Materi UAS Matematika SMP Labschool Kebayoran

Kelas: 7

Kisi – Kisi :

Himpunan

Diagram venn

Bilangan

Perbandingan

Skala

Pecahan

Sudut

Notes : Selain yang ada di rangkuman ini bisa dilihat di buku paket

Himpunan

Konsep tentang himpunan pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan berkebangsaan Jerman, yaitu George Cantor (1845 - 1918)

Himpunan adalah kumpulan benda-benda yang didefinisikan (diberi batasan) dengan jelas.

Benda-benda yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen dari suatu himpunan.

Contoh: kumpulan hewan reptil, kumpulan orang berkacamata,kumpulan pecinta matematika

Contoh yang bukan himpunan: kumpulan siswa yang tinggi,kumpulan pensil panjang,kumpulan sepatu mahal

Aturan penulisan himpunan:

a. Nama himpunan ditulis dengan huruf kapital

b. Diawali dan diakhiri kurung kurawal

c. Antar anggota dipisahkan dengan tanda koma

d. Untuk menyatakan "dan seterusnya" pada bilangan, ditulis dengan tanda titik 3 kali

Contoh: Himpunan bilangan bulat, biasanya diberi nama B;

B= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

Dalam suatu himpunan, masing-masing anggota berbeda dengan anggota lainnya. Dengan demikian, dalam suatu himpunan tidak boleh anggota yang sama.

Untuk menyatakan suatu benda yang merupakan anggota suatu himpunan digunakan lambang ∈,

Sedangkan untuk menyatakan benda yang bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang .

Banyak anggota suatu himpunan, misalnya anggota himpunan A dapat dinyatakan dengan notasi n(A). Jadi, notasi n(B) artinya banyak anggota pada himpunan B dan n(C) artinya banyak anggota pada himpunan C.

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara berikut.

i. Dengan kata-kata atau sifat keanggotaan

ii. Dengan notasi pembentuk himpunan

iii. Dengan mendaftar anggota-anggotanya

Untuk menyatakan himpunan dengan kata-kata, perhatikan kesamaan sifat yang dimiliki anggota-anggota himpunan tersebut

Contoh: A = {Senin, Selasa, Rabu}

Penulisan dengan kata-kata atau sifat keanggotaan himpunan adalah:

A = {nama hari dalam seminggu yang dimulai dengan huruf S}

1. Himpunan berhingga & tak berhingga

Himpunan yang memiliki banyak anggota yang terbatas (tak berhingga) disebut himpunan tak berhingga, sedangkan himpunan yang memiliki banyak anggota terbatas disebut himpunan berhingga.

2. Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, dapat ditulis dengan notasi

atau simbol { } atau . Contohnya:

A. Himpunan bilangan kuadrat antara 50 dan 60 adalah himpunan kosong, karena antara 50 dan 60 tidak terdapat bilangan kuadrat.

B. Himpunan nama hari dalam seminggu yang dimulai dengan huruf J bukan himpunan kosong karena ada nama hari yang dimulai dengan huruf J, yaitu Jum'at.

3. Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himounan yang memuat semua anggota yang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga semesta pembicaraan atau himpunan Universum. Lambang himpunan semesta adalah S.

4. Himpunan bagian

Himpunan yang lebih kecil dari himpunan asalnya. Lambang himpunan bagian adalah ⊂Diagram Venn

Aturan :

a) Himpunan semesta digambar dengan persegi panjang

b) Himpunan digambar dengan lingkaran

c) Angota himpunan digambar dengan titik

d) Nama himpunan ditulis di dekat lingkaran

Contoh :

S = {1,2,3,4,5,6}

A = {1,3,5}

S = {-3,-2,-1,0,1,2,3}

D = {-3,-2,-1,0}

C = {0,1,2,3}

s

1

3

5

2

4

6

0

-3

-2

-1

3

2

1

A

C D

S = {Alfabet}

A = {K,A,S,U,R}

D = {R,U,S,A,K}

S = {Bilangan asli kurang dari 10}

A = {Bilangan ganjil kurang dari 10}

B = {Bilangan genap kurang dari 10}

S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A = {1,3,5,7,9}

B = {2,4,6,8}

S

1

3

5

7

9

2

4

6

8

s

A = D

K

U

R

A

S

AB

S = {Bilangan cacah kurang dari 10}

B = {Bilangan Prima kurang dari 10}

C = {Bilangan Prima Genap}

S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

B = {2,3,5,7}

C = {2}

S

2 2

3

5

7

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

C

B

Perbandingan

Perbandingan merupakan suatu hal yang sangat penting dalam matematika, demikian juga dalam kehidupan sehari-hari kita pun tidak lepas dari perbandingan.

Sebagai ilustrasi perhatikan contoh berikut :

a. Usia Ayah 45 tahun dan usia ibu 40 tahun, sedangkan usia Ali 15 tahun serta usia Ani 10 tahun.

Perbandingan usia ayah dan ibu = 45 tahun : 40 tahun = 45 : 40 = 9 : 8Perbandingan Usia Ali dan Ani = 15 tahun : 10 tahun = 15 : 10 = 3 : 2Perbandingan usia Ayah dan Ali = 45 tahun : 15 tahun = 45 : 15 = 3 : 1

b. Tinggi badan Dewa 160 cm, tinggi badan Dewi, 120 cm dan tinggi badan Gita 60 cm

Perbandingan tinggi badan Dewa dan Dewi = 160 cm:120 cm = 160:120 = 4:3Perbandingan tinggi badan Dewi dan Gita = 120 cm:60 cm = 120:60 = 2:1Perbandingan tinggi badan Dewa dan Gita = 160 cm:60 cm = 160:60 = 8:3

Dari contoh tersebut dapat diketahui bahwa untuk membandingkan dua buah besaran perlu diperhatikan :

a. Bandingkan besaran yang satu dengan yang lainb. Samakan satuannyac. Sederhanakan bentuk perbandingannya

Dari uraian dan contoh masalah di atas dapat diperoleh arti perbandingan sebagai berikut :

a. Perbandingan antara a dan b ditulis dalam bentuk sederhana atau a : b, dengan a dan b merupakan bilangan asli, dan b  0.b. Kedua satuan yang dibandingkan harus sama.c. Perbandingan dalam bentuk sederhana atinya antara a dan b sudah tidak mempunyai faktor persekutuan, kecuali 1.

Skala

Istilah skala sering kita jumpai kalau kita membuka peta/atlas.

Jika pada peta tertulis skala 1 : 5.000.000, berarti :1 cm pada peta mewakili 5.000.000 cm jarak yang sebenarnya, atau1 cm pada peta mewakili 50.000 m jarak yang sebenarnya, atau1 cm pada peta mewakili 50 km jarak yang sebenarnyaSkala adalah perbandingan ukuran pada gambar (cm) dengan ukuran sebenarnya (cm) Tampak bahwa skala menggunakan satuan cm untuk dua besaran yang dibandingkan Perlu diingat bahwa : 1 km = 1.000 m = 100.000 cm.Contoh berikut menjelaskan bagaimana kita menggunakan skala pada sebuah peta.

a. Pada sebuah peta jarak tempat A dan B adalah 3 cm, padahal jarak A dan B sebenarnya 450 km.Tentukan skala yang dipergunakan pada peta tersebut !

Jawab :Skala = Ukuran pada peta : Ukuran yang sebenarnya= 3 cm : 450 km= 3 cm : 45.000.000 cm (pada skala harus menggunakan satuan cm)= 3 : 45.000.000= 1 : 15.000.000

b. Pada sebuah peta jarak kota A ke kota B adalah 8 cm. Jika skala peta itu adalah 1 : 500.000, maka berapakah jarak sebenarnya kedua kota tersebut ?

Jawab :Skala 1 = 500.000 berarti 1 cm pada peta mewakili jarak 500.000 cm jarak sesungguhnya, atau 1 cm pada peta mewakili jarak 5 km jarak sesungguhnya.

c. Sebuah peta menggunakan skala 1 : 25.000.000 . Jika jarak dua tempat sebenarnya 300 km, berapakah jarak kedua tempat itu pada peta ?

Jawab :Skala 1 : 25.000.000Artinya 1 cm pada peta mewakili 25.000.000 cm jarak sesungguhnya, atau 1 cm pada peta mewakili 250 km jarak sesungguhnya.Jadi jarak kedua tempat itu pada peta adalah 300 : 250 = 1,2 cm

Rumus Skala :

S

UG

US

1 Km : 100.000 Cm

1 M : 100 Cm

1 Ton : 1.000 Kg

1 kwintal : 100 Kg

1 Kg : 10 ons

1 lusin = 12 buah1 gross = 12 lusin1 gross = 144 buah1 rim = 500 lembar1 kodi = 20 buah

Sudut

Sudut adalah suatu daerah yang dibentuk oleh dua buah sinar garis yang titik pangkalnyaberimpit (bersekutu).Bagian – bagian sudut :1. Kaki sudut, sinar garis yang membentuk suatu sudut

2. Titik sudut, titik potong pangkal sinar dari kaki sudut3. Daerah sudut, daerah yang terbentuk antara dua kaki sudut

 

Jenis-jenis sudut berdasarkan ukurannya:

1. Sudut Lancip, yaitu sudut yang ukurannya kurang dari 90 derajat

2. Sudut Siku-Siku, yaitu sudut yang ukurannya sama dengan 90 derajat

3. Sudut Tumpul, yaitu sudut yang besarnya lebih dari 90 derajat dan kurang dari 180 derajat

Jenis – jenis Sudut1. Sudut siku-siku, yaitu sudut yang besarnya 90⁰.2. Sudut lancip, yaitu sudut yang besarnya antara 0⁰ dan 90⁰ atau 0⁰ < D < 90 ⁰, 3. Sudut tumpul, yaitu sudut yang besarnya di antara 90 ⁰ dan 180 ⁰ atau 90 ⁰ < D < 180 ⁰. 4. Sudut lurus, yaitu sudut yang besarnya 180 ⁰.5. Sudut refleks, yaitu sudut yang besarnya antara 180 ⁰ dan 360 ⁰, atau 180 ⁰ < D < 360 ⁰

Hubungan antar sudut1. Sudut yang saling berpenyiku, dua sudut yang jumlah ukurannya 90 : ∠ ABD + ∠ DBC = 90Jika dua buah sudut membentuk sudut siku-siku (90 ⁰), maka sudut yang satu merupakan penyiku sudut yang lain dan keduasudut itu dikatakan saling berpenyiku.(berkomplemen)

2. Sudut yang saling berpelurus, dua sudut yang jumlah ukurannya 180 : ∠ PQS + ∠ SQT + ∠ TQR = 180Jika dua buah sudut membentuk sudut lurus, maka sudut yang satu merupakan pelurus sudut yang lain dan kedua sudut itudikatakan saling berpelurus (bersuplemen).

HUBUNGAN ANTAR SUDUT JIKA DUA GARIS SEJAJAR DIPOTONG OLEH GARIS LAIN

1. Sudut sehadap, besarnya sama. Yakni ∠1 = ∠5, ∠2 = ∠6, ∠4 = ∠8, ∠3 = ∠7.

2. Sudut dalam berseberangan, besarnya sama. Yakni ∠3 = ∠5, ∠4 = ∠63. Sudut luar berseberangan, besarnya sama. Yakni ∠1 = ∠7, ∠2 = ∠84. Sudut dalam sepihak, jumlah keduanya adalah 180o. Yakni ∠4 + ∠5 = 180, ∠3 + ∠6 = 180.5. Sudut luar sepihak, jumlah keduanya adalah 180o. Yakni ∠2 + ∠7 = 180, ∠1 + ∠8 = 180.6. Sudut bertolak belakang, besarnya sama. Yakni ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4, ∠5 = ∠7, ∠6 = ∠8.

KEDUDUKAN DUA GARIS

Antara dua buah garis dapat berkedudukan sebagai berikut :

1. Sejajar

2. Berpotongan

3. Berimpit

4. Bersilangan

CONTOH SOAL MENGHITUNG SUDUT

Besar ∠ABD adalah ….

A. 98°

B. 105°

C. 112°

D. 119°

Penyelesaian:

∠ABD + ∠CBD = 180°

7x° + 5x° = 180°

12x° = 180°

x = 15°∠ABD = 7x°∠ABD = 7 X 15°∠ABD = 105°

Jadi, besar ∠ABD adalah 105°

Nilai y adalah ….

A. 24°

B. 25°

C. 26°

D. 34°

Penyelesaian:

∠EAH = ∠CEF

∠EAH = 102°

∠EAH + ∠BAE = 180° (sudut saling berpelurus)

102°+ 3y = 180°

3y = 180° - 102°

3y = 78°

y = 26°

Besar penyiku ∠AQC adalah ….

A. 49°

B. 44°

C. 66°

D. 80°

Penyelesaian:

∠AQC + ∠BQC = 90°

(6x + 4)° + (5x+9)° = 90°

11x° + 13° = 90°

11x° = 77°

x° = 7°

Penyiku ∠AQC = ∠BQC

Penyiku ∠AQC = (5x+9)°

Penyiku ∠AQC = (5 X 7 + 9)°

Penyiku ∠AQC = 44°