definisi, asumsi, teorema geometris

1

BAB I Definisi, Asumsi, dan Teorema Geometris

Sebelum kita memasuki definisi, asumsi dan teorema teorema dalam

geometri, terlebih dahulu kita perlu mengetahui pengertian masing masing :

Definisi : rumusan tentang ruang lingkup dan ciri ciri suatu

konsep yang menjadi pokok pembicaraan.

Postulat : Asumsi yang menjadi pangkal dalil yang dianggap

kebenarannya tanpa perlu pembuktian.

Aksioma : Pernyataan pertama yang dapat diterima sebagai

kebenaran tanpa pembuktian.

Teorema : pendapat yang dikemukakan sebagai keterangan

mengenai suatu kejadian (dapat dibuktikan).

A. Definisi Definisi Pada Peristilahan Geometri

DEFINISI 1.1 : Ruas garis AB adalah himpunan titik-titik dari garis yang

memuat titik A dan B dan semua titik diantara titik A dan titik B.

DEFINISI 1.2 : Sinar adalah himpunan titik-titik yang merupakan gabungan dari

titik pangkal sinar garis dan semua titik pada sisi yang sama terhadap titik

pangkalnya.

DEFINISI 1.3 : Sinar-sinar yang berlawanan adalah dia sinar berlainan pada garis

yang sama dan mempunyai titik pangkal yang sama dan mempunyai titik

pangkal yang sama.

Geometri

Created by http:\\yasin-uij.blogspot.com 2007

2222

DEFINISI 1.4 : Sudut adalah himpunan titik - titik yang merupakan gabungan

dua sinar dan kedua titik pangkalnya berserikat.

DEFINISI 1.5 : Titik tengah dari ruas garis adalah suatu titik pada ruas garis itu

sedemikian hingga membantuk dua garis yang sama ukurannya.

DEFINISI 1.6 : Garis bagi (bisektor0 dari ruas garis adalah garis yang memotong

ruas garis pada titik tengahnya.

DEFINISI 1.7 : Sudut siku siku adalah sudut dari 90o.

DEFINISI 1.8 : Sudut lurus adalah suatu sudut dari 180o.

DEFINISI 1.9 : Sudut lancip adalah suatu sudut yang ukurannya lebih besar dari

0o dan lebih kecil dari 90o.

DEFINISI 1.10 : Sudut tumpul adalah suatu sudut yang ukurannya lebih besar 90o

dan lebih kecil 180o.

DEFINISI 1.11 : Dua sudut saling berkomplemen adalah dua sudut yang jumlah

ukurannya 90o.

DEFINISI 1.12 : Dua sudut saling bersuplemen adalah sua sudut yang jumlah

ukurannya 180o.

DEFINISI 1.13 : Dua garis saling tegak lurus adalah sua garis yang saling

berpotongan dan membentuk sudut siku-siku.

DEFINISI 1.14 : Garis bagi suatu sudut adalh suatu sinar sedemikian hingga titik

pangkalnya titik sudut itu dan membentuk dua sudut yang sama ukurannya

dengan kaki kaki sudut itu.

Geometri


3333

B. Asumsi Asumsi Dan Penggunaannya Dalam Pembuktian

POTULAT 1.1 : Sebuah garis dapat diperpanjang sejauh-jauhnya dari kedua

ujungnya.

POTULAT 1.2 : Untuk setiap dua titik pada garis, ada titik ketiga yang terletak

diantaranya.

POTULAT 1.3 : Ada korespondensi 1-1 antara titik-titik pada garis dengan

bilangan-bilangan real.

POTULAT 1.4 : Ada satu dan hanya satu garis yang melalui dua titik.

POTULAT 1.5 : Jika a = b dan c = d , maka a + c = b + d.

POTULAT 1.6 : Jika a = b dan c = d , maka a c = b d.

POTULAT 1.7 : Jika a = b dan c = d , maka a . c = b . d.

POTULAT 1.8 : Jika a = b dan c = d , maka a / c = b / d.

POTULAT 1.9 : a = a , sifat refleksif.

POTULAT 1.10 : Jika a = b , maka b = a; sifat simetri.

POTULAT 1.11 : Jika a = b dan b = c , maka a = c .

DEFINISI 1.15 : Ruas ruas garis yang kongruen adalah ruas ruas garis yang

mempunyai ukuran sama (tidak harus segaris).

DEFINISI 1.16 : Sudut sudut yang kongruen adalah sudut-sudut yang

mempunyai ukuran sama.

Notasi kongruensi adalah . perlu diingat bahwa jika u AB = u CD, maka AB

CD. Tetapi jika AB CD, belum tentu u AB = u CD.

DEFINISI 1.17 : Jumlah dari dua ruas garis AB dan BC adalah AC jika dan

hanya jika B diantara A dan C; dapat dilambangkan AB + BC = AC.

Geometri


4444

DEFINISI 1.18 : AC terletak diantara ruas garis AB dan BC yang berlainan jika

dan hanya jika C diantara A dan B; dilambangkan : AB BC = AC.

C. Teorema Teorema Sederhana

POSTULAT 1.12 :

Pernyataan kondisional : jika P, maka Q;

Dan menyatakan kebenaran P : diketahui P (antasenden);

Berakibat benarnya Q : jadi Q (konsekuen).

TEOREMA 1.1 : Jika dua sudut adalah siku-siku, maka keduanya kongruen.

Cara pembuktian :

Diketahui : A sudut siku-siku

B sudut siku-siku

A B Buktikan : A B

Bukti :

Pernyataan Alasan

1. A siku siku

2. u A = 90o

3. B siku siku

4. u B = 90o

5. u A = u B

6. A B

1. Diketahui.

2. def. Sudut siku-siku

3. diketahui

4. sama No. 2

5. sifat transitif dari kesamaan.

6. definisi kongruensi

Geometri


5555

TEOREMA 1.2 : jika dua sudut adalah sudut lurus, maka keduanya kongruen.

(bukti seperti teorema 1.)

DEFINISI 1.19 : sinar PB terletak diantara dua sinar PA dan PC berarti bahwa,

uAPB + uBPC = uAPC.(ukuran jumlah sebarang sudut harus 180o)

A

B

40o

P 30o C

DEFINISI 1.20 : Jumlah dari dua sudut ABC dan DBC, adalah ABD jika

dan hanya jika BC diantara BA dan BD; dapat dilambangkan : ABC +

DBC = ABD.

DEFINISI 1.21 : CDB terletak diantara dua sudut , ABD dan ABC jika dan

hanya jika BC diantara BA dan BD; dapat dilambangkan ABD - ABC

= DBC .

TEOREMA 1.3 : Jika dua sudut saling bersuplemen (berpelurus) pda sudut yang

sama , maka keduanya kongruen.

Pembuktian :

Diketahu : B suplemen pada A

B A C suplemen pada A

Buktikan : B C.

C

Geometri


6666

Bukti :

Pernyataan Alasan

1. B suplemen dari A.

2. uB + uA.= 180o

3. uB .= 180o uA

4. C suplemen dari A.

5. uC + uA.= 180o

6. uC .= 180o uA

7. uB = uC

8. B uC

1. diketahui

2. def. Dua sudut yang

bersuplemen.

3. postulat pengurangan dari

kesamaan.

4. diketahui

5. sama No. 2

6. sama No. 3

7. sifat transitif

8. def.kongruensi sudut

TEOREMA 1.4 : jika dua sudut saling berkomplemen pada sudut yang sama,

maka kedua sudut itu kongruen. (bukti seperti teorema 3)

TEOREMA 1.5 : jika dua sudut saling bersuplemen terhadap dua sudut yang

kongruen, maka dua sudut itu kongruen.

Diketahui : ABD bersuplemen terhadap 1 EFG bersuplemen terhadap 2 1 2 Buktikan : ABD EFG (sebagai Latihan)

D 1 A B C H 2 E F G

Geometri


7777

TEOREMA 1.6 : Jika dua sudut berkomplemen terhadap dua sudut yang

kongruen, maka keduanya kongruen. (bukti sebagai latihan)

DEFINISI 1.22 : dua sudut bertolak belakang adalah dua sudut sedemikian

hingga kaki-kaki dari sudut itu yang satu merupakan sinar yang

berlawanan dengan kaki-kaki sudut yang lain.

TEOREMA 1.7 : Jika dua sudut saling bertolak belakang, maka keduanya

kongruen. (bukti sebagai latihan)

TEOREMA 1.8a : Jika dua ruas garis kongruen dengan dua ruas garis yang

kongruen, maka keduanya kongruen. (bukti sebagai latihan)

TEOREMA 1.8b : jika dua sudut kongruen dengan dua sudut yang kongruen,

maka kedua sudut itu kongruen. (bukti sebagai latihan)

definisi, asumsi, teorema geometris

Documents