang sesuai!

No Komponen

pada fungsi

Apakah nilainya

dapat berubah?

Apakah dapat

digunakan sebagai

pengali variabel?

Kesimpulan berdasarkan

ciri-ciri

1

Uang yang

dimiliki oleh

turis (sebesar

4000 USD)

Ya / Tidak Ya / Tidak Variabel / Koefisien /

Konstanta

2

Biaya

penukaran

(sebesar 2

USD)


Konstanta

3

Nilai tukar

Dollar ke Euro

(1 USD = 0,9

EUR)


Konstanta

180

Setelah menentukan variabel, koefisien dan konstanta pada fungsi f(x), maka fungsi f(x)

dapat dinyatakan dengan:

f(x) = …………………………………………

Cara menentukan g(x) berdasarkan permasalahan di atas:

Lingkarilah jawaban yang sesuai!

No Komponen

pada fungsi

Apakah nilainya

dapat berubah?

Apakah dapat

digunakan sebagai

pengali variabel?

Kesimpulan berdasarkan

ciri-ciri

1

Besaran uang

Eoro yang

ingin ditukar

menjadi

Rupiah


Konstanta

2

Biaya

penukaran

(sebesar 5

EUR)


Konstanta

3

Nilai tukar

Euro ke

Rupiah (1 EUR

= 16.000 IDR)


Konstanta

Setelah menentukan variabel, koefisien dan konstanta pada fungsi g(x), maka fungsi g(x)

dapat dinyatakan dengan:

g(x) = …………………………………………

181

TUGAS II

Tentukanlah total Euro dan Rupiah yang ia dapatkan menggunakan fungsi f(x) dan g(x)

yang telah kalian buat sebelumnya!

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Pengingat!!!!!

f(x) = adalah fungsi yang menyatakan perubahan nilai ………………… …………………

g(x) = adalah fungsi yang menyatakan perubahan nilai ………………… …………………

182

TUGAS III

Tentukanlah cara yang dapat digunakan pihak bank agar dapat langsung

memberikan jasa penukaran Dollar ke Rupiah tanpa harus menukarkannya ke Euro

dulu!

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Pengingat!!!!!

Definisi dan kegunaan dari fungsi komposisi adalah …………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Latihan !!!!!

183

Sebuah pabrik mengoperasikan mesin yang dapat mengubah benang menjadi kain dan

kain menjadi baju. Setiap 1 kg benang, dapat menghasilkan 1,5 kg kain. Setiap 1 kg kain

dapat menghasilkan 2 kg baju. Setiap kain dijahit menjadi baju, selalu saja berkurang 2

kg baju secara misterius.

a. Buatlah model matematika yang menyatakan jumlah benang menjadi kain dan kain

menjadi baju

b. Berapakah jumlah total baju yang didapat apabila pabrik tersebut mempunyai 100 kg

benang?

c. Tentukanlah fungsi yang dapat menyatakan langsung jumlah benang menjadi jumlah

baju

184

Lampiran 6

LEMBAR OBSERVASI METAPEDADIDAKTIK

PERTEMUAN KE-1

Situasi 1

No Penugasan Kemungkinan

Kesulitan

Terjadi/

Tidak

Antisipasi Didaktis Pedagogis Efektif/

Tidak

Solusi

1 Siswa diminta

mengklasifikasikan

bentuk diagram panah

yang merupakan

fungsi dan yang bukan

fungsi berdasarkan

definisi fungsi yang


Siswa lupa mengenai

definisi fungsi

sehingga kesulitan

untuk membedakan

yang merupakan

fungsi dengan yang

bukan fungsi

Terjadi Peneliti memberikan stimulus




bawah ini:



mengenai definisi fungsi dan

memilih diagram panah yang sesuai

dengan definisi

Efektif -

185

2 Siswa diminta

menggabungkan

kedua fungsi yang

telah berpasangan dan

menjadikannya fungsi

yang baru sebagai

fungsi komposisi

Siswa kebingungan

dalam

menggabungkan kedua

fungsi menjadikannya

sebagai fungsi yang

baru

Terjadi Peneliti memberikan petunjuk cara


dengan contoh fungsi yang berbeda

Efektif -

3 Siswa menentukan

kembali apakah fungsi

gabungan tersebut

masih membentuk

fungsi sesuai dengan

definisi fungsi yang

berlaku

- - - - -

4 Siswa menyimpulkan

bentuk fungsi seperti

apa yang bisa

dijadikan sebagai

fungsi komposisi yang

utuh dengan cara

menentukan

pernyataan yang benar

dan salah pada tabel

Siswa bingung

membedakan kata

“dan” dengan kata

“atau” pada

pernyataan pertama

dan kedua pada tabel

penugasan yang

keempat

Terjadi Peneliti memberikan contoh kalimat



memerintahkan andi untuk

mengambil pulpen dan pensil, lalu

Andi hanya mengambil salah

satunya apakah perintah saya sudah

terlaksanakan dengan baik?

Bandingkan dengan apabila saya

Efektif -

186

memerintahkan Andi untuk

mengambil pulpen atau pensil lalu

andi hanya mengambil salah





dengan kata “atau” merupakan dua

kata yang memiliki arti dan fungsi

yang berbeda.

5 Siswa diminta untuk

mendefinisikan fungsi

komposisi

Siswa kebingungan

dalam menentukan

definisi fungsi

komposisi

Terjadi Peneliti memandu siswa untuk






Efektif -

Hambatan Baru:

-

Situasi 2

1 Siswa diminta

melengkapi tabel yang

mempermudah siswa

dalam penanaman

Siswa hanya

mengubah variabel

pada fungsi dan tidak

menyederhanakan

Terjadi Peneliti memberikan stimulus

dengan cara memberikan pertanyaan

“apakah fungsi tersebut sudah

sederhana?” lalu dilanjutkan dengan

Efektif -

187

konsep untuk

menentukan fungsi

komposisi

kedua fungsi menjadi

fungsi yang baru

dengan menggunakan

operasi aljabar

pertanyaan “apabila belum

sederhana, maka cara apa yang harus

kamu lakukan?” dengan cara seperti

ini maka siswa akan berpikir untuk

menggunakan operasi aljabar dalam

menyederhanakan fungsi tersebut.


langsung mengerjakan

soal untuk

menentukan fungsi

komposisi

- - - - -

Hambatan Baru:

-

Situasi 3


mencari nilai a

Siswa kesulitan dalam

menentukan a pada

fungsi (fog)(a)

Terjadi Peneliti memberikan stimulus berupa






Kemudian, peneliti memberikan


f(x) dan g(x) yang diketahui pada

-

188

soal, dapat menghasilkan fungsi apa

yang menyerupai fungsi (fog)(a)?”

pertanyaan ini akan menggiring

siswa untuk mencari fungsi (fog)(x)

terlebih dahulu

Terdapat kesalaham

penulisan dan

penggunaan operasi

aljabar yang tidak

tepat

Terjadi 3. Peneliti meminta ketua kelompok



4. Peneliti meminta semua

perwakilan kelompok

mempresentasikan hasil


satu sama lain

Efektif -

Hambatan Baru:

-

189


PERTEMUAN KE-2

Situasi 1


Kesulitan

Terjadi/

Tidak


Tidak

Solusi


menentukan nilai dari

g(2) apabila diketahui

fungsi f(x) dan fungsi

(fog)(x)


menyusun langkah-

langkah penyelesaian

untuk mendapatkan

fungsi yang diminta

Terjadi 4. Peneliti meminta siswa untuk

berdiskusi pada saat proses

pengerjaan menggunakan Lembar

Kerja Siswa

5. Peneliti memberikan sedikit

stimulus dengan memberikan

pertanyaan “ingat ya, pada fungsi

(fog)(x) merupakan fungsi

gabungan dari f(x) dan g(x), maka

sebelum mencari nilai g(2), fungsi

apa terlebih dahulu yang harus

kalian dapatkan?” Pertanyaan

tersebut membuat siswa berpikir

bahwa sebelum mendapatkan nilai

g(2) maka ia harus mencari fungsi

g(x) terlebih dahulu dikarenakan

yang dapat diketahui pada fungsi

Efektif -

190

(fog)(x) adalah fungsi f(x) dan

g(x)

6. Setelah memberikan stimulus,

peneliti meminta siswa untuk

menyusun langkah-langkah apa

saja yang harus dilakukan untuk

mengerjakan soal tersebut

Siswa tidak teliti

dalam mengerjakan

sehingga terdapat

kesalahan dalam

penulisan ataupun


Terjadi Peneliti meminta setiap kelompok


jawabannya dan mencocokkan

dengan hasil jawaban dari kelompok

lain pada saat perwakilan dari setiap

kelompok maju untuk


Efektif -

Hambatan Baru:

-

Situasi 2


menentukan fungsi

f(x-2) yang belum

diketahui apabila


menyusun langkah-

langkah penyelesaian

Terjadi 4. Peneliti meminta siswa untuk



Kerja Siswa

Efektif

191

diketahui fungsi g(x)

dan fungsi (fog)(x)

untuk mendapatkan

fungsi yang diminta






sebelum mencari fungsi f(x-2),

fungsi apa terlebih dahulu yang

harus kalian dapatkan?”

Pertanyaan tersebut membuat

siswa berpikir bahwa sebelum

mendapatkan fungsi f(x-2) maka

ia harus mencari fungsi f(x)

terlebih dahulu dikarenakan yang

dapat diketahui pada fungsi

(fog)(x) adalah fungsi f(x) dan

g(x)



menyusun langkah-langkah apa

saja yang harus dilakukan untuk


Siswa tidak teliti

dalam mengerjakan

Terjadi Peneliti meminta setiap kelompok


Tertatasi -

192

sehingga terdapat

kesalahan dalam

penulisan ataupun


jawabannya dan mencocokkan

dengan hasil jawaban dari kelompok

lain pada saat perwakilan dari setiap

kelompok maju untuk


Hambatan Baru:


menentukan fungsi

f(x) yang akan

digunakan

Terjadi Peneliti memberikan petunjuk

berupa “Apabila disajikan bentuk

fungsi (fog)(x) adalah bentuk

kuadrat dan fungsi (g)(x) adalah

kuadrat juga, maka fungsi f(x) yang

akan digunakan akan berbentuk

linier, sebaliknya apabila disajikan

bentuk fungsi (fog)(x) adalah bentuk

kuadrat dan fungsi (g)(x) adalah

linier, maka fungsi f(x) yang akan

digunakan akan berbentuk kuadrat”

Efektif

193


PERTEMUAN KE-3

Situasi 1


Kesulitan

Terjadi/

Tidak


Tidak

Solusi


mengamati dan

melengkapi tabel

untuk mempermudah


(fogoh)(x)

- - - - -

2 Siswa diminta

menentukan nilai

fungsi (fogoh)(x),

apabila diketahui

fungsi f(x), g(x) dan

h(x)


menentukan cara

antara (fo(goh))(x)

atau ((fog)oh)(x)

dalam menentukan

bentuk komposisi dari

tiga buah fungsi.

Siswa menganggap

cara penyelesaian

yang beda maka akan

Terjadi 3. Peneliti memberikan sedikit

petunjuk dalam mengerjakan

fungsi (fo(goh))(x) dan

((fog)oh)(x). Fungsi (fo(goh))(x)

harus dikerjakan (goh)(x) terlebih

dahulu, setelah bentuknya

disederhanakan maka fungsi

(goh)(x) akan dimasukkan ke

dalam fungsi f(x). Sedangkan

untuk fungsi ((fog)oh)(x) yang

harus dikerjakan terlebih dahulu

Efektif -

194

menghasilkan jawaban

yang berbeda pula.

adalah (fog)(x), lalu setelah

disederhanakan nilai x pada

(fog)(x) diganti dengan fungsi

h(x).

4. Peneliti meminta setiap kelompok

belajar untuk mengerjakannya

dalam dua cara, yaitu (fo(goh))(x)

dan ((fog)oh)(x) dan

membandingkan hasilnya

3 Siswa tidak teliti

dalam mengerjakan

sehingga terdapat

kesalahan dalam

penulisan ataupun





yang benar

4. Peneliti meminta setiap kelompok

untuk maju dan mempresentasikan

hasil pengerjaannya untuk

dibandingkan.

Efektif -

Hambatan Baru:

-

Situasi 2


menyelidiki apakah

sifat komutatif


membuat digram yang

sesuai dengan yang

Terjadi Peneliti memberikan contoh diagram



Efektif -

195

berlaku pada operasi

komposisi fungsi,

dengan cara

membandingkan

antara hasil dari

diagram panah

(fog)(x) dan (gof)(x)

diminta dalam soal,

karena apabila siswa

ingin membuat

diagram venn (fog)(x)

maka ia harus

menggabungkan

antara diagram g(x)

dengan f(x) bukan f(x)

dengan g(x) dan hal

ini harus dilakukan

sesuai dengan urutan

yang semestinya agar

menghasilkan diagram

yang tepat


bentuk diagram fungsi komposisi

yang telah ditunjukkan


menyelidiki apakah

sifat identitas berlaku

pada operasi

komposisi fungsi,

dengan cara

membandingkan

antara hasil dari


membuat digram yang

sesuai dengan yang

diminta dalam soal,


ingin membuat

diagram panah (foI)(x)

maka ia harus

menggabungkan







Efektif -

196

diagram panah

(Iof)(x) dan (foI)(x

antara diagram I(x)

dengan f(x) bukan f(x)

dengan I(x) dan hal ini

harus dilakukan sesuai

dengan urutan yang

semestinya agar


yang tepat


menyelidiki apakah


pada operasi

komposisi fungsi,

dengan cara

membandingkan

antara hasil dari

diagram panah

((fog)oh)(x) dan

(fo(goh))(x)


membuat digram yang

sesuai dengan yang

diminta dalam soal,


ingin membuat

diagram panah

(fogoh)(x) maka ia

harus menggabungkan

antara diagram h(x),

g(x) dan f(x) bukan

f(x), g(x) dan h(x) dan

hal ini harus dilakukan

sesuai dengan urutan

yang semestinya agar







Efektif -

197


yang tepat

4

Kesulitan Baru:

Siswa kesulitan

membedakan

perbedaan antara

diagram ((fog)oh)(x)

dengan (fo(goh))(x)

Terjadi Siswa kesulitan membedakan

perbedaan antara diagram

((fog)oh)(x) dengan (fo(goh))(x)

Efektif -

198


PERTEMUAN KE-4

Situasi 1


Kesulitan

Terjadi/

Tidak


Tidak

Solusi

1 Buatlah model

matematika yang

menyatakan fungsi

untuk nilai tukar

Dollar ke Euro dan

fungsi untuk nilai

tukar Euro ke Rupiah!


menentukan model

matematika untuk

menyatakan fungsi

f(x) dan g(x)

Terjadi 1. Membantu siswa dalam

menentukan variabel, koefisien

dan konstanta dengan memberikan

ciri-cirinya yang tertera pada

lembar kerja siswa

2. Memberikan contoh pada kasus

yang sama namun menggunakan

angka yang lebih sederhana,

contoh “Bayangkan apabila satu

Dollar adalah sama dengan 100

Euro, apabila saya mempunyai

uang 5 Dollar, jadi berapa total

Euro yang saya punya?” dari

pertanyaan ini siswa akan

menjawab 500 Euro, setelah itu

peneliti menanyakan pertanyaan

Efektif

199

lanjutan yaitu “Saya bisa dapat

500 Euro kalau saya menukar

uangnya gratis, sekarang apabila

dia punya biaya tukar sebesar 1

Dollar, maka total Euro yang saya

dapatkan akan menjadi berapa?”

setelah itu siswa akan menjawab

lagi “sebesar 400 Euro”. Peneliti

akan bertanya lagi “kenapa

uangnya bisa 400 Euro kenapa ga

500 Euro?” dari pertanyaan ini

siswa pasti akan menjawab

“karena uangnya dipakai untuk

bayar biaya tukarnya, jadi uangnya

sisa 4 Dollar”. Peneliti kan

melanjutkan pertanyaan “jadi

bagaimana langkah-langkah

membuat model matematikanya?”

dari pertanyaan ini siswa akan

menyadari bahwa variabel yang

digunakan harus dikurang dulu

dengan biaya tukar sehingga

fungsi yang dihasilkan menjadi

200

f(x) = (x-2) 0,9 dan g(x) = (x-5)

16000

2 Berapakah total Euro

dan Rupiah yang akan

ia dapatkan?

Terjadi kesalahan

dalam menggunakan

fungsi yang telah

dibuat sebelumnya,

contohnya seperti

menggunakan fungsi

g(x) untuk mengubah

nilai Dollar langsung

kepada nilai Rupiah

yang mana seharusnya

fungsi g(x) digunakan

untuk mengubah nilai

Euro ke Rupiah dan

lain sebagainya.

Terjadi Mengingatkan kembali permisalan

yang mereka buat mengenai fungsi

f(x) dan fungsi g(x)

Efektif

Apabila suatu saat

nanti ia ingin

menukarkan uangnya

ke dalam Rupiah

adakah cara lain yang

dapat ditempuh oleh

pihak bank untuk


menentukan fungsi

yang dapat mengubah

Dollar langsung

kepada Rupiah

dikarenakan siswa

melupakan definisi

Terjadi Mengingatkan kembali definisi

fungsi komposisi pada pertemuan

pertama dan kegunaan dari fungsi

komposisi beserta kaitannya dengan

permasalahan dalam menukar nilai

uang agar siswa dapat mengerti

bahwa fungsi baru yang dihasilkan

Efektif -

201

dapat langsung

menukar Dollar ke

Rupiah tanpa harus

menukarkannya ke

Euro terlebih dahulu?

dan kegunaan dari

operasi komposisi

menggunakan operasi komposisi

dapat mengubah langsung nilai



Terdapat kesalahan

penulisan atau

kesalahan

menggunakan operasi

aljabar sehingga fungsi

yang dihasilkan tidak

tepat




4. Peneliti meminta semua

perwakilan kelompok



satu sama lain

Efektif -

Hambatan Baru:

-

202

Lampiran 7

REKAPTULASI LEMBAR OBSERVASI METAPEDADIDAKTIK

Desain Didaktis Situasi

Kemungkinan Kesulitan Antisipasi Didaktis

Pendagogis

Ada Tidak

Ada Teratasi

Tidak

Teratasi Sudah Diprediksi Baru

Desain Didaktis 1

Situasi 1 4 - - 4 -

Situasi 2 1 - - 1 -

Situasi 3 2 - - 2 -

Desain Didaktis 2 Situasi 1 2 - - 2 -

Situasi 2 2 1 - 3 -

Desain Didaktis 3 Situasi 1 2 - - 2 -

Situasi 2 3 1 - 4 -

Desain Disaktis 4 Situasi 1 4 - - 4 -

TOTAL 20 2 0 22 0

Persentase 90,9% 9,1% 0% 100% 0%

203

Lampiran 8

DESAIN PEMBELAJARAN REVISI I

Kompetensi Dasar:


Indikator:

1. Mengklasifikasikan bentuk fungsi dan fungsi komposisi berdasarkan diagram panah yang telah disajikan




Situasi I:

Peneliti memberikan berbagai

macam bentuk diagram panah

sebagai berikut:

1. Siswa diminta

mengklasifikasikan bentuk

diagram panah yang merupakan

fungsi dan yang bukan fungsi

berdasarkan definisi fungsi yang



Siswa masih mengingat definisi

fungsi sehingga dapat membedakan

diagram panah yang mempunyai

bentuk fungsi dan yang bukan


Siswa lupa mengenai definisi fungsi

sehingga kesulitan untuk

membedakan yang merupakan fungsi

dengan yang bukan fungsi


Peneliti memberikan stimulus




bawah ini:

204



mengenai definisi fungsi dan memilih

diagram panah yang sesuai dengan

definisi

2. Siswa diminta menggabungkan

kedua fungsi yang telah

berpasangan dan menjadikannya

fungsi yang baru sebagai fungsi

komposisi


Siswa dapat menggabungkan kedua

buah fungsi yang telah berpasangan

baik yang berbentuk fungsi maupun

yang tidak berbentuk fungsi




menjadikannya sebagai fungsi yang

baru


Peneliti memberikan petunjuk cara

menggabungkan kedua fungsi dengan

contoh fungsi yang berbeda

3. Siswa menentukan kembali

apakah fungsi gabungan tersebut


205

masih membentuk fungsi sesuai

dengan definisi fungsi yang

berlaku

Siswa dapat membentuk fungsi baru

dari kedua fungsi yang telah

digabungkan


-

Antispasi kemungkinan kesulitan:

-

4. Siswa menyimpulkan bentuk

fungsi seperti apa yang bisa

dijadikan sebagai fungsi komposisi

yang utuh dengan cara mengisi

tabel berikut ini:


Siswa dapat menyimpulkan dengan

benar bentuk fungsi seperti apa yang

dapat membentuk fungsi komposisi

yang sesuai dengan definisi


Siswa bingung membedakan kata

“dan” dengan kata “atau” pada

pernyataan pertama dan kedua pada

tabel penugasan yang keempat


Peneliti memberikan contoh kalimat



memerintahkan andi untuk mengambil

pulpen dan pensil, lalu Andi hanya

mengambil salah satunya apakah

perintah saya sudah terlaksanakan

dengan baik? Bandingkan dengan

apabila saya memerintahkan Andi

untuk mengambil pulpen atau pensil

lalu andi hanya mengambil salah


206




dengan kata “atau” merupakan dua

kata yang memiliki arti dan fungsi

yang berbeda.




Siswa membuat definisi fungsi

komposisi dengan benar seperti

“fungsi komposisi adalah fungsi

yang dapat menggabungkan dua

buah fungsi menjadi satu fungsi baru

dengan tujuan untuk mengubah objek

pertama langsung pada objek ketiga”



menentukan definisi fungsi

komposisi


Peneliti memandu siswa untuk






Situasi II: 1. Siswa diminta melengkapi tabel

yang mempermudah siswa dalam


207

Peneliti memberi fungsi f(x) dan

g(x) dan meminta siswa untuk

menentukan betuk fungsi (fog)(x)

atau (gof)(x)

penanaman konsep untuk


Siswa mengisi tabel dengan cara

mengubah sedikit demi sedikit

variabel pada fungsi dan diakhiri

dengan mengubah variabel tunggal

menjadi bentuk fungsi lain


Siswa hanya mengubah variabel pada

fungsi dan tidak menyederhanakan

kedua fungsi menjadi fungsi yang

baru dengan menggunakan operasi

aljabar


Peneliti memberikan stimulus dengan

cara memberikan pertanyaan “apakah

fungsi tersebut sudah sederhana?” lalu

dilanjutkan dengan pertanyaan

“apabila belum sederhana, maka cara

apa yang harus kamu lakukan?”

dengan cara seperti ini maka siswa

akan berpikir untuk menggunakan

operasi aljabar dalam

menyederhanakan fungsi tersebut.

2. Siswa diminta untuk langsung

mengerjakan soal untuk



Siswa dapat mengerjakan soal

operasi komposisi dari dua buah

fungsi dengan baik dengan mengikuti

tabel sebagai acuan



208

- -

Situasi III:

Peneliti memberikan fungsi f(x),

fungsi g(x) dan nilai fungsi

(fog)(a)

1. Siswa diminta untuk mencari nilai

a


1. Mencari fungsi (fog)(x) dari fungsi

f(x) dan g(x) yang diketahui

2. Mensubstitusikan variabel x

dengan a

3. Memasukkan nilai (fog)(a) dengan

fungsi (fog)(a)

4. Mencari nilai a menggunakan

operasi aljabar


Siswa kesulitan dalam menentukan a



Peneliti memberikan stimulus berupa






Kemudian, peneliti memberikan


f(x) dan g(x) yang diketahui pada soal,

dapat menghasilkan fungsi apa yang

menyerupai fungsi (fog)(a)?”

209

pertanyaan ini akan menggiring siswa

untuk mencari fungsi (fog)(x) terlebih

dahulu


Terdapat kesalaham penulisan dan

penggunaan operasi aljabar yang

tidak tepat


1. Peneliti meminta ketua kelompok



2. Peneliti meminta semua perwakilan



satu sama lain

210

DESAIN PEMBELAJARAN REVISI II

Kompetensi Dasar:


Indikator:

1. Menentukan fungsi g(x) apabila diketahui fungsi komposisi (fog)(x) dan fungsi f(x)

2. Menentukan fungsi f(x) apabila diketahui fungsi komposisi (fog)(x) dan fungsi g(x)


Situasi I:

Peneliti

memberikan

fungsi f(x) dan

fungsi (fog)(x)

dan meminta

siswa untuk

menentukan nilai

dari g(2)

1.Siswa diminta untuk

menentukan nilai dari g(2)

apabila diketahui fungsi f(x) dan

fungsi (fog)(x)


1. Siswa menjabarkan bentuk fungsi

komposisi, sebagai contoh (fog)(x) =

f(g(x))



telah dijabarkan


4. Siswa mencari fungsi g(x) dari fungsi-

fungsi yang sudah diketahui

5. Siswa mencari nilai g(2) dari fungsi g(x)

yang telah di dapat



211

Siswa kesulitan dalam menyusun langkah-

langkah penyelesaian untuk mendapatkan

fungsi yang diminta

1. Peneliti meminta siswa untuk



Kerja Siswa






sebelum mencari nilai g(2), fungsi

apa terlebih dahulu yang harus

kalian dapatkan?” Pertanyaan


bahwa sebelum mendapatkan nilai

g(2) maka ia harus mencari fungsi

g(x) terlebih dahulu dikarenakan


(fog)(x) adalah fungsi f(x) dan g(x)



menyusun langkah-langkah apa saja

212

yang harus dilakukan untuk





penulisan ataupun pengoperasian aljabar


Peneliti meminta setiap kelompok






diskusi.

Situasi II:

Peneliti

memberikan

fungsi g(x) dan

fungsi (fog)(x)

dan meminta

siswa untuk

menentukan

fungsi dari f(x-2)


menentukan fungsi f(x-2) yang

belum diketahui apabila

diketahui fungsi g(x) dan fungsi

(fog)(x)


1. Siswa menjabarkan bentuk fungsi

komposisi, sebagai contoh (fog)(x) =

f(g(x))



telah dijabarkan


4. Siswa mencari nilai f(x) dari fungsi-fungsi


213

5. Sisa mencari fungsi f(x-2) dari fungsi f(x)

yang telah di dapat


1. Siswa kesulitan dalam menyusun

langkah-langkah penyelesaian untuk

mendapatkan fungsi yang diminta


1. Peneliti meminta siswa untuk



Kerja Siswa






sebelum mencari fungsi f(x-2),

fungsi apa terlebih dahulu yang

harus kalian dapatkan?” Pertanyaan


bahwa sebelum mendapatkan fungsi

f(x-2) maka ia harus mencari fungsi

f(x) terlebih dahulu dikarenakan


(fog)(x) adalah fungsi f(x) dan g(x)

214



menyusun langkah-langkah apa saja

yang harus dilakukan untuk



Siswa kesulitan dalam menentukan fungsi

f(x) yang akan digunakan


Peneliti memberikan petunjuk berupa

“Apabila disajikan bentuk fungsi

(fog)(x) adalah bentuk kuadrat dan

fungsi (g)(x) adalah kuadrat juga,

maka fungsi f(x) yang akan digunakan

akan berbentuk linier, sebaliknya

apabila disajikan bentuk fungsi

(fog)(x) adalah bentuk kuadrat dan

fungsi (g)(x) adalah linier, maka

fungsi f(x) yang akan digunakan akan

berbentuk kuadrat”




penulisan ataupun pengoperasian aljabar


Peneliti meminta setiap kelompok



215




diskusi.

216

DESAIN PEMBELAJARAN REVISI III

Kompetensi Dasar:


Indikator:




Situasi I:

Peneliti memberikan fungsi

f(x), g(x) dan h(x) dan meminta

siswa untuk menentukan nilai

fungsi (fogoh)(x)


mengamati dan melengkapi

tabel untuk mempermudah


(fogoh)(x)


Siswa mengisi setiap tabel dengan

baik dan benar


-

Antisipasi kemungkinan

kesulitan:

-

2. Siswa diminta menentukan

nilai fungsi (fogoh)(x),

apabila diketahui fungsi

f(x), g(x) dan h(x)


1. Siswa memasukkan nilai h(x)

kedalam g(x) dan

menyederhanakan fungsi tersebut

menggunakan fungsi aljabar

sehingga mendapatkan fungsi baru

yaitu (goh)(x)

217

2. Siswa memasukkan nilai (goh)(x)

kedalam fungsi f(x) dan

menyederhanakannya


sehingga mendapatkan fungsi

(fo(goh))(x)

Atau

1. Siswa memasukkan nilai g(x)

kedalam f(x) dan

menyederhanakan fungsi tersebut



baru yaitu (fog)(x)

2. Siswa memasukkan nilai (h)(x)

kedalam fungsi (fog)(x) dan

menyederhanakannya



((fog)oh)(x)



kesulitan:

218

Siswa kesulitan dalam menentukan

cara antara (fo(goh))(x) atau

((fog)oh)(x) dalam menentukan

bentuk komposisi dari tiga buah

fungsi. Siswa menganggap cara

penyelesaian yang beda maka akan

menghasilkan jawaban yang berbeda

pula.


petunjuk dalam mengerjakan

fungsi (fo(goh))(x) dan

((fog)oh)(x). Fungsi (fo(goh))(x)

harus dikerjakan (goh)(x) terlebih

dahulu, setelah bentuknya

disederhanakan maka fungsi

(goh)(x) akan dimasukkan ke

dalam fungsi f(x). Sedangkan

untuk fungsi ((fog)oh)(x) yang

harus dikerjakan terlebih dahulu

adalah (fog)(x), lalu setelah

disederhanakan nilai x pada

(fog)(x) diganti dengan fungsi

h(x).

2. Peneliti meminta setiap

kelompok belajar untuk

mengerjakannya dalam dua cara,

yaitu (fo(goh))(x) dan

((fog)oh)(x) dan membandingkan

hasilnya

219




penulisan ataupun pengoperasian

aljabar


kesulitan:




yang benar

2. Peneliti meminta setiap

kelompok untuk maju dan


pengerjaannya untuk

dibandingkan.

Situasi II:

Peneliti memberikan bentuk

diagram panah dari bentuk

fungsi komposisi dan

memberikan macam-macam

bentuk diagram panah untuk

menyelidiki sifat mana saja

yang berlaku pada fungsi

komposisi



komutatif berlaku pada


dengan cara

membandingkan antara

hasil dari diagram panah

(fog)(x) dan (gof)(x)


1. Siswa membuat diagram venn

(fog)(x) dan (gof)(x) dengan tepat

dan dapat langsung



fungsi (fog)(x) ≠ (gof)(x), maka

sifat komutatif tidak berlaku



kesulitan:

220

Siswa terbalik dalam membuat

digram yang sesuai dengan yang

diminta dalam soal, karena apabila

siswa ingin membuat diagram venn

(fog)(x) maka ia harus

menggabungkan antara diagram g(x)

dengan f(x) bukan f(x) dengan g(x)




Peneliti memberikan contoh

diagram fungsi komposisi yang

benar, seperti gambar di bawah ini:

Lalu, membantu siswa bernalar

pada bentuk diagram fungsi

komposisi yang telah ditunjukkan



identitas berlaku pada


dengan cara



(Iof)(x) dan (foI)(x)



(Iof)(x) dan (foI)(x) dengan tepat

dan dapat langsung



fungsi (Iof)(x) = (foI)(x), maka

sifat identitas berlaku





kesulitan:

221


siswa ingin membuat diagram panah

(foI)(x) maka ia harus

menggabungkan antara diagram I(x)

dengan f(x) bukan f(x) dengan I(x)












asosiatif berlaku pada


dengan cara



((fog)oh)(x) dan

(fo(goh))(x)



((fog)oh)(x) dan (fo(goh))(x)

dengan tepat dan dapat langsung



((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x), maka






siswa ingin membuat diagram panah


kesulitan:




222

(fogoh)(x) maka ia harus

menggabungkan antara diagram

h(x), g(x) dan f(x) bukan f(x), g(x)

dan h(x) dan hal ini harus dilakukan

sesuai dengan urutan yang

semestinya agar menghasilkan

diagram yang tepat





Siswa kesulitan membedakan

perbedaan antara diagram

((fog)oh)(x) dengan (fo(goh))(x)


kesulitan:

Peneliti memberitahukan siswa

bahwa fungsi yang di dalam kurung

harus diutamakan untuk dikerjakan

223

DESAIN PEMBELAJARAN REVISI IV

Kompetensi Dasar:


Indikator:

2. Menerapkan operasi komposisi fungsi dalam menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari


Situasi I:

Suatu bank di

Amerika

menawarkan harga

tukar Dollar

Amerika (USD) ke

Euro (EUR), yaitu

1 USD = 0,9 EUR,

dengan biaya

penukaran sebesar

2 USD untuk

setiap transaksi

penukaran.

Kemudian bank

1. Buatlah model matematika yang

menyatakan fungsi untuk nilai

tukar Dollar ke Euro dan fungsi

untuk nilai tukar Euro ke Rupiah!


1. Memisalkan f(x) sebagai fungsi yang

mengubah nilai Dollar ke Euro dan g(x)

sebagai fungsi yang mengubah nilai Euro ke

Rupiah

2. Menentukan model matematika dalam bentuk

fungsi f(x) dan g(x) yang tepat sesuai dengan

permasalahan yang disajikan


Siswa kesulitan dalam menentukan model

matematika untuk menyatakan fungsi f(x) dan

g(x)


1. Membantu siswa dalam menentukan

variabel, koefisien dan konstanta

dengan memberikan ciri-cirinya yang

tertera pada lembar kerja siswa

224

tersebut juga

menawarkan

penukaran uang

dari Euro (EUR)

ke Rupiah

Indonesia (IDR)

yaitu 1 EUR =

Rp. 16000 dengan

biaya penukaran

sebesar 5 EUR

untuk setiap

transaksi

penukaran.. lalu

terdapat seorang

turis yang ingin

bertamasya ke

Belanda dan ke

Indonesia. Ia

membawa uang

sebesar 4000 USD.

Setengah dari uang

yang ia bawa akan

ia tukarkan ke

2. Memberikan contoh pada kasus yang

sama namun menggunakan angka yang

lebih sederhana, contoh “Bayangkan

apabila satu Dollar adalah sama dengan

100 Euro, apabila saya mempunyai

uang 5 Dollar, jadi berapa total Euro

yang saya punya?” dari pertanyaan ini

siswa akan menjawab 500 Euro, setelah

itu peneliti menanyakan pertanyaan

lanjutan yaitu “Saya bisa dapat 500

Euro kalau saya menukar uangnya

gratis, sekarang apabila dia punya biaya

tukar sebesar 1 Dollar, maka total Euro

yang saya dapatkan akan menjadi

berapa?” setelah itu siswa akan

menjawab lagi “sebesar 400 Euro”.

Peneliti akan bertanya lagi “kenapa

uangnya bisa 400 Euro kenapa ga 500

Euro?” dari pertanyaan ini siswa pasti

akan menjawab “karena uangnya

dipakai untuk bayar biaya tukarnya, jadi

uangnya sisa 4 Dollar”. Peneliti kan

melanjutkan pertanyaan “jadi

225

dalam Euro dan

sisanya akan ia

tukarkan ke

Rupiah.

bagaimana langkah-langkah membuat

model matematikanya?” dari

pertanyaan ini siswa akan menyadari

bahwa variabel yang digunakan harus

dikurang dulu dengan biaya tukar

sehingga fungsi yang dihasilkan

menjadi f(x) = (x-2) 0,9 dan g(x) = (x-

5) 16000

2. Berapakah total Euro dan Rupiah

yang akan ia dapatkan?


Menentukan total Euro dari Dollar

menggunakan fungsi f(x) dan menentukan total

Rupiah dari Euro menggunakan fungsi g(x)


Terjadi kesalahan dalam menggunakan fungsi

yang telah dibuat sebelumnya, contohnya

seperti menggunakan fungsi g(x) untuk

mengubah nilai Dollar langsung kepada nilai

Rupiah yang mana seharusnya fungsi g(x)

digunakan untuk mengubah nilai Euro ke

Rupiah dan lain sebagainya.


Mengingatkan kembali permisalan yang

mereka buat mengenai fungsi f(x) dan

fungsi g(x)

3. Apabila suatu saat nanti ia ingin

menukarkan uangnya ke dalam

Rupiah adakah cara lain yang


Menentukan fungsi (gof)(x) dan menyatakannya

dalam bentuk yang paling sederhana untuk

226

dapat ditempuh oleh pihak bank

untuk dapat langsung menukar


menukarkannya ke Euro terlebih

dahulu?

menentukan fungsi langsung untuk mengubah



Siswa kesulitan dalam menentukan fungsi yang

dapat mengubah Dollar langsung kepada Rupiah

dikarenakan siswa melupakan definisi dan

kegunaan dari operasi komposisi


Mengingatkan kembali definisi fungsi

komposisi pada pertemuan pertama dan

kegunaan dari fungsi komposisi beserta

kaitannya dengan permasalahan dalam

menukar nilai uang agar siswa dapat

mengerti bahwa fungsi baru yang

dihasilkan menggunakan operasi

komposisi dapat mengubah langsung nilai




Terdapat kesalahan penulisan atau kesalahan

menggunakan operasi aljabar sehingga fungsi

yang dihasilkan tidak tepat





2. Peneliti meminta semua perwakilan


jawabannya untuk dibandingkan satu

sama lain

227

Lampiran 9

Kompetensi dasar:



Indikator:

3.6.1. Mengklasifikasikan bentuk fungsi dan fungsi komposisi berdasarkan

diagram venn yang telah disajikan

3.6.2. Menentukan fungsi baru dari dua fungsi menggunakan operasi

komposisi

3.6.6. Menentukan nilai dari fungsi komposisi yang telah ditemukan

Nama Kelompok:

1. ………………………

2. ………………………

3. ………………………

4. ………………………

5. ………………………

6. ………………………

7. ………………………

8. ………………………


Revisi

Fungsi Komposisi

Pertemuan ke-1

228

Perhatikan gambar diagram panah di bawah ini!

a. Diagram panah di bawah ini merupakan diagram yang berbentuk fungsi:

b. Diagram panah di bawah ini merupakan diagram yang tidak berbentuk

fungsi:

Jawablah pertanyaan di bawah berdasarkan bentuk fungsi yang telah kalian

amati!

1. Perhatikan perbedaan antara diagram panah yang berbentuk fungsi dan

yang bukan fungsi! Perbedaan apa yang terlihat dari domain fungsi dan yang

bukan fungsi?

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. Tentukanlah definisi fungsi dari kedua perbedaan tersebut!

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

229

Perhatikanlah diagram-diagram di bawah ini!

Tugas 1

Gambar diatas menyatakan relasi antara domain dan kodomain yang disajikan dalam bentuk

diagram panah.

a. Berdasarkan diagram panah I dan diagram panah II, diagram mana yang merupakan fungsi?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

b. Gambarkanlah relasi gabungan antara diagram panah I dengan diagram panah II sehingga

membentuk diagram yang baru!

Diagram Panah I Diagram Panah II

230

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

c. Hasil dari fungsi gabungan manakah yang masih membentuk fungsi?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

d. Berdasarkan poin a sampai poin c yang telah kalian kerjakan, isilah tabel di bawah ini dengan

tepat!

Tentukanlah pernyataan yang benar dan yang salah menggunakan tanda () agar

pernyataan tersebut menjadi pernyataan yang menggambarkan fungsi komposisi yang

sesuai definisi

No Pernyataan Benar Salah

1 Diagram I dan diagram II harus berbentuk

fungsi

2 Diagram I atau diagram II harus berbentuk

fungsi

3 Kodomain pada diagram I harus semuanya

memiliki pasangan dengan domain pada fungsi

I

4 Diagram I dan diagram II harus berbentuk

fungsi korespondensi satu-satu

e. Tentukanlah definisi fungsi komposisi berdasarkan gambar pada poin b dan c!

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

231

Tugas II


f(x) 3x - 7 bentuk sederhana dari fungsi

f(a) 3a - 7 3a – 7

f(2x) 3(2x) - 7 ……………

f(5) …………… ……………

f(g(x)) atau

(fog)(x) …………… ……………

f(x + 8) …………… ……………

f(x2 – 2x + 5) …………… ……………

Apabila f(x) = √𝑥2 + 2 dan g(x) = 2x – 5, maka tentukanlah nilai (fog)(x) dan

(gof)(x)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Latihan!!

232

Tugas III

Diketahui fungsi f(x) = 6x – 3, g (x) = 5x + 4, dan (fog)(a) = 81, nilai a adalah....

Pentunjuk!!!!

3. Apa perbedaan antara (fog)(x) dengan (fog)(a)?

4. Sebelum menentukan nilai a, langkah apa yang harus kalian lakukan?

- ………………………………………

- ………………………………………

- ………………………………………

Jawablah pertanyaan sesuai dengan langkah-langkah yang telah kalian susun!

233

Kompetensi dasar:



Indikator:

3.6.5. Menentukan fungsi g(x) apabila diketahui fungsi (fog)(x) dan fungsi

f(x)

3.6.6. Menentukan fungsi f(x) apabila diketahui fungsi (fog)(x) dan fungsi

g(x)


Revisi

Fungsi komposisi

Pertemuan ke-2

LKS INI MILIK:

NAMA : ………………………………………………………

KELOMPOK : ………………………………………………………

234

Tugas I (cara menentukan fungsi yang dibelakang)

2. Fungsi f : R R ditentukan oleh f(x) = 2x + 4 dan g : R R sehingga (fog)(x)

= 4x2 + 2x, maka g(2) adalah ...

Perlu diingat!!!



mencari nilai g(2), fungsi apa terlebih dahulu

yang harus kalian dapatkan?


dilakukan adalah:

7. Membuat (fog)(x) = 4x2 + 2x


9. ………………………………………………

10. ………………………………………………

11. ………………………………………………

12.




235

Tugas II (cara menentukan fungsi yang di depan)

2. Fungsi g : R R ditentukan oleh g(x) = x2 – x + 3 dan f : R R sehingga


Perlu diingat!!!



mencari nilai f(x-2), fungsi apa terlebih

dahulu yang harus kalian dapatkan?


dilakukan adalah:

1. Membuat (fog)(x) = 3x2 – 3x + 4


3. ………………………………………………

4. ………………………………………………

5. ………………………………………………

Jawablah soal nomor 1 dengan menggunakan langkah-langkah

yang telah kalian susun!

Latihan!!!!!!

Sebelum menjawab soal, tentukanlah terlebih dahulu

bentuk umum fungsi f(x)!!!!

Petunjuk!!!

Apabila fungsi (fog)(x) adalah bentuk kuadrat dan fungsi

(g)(x) adalah kuadrat juga, maka fungsi f(x) yang akan

digunakan akan berbentuk linier.

Apabila bentuk fungsi (fog)(x) adalah kuadrat dan fungsi

(g)(x) adalah linier, maka fungsi f(x) yang akan digunakan

akan berbentuk kuadrat

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah

ax2+bx+c (x memiliki pangkat 2)

Bentuk umum fungsi linier ax+b

(x memiliki pangkat 1)

Maka bentuk umum f(x) yg akan kalian

gunakan pada soal diatas adalah

f(x) = ……………………………………………………

Petunjuk dalam mencari

f(x):

Tentukalah nilai a, b

dan c pada fungsi umum

fX), setelah dapat

nilainya substitusikan

kembali agar mendapat

fungsi f(x) yang

sebenarnya

Selamat mencoba~

236

1. Fungsi f : R R ditentukan oleh f(x) = 3x - 7 dan g : R R sehingga (fog)(x) =

15x - 25, maka g(2x+3) adalah ...

2. Fungsi g : R R ditentukan oleh g(x) = 2x2 – 5x + 4 dan f : R R sehingga


Jawab……

237

Kompetensi dasar:



Indikator:

3.6.3. Menentukan fungsi baru dari tiga buah fungsi menggunakan operasi

komposisi

3.6.4. Menyelidiki sifat-sifat yang berlaku pada operasi komposisi


Revisi

Fungsi Komposisi

Pertemuan ke-3

LKS INI MILIK:

NAMA : ………………………………………………………

KELOMPOK : ………………………………………………………

238

Tugas I


f(x) g(x) f(g(x)) atau (fog)(x) h(x) h(f(gx)) atau (hofog)(x)

x + 1 2x

f(g(x)) = f(2x)

apabila f(x) = x + 1,

maka f(2x) = 2x + 1

2x + 4

h(f(g(x)) = h(2x + 1)

apabila h(x) = 2x + 4, maka

h(2x + 1) =

…………………………………………

3x 3x - 4

f(g(x)) = f(3x – 4)

apabaila f(x) = 3x,

maka f(3x – 4) =

………………………………………

x2

h(f(g(x)) = h(……………)

apabila h(x) = x2, maka

h(……………) =

…………………………………………


Fungsi komposisi dari tiga buah fungsi adalah operasi yang menggabungkan tiga fungsi menjadi satu fungsi baru yang dapat dinyatakan dalam bentuk: (fogoh)(x) = f(g(h(x)))

239

Tugas II

Apabila f(x) = 𝑥+6

3𝑥+4 , 𝑥 ≠ −

4

3 , g(x) = 2x + 4 dan h(x) = x2 – 2, maka tentukanlah

fungsi dari (fogoh)(x)!

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Tugas III

Perhatikanlah diagram panah yang menyatakan fungsi komposisi di bawah ini!

g(x) f(x) fog(x)

A B C A C

Dari contoh diagram panah diatas dapatkah kamu membuat diagram panah fungsi

komposisi untuk membuktikan sifat-sifat yang berlaku? Perhatikanlah tugas di

bawah ini!

Diketahui:

f(x) g(x) h(x) I(x)

240

1. Untuk menyelidiki sifat komutatif, ikutilah langkah-langkah sebagai berikut!

a. Buatlah diagram (fog)(x)

b. Buatlah diagram (gof)(x)

c. Apakah hasil diagram panahnya sama? Apabila sama maka berlaku sifat komutatif

2. Untuk menyelidiki sifat identitas, ikutilah langkah-langkah sebagai berikut!

a. Buatlah diagram (foI)(x)

b. Buatlah diagram (Iof)(x)

c. Apakah hasil diagram panahnya sama? Apabila sama maka berlaku sifat identitas

Jawab:

Jawab:

Jawab:

Jawab:

Jawab:

Jawab:

241

3. Untuk menyelidiki sifat asosiatif, ikutilah langkah-langkah sebagai berikut!

a. Buatlah diagram ((fog)oh)(x)

b. Buatlah diagram (fo(goh))(x)

c. Apakah hasil diagram panahnya sama? Apabila sama maka berlaku sifat asosiatif

Jawab:

untuk diagram ((fog)oh)(x) buatlah diagram (fog)(x) terlebih dahulu lalu hasil diagram (fog)(x)

akan digabungkan dengan diagram h(x)

Step 1 (membuat diagram

(fog)(x))

Step 2 (menggabungkan

diagram (fog)(x) dengan

diagram h(x))

Jawab:

untuk diagram (fo(goh))(x) buatlah diagram (goh)(x) terlebih dahulu lalu hasil diagram (goh)(x)

akan digabungkan dengan diagram f(x)

Step 1 (membuat diagram

(goh)(x))

Step 2 (menggabungkan

diagram (goh)(x) dengan

diagram f(x))

Hasil akhir

diagram:

Hasil akhir

diagram:

Jawab:

242

Kesimpulan!

Berilah tanda ceklis () tabel dibawah ini untuk menentukan sifat apa saja yang

berlaku pada fungsi komposisi!

Sifat-sifat Berlaku Tidak berlaku

Komutatif

Identitas

Asosiatif

243

Lampiran 10

DOKUMENTASI

244

Lampiran 11

245

Lampiran 12

desain didaktis konsep fungsi komposisi pada siswa sma kelas...

Documents